Точечные оценки параметров статистических распределений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Уральский государственный университет путей сообщения

Кафедра: «Высшая математика»

Дисциплина: «Теория вероятностей и математическая статистика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Точечные оценки параметров статистических распределений»

Выполнил: Студент группы М-218

Нестеров С. Ю.

Проверил:

Медведева Н.В.

Екатеринбург

2010

Содержание

1. Теоретическая часть

2. Постановка задачи

3. Практическая часть

3.1 Составление интегральных статистических распределений выборочной совокупности, построение гистограммы

3.2 Вычисление точечных оценок параметров

3.3 Выдвижение гипотезы о виде распределения генеральной совокупности

3.4 Проверка статистической гипотезы о виде распределения

3.5 Формулировка вывода о результатах исследования статистического распределения

3.6 Интервальные оценки параметров распределения по данным шести выборок

4. Систематизация результатов вычислений

Вывод

Список использованной литературы

1. Теоретическая часть

Математическая статистика -- наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например: оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Совокупность всех изучаемых объектов называется генеральной совокупностью.

Выборочной совокупностью (выборкой) -- называется совокупность объектов, выбранных из генеральной совокупности случайным образом. Число объектов (наблюдений) генеральной совокупности или выборки называется объемом выборки. Обозначается n.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть она должна сохранять основные черты генеральной совокупности, а не искажать их. Условием представительности является то, что каждый объект выборки выбирается случайным образом независимо от предыдущих.

Точечные оценки параметров статистических распределений.

Точечной называют оценку параметра, которая определяется одним числом.

Генеральной средней называется среднее взвешенное всех значений генеральной совокупности, определяется по формуле:

где к- количество интервалов статических распределений

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

где к- количество интервалов статических распределений

Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии:

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

Для исправления выборочной дисперсии достаточно умножить ее на дробь

получим исправленную дисперсию S². Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой.

Коэффициент асимметрии Аs* статического распределения равен

где m3-центральный момент 3-го порядка.

Эксцесс Ех* статического распределения равен

где m4-центральный момент 4-го порядка.

Интервальные оценки параметров распределения

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами--концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Q* служит оценкой неизвестного параметра Q. Будем считать Q постоянным числом (Q может быть и случайной величиной). Ясно, что Q* тем точнее определяет параметр Q, чем меньше абсолютная величина разности |Q- Q*|. Другими словами, если d>0 и |Q- Q*| <d , то чем меньше d , тем оценка точнее.d-наибольшее отклонение точечной оценки Q от истинного значения .

Таким образом, положительное число d характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Q* удовлетворяет неравенству |Q- Q*| <d; можно лишь говорить о вероятности g, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство |Q--Q* | <d .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве g берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,9; 0,95 и 0,999.

Пусть вероятность того, что, |Q- Q*| <d равна g:

P(|Q- Q*| <d)= g.

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством получим:

Р [Q* --d< Q < Q* +d] = g

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал Q* - d< Q < Q* +d заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Q, равна g.

Интервал (Q* - d Q* +d) называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный параметр с надежностью g.

Интервальные оценки параметров нормального распределения

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при известном s.

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения -s. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью g. Выборочную среднюю будем рассматривать как случайную величину ( она изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака- как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением s. Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами

.

Потребуем, чтобы выполнялось равенство

Заменив Х и s, получим

получим

Доверительный интервал для оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения

Требуется оценить неизвестную генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленной дисперсии, т.е. найти доверительные интервалы, покрывающие параметры D и s с заданной надежностью g.

Потребуем выполнения соотношения

.

Раскроем модуль и получим двойное неравенство:

.

Преобразуем:

.

Обозначим d/s = q (величина q находится по "Таблице значений q"и зависит от надежности и объема выборки), тогда доверительный интервал для оценки генерального среднего квадратического отклонения имеет вид:

.

Замечание : Так как s >0, то если q >1 , левая граница интервала равна 0:

0< s < s ( 1 + q ).

