Статистический анализ зарегистрированных абонентских терминалов сотовой связи

Первичная обработка статистических данных по количеству зарегистрированных абонентских терминалов сотовой связи за 2008 год на 1000 населения в регионах России. Интервальное оценивание параметров. Гипотеза о виде распределения. Регрессионный анализ.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 06.10.2013
Размер файла 439,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Государственный Строительный Университет

Институт фундаментального образования

Факультет общенаучных кафедр

Курсовая работа по дисциплине:

«Теория вероятности и математическая статистика»

Выполнил:

Студент ИФО 3-2

Плаксина С.С.

Проверила:

Доцент Кирьянова Л.В.

Москва 2011

Введение

Математическая статистика - наука, изучающая методы раскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов, на основании их выборочного обследования. Задачей математической статистики является построение методов оценки вероятности или принятия решений о характере событий на основе статистических данных. Математическая статистика делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

Задача.

Провести первичную обработку статистических данных по количеству зарегистрированных абонентских терминалов сотовой связи за 2008 год на 1000 населения в регионах России. Сделать выводы.

Решение.

Первая часть

ЧИСЛО АБОНЕНТСКИХ ТЕРМИНАЛОВ СОТОВОЙ СВЯЗИ на 1000 человек населения ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (на конец года; штук) 2008 год.

1

Белгородская область

1211,9

30

Кабардино-Балкарская Республика

956,7

59

Челябинская область

1522,1

2

Брянская область

1103,6

31

Республика Калмыкия

1255

60

Республика Алтай

1006,2

3

Владимирская область

1343,2

32

Карачаево-Черкесская Республика

1203,1

61

Республика Бурятия

1244

4

Воронежская область

983,1

33

Республика Северная Осетия - Алания

1027,6

62

Республика Тыва

916,2

5

Ивановская область

1400,9

34

Чеченская Республика

812,5

63

Республика Хакасия

1408,6

6

Калужская область

1420,4

35

Краснодарский край

1417,4

64

Алтайский край

1125,1

7

Костромская область

1392

36

Ставропольский край

1109,3

65

Забайкальский край

1018,9

8

Курская область

1217,5

37

Астраханская область

1490,1

66

Красноярский край

1385,9

9

Липецкая область

1106,5

38

Волгоградская область

1296,8

67

Иркутская область

1505,7

10

Орловская область

1186

39

Ростовская область

1100,2

68

Кемеровская область

1235

11

Рязанская область

1400,5

40

Республика Башкортостан

1283

69

Новосибирская область

1337,9

12

Смоленская область

1532,2

41

Республика Марий Эл

1313,5

70

Омская область

1244,1

13

Тамбовская область

1209,6

42

Республика Мордовия

1287,7

71

Томская область

1232,2

14

Тверская область

1483,4

43

Республика Татарстан

1366,3

72

Республика Саха (Якутия)

957,2

15

Тульская область

1237,3

44

Удмуртская Республика

1161

73

Камчатский край

1421,1

16

Ярославская область

1448

45

Чувашская Республика

1299,8

74

Приморский край

1531

17

г. Москва и Московская область

1972,1

46

Пермский край

1335,2

75

Хабаровский край

1315,6

18

Республика Карелия

1462,1

47

Кировская область

1152,5

76

Амурская область

1295,9

19

Республика Коми

1495,4

48

Нижегородская область

1422

77

Магаданская область

1370,6

20

Архангельская область

1476,2

49

Оренбургская область

1215,5

78

Сахалинская область

1329,9

21

Вологодская область

1523,1

50

Пензенская область

1267,6

79

Еврейская автономная область

730,5

22

Калининградская область

1581,2

51

Самарская область

1570,3

80

Чукотский автономный округ

767,8

23

Мурманская область

1790,1

52

Саратовская область

1317,1

24

Новгородская область

1546,6

53

Ульяновская область

1361,4

25

Псковская область

1404,7

54

Курганская область

1180,6

26

г. Санкт-Петербург и Ленинградская область

1863,4

55

Свердловская область

1285,9

27

Республика Адыгея

707,4

56

Тюменская область

1528,8

28

Республика Дагестан

930

57

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра

1593

29

Республика Ингушетия

877,5

58

Ямало-Ненецкий автономный округ

1732,9

Теория

Объем выборки - это количество проведенных измерений или наблюдений.

Вариационный ряд - это упорядоченные по возрастанию числовые значения элементов выборки.

Статистическая совокупность - это совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком.

