Діофантові рівняння. Методи розв’язування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ПЕРЕЯСЛАВ - ХМЕЛЬНИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ГРИГОРІЯ СКОВОРОДИ»

Природничо - технологічний факультет

Кафедра математики,інформатики

та методики навчання

Курсова робота

на тему:

Діофантові рівняння. Методи розв'язування

Аврамук Ірина

Переяслав-Хмельницький 2018



ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. Теоретичні засади дослідження

1.1 Лінійні рівняння з двома змінними

1.1.1 Алгоритм Евкліда

1.1.2 Умова існування цілих розв'язків лінійних діофантових рівнянь

1.2 Лінійні рівняння з трьома змінними

1.3 Діофантові рівняння другого степеня з двома невідомими

1.4 Діофантові рівняння вищих порядків

1.4.1 Рівняння . Піфагорові трійки

1.4.2 Невизначене рівняння третього степеня

РОЗДІЛ II. Прикладні та практичні аспекти застосування діофантових рівнянь

2.1 Розв'язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах

2.2 Розв'язування лінійних рівнянь з трьома змінними в цілих числах

2.3 Методи розв'язування діофантових рівнянь

2.3.1 Перебору варіантів

2.3.2 Розв'язування рівнянь шляхом виділення цілої частини

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ



ВСТУП

Актуальність. Діофант є однією з найцікавіших особистостей в історії математики. Неможливо встановити ким був Діофант та точні роки його життя. Цікавою є діяльність Діофанта. До сьогоднішнього дня збереглися 7 книг із 13, які були об'єднані в «Арифметику». «Арифметика» Діофанта - це збірник задач (їх всього 189). Діофант займався знаходженням розв'язків невизначених рівнянь та їх систем. Його цікавили лише додатні цілі числа і раціональні розв'язки. Ірраціональні розв'язки він називав «неможливими» і підбирав коефіцієнти так, щоб отримати додатні, раціональні розв'язки. До речі, не всі невизначені рівняння є діофантовими. Діофантовими називаються лише ті алгебраїчні рівняння або їх системи з цілими коефіцієнтами, в яких кількість змінних більша, ніж кількість рівнянь, а знайти треба тільки цілі або раціональні розв'язки. Отже, до діофантових рівнянь найчастіше зводяться задачі, за змістом яких невідомі значення величин можуть бути тільки цілими числами.

Питання про знаходження розв'язків діофантових рівнянь довгий час цікавило науковців і було занесено до списку проблем Гільберта. Цей список налічує 23 кардинальні проблеми математики і питання про можливість розв'язання діофантових рівнянь займає в ньому 10 місце. Давид Гільберт сформулював цю проблему так: "Нехай задано діофантове рівняння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можливо після скінченної кількості операцій визначити чи вирішується це рівняння в цілих числах". Гіпотезу, що такого способу не існує, першим висунув американський математик М. Девіс в 1949 р., але не надав доведення цієї гіпотези. Пошук доказів цього припущення розтягнувся на 20 років і в 1970 р. Юрій Матіясевич показав алгоритмічну нерозв'язність 10 проблеми Гільберта. В основній школі діофантові рівняння вивчаються лише у 9 класах з поглибленими вивченням математики та на факультативних заняттях.

Об'єкт дослідження: теоретичні засади курсу алгебри класів фізико- математичного профілю.

Предмет дослідження: діофантові рівняння та методи їх розв'язування.

Мета дослідження: обгрунтувати основні теоретичні засади діофантових рівнянь, розкрити прикладні та практичні аспекти застосування діофантових рівнянь та проаналізувати методику вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. У відповідності з метою і гіпотезою дослідження ставляться такі завдання:

1) Дослідити стан проблеми в науковій, навчально-методичній літературі;

2) З'ясувати теоретичні основи дослідження (загальні відомості про діофантові рівняння, суть методів розв'язування діофантових рівнянь);

3) Систематизувати задачі, що приводять до лінійних та нелінійних діофантових рівнянь, також підібрати задачі та розв'язати їх для діофантових рівнянь з двома та трьома змінними;

4) Проаналізувати методику вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах.

