Главная База знаний "Allbest" Математика Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	09.09.2009
Размер файла	24,8 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Контрольная работа

по высшей математике

по теме:

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Выполнила:

Студентка II курса

Экономического факультета

Очного отделения

2007г

I. у? - 4y? + 4y = соs4х

у = U + - общ. реш. н. д. у.

у? - 4у? + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k₁_;₂ = 2

1) U =?

U = C₁e²^x + С₂е^2х • х

2) =? = Acos4x + Bsin4x? = - 4Asin4x + 4Bcos4x

y? = - 16Acos4x - 16Bsin4x

16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =

= cos4x + 0 • sin4x

12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 • sin4x

12A + 16A = 016B - 12B = 0

4A = 04B = 0

A = 4 B = 4

= 4cos4x + 4sin4x

y = C₁e^2x + C₂e^2x · x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у? (0) = 0

у? = 2С₁e²^x + 2C₂e²^x · x - 16sin4x + 16cos4x

1 = C₁ + C₂ + 4С₁ + С₂ = 3 С₁ + 13 = 3

0 = 2C₁ + 2C₂ + 162С₁+ 2С₂ = 16

С₁ + С₂ = 13

С₁ = - 10С₂ = 13

у = - 10е^2х + 13е^2х· x + 4cos4x + 4sin4x - частное решение при заданных условиях

II. у? - 4y? + 4y = 5х² + 3х + 1

у = U + - общее решение н. д. у.

у? - 4у? + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k₁_;₂ = 2

1) U =?

U = C₁e²^x + С₂е^2х • х

2) =? = Ах² + Вх + С? = 2Ах + В

у? = 2А

2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х² + 3х + 1

4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4

8А + 4В = 3

2А - 4В + 4С = 1

= 5/4х² + 3 + 1/4

у = C₁e²^x + С₂е^2х • х + 5/4х² + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у? (0) = 0

у? = 2С₁e²^x + 2C₂e²^x + 5/2х - 1/8

1 = C₁ + C₂ + 5/4 C₁ + C₂= 1/4

0 = 2C₁ + 2C₂ + 5/22C₁ + 2C₂ = 5/2

C₁ + С₂= 9/4

C₁= - 2С₂= 9/4

у = - 2e²^x + 9/4е^2х • х + 5/4х² + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.

III. у? - 4у? + 4у = 2е^5х

у = U + - общее решение н. д. у.

у? - 4у? + 4у = 0

k² - 4k + 4 = 0

k₁_;₂ = 2

1) U =?

U = C₁e²^x + С₂е^2х • х

2) =? = Ае^5х? = 5А^5х

у? = 25Ае^5х

25Ае^5х - 20Ае^5х + 4А^5х= 2е^5х

9А^5х= 2е^5х

А = 2/9 = 2/9е^5х

у = C₁e²^x + С₂е^2х • х + 2/9е^5х^-общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у (0) = 1 у? (0) = 0

у? = 2C₁e²^x + 2С₂е^2х • х + 10/9е^5х

1 = C₁ + С₂+ 2/9C₁ + С₂= 7/9

0 = 2C₁+ 2С₂+ 10/92C₁+ 2С₂= 10/9

C₁ + С₂= 1/3

C₁ + 1/3 = 7/9

С₁ = 4/9 С₂ = 1/3

у = 4/9e²^x + 1/3е^2х • х + 2/9е^5х^-частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа

- 1 = i - мнимое число

( - 1) ²= i ²i ²= - 1

i ³= i ²• i = - 1 • i = - i

i ⁴= i ²• i ²= ( - 1) • ( - 1) = 1

а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

в

. (а; в)

с в с = а 2 + в 2 = а + вi

) d а

а d = arctg в/а -

аргумент комплексного числа

(находится с учетом четверти)

tg

нет

d	0 0	П/6	П/4	П/3	П/2
tg	0	3/ 3	1	3	---

- +

0 0

+ -

нет

cosd = a / с a = сcosd

sind = в / с в = сsind

а + вi = сcosd + i сsind

а + вi = с (cosd + i sind) -

комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Сложение:

а₁ + в₁i + а₂ + в₂i = а₁ + а₂+ (в₁ + в₂) i

Умножение:

(а₁ + в₁i) (а₂ + в₂i) = а₁а₂+в₁в₂i ² + а₁в₂i

а₁а₂_-в₁в₂+ (в₁а₂+ а₂в₂) i

Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:

е ⁱ^у = cosу + isinу z = се ^{i ц}

Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:

1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i ² + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ^ln⁵⁸е ^{arctg 3/7} = е ^ln^{58 + i arctg 3/7}

с₁ = 58

ц₁ = arctg 3/ 7

(3 + 7i) = 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ^ln⁵⁸е ^{arctg 7/ 3} = е ^ln^{58 + i arctg 7/ 3}

с₂ = 58

ц₂ = arctg 7/ 3

58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ^{ln 58}е ⁱ⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾= е ^{ln 58 + i}⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾

При решении примера использовали формулу:

с₁ (cosц₁ + isinц₁) с₂ (cosц₂ + isinц₂) = с₁ с₂ (cos (ц₁+ ц₂) + i (sin (ц₁+ц₂))

Проверка:

е ^{ln 58 + i}⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾= е ^{ln 58}е ⁱ⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾=58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ ( 1 + tg² (arctg 3/ 7)) = 1/ 1 + (9/49) = 7/ 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/ 58

sin (arctg 3/ 7) = 1 - cos²arctg 3/ 7 = 1 - (7/ 58) ² = 9/ 58 = 3/ 58 sin (arctg 7/3) = 1 - cos²arctg 7/ 3 = 7/ 58

cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/ 58 3/ 58 - 3/ 58 7/ 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/ 58 3/ 58 3/ 58 3/ 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) = 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ^ln^{58 + i arctg 3/7}

(7 + 3i) ² = 49 + 42i + 9i² = 40 + 42i

( 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) ²= 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ^ln^{58 +}ⁱ^arctg^3/7

Проверка:

е ^ln^{58 + i arctg 3/7} = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos²arctg 3/7 - 1 = 2 (7/ 58) ² - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin²arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 • (3/ 58) • (7/ 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58 i) = 40 + 42i

При решении примера применяли следующие формулы:

(с (cosd + i sind)) ^п = с^п (cosпd + i sinпd) п є N

е ^{х +}ⁱ^у = е ^х (cosу + isinу)

2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i ² + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ^{ln 5}е ^{arctg 4/ 3} = е ^{ln 5 + i arctg 4/ 3}

с₁ = 25 = 5

ц₁ = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ^{ln 5}е ^arctg^{3/ 4} = е ^{ln 5 + i arctg}^{3/ 4}

с₂ = 5

ц₂ = arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ^{ln 25}е ⁱ⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾= е ^{ln 25 + i}⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾

При решении примера использовали формулу:

с₁ (cosц₁ + isinц₁) с₂ (cosц₂ + isinц₂) = с₁ с₂ (cos (ц₁+ ц₂) + i (sin (ц₁+ц₂))

Проверка:

е ^{ln 25 + i}⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾= е ^{ln 25}е ⁱ⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾=25 (cos (arctg 4/ 3 +

+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))

cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -

sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)

cos (arctg 4/ 3) = 1/ ( 1 + tg² (arctg 4/ 3)) = 1/ 1 + (16/ 9) = 3/ 5

cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5

sin (arctg 4/ 3) = 1 - cos²arctg 4/ 3 = 1 - 9/ 5 = 4/5

sin (arctg 3/ 4) = 1 - cos²arctg 3/ 4 = 3/ 5

cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5 4/5 - 3/ 5 4/5 = 0

sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5 3/5 - 4/ 5 3/5 = 0

Извлечение корня третий степени из комплексного числа:

Применяем формулу:

^п с (cosd + i sind) = ^п с (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)

³ 3 +4i = ³ 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)

z₁ = ⁶ 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0

z₂= ⁶ 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1

z₃= ⁶ 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2

контрольная работа "Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа" скачать

Подобные документы

Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью функции Грина
Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.

курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013
Комплексные числа (избранные задачи)
Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.

дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008
Знаменитые математики в истории комплексных чисел
Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").

презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011
Линейные уравнения
Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.

дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011
Комплексные числа и матрицы
Запись комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изображение корней уравнения на комплексной плоскости. Умножение и сложение матриц. Вычисление определителя четвертого порядка. Проверка совместимости систем уравнений.

контрольная работа [444,4 K], добавлен 13.12.2012
Линейные дифференциальные уравнения
Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.

контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012
Решение систем дифференциальных уравнений
Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.

реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009
Численные методы
Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.

контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012
Комплексные числа
Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.

лекция [464,6 K], добавлен 12.06.2011

Другие документы, подобные "Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Комплексные числа

- 1 = i - мнимое число

( - 1) 2 = i 2 i 2 = - 1

i 3 = i 2 • i = - 1 • i = - i

i 4 = i 2 • i 2 = ( - 1) • ( - 1) = 1

а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

в

. (а; в)

с в с = а 2 + в 2 = а + вi

) d а

а d = arctg в/а -

аргумент комплексного числа

(находится с учетом четверти)

tg

нет

- +

0 0

+ -

нет

cosd = a / с a = сcosd

sind = в / с в = сsind

а + вi = сcosd + i сsind

а + вi = с (cosd + i sind) -

комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Сложение:

а1 + в1i + а2 + в2i = а1 + а2 + (в1 + в2) i

Умножение:

(а1 + в1i) (а2 + в2i) = а1а2 +в1в2i 2 + а1в2i

а1а2 - в1в2 + (в1а2 + а2в2) i

Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:

е iу = cosу + isinу z = се i ц

Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:

1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2 + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ln 58 е arctg 3/7 = е ln 58 + i arctg 3/7

с1 = 58

ц1 = arctg 3/ 7

(3 + 7i) = 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ln 58 е arctg 7/ 3 = е ln 58 + i arctg 7/ 3

с2 = 58

ц2 = arctg 7/ 3

58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ln 58 е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

При решении примера использовали формулу:

с1 (cosц1 + isinц1) с2 (cosц2 + isinц2) = с1 с2 (cos (ц1 + ц2) + i (sin (ц1 + ц2))

Проверка:

е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ ( 1 + tg2 (arctg 3/ 7)) = 1/ 1 + (9/49) = 7/ 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/ 58

sin (arctg 3/ 7) = 1 - cos2arctg 3/ 7 = 1 - (7/ 58) 2 = 9/ 58 = 3/ 58 sin (arctg 7/3) = 1 - cos2arctg 7/ 3 = 7/ 58

cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/ 58 3/ 58 - 3/ 58 7/ 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/ 58 3/ 58 3/ 58 3/ 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) = 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ln 58 + i arctg 3/7

(7 + 3i) 2 = 49 + 42i + 9i2 = 40 + 42i

( 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ln 58 + i arctg 3/7

Проверка:

е ln 58 + i arctg 3/7 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos2arctg 3/7 - 1 = 2 (7/ 58) 2 - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin2arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 • (3/ 58) • (7/ 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58 i) = 40 + 42i

При решении примера применяли следующие формулы:

(с (cosd + i sind)) п = с п (cosпd + i sinпd) п є N

е х + iу = е х (cosу + isinу)

2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2 + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ln 5 е arctg 4/ 3 = е ln 5 + i arctg 4/ 3

с1 = 25 = 5

ц1 = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ln 5 е arctg 3/ 4 = е ln 5 + i arctg 3/ 4