статистика математический интегральный гистограмма

2. Постановка задачи

В течение определенного промежутка времени фиксировались количественные изменения существенного признака Х некоторого объекта. В результате наблюдений была получена генеральная совокупность в объеме 200 показаний. Необходимо найти точечные и интервальные оценки параметров распределения признака Х при уровнях доверительной вероятности ? = 0,9; 0,95; 0,99.

Алгоритм решения

1. Составить интервальные статистические распределения выборочной совокупности, построить гистограмму.

2. Вычислить точечные оценки параметров.

3. Анализируя пункты 1 и 2, выдвинуть гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.

4. Проверить статистическую гипотезу о виде распределения.

5. Сформулировать вывод о результатах исследования статистического распределения.

6. Для нормально распределенной выборочной совокупности сформировать методом случайного отбора 5 выборочных совокупностей объемом по 20 данных и одну объемом 100 данных, найти интервальные оценки параметров распределения по данным шести выборок.

7. Систематизировать результаты вычислений и сформулировать вывод об интервальных оценках генеральной совокупности по данным выборок различного объема и различных уровнях доверительной вероятности.



8,41	3,27	9,68	8,92	8,12	5,15	12,34	4,02	4,77	6,67
4,25	5,29	4,4	6,31	3,27	5,22	4,95	3,71	4,48	6,94
7,62	2,04	5,05	2,4	7,42	5,3	5,96	8,49	2,61	8,45
6,55	5,87	3,31	4,85	2,47	6,41	7,85	5,99	3,28	5,27
5,1	6,54	4,14	6,8	6,42	5,29	2,8	7,58	4,75	6,71
3,58	8,48	4,38	5,05	5,48	6,4	5,1	6,84	2,83	6,3
2,85	3,16	4,59	3,93	7,71	4	4,09	4,07	6,01	7,21
5,51	6,54	4,55	4,49	7,02	5,89	5,98	6,82	4,68	8,15
2,78	6,73	2,81	6,91	4,5	6,31	9,28	5,62	5,6	4,99
8,13	6,25	5,91	6,49	7,75	3,12	7,52	4,07	2,9	6,95
4,49	6,78	3,74	6,67	6,64	3,19	7,58	2,56	5,92	3,15
4,22	7,45	3,73	7,53	6,99	5,5	6,67	8,91	6,55	6,68
5,58	10,82	6,78	3,94	8,11	0,2	7,82	7,63	4,32	8,29
9,23	6,53	11,28	5,66	3,62	4,91	4,48	10,36	11,57	4,87
6,03	5,54	4,78	5,11	3,2	4,88	4,14	6,06	11,88	6,31
5,77	1,54	8,16	2,95	5,23	7,43	6,38	7,07	5,42	4,16
0,66	7,83	5,15	4,1	5,07	4,79	8,03	2,57	6,2	5,78
8,04	2,14	4,5	6,98	7,62	6	5,61	3,2	6,34	6,85
4,97	6,32	10,83	7,59	6,33	5,3	6,93	8,45	4,2	4,16
3,55	8,17	7,07	6,24	4,22	3,96	9,53	9,01	4,39	9,17

3. Практическая часть

3.1 Составление интегральных статистических распределений

выборочной совокупности, построение гистограммы

Находим максимальное и минимальное значения генеральной совокупности и округляем их в большую и меньшую сторону соответственно.

наим.	0,2	наим	0
наиб.	12,34	наиб	13

Принимаем: k=10; h=3,1

разряды		mi
0	1,3	2
1,3	2,6	7
2,6	3,9	24
3,9	5,2	49
5,2	6,5	45
6,5	7,8	41
7,8	9,1	20
9,1	10,4	6
10,4	11,7	4
11,7	13	2
13		200

Частота на некоторых интервалах меньше 5,поэтому объединяем интервалы, чтобы увеличить на них частоту, так как для проверки гипотезы мы будем использовать критерий Пирсона.

Составляем таблицу для нахождения точечных оценок параметров генеральной совокупности и строим гистограмму.