Методи дослідження: моделювання, абстрагування, конкретизація та ін. Теоретичне значення роботи полягає у вивченні та узагальненні основних теоретичних відомостей про лінійні діофантові рівняння та діофантові рівняння вищих порядків.

Практичне значення дослідження зумовлюється необхідністю систематизації задач, що розкривають прикладні та практичні аспекти застосування діофантових рівнянь. Структура курсової роботи відповідає логіці наукового пошуку і містить: вступ, три розділи, висновки, додатки, список використаних джерел.



РОЗДІЛ І. Теоретичні засади дослідження

1.1 Лінійні рівняння з двома змінними

Алгоритм Евкліда

Для того щоб знайти найбільший спільний дільник двох чисел, є дуже простий спосіб, відомий під назвою алгоритм Евкліда, або спосіб послідовного ділення.

Алгоритм Евкліда, або алгоритм послідовного ділення, полягає ось у чому. Нехай дано натуральні числа .

Поділимо перше число на друге, дістанемо остачу . Тепер b поділимо на r1,дістанемо остачу далі поділимо на і т. д.

Оскільки після кожного наступного кроку утворюється остача, менша від попередньої, то через скінченну кількість кроків дістанемо остачу, яка дорівнює нулю: ділення відбудеться націло і процес припиниться.

Остання відмінна від нуля остача , на яку націло ділиться остача , буде найбільшим спільним дільником чисел .

Справді, запишемо сказане як ланцюжок рівностей:

,

,

.

З останньої рівності випливає, що rk є дільником (. Через позначено найбільший спільний дільник чисел . З передостанньої рівності випливає, що ділить також і (.

Так, послідовно піднімаючись кроками вгору, дістанемо, що

Приклад 1: Знайти НСД чисел .

Розв'язання.

Відповідь.

1.1.2 Умова існування цілих розв'язків лінійних діофантових рівнянь

Означення. Рівняння виду називається лінійне діофантове рівняння з двома невідомими, якщо а, b, с - цілі числа,

Приклад 1:

Приклади лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими:

1) , коефіцієнти рівняння .

2) , коефіцієнти рівняння 3) , коефіцієнти рівняння .

4) - це недіофантове рівняння(бо коефіцієнти та являються нецілими числами), проте це лінійне рівняння відносно двох невідомих х та у і його можна звести до діофантового, якщо помножити усі числа на 10.

Зауваження. До виду лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими можна звести рівняння виду , якщо - звичайні дроби, .

Для цього досить: записати всі коефіцієнти звичаними дробами і помножити ліву та праву частину рівняння на спільний знаменник, тобто помножити на найменше спільне кратне коефіцієнтів, . Покажемо це на прикладах.

Приклад 2:

1, коефіцієнти рівняння ; якщо це рівняння помножити на спільний знаменник 30, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими: .

Твердження 1. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими

можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число с ділиться націло на , тобто .

Припустимо, що для лінійного діофантового рівняння з двома невідомими виконується умова: Якщо поділити обидві частини рівняння на число с, тоді отримаємо рівняння виду: . Отже маємо більш краще твердження:

Твердження 2. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими

можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли , , тобто, цілі числа та - взаємно прості, ( не мають спільного дільника, крім 1).

Приклад 3:

Приклади лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими:

1) , коефіцієнти рівняння , тому це рівняння має розв'язки в цілих числах.

2) , коефіцієнти рівняння ,

, тому це рівняння не має розв'язків в цілих числах.

3) , коефіцієнти рівняння , поділимо обидві частини даного рівняння на , отримаємо рівняння , при цьому , тому це рівняння має розв'язків в цілих числах.

Для розв'язування лінійного діофантового рівняння з двома невідомими

треба:

1) Перевірити умову розв'язності даного рівняння в цілих числах. Для цього спочатку ділять обидві частини рівняння на число , а потім перевіряють умову: , де ; якщо ця умова не виконується, тоді роблять висновок, що дане рівняння не має розв'язку в цілих числах.

2) Якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, тоді треба відшукати хоча б одну пару цілих чисел, яка є розв'язком даного рівняння;(це можна зробити: методом підбору, методом Евкліда, графічним способом та іншими способами.)

