Численное решение обратных задач по восстановлению граничных условий уравнения параболического типа

Пористая среда считается однородным объектом и на граничные условия известны. В точке , , заданы значения давления жидкости, т.е. "исходные данные" - и начальное распределение давления . Требуется определить давление в точке . Данная постановка как и в линейном случае (§ 1) может быть интерпретирована как определение характерных параметров в нефтедобывающей скважине (Рис.3). Задача при этом сводится к определению поля давления в области и скорости фильтрации в добывающей скважине () на основе измерений давления в наблюдательной скважине () и режима изменения давления на границе пласта.

Таким образом, граничная обратная задача для нелинейно-упругого режима фильтрации ставится так:

- уравнение пьезопроводности

(70)

- дополнительные условия

(71)

(72)

(73)

Условия (71)-(73) относительно запишем как

(74)

(75)

(76)

где .

Требуется найти давление и скорость фильтрации в добывающей скважине ().

Для того чтобы подготовить исходные данные для решения обратной задачи, т.е. в (75), сначала решим прямую задачу для (70). При этом граничное условие имеет вид

(77)

или в обозначениях относительно :

(78)

где - массовый расход на единицу площади поперечного сечения пласта (т. е. ).

Для решения прямой задачи (70), (73), (76), (78) применим метод конечных разностей. В области вводим сетку , где - некоторая характерная длина пласта, которая принимается так, чтобы граница возмущенной зоны не доходила до . Сеточное решение, соответствующее точке , обозначим через .

Нелинейное уравнение (70) на сетке аппроксимируем неявной конечно-разностной схемой с точностью [6]:

Или

(79)

где , , , .

Аппроксимируем начальные и граничные условия (74), (76), (78)

(80)

(81)

(82)

Для решения (79) с (80)-(82) используем метод прогонки [6]. Решение задачи ищется в виде:

Сеточное решение определяется через следующим образом

В качестве исходных данных для обратной задачи принимаются значения давления в точке , т.е. , - дискретные значения времени.

Погрешность в задании исходных данных (72) задается в виде (66).

Теперь в области решим прямую задачу (72), (74), (75), (76). Для решения (70), (74)-(76) аналогично применим метод конечных разностей. Зная в области , можно продолжить решение в область . Для этого можно использовать Т-образный четырехточечный шаблон (Рис.1 а) [2]. Тогда можно определить, используя уравнение

(83)

Значения дает нам искомое граничное условие. Из и можно определить .

В расчетах использованы следующие исходные данные: м², м²/с, м/с, , МПа, Па·с, кг/м³.

Результаты расчетов при различном уровне погрешностей в исходных данных показаны на Рис.19-1.32. При полученные кривые имеют более устойчивый характер (Рис. 19, 1.20). С увеличением расстояние , возникает неустойчивость решения (Рис. 21). Для устранения неустойчивости применяем метод пошаговой регуляризации, что дает условно устойчивое решение (Рис. 22). Однако случайные возмущения исходных данных приводят к существенной неустойчивости процесса вычисления (Рис.23, 1.24). На Рис. 25-1.28 представлены решения с использованием метода пошаговой регуляризации. Для получения более устойчивых результатов одновременно применены методы пошаговой регуляризации и сглаживании исходных данных. Эти результаты показаны на Рис. 29-32.

Рис. 19. Результаты решения обратной задачи для точных значений давления при , м, (--- как на Рис. 4)

Рис. 20. Результаты решения обратной задачи для точных значений давления при , м, (--- как на Рис. 4)



Рис. 21. Результаты решения обратной задачи для точных значений давления при , м, (--- как на Рис.4)

Рис. 22. Результаты решения обратной задачи для точных значений давления при , м, (--- как на Рис. 4)

Рис. 23. Результаты решения обратной задачи для давления при , м, ( --- как на Рис. 4)



Рис. 24. Результаты решения обратной задачи для давления при , м, (--- как на Рис. 4)

Рис. 25. Результаты решения обратной задачи для входных данных при , м, (--- как на Рис. 4)

Рис. 26. Результаты решения обратной задачи для входных данных при , м, (--- как на Рис. 4)



Рис. 27. Результаты решения обратной задачи для входных данных при , м, (--- как на Рис. 4)

Рис. 28. Результаты решения обратной задачи для входных данных при , м, (--- как на Рис. 4)

Рис. 29. Результаты решения обратной задачи для сглаженных значений давления (исходные данные содержали ошибки, распределенные по равномерному закону) при , м, (-- как на Рис. 4)



Рис. 30. Результаты решения обратной задачи для сглаженных значений давления (исходные данные содержали ошибки, распределенные по равномерному закону) при , м, (-- как на Рис. 4)

Рис. 31. Результаты решения обратной задачи для сглаженных значений давления (исходные данные содержали ошибки, распределенные по равномерному закону) при , м, (-- как на Рис. 4)

Рис. 32. Результаты решения обратной задачи для сглаженных значений давления (исходные данные содержали ошибки, распределенные по равномерному закону) при , м, (-- как на Рис. 4)

3.3 Обратная граничная задача для линейно упруго-пластического режима фильтрации

Рассмотрим граничную обратную задачу при линейно упруго-пластическом режиме фильтрации жидкости в однородной пористой среде. Теория упруго-пластического режима фильтрации жидкости сформулирована в работах [17-19].