разряды		mi	pi	bi	xi	xi*pi	xi^2*pi	xi^3*pi	xi^4*pi
0	2,6	9	0,045	0,017308	1,3	0,0585	0,07605	0,098865	0,005784
2,6	3,9	24	0,12	0,092308	3,25	0,39	1,2675	4,119375	1,606556
3,9	5,2	49	0,245	0,188462	4,55	1,11475	5,072113	23,07811	25,72633
5,2	6,5	45	0,225	0,173077	5,85	1,31625	7,700063	45,04537	59,29096
6,5	7,8	41	0,205	0,157692	7,15	1,46575	10,48011	74,9328	109,8328
7,8	9,1	20	0,1	0,076923	8,45	0,845	7,14025	60,33511	50,98317
9,1	10,4	6	0,03	0,023077	9,75	0,2925	2,851875	27,80578	8,133191
10,4	13	6	0,03	0,011538	11,7	0,351	4,1067	48,04839	16,86498
		200

3.2 Вычисление точечных оценок параметров

Вычисляем начальные моменты

альфа1	2	3	4
5,83375	38,69466	283,4638	272,4437315

Вычисляем центральные моменты

M3	3,33466
M4	963,491

x	5,83375
D^2	4,662023
D	2,159172
V%	0,370117
As	0,331276
Ex	-0,96038

x_ - Выборочное среднее

D^2 - Выборочная дисперсия

D - Выборочное среднее квадратичное отклонение

V - Коэффициент вариации

As - коэффициент асимметрии

Ex - эксцесс

Считаем по следующим формулам:

?1=xi*pi ? 2=xi^2*pi ?3=xi^3*pi ? 4=xi^4*pi

M3= ?3-3* ?1* ?2+2* ?1^3 M4= ?4-4* ?1* ?3+6* ?2* ?1^2-3* ?1^4

x_= ?1 As=M3/D^3

D^2= ?2- ?1*2 Ex=M4/D^4-3

D=D^2 V%=D/x_

В данном случае As=0,331276- больше нуля, значит пологая часть полигона распределения справой стороны, Ex=-0,96038- больше нуля, значит полигон распределения имеет острую вершину.

3.3 Выдвижение гипотезы о виде распределения генеральной

совокупности

Так как Аs=0, Ех=0, V?0,3 (V=0,03107) и анализируя вид гистограммы, мы можем выдвинуть гипотезу о нормальном распределении.

D	M
2,159172	5,83375

3.4 Проверка статической гипотезы о виде распределения

Используем критерий проверки гипотез - критерий Пирсона. Возьмем уровень значимости 0,01.

xi	mi	xi-x	Zi	фи(zi)	yi	pi	n*pi	mi-n*pi	(mi-n*pi)^2/n*pi
1,3	9	-4,53375	-2,09976	0,044005	0,020381	0,05299	10,59797	-1,59797	0,240943275
3,25	24	-2,58375	-1,19664	0,19497	0,090298	0,117388	23,47757	0,52243	0,011625266
4,55	49	-1,28375	-0,59456	0,33431	0,154832	0,201282	40,25642	8,743579	1,899080273
5,85	45	0,01625	0,007526	0,398931	0,184761	0,240189	48,03789	-3,03789	0,192114031
7,15	41	1,31625	0,609609	0,331294	0,153436	0,199466	39,89324	1,106758	0,030704797
8,45	20	2,61625	1,211691	0,191468	0,088676	0,115279	23,05587	-3,05587	0,405030538
9,75	6	3,91625	1,813774	0,077009	0,035666	0,046366	9,273215	-3,27322	1,15536398
11,7	6	5,86625	2,716898	0,009955	0,00461	0,011987	2,397432	3,602568	5,413501186
								хи^2	9,348363347
								хи^2кр	15,08627247

5. Формулировка вывода о результатах исследования статистического

распределения

Получаем что критерий согласия попадает в область принятия гипотезы хи^2< хи^2кр (9,35<15,086) - гипотеза о нормальном распределении верна. Таким образом, данная выборочная совокупность имеет нормальный закон распределения с параметрами m=5,83 и D=2,16.