3) записують всю множину розв'язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими, як множину цілочисельних пар у вигляді , де - довільне ціле число.

1.2 Лінійні рівняння з трьома змінними

Рівняння виду - числа - змінні, називають лінійним діофантовим рівнянням першого степеня з трьома змінними.

Теорема. Лінійне діофантове рівняння має розв'язки в цілих числах тоді і тільки тоді, коли ділиться на .

Розв'язки знаходять за формулами де - частинний розв'язок.

Приклад: розв'язати рівняння в цілих числах: 1.

Розв'язання:

Так як ділиться на , то рівняння має розв'язки в цілих числах. Так як , то можна представити де - деякі цілі числа. Підбором знаходимо, що 1.

Підставимо в умову замість .

Маємо то Нехай тоді маємо рівняння: , частинний розв'язок якого . Отже, загальний його розв'язок Тепер . Знаходимо загальний розв'язок данного рівняння: .

Відповідь:.

1.3 Діофантові рівняння другого степеня з двома невідомими

Означення. Рівняння вигляду

де - відомі цілі числа, - невідомі цілі числа, називається діофантовим рівнянням другого степеня з двома невідомими.

Приклад 1: Розв'язати в цілих числах діофантове рівняння

Розв'язання. Застосуємо спосіб локалізації і перебору. Він не потребує класичного розкладу на множники лівої частини рівняння. Для цього спочатку визначимо скінченний проміжок, на якому можуть бути шукані значення однієї зі змінних. Якщо змінну у розглядати як параметр, то це рівняння є квадратним рівнянням відносно змінної . Воно матиме розв'язки, якщо

Звідси приходимо до квадратної нерівності

розв'язки якої містяться в проміжку

Тому змінна у, що задовольнятиме рівняння, може набувати тільки таких значень: . Далі розв'яжемо дане рівняння за умови, що . Якщо , то з рівняння

, знаходимо

При інших значеннях відповідні рівняння

і

розв'язків не мають. Тому єдиний розв'язок:

Відповідь:

1.4. Діофантові рівняння вищих порядків

Діофантовим рівнянням вищих степенів називається діофантове рівняння степінь якого не менший другого.

Під час розв'язування таких рівнянь є корисними такі факти.

І. Розв'язки рівняння можна знайти, якщо виразити одну змінну через іншу і дослідити, для яких значень другої змінної перша змінна набуває цілих значень.

Приклад 1. Розв'язати в натуральних числах рівняння

.

Розв'язання

Виразимо у через х:

Оскільки та - натуральні числа, то вираз має бути натуральним числом, а - дільником числа . Отже, або , звідки

,або

Задовольняє умові задачі

Відповідь:

ІІ. Якщо ліва частина рівняння розкладається на множники, які набувають цілих значень для цілих значень змінних, а права частина рівняння - ціле число, то дане рівняння можна замінити рівносильною йому сукупністю систем рівнянь.

Наприклад, рівняння рівносильне сукупності систем:

ІІІ. Рівняння не має розв'язків у цілих числах, якщо для довільних цілих значень змінної в лівій і правій частинах рівняння отримуються цілі числа, для яких виконується хоча б одна з таких умов:

Ліва і права частини під час ділення на деяке ціле число дають різні остачі.

Наприклад, у рівнянні для довільних цілих чисел ліва частина рівняння, тобто вираз , ділиться на , а права частина під час ділення на дає в остачі .

Остання цифра числа в лівій частині інша, ніж остання цифра числа в правій частині.

Наприклад, у рівнянні для довільних натуральних числа, які одержують ся в лівій частині, закінчуються цифрами , а числа, які одержують ся в правій частині, закінчуються цифрами.

Одна з частин рівняння є точним квадратом (кубом), але друга частина такою не є.

Наприклад, у рівнянні ліва частина для довільного натурального х є точним квадратом, тоді як права частина ні для якого натурального не може бути точним квадратом (точний квадрат під час ділення на дає в остачі нуль або ).

Приклад 2. Розв'язати в натуральних числах рівняння

Розв'язання

,

Права частина може закінчуватися цифрами .

