Розв'язування рівнянь вищих степенів різними способами

Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык украинский
Дата добавления 13.05.2013
Размер файла 229,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Черкаський національний університет імені Богдана Хмельницького

кафедра математики і методики навчання математики

Курсова робота

з математики

на тему: Розв'язування рівнянь вищих степенів різними способами

Студентки 3 курсу М3-1 групи

БОРИСЕНКО Наталії Дмитрівни

м. Черкаси 2012 рік

Зміст

Вступ

Розділ 1. Розв'язування алгебраїчних рівнянь різними способами

Розділ 2. Розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів

2.1 Рівняння виду

2.2 Рівняння виду

2.3 Рівняння виду

2.4 Рівняння виду

2.5 Рівняння виду

2.6 Рівняння виду

2.7 Рівняння, що розв'язуються методом виділення квадрата двочлена

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

До завдань на відшукання різних способів розв'язування відносять завдання, в яких у явній чи неявній формі учням запропоновано розв'язати задачу різними способами. Порівняння різних способів розв'язування однієї задачі надає можливість учням серед них найбільш раціональний і підводить до думки, що необхідно проводити більш глибокий аналіз умови. До завдань такого виду відносимо завдання з вимогою: "Розв'яжіть задачу різними способами …", "Розв'яжіть зручним способом …" тощо. Найчастіше цей вид завдань стосується сюжетних задач, які розв'язують одним з арифметичних способів чи алгебраїчним методом, та прикладів і рівнянь, під час розв'язування яких можна застосувати властивості додавання і множення. Тому, питання застосування різних способів розв'язування задач до задач інших видів, є достатньо актуальним.

Мета роботи - розглянути особливості розв'язування задач різними способами.

Завдання роботи:

1) на основі аналізу математичної та методичної літератури розглянути розв'язування задач різними способами;

2) дібрати задачі на розв'язування алгебраїчних рівнянь та розв'язати їх різними способами.

Розділ 1. Розв'язування алгебраїчних рівнянь різними способами

Важливим елементом задачі, що дає змогу досягти мети, є розв'язування. Розв'язування задачі це процес перетворення її умови, який здійснюється на основі знань з тієї галузі, до якої належить задача, певних логічних правил виводу і особливих правил інтуїтивного (евристичного) характеру. В найбільш загальному плані можна сказати, що цей процес складається з таких етапів: аналіз задачі, пошук плану розв'язування; здійснення знайденого плану розв'язування (розв'язання); з'ясування, що здобутий результат задовольняє вимогу задачі (перевірка розв'язання); аналіз розв'язування (з'ясування прийомів розв'язування, розгляд інших способів розв'язування).

Слід зауважити що активізація пізнавальної діяльності учнів здійснюється через розв'язування задач різними способами.

Розв'язування задачі різними способами дає учням усвідомлення того, що ці способи існують і багато з них є цілком посильними. Адже у значної частини учнів виникає думка, що дану задачу (теорему) не можна розв'язати (довести) іншим способом, ніж запропоновано в шкільному підручнику.

Використання різних способів розв'язування задач дає змогу в окремих випадках змінити одне розв'язування іншим - легшим, шукати ефективніші методи навчання, творчо розв'язувати інші питання навчального процесу.

Сформованість інтересу в учнів на відшукання різних способів розв'язування задач сприятиме розвитку дослідницьких здібностей. Адже, прочитавши задачу і ще не виконавши ніяких дій, учень повинен прагнути до того, щоб навчитись відразу бачити, що той чи інший спосіб не підходить для її розв'язування, а ось цей, інший спосіб, може бути використаний. Таке вміння сформується тільки в процесі розв'язування однієї і тієї самої задачі різними способами. Саме тому ефективніше розв'язувати одну й ту саму задачу кількома різними способами, ніж розв'язувати три-чотири різні задачі.

Розв'язуючи одну задачу різними методами, можна краще зрозуміти специфіку того чи іншого методу, його переваги і недоліки залежно від змісту задачі. Зазначимо, що розв'язування задач різними способами сприятиме не тільки формуванню пізнавальної активності учнів, а й систематизації знань, умінь та навичок з усіх розділів шкільної математики

Розв'язування задач різними способами відноситься до вправ творчого характеру з логічним навантаженням. Пошук різних способів розв'язування задачі є одним з ефективних прийомів, який дозволяє глибше розкрити взаємозв'язок між величинами, що входять в задачу і один із способів перевірки розв'язку задачі. Тому необхідно спрямувати діяльність учнів на пошук способів розв'язування, їх порівняння та вибір раціонального рішення задачі. Це справить позитивний вплив на розвиток пізнавальної діяльності школярів та їх вміння творчо підходити до розв'язування задач.