3.6 Интервальные оценки параметров распределения по данным шести

выборок

Для нормально распределенной выборочной совокупности сформируем методом случайного отбора 5 выборочных совокупностей объемом по 20 данных и одну объемом 100 данных. Найдем интервальные оценки параметров распределения по данным шести выборок.

Сформируем 5 выборочных совокупностей объемом 20 данных и одну объемом 100 данных, используя подпрограмму «Выборка» из пакета «Анализ данных».

1		2		3		4		5
8,41		12,34		3,27		6,3		4,02
3,93		5,05		5,77		4,99		9,68
8,45		2,8		6,99		4,87		7,42
8,29		7,71		11,88		6,95		5,48
6,06		6,91		3,2		6,85		9,28
6,71		6,54		6,67		3,15		7,43
4,09		4,22		3,12		6,68		6,49
3,73		4,38		5,11		2,61		2,95
4,78		5,1		8,16		5,15		6,33
7,82		7,62		5,54		8,12		3,96
3,94		8,92		4,91		2,47		9,01
6,03		6,41		0,2		6,8		4,39
2,14		5,99		5,89		4,55		4,14
5,78		4,087		4,95		6,25		3,71
4,48		7,85		4,77		10,82		6,4
5,07		4,4		6,94		1,54		4,5
3,55		0,66		5,27		8,17		5,91
8,15		4,79		7,21		6,67		6,53
6,55		6,38		6,31		4,07		4,5
5,61		2,57		4,16		3,2		4,88
6
8,49	3,28	2,83	6,01	2,9
4,32	6,2	4,2	6,34	5,42
4,72	5,6	5,92	11,57	4,16
9,17	2,56	7,63	6,84	7,52
4,5	2,85	8,04	6,42	10,36
7,75	5,51	3,55	7,62	6,82
6,64	5,1	7,07	7,58	9,53
6,99	4,25	4,22	6,93	5,5
8,11	3,58	4,59	5,22	7,02
3,62	2,4	11,28	8,45	7,45
5,23	5,05	8,16	6,31	7,07
7,59	4,59	1,54	10,83	5,98
6,98	2,81	7,83	5,96	4,48
2,95	5,91	3,55	5,62	5,3
0,66	8,17	9,68	8,03	3,19
6,31	8,41	4,38	6	6,24
6,78	9,68	6,54	3,27	5,1
3,74	3,93	3,16	7,75	8,91
3,73	7,71	6,78	9,23	5,3
4,59	7,02	6,25	6,03	4

Для нахождения значений нижней б1* и верхней б2* границ среднего квадратического отклонения, а также нижней m1* и верхней m2* границ математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности необходимо найти точечные оценки параметров выборок 1,2,3,4,5,6: выборочные дисперсии D, выборочные средние xi_, «исправленные» выборочные дисперсии Sa^2 и «исправленные» стандартные ошибки Sa.

Также необходимо вычислить квантили уровней доверительной вероятностей x1, x2, t,y,r, U, при значениях доверительной вероятности 0,9 0,95 0,99.

Результаты вычислений для выборок 1,2,3,4,5,6 представлены ниже.

Выборка 1

Макс	8,45	максч	9	к	5
Мин	0,77	мин	0	h	1,8
разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
0	1,8	1	0,05	0,9	0,045	1,13765
1,8	3,6	1	0,05	2,7	0,135	0,44105
3,6	5,4	7	0,35	4,5	1,575	0,47912
5,4	7,2	6	0,3	6,3	1,89	0,11907
7,2	9	5	0,25	8,1	2,025	1,47623
9	сумма	20	1		5,67	3,6531

sa^2	3,84537
sa	1,96096
	дов.вер.	0,9	0,95	0,99
	t,y,r	1,72913	2,09302	2,86093
	x1	30,1435	32,8523	38,5823
	x2	10,117	8,90652	6,84397
	m1*	4,89	4,73	4,38
	m2*	6,45	6,61	6,96
	б1*	1,60	1,53	1,41
	б2*	2,76	2,94	3,35
		длины
	m	1,56	1,88	2,57
	б	1,16	1,41	1,94