Якщо число х закінчується цифрами, то ліва частина рівняння закінчується цифрою .

Якщо ж х закінчується цифрами , то ліва частина рівняння закінчується цифрою .

Отже, рівняння розв'язків немає.

Відповідь: рівняння розв'язків немає.

1.4.1. Рівняння . Піфагорові трійки

Розв'язок невизначеного рівняння в цілих числах.

Можна взяти такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна було б одразу скоротити обидві частини рівняння на квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що ??, ??, ?? є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад ??, ?? ділились на , то і ділилось би на Таким чином, одне з чисел повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в протилежному випадку, якщо б то . Ділилось на , але не ділилось би на і тому не було б квадратом.(Якщо тобто ділиться на 4.. Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).

Нехай - парне, - непарне, тоді - непарне. Візьмемо .

Отримаємо .

- взаємно прості. Дійсно, якщо мали спільний множник , то містився б в , а це неможливо, бо є взаємно простими.

Тому повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо

Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо

Але так як ?? та ?? взаємно прості, то для кожного ?? одне із чисел дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:

,

Звідси

Таким чином кожен розв'язок рівняння у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді , де - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше і були б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа різної парності, числа - складені з них по формулам (1) і дають розв'язки рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все

Крім того, якщо б ділились на просте число , то також ділись би на і так, як не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов'язково ділиться на цей простий дільник, випливає, що повинні ділитися на , а це суперечить тому, що числа є взаємно простими. Отже, , а також і вся трійка - взаємно прості.

Таким чином формули (1) при взаємно простих різної парності, дають всі розв'язки рівняння у взаємно простих цілих числах.

Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.

Доведемо наступну теорему:

Теорема 1. Рівняння не має розв'язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння не має відмінних від нуля цілих розв'язків.

Доведення.

Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв'язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв'язків повинна існувати така, для якої приймає найменше можливе значення. Покажемо, що при цьому взаємно прості. Дійсно, якби мали спільний дільник ділилось би на і цілі числа давали б систему розв'язків з меншим

Як і в попередньому дослідженні рівняння , впевнюємось в тому, що із пари чисел одне повинне бути парним, а друге непарним.

Нехай ?? - парне. На основі виведених вище формул маємо

Причому - взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо ?? було парним, ?? - непарним, то мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд . Тому , і так як і взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що

Де взаємно прості, причому непарне.

Рівність , перепишемо тепер у вигляді ,

Де та взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що , а це в поєднанні з іншою рівністю дає .

Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим , що суперечить припущенню про мінімальність .

Піфагорові трійки.

Кожний трикутник, сторонни сторони якого відносяться, , згідно іззагальновідомою теоремою Піфагора - прямокутний, оскільки .

Крім чисел , існує як відомо, безліч цілих додатних чисел , які задовольняють відношення: .

Числа називаються піфагоровими числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому називають катетерами, - гіпотенузою.

Зрозуміло, що якщо є трійкою піфагорових чисел, то і - цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.

Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник ??).

Покажемо, що в кожній із таких трійок один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.

Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза . Це, суперечить тому, що числа не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд , то сума їх квадратів рівна

Тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.

Отже із катетів ??, ?? один парний, а інший непарний. Тому число непарне, а значить непарна і гіпотенуза ??.

Припустимо, для визначеності, що непарним є катет ??, а парним ??. Із рівності

.

Ми легко отримаємо: .

Множники, правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума

І різниця

І добуток

.

Тобто числа , і ?? мали б спільний множник. Так як ?? непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа ??, ??, ??, чого бути не може.

Отримана суперечність показує, що числа взаємно прості.

Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто

Розв'язавши цю систему, знайдемо:

Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд

?? та ?? - деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких ??, ?? ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях ?? та ??:

Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.

1.4.2 Невизначене рівняння третього степеня

Сума кубів трьох цілих чисел може бути кубом четвертого числа. Наприклад,

Це означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.

Спробуємо знайти таке ж відношення, тобто поставимо задачу: знайти розв'язки рівняння . Зручніше позначити невідоме ?? через . Тоді рівняння буде мати більш простий вигляд .

