Комплексные числа (избранные задачи)

Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.

Рубрика Математика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 10.12.2008
Размер файла 1,1 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Ясно, что при оба корня и меньше нуля, а при - больше нуля.

Таким образом, исходное уравнение:

при имеет один корень ;

при имеет три корня , , .

Ответ: а) при , то ,

б) при , то ;

при , то , , .

Задача 80. Для каких действительных чисел a не существует комплексных чисел z, для которых выполняются равенства , ?

Решение

Заметим, что равняются расстоянию между точками и на комплексной плоскости. При фиксированном a точки , для которых , лежат на окружности с центром в и радиусом 2. (Вообще, множество , для которых , есть окружность с центром в и радиусом ). Аналогично равенство . Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами больше суммы или меньше разности радиусов. Таким образом, должно выполняться одно из двух неравенств: или , т.е. или .

Ответ: или .

Задача 81. При каких действительных чисел a любое комплексное число, удовлетворяющее уравнению , удовлетворяет одновременно и неравенству ?

Решение

Пусть . Тогда и получим уравнение

Если , то имеем уравнение окружности с центром в точке и

. От неравенства перейдем к неравенству

Рассмотрим ряд случаев в зависимости от значений a.

1. , т.е. . Неравенство (2) выполняется при любых парах действительных значений x и y, в том числе и при решениях уравнения (1).

2. Пусть :

Система решений не имеет.

3. Если , то получим систему

Неравенству системы удовлетворяют все пары значений x и y (), кроме - не является решением уравнения системы.

4. Аналогично убеждаемся, что условию задачи удовлетворяет и .

5. Остается рассмотреть следующее множество значений a: .

В этом случае и неравенство (2) задает множество точек комплексной плоскости, расположенных вне окружности, заданной уравнением . (3) (Рис. 37).

Обозначим радиус этой окружности через r (). И достаточно найти такие значения a из рассматриваемого множества, при которых окружность, заданная уравнением (1), расположена вне окружности с уравнением (3).

Рассмотрим прямоугольный треугольник : ; ; ; .

42

Рис. 37.

Получим неравенство .

, , т.о. .

Учтем множество значений a, на котором мы решаем систему (рис. 38):

42

Рис. 38.

Таким образом, .

Ответ: .

Задача 82. Найдите все действительные a такие, что система уравнений не имеет решений.

Решение

1. Если , то решений нет.

2. При , .

3. Если :

Каждое из данных уравнений задает на комплексной плоскости окружность. Пусть О1 и О2 - центры этих окружностей, r1 и r2 - соответствующие радиусы.

Если расстояние между их центрами удовлетворяют условиям , то окружности имеют хотя бы одну общую точку. тогда получим систему неравенств

Поэтому при система решений не имеет.

Ответ: .

3. Заключение

В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.

1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.

2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

3) Решены задачи, посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости;

4) Рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

5) Приведены решения некоторых уравнений 3-й и 4-й степеней;

6) Решены некоторые задачи содержащие комплексные числа и параметры.

Материал, изложенный в выпускной квалификационной работе может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе.

4. Список литературы

1. Абрамов А.М., Виленкин Н.Я., Дорофеев Г.В., Егоров А.А., Земляков А.Н., Моркович А.Г. Избранные вопросы математики. 10 класс. Факультативный курс. - М.: Просвещение, 1980.

2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2000.

3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1975.

4. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975.

5. Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые. Учебное пособие. - Воронеж: ВГПУ, 2001.

6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1971.

7. Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие. - М.: Наука, 1987.

8. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

9. Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1989.

10. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. - Воронеж: ВГПУ, 2004.

11. Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. - М.: Просвещение, 1987.

12. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, И.И. Кулагина. - М.: Дрофа, 2000.

13. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 1995.

14. Математика в школе. № 3, 1990.

15. Математика в школе. № 6, 1992.

16. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.

17. Петраков И.С. Математические кружки в 8 - 10 классах. - М.: Просвещение, 1988.

18. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.

19. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. - М.: Наука, 1989.

20. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989.

21. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. - М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

22. Энциклопедический словарь юного математика. (Составитель Савин А.П.). - М.: Педагогика, 1989.

23. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. Изд. 2-е, стереотипное. - М.: Едиториал УРСС, 2004.


Подобные документы

  • Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.

    лекция [464,6 K], добавлен 12.06.2011

  • История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.

    реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012

  • Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.

    курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008

  • Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.

    презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013

  • Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.

    контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012

  • Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011

  • Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").

    презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011

  • Число как основное понятие математики. Натуральные числа. Простые числа Мерсенна, совершенные числа. Рациональные числа. Дробные числа. Дроби в Древнем Египте, Древнем Риме. Отрицательные числа. Комплексные, векторные, матричные, трансфинитные числа.

    реферат [104,5 K], добавлен 12.03.2004

  • Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.

    контрольная работа [24,8 K], добавлен 09.09.2009

  • Запись комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изображение корней уравнения на комплексной плоскости. Умножение и сложение матриц. Вычисление определителя четвертого порядка. Проверка совместимости систем уравнений.

    контрольная работа [444,4 K], добавлен 13.12.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.