Выборка 2

макс	12,34	13	k	5			Sa^2	6,6888
Мин	0,66	0	h	2,6			Sa	2,5863
разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
0	2,6	2	0,1	1,3	0,13	1,7306
2,6	5,2	8	0,4	3,9	1,56	0,9734
5,2	7,8	7	0,35	6,5	2,275	0,3786
7,8	10,4	2	0,1	9,1	0,91	1,325
10,4	13	1	0,05	11,7	0,585	1,9469
	сумма		1		5,46	6,3544
дов.вер.	0,9	0,95	0,99
t,y,r	1,72913	2,09302	2,86093
x1	30,1435	32,8523	38,5823
x2	10,117	8,90652	6,84397
m1*	4,43	4,22	3,76
m2*	6,49	6,70	7,16
б1*	2,11	2,02	1,86
б2*	3,64	3,88	4,42
	длины
M	2,05	2,48	3,39
Б	1,53	1,86	2,56

Выборка3

макс	11,88	12	k	5			Sa^2	4,4109
Мин	0,20	0	h	2,4			Sa	2,1002
разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
0	2,4	1	0,05	1,2	0,06	0,986
2,4	4,8	5	0,25	3,6	0,9	1,04
4,8	7,2	11	0,55	6	3,3	0,071
7,2	9,6	2	0,1	8,4	0,84	0,762
9,6	12	1	0,05	10,8	0,54	1,331
	сумма		1		5,64	4,19

дов.вер.	0,9	0,95	0,99
t,y,r	1,7291	2,093	2,861
x1	30,144	32,852	38,58
x2	10,117	8,9065	6,844
m1*	4,81	4,63	4,26
m2*	6,47	6,65	7,02
б1*	1,71	1,64	1,51
б2*	2,95	3,15	3,59
	длины
M	1,67	2,02	2,76
Б	1,24	1,51	2,08

Выборка 4

макс	10,82	11	k	5			Sa^2	4,38
Мин	1,54	1	h	2			Sa	2,09
разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
1	3	3	0,15	2	0,3	1,536
3	5	6	0,3	4	1,2	0,432
5	7	8	0,4	6	2,4	0,256
7	9	2	0,1	8	0,8	0,784
9	11	1	0,05	10	0,5	1,152
	сумма		1		5,2	4,16

дов.вер.	0,9	0,95	0,99
t,y,r	1,7291	2,093	2,8609
x1	30,144	32,852	38,582
x2	10,117	8,9065	6,844
m1*	4,37	4,20	3,83
m2*	6,03	6,20	6,57
б1*	1,70	1,63	1,51
б2*	2,94	3,14	3,58
	длины
M	1,66	2,01	2,75
Б	1,24	1,50	2,07

Выборка 5

макс	9,68	10	k	5			Sa^2	3,4762
Мин	2,95	2	h	1,6			Sa	1,8645
разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
2	3,6	1	0,05	2,8	0,14	0,4621
3,6	5,2	8	0,4	4,4	1,76	0,8294
5,2	6,8	6	0,3	6	1,8	0,0077
6,8	8,4	2	0,1	7,6	0,76	0,3098
8,4	10	3	0,15	9,2	1,38	1,6934
	сумма		1		5,84	3,3024

дов.вер.	0,9	0,95	0,99
t,y,r	1,72913	2,093	2,8609
x1	30,1435	32,852	38,582
x2	10,117	8,9065	6,844
m1*	5,10	4,94	4,62
m2*	6,58	6,74	7,06
б1*	1,52	1,45	1,34
б2*	2,62	2,79	3,19
	длины
M	1,48	1,79	2,45
Б	1,10	1,34	1,84

