Теория погрешностей
Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.11.2014 |
| Размер файла | 283,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Лабораторная работа
Теория погрешностей
Задача 1
Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Определить номер первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Затем, вычисляя частичные суммы , определить минимальное число при котором величина приближающая содержит верных цифр.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Задать последовательность значений с помощью формулы общего члена прогрессии.
2. Решая неравенство найти номер члена этой последовательности, модуль которого меньше 1.
Вычислить само значение
3. Найти сумму ряда аналитически (по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
4. Вычислить значения частичных сумм ряда при значениях
Для каждого найти величину абсолютной погрешности и количество верных цифр в . Определить при каком минимальном значении N=M частичная сумма содержит верных цифр.
5. Вычислить относительную погрешность величины
6. Оформить отчет по задаче.
Задача 2
Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.
Задача 3
Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Раскрыть определитель и получить вид функции . Вычислить значение функции в точке .
2. Произвести теоретическую оценку абсолютной погрешности функции в зависимости от погрешности аргумента по формуле . Считать, что x0 получено в результате округления по дополнению.
3. Вычислить определитель матрицы при нескольких различных значениях аргумента в пределах заданной точности.
4.Сравнить полученные результаты (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.C).
5. Найти относительную погрешность каждого результата задачи.
Приложение 1.А
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1
ВНИМАНИЕ! Номер варианта для лабораторных работ вычисляется по следующей формуле:
1) mod (52) для групп 9-11;
2) mod (50) для групп 12-14
(здесь -- номер группы, а -- индивидуальный номер студента по журналу).
Таблица к задаче 1.1
|
1.1.1 |
1.1.14 |
1.1.27 |
1.1.40 |
|||||
|
1.1.2 |
1.1.15 |
1.2.28 |
1.1.41 |
|||||
|
1.1.3 |
1.1.16 |
1.1.29 |
1.1.42 |
|||||
|
1.1.4 |
1.1.17 |
1.1.30 |
1.1.43 |
|||||
|
1.1.5 |
1.1.18 |
1.1.31 |
1.1.44 |
|||||
|
1.1.6 |
1.1.19 |
1.1.32 |
1.1.45 |
|||||
|
1.1.7 |
1.1.20 |
1.1.33 |
1.1.46 |
|||||
|
1.1.8 |
1.1.21 |
1.1.34 |
1.1.47 |
|||||
|
1.1.9 |
1.1.22 |
1.1.35 |
1.1.48 |
|||||
|
1.1.10 |
1.1.23 |
1.1.36 |
1.1.49 |
|||||
|
1.1.11 |
1.1.24 |
1.1.37 |
1.1.50 |
|||||
|
1.1.12 |
1.1.25 |
1.1.38 |
1.1.51 |
|||||
|
1.1.13 |
1.1.26 |
1.1.39 |
1.1.52 |
Таблица к задаче 1.3
|
1.3.1 |
1.3.14 |
1.3.27 |
1.3.40 |
|||||
|
1.3.2 |
1.3.15 |
1.2.28 |
1.3.41 |
|||||
|
1.3.3 |
1.3.16 |
1.3.29 |
1.3.42 |
|||||
|
1.3.4 |
1.3.17 |
1.3.30 |
1.3.43 |
|||||
|
1.3.5 |
1.3.18 |
1.3.31 |
1.3.44 |
|||||
|
1.3.6 |
1.3.19 |
1.3.32 |
1.3.45 |
|||||
|
1.3.7 |
1.3.20 |
1.3.33 |
1.3.46 |
|||||
|
1.3.8 |
1.3.21 |
1.3.34 |
1.3.47 |
|||||
|
1.3.9 |
1.3.22 |
1.3.35 |
1.3.48 |
|||||
|
1.3.10 |
1.3.23 |
1.3.36 |
1.3.49 |
|||||
|
1.3.11 |
1.3.24 |
1.3.37 |
1.3.50 |
|||||
|
1.3.12 |
1.3.25 |
1.3.38 |
1.3.51 |
|||||
|
1.3.13 |
1.3.26 |
1.3.39 |
1.3.52 |
Приложение 1.В
Ниже приведен фрагмент оформления содержательной части отчета по лабораторной работе 1.
