Разбиение натурального ряда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Отдел образования администрации Центрального района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция математика

Новосибирск 2008г.

§1. Основные понятия и определения

§2. Две последовательности. Их свойства

§3. Упражнения

§4. Геометрическая интерпретация

§5. Некоторые приложения (Палиндромы)

Первый параграф посвящен понятиям и определениям, которые пригодятся нам в работе.

Во втором параграфе идет речь о построении двух последовательностей и о гипотезе Акулича.

В третьем параграфе приведены упражнения.

Четвертый параграф посвящен геометрической интерпретации построения последовательностей.

В пятом параграфе приведены некоторые приложения.

§1 Основные понятия и определения

Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.

Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" -- целый).

Если x принадлежит промежутку

[r; r +1),

где r -- целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).

Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x - [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.

Примеры

Свойство целой части

[x+n] = [x]+n

где n - натуральное число

Рациональные и иррациональные числа и их свойства

Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби

где m - целое число, а n - натуральное.

Определение 4. Если число не представимо в виде , то такое число называется иррациональным.

Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примеры

0,5=-рациональное число

0,(3)= - рациональное число

1,0123456789101112…-иррациональное число

- иррациональное число

Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами

1. Если - рациональные числа, то , , , , - рациональные числа.

Дано: Доказательство

; - рациональное

2. Если r-рациональное число, -иррациональное число, то

- иррациональные числа.

но - противоречие

3. Если ,то про ничего определенного нельзя сказать.

§2 Две последовательности. Их свойства

Рассмотрим один из способов разбиения натурального ряда на две возрастающие непересекающиеся последовательности

и

которые при любом натуральном n удовлетворяют условию .

Двигаясь по натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеих последовательностей.

Поскольку все , то наименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться .

и так далее. Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая его равным , затем, находя по формуле

можем строить последовательности.

В 1877 году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами”. Т.е.

и

заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если

0<x<1 и xQ

И.Ф. Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел к количеству b-чисел стремится к «золотому сечению»

(где a-числа - числа, принадлежащие последовательности , b-числа- числа, принадлежащие последовательности ).

[(1+)n/2]

=[(1+)n/2]+n=[(3+)n/2]

;

Рассмотрим натуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел среди первых N натуральных чисел, если последовательности заданы формулами:

;

Неравенства равносильно, по определению целой части, неравенству <N+1, т.е. неравенству n<(N+1)/. Значит, a-чисел среди первых N натуральных чисел имеется ровно [(N+1)/]. Аналогично, b-чисел

[(N+1)/]

Тогда отношение количества a - чисел к количеству b- чисел равно

Устремим N к бесконечности, получим

Гипотеза оказалась верна, при условии что обе последовательности и заданы явными формулами

[(1+)n/2]

=[(3+)n/2]

Но Акулич не первый догадался представить последовательности и в виде [] и [].

Эти же явные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2/(1+), поскольку при этом величина 1-x равна как раз 2/(3+), т.е.

Возникает вопрос об единственности разбиения множества N на две последовательности.

В статье Баабабова [2] доказывается теорема, обобщающая этот результат и утверждает, что таких разбиений натурального ряда существует бесконечно много. Приведем данную теорему и ее подробное доказательство.

Если и - положительные иррациональные числа, связанные соотношением , то среди чисел вида [] и [] , где n , каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Доказательство:

Поскольку > 1, в последовательности никакое число не повторяется. Аналогично вследствие неравенства >1 строго возрастает и последовательность

Действительно, пусть [] - k

Следовательно,

Предположим, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k = , где m,n - натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства

k<< k + 1, k<<k + 1,

т.е.

сложим эти неравенства, не забывая про условие

откуда k<m+n<k+1

Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности.

Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства

m < k <k+1< (m+1)

n < k <k+1< (n+1)

откуда m+n<k и k+1<m+n+2 m+n<k и m+n>k-1

Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана.

В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа.

.Найти .

1 … 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50

Используя эту формулу, можно найти любое a.

Упражнение 2.

Вычислить

Упражнение 3

Используя формулы

и

постройте последовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий

, , …

…, , …

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Где

Найти явные формулы для возрастающих последовательностей и , заполняющих натуральный ряд без пропусков и перекрытий и удовлетворяющих соотношению при всех n= 1,2,3…

Итак, явные формулы для последовательностей доказаны.

