Графическое решение уравнений

График функции как множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. Исследование графиков функций и графическое решение уравнений, их разновидности и особенности.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 10.11.2010
Размер файла 15,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Графическое решение уравнений

Расцвет, 2009

Введение

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2, у = - x2, в 8 классе - у = vx, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3vx, (x - a)2 + (у - b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции - это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b, где k и b - некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k/x, где k 0. График этой функции называется гиперболой.

Функция (x - a)2 + (у - b)2 = r2, где а, b и r - некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а, b).

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c где а, b, с - некоторые числа и а 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2(a - x) = x2(a+ x). Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение (x2 + y2)2 = a (x2 - y2). График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение . График этого уравнения называется астроидой.

Кривая (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2). Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x3 - кубическая парабола, у = x4, у = 1/x2.

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение - выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f (x+m), у = f(x)+l и у = f (x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на ¦m¦ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на ¦l¦ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, - ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

• Находим координаты вершины параболы А (х0; у0): х0 =-b/2a;

• y0=ахо2+вх0+с;

• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х0);

• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x2 - 2x - 3. Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x2 - 2x - 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y=x2 и y= 2x + 3. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение на две функции: y=x2 -3 и y =2x. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнение x2 - 2x - 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y= (x -1)2 и y=4. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравнения x2 - 2x - 3 = 0 на x, получим x - 2 - 3/x = 0, разобьём данное уравнение на две функции: y = x - 2, y = 3/x. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Пример 1. Решить уравнение x5 = 3 - 2x.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = x5, y = 3 - 2x.

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3vx = 10 - x.

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3vx, y = 10 - x.

Ответ: x = 8.

Заключение

Рассмотрев графики функций: у = ax2+bx+c, у = k /x, у = vx, у =|x|, у = x3, у = x4, у = 3vx, я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y.

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

Литература

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.


Подобные документы

  • Понятие функции в древнем мире: Египет, Вавилон, Греция. Графическое изображение зависимостей, история возникновения. Вклад в развитие графиков функций Рене Декартом. Определение функций: понятие и способы задания. Методы построения графиков функций.

    реферат [3,5 M], добавлен 09.05.2009

  • Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.

    контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010

  • Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.

    дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008

  • Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамер. Возведение комплексного числа в натуральную степень. Исследование функции на возрастание и убывание. Нахождение ординаты в экстремальной точке. Задача на вычисление длины дуги кривой.

    контрольная работа [303,7 K], добавлен 13.12.2012

  • Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.

    контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010

  • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.

    контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012

  • Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.

    курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015

  • Решение системы уравнений по методу Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы. Общее число возможных элементарных исходов для заданных испытаний. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, график функции.

    контрольная работа [210,4 K], добавлен 23.04.2013

  • Понятие и содержание равносильных уравнений, факторы их оценивания. Теорема о равносильности уравнений и ее доказательство. Причины и пути приобретения посторонних корней при разрешении данных уравнений. Нахождение и сравнение множества решений.

    презентация [16,0 K], добавлен 26.01.2011

  • Система линейных уравнений. Матричное решение системы уравнений. Геометрический смысл операций с комплексными числами. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Классификация функций. Основные элементарные функции. Раскрытие неопределенностей.

    шпаргалка [1,1 M], добавлен 12.01.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.