Генеральная совокупность - это совокупность объектов или явлений, все элементы которой подлежат изучению при статистическом анализе.

Выборочная совокупность (выборка) - это множество результатов наблюдений, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Размах выборки - это разность

где выбранные точки называются экстремальными значениями (только для отсортированных данных).

Интервалом варьирования называется промежуток между экстремальными значениями. Составим интервальную таблицу частот. Обычно число интервалов группировки рассчитывают по формуле Стерджеса:

Ширина интервала равна:

Частота - это число, равное количеству элементов, попавших в данный интервал. Сумма всех частот должна равняться объему выборки:

Относительная частота - это отношение частоты к объему выборки, т.е. .

Относительная накопленная частота - это отношение количества элементов, оказавшихся меньше какого-то определенного значения, к объему выборки.

Расчет

n=80

x max=1972,1

x min=707,4

Запишем число интервалов группировки по формуле Стёрджеса

Ширина интервала равна

Частоту посчитаем как количество значений, попавших в каждый интервал.

Относительную частоту возьмем по формуле , то есть отношение частоты к объему выборки.

Накопленная частота - это отношение количества элементов, оказавшихся меньше какого-то определенного значения, к объему выборки.

Таблица сгруппированных данных:

интервал

X-сер.инт.

частоты

отн.част.

1

[707,4; 888,07)

797,736

5

0,0625

2

[888,07; 1068,74)

978,407

8

0,1

3

[1068,74; 1249,41)

1159,079

19

0,2375

4

[1249,41; 1430,09)

1339,750

28

0,35

5

[1430,09; 1610,76)

1520,421

16

0,2

6

[1610,76; 1791,43)

1701,093

2

0,025

7

[1791,43; 1972,10)

1881,764

2

0,025

Представим эти данные графически с помощью гистограммы и полигона частот.

Гистограмма - это способ графического представления табличных данных некоторого показателя в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны. При построении гистограммы мы на каждом интервале строим прямоугольник площадью , то есть высота прямоугольника . Таким образом, общая площадь равна единице. С увеличением объема выборки и уменьшением длины интервала гистограмма будет приближаться к кривой плотности распределения, поэтому гистограмму используют в качестве оценки для плотности распределения.

Полигон частот - это ломаная, концы отрезков которой имеют координаты .

Выборочные характеристики.

Выборочное (эмпирическое) среднее.

1285,55

Выборочная медиана

Это значение признака, приходящееся на середину вариационного ряда.

Медиану, как меру средней величины, используют в том случае, если крайние члены вариационного ряда по сравнению с остальными, оказались чрезмерно большими или малыми.

Выборочная мода

Это выборочное значение, которому соответствует наибольшая частота. Моду легко найти графическим путем с помощью гистограммы. В моем случае:

1323

Выборочная (эмпирическая) дисперсия

Выборочное среднеквадратическое отклонение

Это арифметический квадратный корень из выборочной дисперсии

.

Эмпирический коэффициент асимметрии

- 0,0725

Если , то распределение имеет симметричную форму.

Если ,то распределение имеет положительную (правостороннюю) асимметрию.

Если (мой случай), то распределение имеет отрицательную (левостороннюю) асимметрию.

Эмпирический эксцесс

0,162

Если (мой случай), то полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину по сравнению с нормальной кривой.

Если , то полигон вариационного ряда имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой.

Интервальное оценивание параметров

статистический регрессионный интервальный

Доверительный интервал

Это статистическая оценка параметра вероятностного распределения, имеющая вид интервала, границами которого служат функции от результатов наблюдений и который с высокой вероятностью «накрывает» неизвестный параметр.

При этом вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Величину называют нижней доверительной границей, аналогично - верхняя доверительная граница.

Если установить большое значение уровня надежности, то доверительный интервал будет шире, и увеличится «уверенность» в оценке, и наоборот. Ширина доверительного интервала также зависит от объема выборки и «степени разброса» наблюденных значений.

Различают два вида задания доверительных границ:

1. Симметрично относительно оценки параметра, т.е.

где - величина абсолютной погрешности или предельная ошибка.

Для симметричного относительно точечной оценки интервала величина абсолютной погрешности оценивания равна половине доверительного интервала.

2. Из условия равенства вероятностей выхода за верхнюю и нижнюю границу, т.е.

В общем случае , тогда предельная ошибка выборки равна наибольшему отклонению выборочного значения параметра от его истинного значения.