Після того, як буде знайдено декілька способів розв'язання задачі в учнів виникає зацікавленість у відшуканні нових способів розв'язку, зацікавленість до предмету, розвиваються математичні здібності дитини, а разом з цим підвищується ефективність уроку.

Розглянемо приклад розв'язування задачі, зокрема алгебраїчного рівняння, різними способами.

Приклад 1

№ п/п

Алгоритмічна схема

Приклад

+ + = 0

1.

Ввести заміну відповідно до умови

=

2

2

2.

Визначити корені рівняння серед дільників вільного члена

3.

Розв'язати рівняння відносно нової змінної

= 0 дійсних коренів не має (D < 0).

4.

Повернутися до заміни

=

=

5.

Записати відповідь

Відповідь: =

Існує інший спосіб розв'язання цього рівняння:

ІІ спосіб

№ п/п

Алгоритмічна схема

Приклад

+ + = 0

1.

Виконати групування для визначення спільного множника

2.

Розкласти на множники і отримати добуток рівний 0

=0

3.

Розв'язати дану рівність

=0 дійсних коренів не має (D < 0).

4.

Записати відповідь

Відповідь: =

Розглянемо розв'язування ще одного прикладу.

Приклад 2.

І спосіб

№ п/п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Випробувати дільники вільного члена

Випробовуючи дільники вільного члена 14 , можна впевнитися в тому, що рівняння не має цілих коренів.

2.

Виконати певні дії, розкласти рівняння на множники

Зауважимо, що не є коренем рівняння, тоді, поділивши обидві частини на одержимо

, або

3.

Визначити корені рівняння

1)

2) , або ,

, ()=0,

звідки або = 0, ,

4.

Записати відповідь

Відповідь: ;

;

Існує інший спосіб розв'язання цього рівняння:

ІІ спосіб

№ п/п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Домножити обидві частини рівняння на зручне число, щоб перейти до заміни

,

2.

Ввести заміну

3.

Розв'язати нове рівняння відносно нової змінної

,

або

4.

Знайти відповідні значення початкової змінної

Якщо

Якщо , то ,

.

5.

Записати відповідь

Відповідь: ;

;

.

Розглянемо ще один спосіб розв'язування цього рівняння:

ІІІ спосіб

№ п/п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Виконати групування для визначення спільного множника

2.

Повторити дію необхідну кількість раз

;

.

3.

Записати відповідь

Відповідь: ;

;

Розділ 2. Розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів

алгебраїчний рівняння задача змінна

Метод заміни змінних дає змогу раціоналізувати розв'язування багатьох видів алгебраїчних рівнянь вищих степенів.

2.1 Рівняння виду

Розглянемо способі розв'язування рівняння виду

.

Якщо в рівнянні

, то після об'єднання співмножників

()() = А та заміни воно зводиться до квадратного.

І спосіб

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Виконати групування по сумі вільних членів

2.

Ввести заміну

, тоді

3.

Розв'язати нове рівняння відносно нової змінної

; .

4.

Знайти відповідні значення початкової змінної

1)

2)

5.

Записати відповідь

Відповідь:

ІІ спосіб

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Розкрити дужки та звести подібні доданки

2.

Випробувати дільники вільного члена як корені рівняння

(-1) - корінь рівняння

3.

Виконати ділення на вираз, що є різницею і дільника що є коренем рівняння

4.

Якщо потрібно то повторити 2-й і 3-й кроки

12 - корінь рівняння

Поділивши, маємо :

5.

Розв'язати квадратне рівняння

6.

Записати відповідь враховуючи всі знайдені корені

Відповідь:

2.2 Рівняння виду

Розглянемо способі розв'язування рівняння виду .

Якщо в рівнянні , то внаслідок об'єднання співмножників )() = Ах2, ділення обох його частин на х20 і заміни х + воно зводиться до квадратного.

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Перевірити чи х = 0 не є коренем даного рівняння

5760

2.

Виконати групування по добутках вільних членів

3.

Поділити обидві частини

4.

Ввести заміну

5.