с2 = 5

ц2 = arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ln 25 е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)

( - 1) ²= i ²i ²= - 1

i ³= i ²• i = - 1 • i = - i

i ⁴= i ²• i ²= ( - 1) • ( - 1) = 1

а₁ + в₁i + а₂ + в₂i = а₁ + а₂+ (в₁ + в₂) i

(а₁ + в₁i) (а₂ + в₂i) = а₁а₂+в₁в₂i ² + а₁в₂i

а₁а₂_-в₁в₂+ (в₁а₂+ а₂в₂) i

е ⁱ^у = cosу + isinу z = се ^{i ц}

1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i ² + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ^ln⁵⁸е ^{arctg 3/7} = е ^ln^{58 + i arctg 3/7}

с₁ = 58

ц₁ = arctg 3/ 7

(3 + 7i) = 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ^ln⁵⁸е ^{arctg 7/ 3} = е ^ln^{58 + i arctg 7/ 3}

с₂ = 58

ц₂ = arctg 7/ 3

= е ^{ln 58}е ⁱ⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾= е ^{ln 58 + i}⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾

с₁ (cosц₁ + isinц₁) с₂ (cosц₂ + isinц₂) = с₁ с₂ (cos (ц₁+ ц₂) + i (sin (ц₁+ц₂))

е ^{ln 58 + i}⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾= е ^{ln 58}е ⁱ⁽^arctg^{3/ 7 + arctg 7/ 3}⁾=58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ ( 1 + tg² (arctg 3/ 7)) = 1/ 1 + (9/49) = 7/ 58

sin (arctg 3/ 7) = 1 - cos²arctg 3/ 7 = 1 - (7/ 58) ² = 9/ 58 = 3/ 58 sin (arctg 7/3) = 1 - cos²arctg 7/ 3 = 7/ 58

(7 + 3i) (3 + 7i) = 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ^ln^{58 + i arctg 3/7}

(7 + 3i) ² = 49 + 42i + 9i² = 40 + 42i

( 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) ²= 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ^ln^{58 +}ⁱ^arctg^3/7

е ^ln^{58 + i arctg 3/7} = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos²arctg 3/7 - 1 = 2 (7/ 58) ² - 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin²arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 • (3/ 58) • (7/ 58) = 42/58

(с (cosd + i sind)) ^п = с^п (cosпd + i sinпd) п є N

е ^{х +}ⁱ^у = е ^х (cosу + isinу)

2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i ² + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ^{ln 5}е ^{arctg 4/ 3} = е ^{ln 5 + i arctg 4/ 3}

с₁ = 25 = 5

ц₁ = arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ^{ln 5}е ^arctg^{3/ 4} = е ^{ln 5 + i arctg}^{3/ 4}

с₂ = 5

ц₂ = arctg 3/ 4

= е ^{ln 25}е ⁱ⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾= е ^{ln 25 + i}⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾

с₁ (cosц₁ + isinц₁) с₂ (cosц₂ + isinц₂) = с₁ с₂ (cos (ц₁+ ц₂) + i (sin (ц₁+ц₂))

е ^{ln 25 + i}⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾= е ^{ln 25}е ⁱ⁽^arctg^{4/ 3 + arctg}^{3/ 4}⁾=25 (cos (arctg 4/ 3 +

cos (arctg 4/ 3) = 1/ ( 1 + tg² (arctg 4/ 3)) = 1/ 1 + (16/ 9) = 3/ 5

sin (arctg 4/ 3) = 1 - cos²arctg 4/ 3 = 1 - 9/ 5 = 4/5

sin (arctg 3/ 4) = 1 - cos²arctg 3/ 4 = 3/ 5

^п с (cosd + i sind) = ^п с (cos d + 2Пк / п + i sin d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)

³ 3 +4i = ³ 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)

z₁ = ⁶ 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0

z₂= ⁶ 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1

z₃= ⁶ 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2