Интервальная оценка для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Для использования этой оценки на практике требуется, чтобы распределение генеральной случайной величины было нормальным и параметрами , либо, чтобы объем выборки был достаточно велик. Тогда - доверительный интервал имеет вид:

где - квантиль стандартного нормального распределения уровня , - выборочное среднее.

Интервальная оценка для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии (мой случай).

Если дисперсия неизвестна, то ее заменяют на оценку:

Поэтому симметричный - доверительный интервал будет иметь вид:

Зададим уровень доверия . Тогда . Имея формулу

108,76

и получаем доверительный интервал для нашего случая: (1261,72; 1309,38)

Это означает, что вероятность нахождения математического ожидания в данном интервале равна уровню доверия:

Отметим так же, что если , распределение Стьюдента близко к нормальному и можно пользоваться таблицами нормального распределения.

Интервальная оценка для среднеквадратического отклонения нормального распределения.

В этом случае эффективной оценкой дисперсии является статистика

Тогда - доверительный не симметричный интервал будет иметь вид:

где - квантиль уровня распределения с степенью свободы, - квантиль уровня распределения с степенью свободы.

Если же математическое ожидание - неизвестно (мой случай), то количество степеней свободы уменьшается на , и доверительный интервал имеет вид

Здесь - это квантиль уровня распределения степенями свободы и - это квантиль уровня распределения степенями свободы. Берем 100,74862 и 59,52295. Тогда наш доверительный интервал будет: (96,31; 125,30)

Гипотеза о виде распределения

Предположим, что наша выборка имеет нормальное распределение. Проверим эту гипотезу с помощью критерия согласия - критерия (Пирсона).

Проверка этой гипотезы состоит из следующих пунктов:

1. Воспользуемся ранее составленным разбиением диапазона значений случайной величины на интервалы , но при этом объединим последние 2 интервала, так как в них попало достаточно мало значений в сравнении с подсчитанным числом наблюдений, попавших в каждый интервал.

2. Предположив справедливость основной гипотезы, подсчитаем вероятность попадания в каждый интервал:

3. Примем следующие значения для :

.

интервал

частоты

Рi

(ni-n*pi)^2/(n*pi)

ч^2(m-k-1)

1

[707,4; 888,07)

5

0,0365

1,096

4,207

2

[888,07; 1068,74)

8

0,1335

1,189

 

3

[1068,74; 1249,41)

19

0,3424

1,607

 

4

[1249,41; 1430,09)

28

0,2197

0,685

 

5

[1430,09; 1610,76)

16

0,1835

0,579

 

6

[1610,76; 1972,10)

4

0,0789

0,078

 

4. Задавшись уровнем значимости , строят критическую область, используя предельную теорему: при выполнении основной гипотезы распределение статистики критерия сходится к - распределению с степенью свободы.

5. Если значение статистики критерия меньше критического значения, т.е.

а

у нас

Сформулируем задачи статистического анализа

· Задачи регрессионного анализа - задачи, связанные с установлением аналитических зависимостей между переменным Y и одним или несколькими переменными .

В этой части работы я проведу исследование влияния всех имеющихся у нас факторов на количество абонентских терминалов сотовой связи.

Регрессионный анализ -- частный случай статистической зависимости и подразумевает зависимость среднего значения величины Yот другой величины Х (одномерной или многомерной).Методы множественного анализа позволяют решать задачу исследования зависимости одной переменной Y от нескольких переменных X1, X2,…,Xk. Для построения уравнения множественной регрессии чаще используют функции:

1) - линейную;

2) - гиперболическую;

3) - степенную;

4) - экспоненту.

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Выбрать форму связи между переменными довольно сложно. Эта задача на практике основывается на априорном теоретическом анализе изучаемого явления. Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов. Рассмотрим более подробно линейное уравнение множественной регрессии. Если связь между результирующим признаком и анализируемыми факторами нелинейная, то она может быть сведена к линейной путём линеаризации (с помощью замены переменной). Если ввести в рассмотрение матрицы:

,

то систему нормальных уравнений можно записать в матричном виде: . Решением последней системы является вектор - столбец:

.

Для того, чтобы установить, соответствует ли выбранная регрессионная модель экспериментальным данным, используют критерий Фишера. По заданному уровню значимости находят критическое значение распределения Фишера при числе степеней свободы . Если значение статистики

F=>,

то уравнение считают значимым (т.е. соответствующим экспериментальным данным на уровне ). При этом выборочная остаточная дисперсия (с её помощью оценивают неучтённые в модели случайные факторы) будет равна:

.

Среднеквадратическое отклонение коэффициента регрессии равно:

(здесь - диагональный элемент матрицы ).