Розв'язати отримане рівняння відносно нової змінної

; .

6.

Знайти відповідні значення початкової змінної

1)

2)

7.

Записати відповідь

Відповідь:

2.3 Рівняння виду

Розглянемо способі розв'язування рівняння виду . Рівняння такого виду називаються однорідними. Після ділення обох його частин на (або ) і заміни (або) воно зводиться до квадратного.

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

;

1.

Привести дане рівняння до загального виду

;

2.

Поділити обидві частини рівняння на або

;

;

3.

Ввести заміну

4.

Розв'язати отримане рівняння відносно нової змінної

;

;

;

; .

5.

Знайти відповідні значення початкової змінної

1)

2)

;

5.

Записати відповідь

Відповідь:

2.4 Рівняння виду

Розглянемо способі розв'язування рівняння виду .

За умови таке рівняння називається зворотно-симетричним. Після ділення обох його частин на х20 і заміни воно зводиться до квадратного.

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад ;

1.

Перевірити виконання умови.

;

2.

Поділити обидві частини рівняння на

;

3.

По групувати доданки по степеням змінної х

;

4.

Ввести заміну

тоді

5.

Розв'язати отримане рівняння відносно нової змінної.

6.

Знайти відповідні значення початкової змінної.

1)

2)

7.

Записати відповідь:

Відповідь: ; 1.

2.5 Рівняння виду

Розглянемо способі розв'язування рівняння виду .

Після ділення чисельника і знаменника кожного дробу на х0 + = с і заміни воно зводиться до квадратного.

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

;

1.

Перевірити чи х=0 не є коренем даного рівняння

;

2.

Поділити чисельник і знаменник кожного дробу на х.

3.

Ввести заміну.

;

4.

Розв'язати отримане рівняння відносно нової змінної.

5.

Знайти відповідні значення початкової змінної.

1)

2)

6.

Записати відповідь:

Відповідь: ;

1;

2.

2.6 Рівняння виду

Розглянемо способі розв'язування рівняння виду .

Таке рівняння заміною зводиться до біквадратного.

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

;

1.

Ввести заміну

;

2.

Розв'язати отримане рівняння відносно нової змінної

або

3.

Знайти відповідні значення початкової змінної.

4.

Записати відповідь:

Відповідь:

2.7 Рівняння, що розв'язуються методом виділення квадрата двочлена

Якщо в рівнянні зустрічається сума двох квадратів. то потрібно спробувати виділити квадрат суми або квадрат різниці. Ввівши заміну, таке рівняння зведеться до квадратного. Якщо перша спроба виділити повний квадрат виявиться невдалою, спробуйте ще раз. очевидно, ви виділяли не той повний квадрат.

№ п\п

Алгоритмічна схема

Приклад

1.

Виділити квадрат суми чи різниці в лівій частині рівняння

2.

Ввести заміну

3.

Розв'язати отримане рівняння відносно нової змінної

4.

Знайти відповідні значення початкової змінної

1)

D<0.

рівняння не має дійсних коренів.

2)

5.

Записати відповідь:

Відповідь:

Висновки

У ході виконання курсової роботи було розглянуто особливості розв'язання задач різними способами на прикладі розв'язування алгебраїчних рівнянь.

На основі аналізу математичної та методичної літератури розглянути розв'язування алгебраїчних різними способами.

Дібрано та задачі на розв'язування алгебраїчних рівнянь та розв'язано їх різними способами. До кожного розв'язання наведено алгоритмічну схему, що є загальною та дозволяє розв'язувати рівняння даного виду.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Загальні відомості про раціональні нерівності, теореми про рівносильність нерівностей. Методи розв'язування раціональних нерівностей вищих степенів узвгальненим методом інтервалів, методом заміни змінної. Розв'язування дробово-раціональних нерівностей.

    курсовая работа [774,9 K], добавлен 01.04.2010

  • Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.

    отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010

  • Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.

    курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Прийоми розв’язання задач в першому і другому степені на Далекому Сході та Греції. Досягнення арабських математиків в області алгебраїчних рівнянь. Розв'язання похідного кубічного рівняння. Найвидатніші теореми про радикали вищих степенів, їх розв’язання.

    курсовая работа [536,1 K], добавлен 23.02.2014

  • Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.

    реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015

  • Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.

    лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014

  • Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.

    контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016

  • Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.

    курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013

  • Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.

    курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.