§4. Геометрическая интерпретация

Удивительно простое и наглядное доказательство теоремы из § 1 получаем, если рассмотрим геометрическую интерпретацию.

Пусть, как и ранее, ? и ? - положительные иррациональные числа.

Причем . Тогда , откуда .

Нарисуем на листе бумаги, как на координатной плоскости прямую l, заданную уравнением у=(?-1)x, которое можно записать так же в виде x=(?-1)y.

Занумеруем подряд все клетки, которые пересекают l, начиная с нулевой клетки, которой принадлежит начало координат (для … взято

?=)

Если мы обозначим числа, стоящие над линией за a- числа, а под линией за b - числа то получатся две последовательности, о которых мы говорили в §1.

Поскольку число ? иррационально, прямая l не проходит через узлы сетки. Значит, l входит в очередную клетку либо слева, пересекая вертикальную линию сетки, либо снизу, пересекая горизонтальную линию.

Если l вошла в клетку слева и пересекла при этом вертикаль х=n, то номер клетки, в которую при этом вошла прямая равен n+[( ?-1)n]=[ ?n].

Если же прямая l пересекла снизу горизонталь y=m, то номер соответствующей клетки равен [(?-1)m]+m=[?m].

§5. Некоторые приложения. Палиндромы

Обозначим натуральные числа принадлежащие последовательности a буквой А, а принадлежащие последовательности - буквой В.построим последовательность.

АВААВАВААВААВАВААВАВААВААВАВААВААВАВААВАВААВАВАВА…

Определение: Палиндромы (перевертыш) - это слово, которое выглядит одинаково при чтении слова как слева направо, так и справа налево.

Примеры:

Шалаш, ротор или АВВАВАВВА.

Рассмотрим задачу, связанную с палиндромами (аналогичную задачу решал в своей статье Акулич)

Чтобы решать такие задачи в общем виде, введем функцию f(n).Через нее обозначим такое наименьшее натуральное число, что всякое слово длиной n, составленное из букв А и В может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов.

Упражнение 1

Придумайте слово из букв А и В которое нельзя разбить менее чем на 3 палиндрома, но которое после приписывания к нему справа или слева любой из букв А и В можно разбить на два палиндрома.

АВААВВ+А

Оказалось, что задачи можно решить в общем виде. Введем функцию f(n).

Через f(n) обозначим такое наименьшее число, что всякое слово длиной n, состоящее из букв А и В, может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов.

Найдем f(6). Всего шестибуквенных словно поскольку буквы А и В равноправны достаточно рассмотреть только слова начинающиеся на букву А

Восклицательными знаками отмечены слова, которые нельзя разбить менее чем на три палиндрома. Ясно, что всякое шестибуквенное слово можно разбить не более чем на три палиндрома. Ниже приведем 10 значений функции f

n/f(n) - это средняя длина палиндромов, на которые разбито самое трудно разбиваемое n- буквенное слово.

Упражнение 2

Для каждого n- 1,2,3,…10 укажите слово длиной n из букв А и В, которое нельзя разбить менее чем на f(n) палиндромов.

n=1 А

n=2 ВВ

n=3 АВВ

n=4 ААВВ

n=5 АВАВВ

n=6 АВААВВ

n=7 ВАВААВВ

n=8 ВВААВВАА

n=9 АВАВАВААВ

n=10 АВАВАВАВВВ

В статье А. Баабабоваприведена теорема:

При любом натуральном n имеем f(3n)=n+1, f(3n+1)=n+1, f(6n+2)=2n+2.при любом натуральном n>1 имеем f(6n+5)=2n+2, исключительное значение f(11)=5.

Следствие из теоремы

Предел существует и равен 3.

Каждое слово из n букв А и В может быть разбито не более чем на [(n+4)/3] палиндромов.

4)f(6k+5) = 2k+2

.

Итак, в каждом из случаев получаем один и тот же предел 3.

Следовательно

В процессе работы над темой нами были изучены вопросы о разбиениях натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности, также были решены самостоятельно 6 упражнений, доказано следствие к теореме из § 3.

Литература

1. Акулич И.Ф. Ум хорошо, а пять лучше // Квант. - 1998. - №6

2.Баобабов А. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант.-1999. - №4,№5

3. Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика М.Наука, 1976

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра 8 класс. М. Просвещение, 1996