Соответствующий коэффициент уравнения регрессии считают значимым, если , где - критическое значение распределения Стьюдента, определённое на уровне доверия = 1 (где - уровень значимости) при числе степеней свободы, равном nk 1 (т.е. квантиль уровня распределения Стьюдента с nk 1 степенями свободы).

Доверительный интервал для истинного коэффициента имеет вид: .

Доверительный интервал для значения случайной величины Y имеет вид:

Центральный федеральный округ

x1

x2

х3

х4

у

1

Белгородская область

1519

74

12757,9

276,3

1211,9

2

Брянская область

1309

59,4

10042,6

253,8

1103,6

3

Владимирская область

1449

76,6

9596,2

252,6

1343,2

4

Воронежская область

2280

68,8

10304,8

417,1

983,1

5

Ивановская область

1080

61,4

8353,8

221,8

1400,9

6

Калужская область

1006

63,2

11755,9

311,7

1420,4

7

Костромская область

697

60,9

9413,2

516,9

1392

8

Курская область

1162

49,5

11411

241,9

1217,5

9

Липецкая область

1169

68,8

12274,4

302,7

1106,5

10

Московская область и г. Москва

16000

93,3

37500

264,8

1972,1

11

Орловская область

822

58,8

9814,5

283

1186

12

Рязанская область

1165

72,9

11311,3

287,6

1400,5

13

Смоленская область

983

50,9

11522,7

313,7

1532,2

14

Тамбовская область

1106

61,8

11252,8

284,8

1209,6

15

Тверская область

1380

70,2

10856

236,2

1483,4

16

Тульская область

1566

63,5

11388,5

294,1

1237,3

17

Ярославская область

1315

75,5

12587,2

276,6

1448

 

Северо-Западный федеральный округ

 

 

 

 

18

Республика Карелия

691

89,9

12228,6

299,6

1462,1

19

Республика Коми

968

64

18636,4

308,2

1495,4

20

Архангельская область

1272

80,4

14823,6

279,2

1476,2

21

Вологодская область

1223

60

12193,5

284,7

1523,1

22

Калининградская область

937

82

12922,3

265,5

1581,2

23

Мурманская область

851

79

18773,2

326,1

1790,1

24

Новгородская область

652

76,5

11645,6

325,1

1546,6

25

Псковская область

706

68,5

10290,9

301,8

1404,7

26

г. Санкт-Петербург и Ленинградская область

5540

95,8

20000

432,7

1863,4

 

Южный федеральный округ

 

 

 

 

 

27

Республика Адыгея

441

81,5

7986,3

235,4

707,4

28

Республика Дагестан

2688

76,5

10962

82,3

930,0

29

Республика Ингушетия

499

54

5512,9

37,5

877,5

30

Кабардино-Балкарская Республика

891

69,9

8589,3

10,9

956,7

31

Республика Калмыкия

286

56,2

5651,2

213,9

1255,0

32

Карачаево-Черкесская Республика

427

57,2

8676,1

236,5

1203,1

33

Республика Северная Осетия - Алания

702

67,9

9837,7

228,8

1027,6

34

Чеченская Республика

1209

45,8

... 

293,6

812,5

35

Краснодарский край

5122

84,5

12023,9

256,3

1417,4

36

Ставропольский край

2705

87,5

9952,5

251,5

1109,3

37

Астраханская область

1001

72,8

11120,4

264,9

1490,1

38

Волгоградская область

2609

69,4

10866,4

265

1296,8

39

Ростовская область

4255

80

12160,5

256,1

1100,2

Шаг 1

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,796435939

R-квадрат

0,634310205

Нормированный R-квадрат

0,591287876

Стандартная ошибка

176,8575146

Наблюдения

39

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

4

1844653,538

461163,3845

14,74374404

4,40742E-07

Остаток

34

1063471,736

31278,58048

 

Итого

38

2908125,274

 

 

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

581,3210031

196,6962844

2,955424425

0,005637418

Переменная X 1

-0,035268095

0,018433848

-1,913224813

0,064170699

Переменная X 2

0,481742142

2,903126362

0,165939088

0,869187718

Переменная X 3

0,046016513

0,009465295

4,861603493

2,59455E-05

Переменная X 4

0,80898839

0,341120441

2,371562333

0,023518416

Исходя из полученных данных, а именно:

Множественный R близок к 1 (0.796),

F больше Fкр (14,74>2.87) -мы можем сделать вывод о значимости нашего уравнения регрессии.