Уравнения упруго-пластической фильтрации жидкости в одномерном случае [17, 18] имеют вид

(84)

(85)

где - соответствуют процессам понижения и восстановления давления, - коэффициенты пьезопроводности (), .

В режиме понижения давления обратная граничная задача для уравнения (84) будет аналогичной для уравнения (53), рассмотренная в параграфе 1.2. Поэтому, предоставляет интерес обратная граничная задача для уравнения (85) в режиме восстановления давления.

Пористая среда считается однородным объектом и на граничные условия известны. В точке , , заданы значения давления жидкости, т.е. "исходные данные" - и начальное распределение давления . Требуется определить давление в точке .

Таким образом, обратная задача для теории линейно упругопластического режима фильтрации ставиться так:

- уравнение пьезопроводности

 (86)

- дополнительные условия

(87)

(88)

(89)

где - решение уравнения (84) в последний момент понижения давления.

Требуется найти кривые восстановления давления в добывающей скважине, т.е. .

Для того чтобы подготовить исходные данные для решения обратной задачи, т.е. в (89), сначала решим прямую задачу для (86). При этом граничные условия имеют вид

(90)

где - монотонно убывающая функция времени, - некоторая постоянная, - дебит скважины.

Выбор в виде убывающей функции объясняется тем, что после закрытия скважины происходит остаточный приток жидкости, в результате чего динамический уровень жидкости в скважине поднимается до статического. Остаточный приток жидкости, как известно из практики нефтедобычи, представляет собой монотонно убывающую функцию по времени.

Для решения задачи (86), (87), (90) применяем метод конечных разностей. В области вводим сетку

,

где - характерная длина пористой среды.

Уравнение (87) на сетке аппроксимируем неявной конечно-разностной схемой с точностью :

,(91)

где , , .

Аппроксимируем начальные и граничные условия (86), (87), (90)

(92)

.(93)

Для решения (91) с (92), (93) используем метод прогонки [6]. Решение задачи ищется в виде:

,(94)

, , .(95)

Так как, при из (94) имеем



и с дрогой стороны из (93)

,

Поэтому

, . (96)

После того, как из (95) и (96) найдены и для всех , зная, что из (94) можно найти .

В качестве исходных данных (дополнительных условий) для обратной задачи принимаются значения давления в точке , , - дискретные значения времени.

Теперь уравнение (86) решим в области , с граничным условием

, .(97)

Зная в области , можно продолжить решение в область . Для этого можно использовать Т-образный четырехточечный шаблон (Рис.1 а). Тогда можно определить, используя уравнение

. (98)

Значения дает нам искомое граничное условие.

В расчетах использованы следующие исходные данные: м², м/с, , МПа, Па·с, .

Результаты расчетов восстановления давления на границе при различном уровне погрешностей в исходных данных показаны на Рис33-44. Для получения устойчивых результатов применялся метод пошаговой регуляризации по времени [2, 3]. Это приводит к тому, что при полученное решение имеет устойчивый характер (Рис. 33-36). Из рис 33, 35 видно, что при малых временах возникает неустойчивый характер решения (Рис 33, 35). Из рисунков 34, 36 видно, что с увеличением шага по времени неустойчивость решения при малых временах ослабевает. Однако случайные возмущения исходных данных приводят к существенной неустойчивости решения (Рис. 37-39). Из рисунков 40-44 видно, что с использованием метода пошаговой регуляризации по времени получено относительно устойчивое решение.

Рис. 33. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м2/с, м²/с (-- как на Рис. 4)



Рис. 34. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м2/с, м²/с (-- как на Рис. 4)

Рис. 35. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м2/с, м²/с ( -- как на Рис. 4)

Рис. 36. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных давления при , м, , м2/с, м²/с (-- как на Рис. 4)



Рис. 37. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- как на Рис. 4)

Рис. 38. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- как на Рис. 4)

Рис. 39. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- как на Рис. 4)



Рис. 40. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- как на Рис. 4)

Рис. 41. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- давление, определенное по решению прямой задачи)

Рис. 42. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- как на Рис. 41)



Рис. 43. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с ( -- как на Рис. 41)

Рис. 44. Результаты решения обратной задачи для точных исходных данных при , м, , м²/с, м²/с (-- как на Рис. 41)

Основные результаты и выводы

Решены обратные задачи по восстановлению граничного режима при линейном и нелинейном режимах фильтрации жидкости в пористой среде. Для получения устойчивых решений применен метод пошаговой регуляризации. Для проверки чувствительности решения на ошибки исходных данных проводились вычислительные эксперименты с зашумленными исходными параметрами. Показано, что с увеличением расстояния между точками замера исходных данных и границы области, где определяется решение обратной задачи, устойчивость решения ухудшается. К ухудшению устойчивости также приводит зашумление исходных данных. Для получения условно устойчивых решений исходные данные сглажены. Установлено, что одновременное применение методов пошаговой регуляризации и сглаживания исходных данных приводит к улучшению устойчивости решения, чем применение только метода пошаговой регуляризации. Для сглаживания исходных данных использована сглаживающая сплайн функция spaps среды Matlab.