Выборка 6

макс	11,57	12,00	k	8				Sa^2	4,823
мин	1,54	1,00	h	1,375				Sa	2,196
	разряды		mi	pi	xi	xi*pi	D
	1,00	2,38	2	0,02	1,69	0,03	0,37
	2,38	3,76	17	0,17	3,07	0,52	1,44
	3,75	5,13	17	0,17	4,44	0,75	0,4
	5,13	6,51	23	0,23	5,82	1,34	0,01
	6,50	7,88	23	0,23	7,19	1,65	0,34
	7,88	9,26	11	0,11	8,57	0,94	0,74
	9,25	10,63	4	0,04	9,94	0,4	0,63
	10,63	12,01	3	0,03	11,3	0,34	0,85
		сумма	100			5,98	4,77

дов.вер.	0,9	0,95	0,99
t,y,r	1,6604	1,9842	2,626
x1	123,23	128,42	139
x2	77,046	73,361	66,51
m1*	5,61	5,54	5,40
m2*	6,35	6,42	6,56
б1*	1,98	1,94	1,86
б2*	2,50	2,56	2,69
	длины
M	0,73	0,88	1,16
Б	0,52	0,63	0,83

4. Систематизация результатов вычислений

Сформулируем вывод об интервальных оценках генеральной совокупности по данным выборок различного объема и различных уровнях доверительной вероятности.

Составим таблицы о зависимости длины интервала от доверительной вероятности и по данным таблиц строим графики для среднего квадратического отклонения и математического ожидания.

Выводы по интервальным оценкам

Для удобства оценки результатов вычислений интервальных оценок по шести выборкам сведём их в одну таблицу.

1	2	3	4	5	6
Выборка	?	m1	m2	?1	?2
1	0,9	4,89	6,45	1,6	2,76
	0,95	4,73	6,61	1,53	2,94
	0,99	4,38	6,96	1,41	3,35
2	0,9	4,43	6,49	2,11	3,64
	0,95	4,22	6,7	2,02	3,38
	0,99	3,76	7,16	1,86	4,42
3	0,9	4,81	6,47	1,71	2,95
	0,95	4,63	6,65	1,64	3,15
	0,99	4,26	7,02	1,51	3,59

1	2	3	4	5	6
4	0,9	4,37	6,03	1,7	2,94
	0,95	4,2	6,2	1,63	3,14
	0,99	3,83	6,57	1,51	3,58
5	0,9	5,1	6,58	1,52	2,62
	0,95	4,94	6,74	1,45	2,79
	0,99	4,62	7,06	1,34	3,19
6	0,9	5,61	6,35	1,98	2,5
	0,95	5,54	6,42	1,94	2,56
	0,99	5,4	6,56	1,86	2,69

Видно, что с увеличением доверительной вероятности увеличивается интервал каждого из параметров в каждой выборке, то есть увеличивается вероятность того, что интервальная оценка накроет значение исследуемого параметра. Наглядно это представленона рисунках 3 и 4.

Рисунок 3 - Зависимость величины интервальных оценок параметра от значения доверительной вероятности для первой выборки.

Рисунок 4 - Зависимость величины интервальных оценок параметра от значения доверительной вероятности для первой выборки.

Для шестой выборки размер интервала меньше, однако относительное увеличение интервала с увеличением доверительной вероятности проходитаналогично. Это наглядно представлено на рисунках 5 и 6.



Рисунок 5 - Зависимость величины интервалов параметров и от значения доверительной вероятности для второй выборки.

Рисунок 6 - Зависимость величины интервала параметров и от значения доверительной вероятности для шестой выборки выборки.

Библиографический список

1. Куликова О.В., Тимофеева Г.А., Чуев Н.П. Исследование выборочных совокупностей с применением программы Excel. Метод, рекомендации. - Екатеринбург. 2003. - 74 с.

2. Куликова О.В., Тимофеева Г.А. Анализ статистических закономерностей с применением электронных таблиц Excel. - Екатеринбург. 2009. - 84 с.

Размещено на Allbest.ru