Задача 1.1.0. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , где , . Определить номер первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Затем, вычисляя частичные суммы при определить минимальное число при котором величина приближающая содержит верных цифр. Вычислить относительную погрешность величины
1. Аналитическое решение задачи
Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии:
1) -й (общий) член геометрической прогрессии имеет вид:
2) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Номер для которого найдём, решив неравенство:
Наименьшее целое число, удовлетворяющее последнему неравенству, равно
Убедимся в том, что номер найден верно (учтем 6 знаков после запятой):
Первая часть задачи решена.
2. Теоретический материал
Пусть -- точное значение, -- приближенное значение некоторой величины.
1) Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .
2) Относительной погрешностью значения (при называется величина .
Так как значение (как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:
При этом величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Нас интересует значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Приближённое значение этой суммы даёт её -ая частичная сумма Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле
3. Результаты вычислительного эксперимента значение частичной величина абсолютной количество верных суммы ряда погрешности значащих цифр
0
1
4
14
Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения . Для определения наименьшего значения проведем дополнительные эксперименты:
8
8
8
9
Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата:
4. ОТВЕТ
1) номер первого из членов заданной прогрессии, для которого, равен
2) при этом
3) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна
4) частичная сумма дает 9 верных значащих цифр;
5) относительная погрешность этого значения равна
Приложение 1.С
Задача 1.3.0. Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать
поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
Пусть определитель матрицы имеет вид: . Тогда, раскрывая определитель, получим
следующий вид функции: . Вычислим определитель в точке : . Для получения теоретической оценки учтем, что , то есть погрешность аргумента для данного варианта равно 0.5. Производная функции монотонно убывает, поэтому (см график).
Таким образом, теоретическая оценка получена: . Сравним теоретическую оценку с погрешностью, полученной с помощью вычислительного эксперимента.
,
, .
Получено хорошее соответствие с теоретической оценкой. Заметим, что величина относительной погрешности невелика, например, в последнем эксперименте: .
погрешность аргумент прогрессия
Литература
1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высшая школа, 1994.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Классическая теория измерений по поводу истинного значения физической величины, ее главные постулаты. Классификация погрешностей по способу выражения, ее типы: абсолютная, приведенная и относительная. Случайные погрешности, закон их распределения.
реферат [215,4 K], добавлен 06.07.2014Округление заданного числа до шести, пяти, четырех и трех знаков. Расчет погрешностей после каждого округления. Определение абсолютной и относительной погрешности вычисления значений функции u с учетом того, что все знаки операндов a, b, c и d верны.
контрольная работа [131,5 K], добавлен 02.05.2012Исследование методов определения погрешностей и статистической оценки распределений. Построение эмпирической функции, определяющей частность события для каждого значения случайной величины. Расчеты по заданной выборке, ее анализ и определение параметров.
курсовая работа [323,0 K], добавлен 13.01.2011Характеристика и особенности основных типов погрешностей, возникающих при численном решении математических и прикладных задач: задачи, метода, округлений. Понятие и причины возникновения погрешностей измерений. Описание случайных погрешностей, моменты.
контрольная работа [143,9 K], добавлен 13.01.2012Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата. Интерполирование и экстраполирование данных, интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона, их основные характеристики и сравнительное описание.
лабораторная работа [74,8 K], добавлен 06.08.2013Исследование зависимости погрешности решения от погрешностей правой части системы. Определение корня уравнения с заданной точностью. Вычисление точностных оценок методов по координатам. Сплайн интерполяция и решение дифференциального уравнения.
контрольная работа [323,4 K], добавлен 26.04.2011Свойства бесконечно малых величин. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию. Предел функции f(x) при x, стремящимся к бесконечности: теорема и ее доказательство. Пример решения функции и предел отношения двух малых величин.
презентация [61,7 K], добавлен 21.09.2013Обоснование оценок прямых и косвенных измерений и их погрешностей. Введение доверительного интервала в асимптотическом приближении бесконечно большого числа экспериментов. Вычисление коэффициента корреляции для оценки зависимости случайных величин.
реферат [151,5 K], добавлен 19.08.2015Методы вычислительной математики, работа с приближёнными величинами. Понятие абсолютной, предельной абсолютной и относительной погрешности приближённого числа. Выведение формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для заданной функции.
контрольная работа [85,3 K], добавлен 05.09.2010Построение гистограммы и полигона по данным измерений. Статистический ряд распределения температур. Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона. Определение погрешности средства измерений. Отсев аномальных значений. Интервальная оценка.
курсовая работа [150,5 K], добавлен 25.02.2012