Решена обратная граничная задача для упруго-пластического режима фильтрации жидкости в пористой среде. Физическая постановка задачи соответствует определению кривой восстановления давления в нефтедобывающей скважине по данным изменения давления в контрольной скважине. В режиме восстановления давления (второй этап упруго-пластической фильтрации) определена динамика давления на границе области. Получена осцилляция решения при малых временах, что значительно уменьшается при применении пошаговой регуляризации. Как и при упругом режиме, увеличение расстояния между точками "замера" исходных данных и определения решения, а также зашумленность исходных данных приводит к ухудшению устойчивости решения. Условно устойчивое решение получено при одновременном применении методов пошаговой регуляризации и сглаживания исходных данных.

Литература

1. Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970. - 336 с.

2. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. - 280 с.

3. Beck J.V., Blackwell B., St. Clair C.R., Jr. Inverse Heat Conduction. I11-posed Problems. A Wiley-Interscience Publication, New York, 1985, 308 p.

4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач. - М.: ЛКИ, 2007. - 480 с.

5. Hao D. Methods for inverse heat conduction problems. - Peter Lang pub. Inc. 1998. - 249 p.

6. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 616 с.

7. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Панкратон Б.М. Решение нелинейной обратной задачи теплопроводности. // Тепломассообмен-V. Минск: ИТМО АН БССР. 1976. Т. 9. С. 94-103.

8. Алифанов О.М. Идентификации процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. - 216 с.

9. Холияров Э.Ч., Эломов Ф.З. Об одной обратной граничной задаче при упругом режиме фильтрации // Международная научно-техническая конференция "Современные проблемы механики" (23-24 сентябрь). - Ташкент, 2009. С. 201-203.

10. Хужаёров Б.Х., Холияров Э.Ч., Эломов Ф.З. Граничная обратная задача при упругом режиме фильтрации однородной жидкости в пористой среде // Сборник материалов IV-международной конференции "Проблемы развития инженерных коммуникаций" 17-21.05.2010. г. Самарканд. С. 48-50.

11. Хужаёров Б.Х., Холияров Э.Ч., Эломов Ф.З., Нурматов Г. Обратная задача по восстановлению граничных условий при фильтрации жидкости в пористой среде // Сборник материалов Республиканской научной конференции "Проблемы современной математики" 22-23.04.2011. г. Карши. С. 547-550.

12. Щелкачев В.Н. Основные уравнения движения упругой жидкости в упругой пористой среде // Докл. АН СССР. Т. 52. №2. 1946. С. 103-106.

13. Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. - М.: Гостоптехиздат, 1959.

14. Хужаёров Б.Х., Холияров Э.Ч., Эломов Ф.З. Решение обратных граничных задач для нелинейно-упругого режима фильтрации жидкости // Сборник материалов Республиканской научно-технической конференции "Современное состояние и перспективы развития информационных технологий" 5-6.09.2011. г. Ташкент. С. 280-285.

15. Николаевский В.Н. К построению нелинейной теории упругого режима фильтрации жидкости и газа // ПМТФ. 1961. №4. С. 67-76.

16. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 339 с.

17. Баренблатт Г.И., Крылов А.П. Об упругопластическом режиме фильтрации // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. №2. С. 5-13.

18. Баренблатт Г.И. О некоторых задачах восстановления давления и распространения волн разгрузки при упруго-пластическом режиме фильтрации // Изв. АН СССР. ОТН. 1955. №2. С. 14-26.

19. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Theory of fluid flows through natural rocks. Kluwer Academic Publishers. 1990. - 395 p.

20. Мишин В.П., Алифанов О.М. Повышение качества обработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена. Ч. II. Практические приложения // Машиноведение. 1986. №6. С. 11-21.

21. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. - 288 с.

22. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М., Наука, 1980. - 288 с.

23. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. - М.: Наука, 1984.

24. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. - Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. - 457 с.

25. Хужаёров Б.Х., Холияров Э.Ч. Обратные задачи упругопластической фильтрации жидкости в пористой среде // ИФЖ. 2007. Т. 80. №3. С. 86-93.

26. Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений. М.: Недра, 1986. - 332 с.

27. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, - 512 с.

28. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -368 с.

29. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980.

30. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. - М.: Мир, 1973.

31. Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: Издательский дом "Вильяме", 2001. - 720 с.

32. Дьяконов В.П., Круглов В.В. Математические пакеты расширения MATLAB: Специальный справочник. - СПб.: ПИТЕР, 2001. - 480 с.

33. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7: программирование, численные методы. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752с.

34. Дьяконов В.П. MATLAB 7.*/R2006/R2007: Самоучитель. - М.: ДМК Пресс, 2008. - 768 с.

35. Горбунов А.Т. Разработка аномальных нефтяных месторождений. М.: Недра, 1981.

36. Горбунов А.Т. Упруго-пластический режим фильтрации жидкости в пористых средах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. №5. С. 84-90.

Размещено на Allbest.ru