Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например: оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Совокупность всех изучаемых объектов называется генеральной совокупностью.

Выборочной совокупностью (выборкой) - называется совокупность объектов, выбранных из генеральной совокупности случайным образом. Число объектов (наблюдений) генеральной совокупности или выборки называется объемом выборки. Обозначается n.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть она должна сохранять основные черты генеральной совокупности, а не искажать их. Условием представительности является то, что каждый объект выборки выбирается случайным образом независимо от предыдущих.

Точечные оценки параметров статистических распределений

где к - количество интервалов статических распределений

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами-концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Мода и медиана

Мода Мо для дискретного ряда - это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту).

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где _- нижняя граница модального интервала,

- величина модального интервала,

- частота модального интервала,

- частота интервала, предшествующего модальному,

_- частота интервала, следующего за модальным.

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,

где х_Ме - нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

f_Ме - частота медианного интервала,

S_Mе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Постановка задачи

Таблица 1.

В результате собственно-случайного бесповторного отбора элементов из общей совокупности получены следующие данные о величине признака в регионе (где номер по списку в журнале преподавателя).

Все интервалы в таблице равной длины, т.е. a_i+1=a_i+h, величина h=2,5; a₀=5+n

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения величины признака по данным выборки.

Вычислить: среднюю величину признака , медиану, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, ассиметрию, эксцесс.

Найти:

Для построения гистограммы и эмпирической функции распределения признака составим расчетную таблицу 2.

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем - среднюю всего ряда.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Для вычисления средних характеристик выборочной совокупности составим таблицу 2.

Таблица 4

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово "дисперсия" означает "рассеивание".

Выборочную среднюю и выборочную дисперсию вычислим по формулам:

{2}

{3}

Дисперсия D=- (х) ²=410,2475- (19,905) ²=14,038 {4}

Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

{5}

Тогда среднее квадратическое отклонение

Вычисление моды

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем - значение модальной величины признака по формуле:

{6}

где:

§ - значение моды

§ - нижняя граница модального интервала

§ - величина интервала

§ - частота модального интервала

§ - частота интервала, предшествующего модальному

§ - частота интервала, следующего за модальным

В данной задаче модальный интервал находится в пределах интервала 18,5-21, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (272).

Рассчитаем величину моды:

Вычисление медианы

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части, для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот

{7}

а затем, определяют, какое значение варианта приходится на нее. Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

{8}

В случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда.

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем - значение медианы по формуле:

{9}

где:

§ - искомая медиана

§ - нижняя граница интервала, который содержит медиану

§ - величина интервала

§ - сумма частот или число членов ряда

_§ - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

§ - частота медианного интервала

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в интервале 18,5-21, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части . Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Вычисление асимметрии

Симметричные распределения характеризуются следующим свойством: частоты любых двух вариант, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя (), мода (Мо) и медиана (Ме) также равны.

Таким образом, простейший показатель ассиметрии определяется соотношением этих величин: чем больше по модулю разность или , тем больше асимметрия распределения. При правосторонней ассиметрии имеем: , при левосторонней асимметрии, соответственно _, для нормального распределения характерно свойство симметричности

Для сравнительного анализа асимметрии распределений вычисляется относительный показатель вида: или, характеризующий направление и степень асимметрии (при K>0 - правосторонняя, при K<0 - левосторонняя)

т.к. 19,34<19.7<19.905 - правосторонняя асимметрия.

K_AS = (19,905-19,34) /3,75= 0,15 0,15>0 - правосторонняя асимметрия.

Наиболее применяемым показателем асимметрии распространения является коэффициент асимметрии

, {10}

где

где М _{3 -} центральный момент третьего порядка

Вычисление эксцесса

Показатель эксцесса распределения (Eх) определяется по формуле

, {11}

где

- центральный момент четвертого порядка

{12}

Эксцесс указывает на островершинность (плосковершинность) распределения по отношению к кривой нормального распределения: для нормального распределения Eх=0; если Eх >0, то распределение является более островершинным, чем кривая нормального распределения; если Eх<0, то менее островершинным, чем нормальное распределение, или плосковершинным.

Проверка гипотезы о нормальном распределении