Розглянемо прийом, що дозволяє знайти безліч розв'язків цього рівняння в цілих (додатних та від'ємних)числах. Нехай та - дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число , і спробуємо підібрати число так, щоб отримані числа

лінійний діофантовий рівняння евклід

також задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо ?? таким чином, щоб виконувалась рівність

.

Розкривши дужки і знаючи, що ??, ??, ??, ?? та ??, ??, ??, ?? задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності

ми отримаємо

Або

Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для ??. Перше значення, , нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа ??, ??, ??, ??, які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для ??:

Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на ??, де ?? має вище вказане значення.

Для того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо . За другу четвірку можна взяти числа , які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:

Тоді для ?? ми отримаємо наступне значення:

а числа

будуть відповідно дорівнювати

Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння

Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких ?? та ?? ) наступні числа:

В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи ?? та ?? різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв'язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при отримуємо для ??, ??, ??, ?? наступні значення: 36, 6, 48, , або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,



РОЗДІЛ II. Прикладні та практичні аспекти застосування діофантових рівнянь

2.1 Розв'язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах

Приклад 1: Розв'язати рівняння в цілих числах.

Розв'язання:

1) Перевіримо умову розв'язності: коефіцієнти рівняння , отже маємо ціле число, якщо тому дане рівняння має множину розв'язків в цілих числах.

2) Знайдемо спочатку який-небудь конкретний розв'язок: Тут використаємо таку ідею, до речі, часто допомагає і при розв'язанні інших завдань.

Спочатку знайдемо одну пару цілих чисел , яка є рівняння розв'язком іншого, легшого рівняння: , тоді матимемо правильну рівність: , а для того, щоб знайти один розв'язок для рівняння , треба буде помножити правильну рівність Продемонструємо цю ідею на практиці. Оскільки легко встановити, що і, отже, - це розв'язок даного рівняння (одне з багатьох, не більш!).

3) Отже, маємо дві рівності:

, .

Віднімемо одне рівняння з іншого, позначимо x- x0 і у -y0 через p іg, і отримаємо . Звідси ми бачимо, що ділиться на 3, а - на 5. Покладемо , тоді - тут очевидно, що -може бути будь-яким цілим числом. Отже, ми отримуємо набір розв'язків:

- ціле число.

- ціле число.

Інших розв'язків, звичайно, немає.

Відповідь: - довільне ціле число.

Приклад 2: Розв'язати рівняння в цілих числах.

Розв'язання:

1)Це рівняння не має цілих розв'язків. Ліва частина ділиться на , бо , тоді як права частина не ділиться на . Звертаємо вашу увагу, що не виконується умова розв'язності: не ділиться на ціло на .

Відповідь: розв'язку в цілих числах рівняння не має.

Приклад 3: Розв'язати рівняння .

Розв'язання:

1)Числа, що беруть участь у рівнянні, такі великі, що підбором тут конкретного розв'язку не знайти. Проте нам допоможе те, що числа взаємно прості (перевірте це). Це означає, що дане рівняння має розв'язки в цілих числах.

2)Отже, , а це значить, що одиницю можна подати у вигляді суми , де - деякі цілі числа.

Продемонструємо використання алгоритму Евкліда. Більше числоп

поділимо на стовпчиком, отримаємо неповну частку і остачу . Згідно цього маємо рівність

Тепер число поділимо на стовпчиком, отримаємо неповну частку , а остачу . Згідно цього маємо рівність

Далі, число поділимо на стовпчиком, отримаємо неповну частку 1 а остачу . Згідно цього маємо рівність

Враховуючи рівності , які записані в дужках число 1 можна записати отак:

Отже, якщо не вдається легко підібрати конкретний розв'язок, як в даному випадку, то, використовуючи алгоритм Евкліда, можна завжди отримати потрібну пару: . Отже, за допомогою такої могутньої зброї, як алгоритм Евкліда, ми отримуємо конкретне вирішення допоміжного рівняння

3) Якщо помножити числа на то отримаємо -це конкретний розв'язок рівняння . Далі отримуємо, згідно формул множину цілих розв'язків:

- ціле число.

- ціле число.

Відповідь: - будь-яке ціле число.