Далее, используя распределение Стьюдента, находим критическую точку, которая определяет какие из переменных Х нам необходимо отсеять. В нашем случае t-статистика должна по модулю быть больше 2,03. Отсеиваем переменные Х1 и Х2 и для повышения точности анализа повторяем расчет.

Шаг 2

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R

0,771318015

R-квадрат

0,59493148

Нормированный R-квадрат

0,572427673

Стандартная ошибка

180,8920797

Наблюдения

39

Дисперсионный анализ

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

2

1730135,272

865067,6361

26,43692633

8,62011E-08

Остаток

36

1177990,002

32721,9445

 

 

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Y-пересечение

670,6745952

103,9132726

6,454176432

1,72536E-07

Переменная X 3

0,032798818

0,005519879

5,941945079

8,30834E-07

Переменная X 4

0,936914637

0,342066894

2,738980751

0,009523646

Множественный R близок к 1 (0.77),

F больше Fкр (26,44>4,1) -уравнение регрессии значимое.

t-статистика должна по модулю быть больше 2,028, значит теперь все оставшиеся переменные Х нам подходят, так как по модулю их t-статистики больше нашего значения.

Будем учитывать в регрессионном анализе только значимые коэффициенты, .

Тогда уравнение множественной регрессии примет вид:

Вывод

Мы выяснили, что количество населения и количество организаций, использующих интернет, не влияют на количество абонентских терминалов сотовой связи в регионах РФ. Наибольшее же влияние, что логично, оказывают денежные доходы населения.

Список использованной литературы

1. Э.Леман «Проверка статистических гипотез», Москва, 1979

2. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике», Москва, «Высшая школа», 2001

3. Н.И. Чернова «Математическая статистика, пособие», Новосибирск, 2007

4. Г.И. Ивченко, Ю. И. Медведев «Математическая статистика», Москва «Высшая школа», 1984

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Выборки к генеральной совокупности: оценка параметра и построение доверительных интервалов. Интервальный статистический ряд. Оценивание параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Гипотеза о нормальном распределении случайной величины.

    контрольная работа [391,1 K], добавлен 23.06.2012

  • Обработка и анализ статистической информации. Выборочная теория; интервальные оценки и графическое представление параметров распределения. Точечные оценки характеристик положения и мер изменчивости. Корреляционная зависимость; уравнение регрессии.

    курсовая работа [1023,9 K], добавлен 21.03.2015

  • Показатели тесноты связи. Смысл коэффициентов регрессии и эластичности. Выявление наличия или отсутствия корреляционной связи между изучаемыми признаками. Расчет цепных абсолютных приростов, темпов роста абсолютного числа зарегистрированных преступлений.

    контрольная работа [1,5 M], добавлен 02.02.2014

  • Первичный анализ и основные характеристики статистических данных. Точечные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и для среднего квадратического отклонения. Проверка статистических гипотез.

    дипломная работа [850,9 K], добавлен 18.01.2016

  • Цель и задачи статистического анализа. Методы получения оценок: максимального правдоподобия, моментов. Доверительный интервал. Точечная оценка параметров распределения. Генеральная и выборочная дисперсии. Интервальное оценивание математического ожидания.

    презентация [395,9 K], добавлен 19.07.2015

  • Функциональные и стохастические связи. Статистические методы моделирования связи. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа. Проверка адекватности регрессионной модели.

    курсовая работа [214,6 K], добавлен 04.09.2007

  • Оценивание параметров закона распределения случайной величины. Точечная и интервальная оценки параметров распределения. Проверка статистической гипотезы о виде закона распределения, нахождение параметров системы. График оценки плотности вероятности.

    курсовая работа [570,4 K], добавлен 28.09.2014

  • Математическая статистика как наука о математических методах систематизации статистических данных, ее показатели. Составление интегральных статистических распределений выборочной совокупности, построение гистограмм. Вычисление точечных оценок параметров.

    курсовая работа [241,3 K], добавлен 10.04.2011

  • Числовые характеристики непрерывных величин. Точечные оценки параметров распределения. Статистическая проверка гипотез. Сравнение средних известной и неизвестной точности измерений. Критерий Хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения.

    курсовая работа [79,0 K], добавлен 23.01.2012

  • Вероятностная модель и аксиоматика А.Н. Колмогорова. Случайные величины и векторы, классическая предельная проблема теории вероятностей. Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки числовых характеристик. Статистическая проверка гипотез.

    методичка [433,3 K], добавлен 02.03.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.