2.2 Розв'язування лінійних рівнянь з трьома змінними в цілих числах

Розв'язати рівняння в цілих числах:

Розв'язання:

Так, як і 0ділиться на , то рівняння має розв'язки в цілих числах. Так, як , то можна представити - деякі цілі числа. Підбором знаходимо, що .

Підставимо в умову замість .

Маємо то

Нехай , тоді маємо рівняння: , частинний розв'язок якого. Отже, загальний його розв'язок . Тепер Знаходимо загальний розв'язок данного рівняння:.

Відповідь:..

2.3 Методи розв'язування діофантових рівнянь

2.3.1 Перебору варіантів

Для знаходження частинного розв'язку діофантового рівняння можна використовувати багато способів. Найпростіший з них - метод перебору варіантів.

Він зводиться до наступного алгоритму:

Виражаємо через , або через .

Надаємо початкові значення змінній, наприклад, і обчислюємо відповідні значення .

В результаті аналізу пар значень знайдеться пара таких цілих чисел

- частинний розв'язок рівняння.

Даний спосіб базується на теоремі: якщо , то серед чисел завжди знайдеться одне число , при якому вираз буде кратний .

Розглянемо даний спосіб на прикладі.

Приклад 1. В акваріумі живуть восьминоги та морські зірки. У восьминога 8 ніг, а у морської зірки 5. Скільки в акваріумі тих і інших, якщо відомо, що всього у них ніг?

Розв'язання

Нехай - кількість восьминогів, а - кількість морських зірок.

При цьому припущенні задача зводиться до розв'язання рівняння .

Якщо також припустити, що приймає найменше значення , то логічно, що не може бути більше за 4.

Підбором значень змінних визначаємо: - частинний розв'язок.

Відповідь: .

2.3.2 Розв'язування рівнянь шляхом виділення цілої частини

Як окремий метод розв'язування рівнянь за допомогою перебору варіантів можна виділити метод розв'язування рівнянь шляхом виділення цілої частини.

Приклад 1. Андрій працює влітку в кафе. За кожну годину йому платять 20 грн. і вираховують 4 грн. за кожну розбиту тарілку. На минулому тижні він заробив 360 грн. Визначте, скільки годин він працював і скільки розбив тарілок, якщо відомо, що він працює не більше 3 годин в день.

Розв'язання

Нехай годин він всього працював на тиждень, тоді грн. йому заплатили, але він розбив у тарілок, і з нього відняли грн.

Маємо рівняння . Якщо поділити рівняння на 4 отримаємо рівняння , причому . Отримаємо: ,

Так як - ціле число, то у повинно без остачі ділитися на 5, щоб у правій частині вийшло ціле число. Це може бути при

Тому можливі чотири випадки:

;

Відповідь: працював 18 годин, розбив 0 тарілок;

працював 19 годин, розбив 5 тарілок;

працював 20 годин, розбив 10 тарілок;

працював 21 годину, розбив 15 тарілок;



ВИСНОВКИ

Розв'язування діофантових рівнянь - одна з найдавніших математичних задач. Однак, незважаючи на те, що систематичне вивчення таких рівнянь започатковане ще давньогрецьким математиком Діофантом у III столітті, важливих успіхів у дослідженні діофантових рівнянь було досягнуто лише у ХХ столітті.

Курсова робота присвячена діофантовим рівнянням, особливу увагу зосереджено на прикладних та практичних аспектах їх застосування. Змістовно розкриті основні методи розв'язування діофантових рівнянь. У роботі розглянуто прикладні задачі, що приводять до лінійних та нелінійних діофантових рівнянь і розкриті деякі методи їх розв'язування та наведені приклади, що показують застосування цих методів на практиці. Також були підібрані різні завдання, що показують розв'язування діофантових рівнянь з двома та трьома змінними.

У курсовій роботі досліджено проблеми в науковій, навчально-методичній літературі.

Матеріал курсової роботи може бути використаний на уроках алгебри у класах з поглибленим вивченням математики, а також на факультативних та гурткових заняттях.

Також особливий інтерес викликають діофантові рівняння вищих степенів та їх розв'язування методами перебору варіантів і шляхом виділення цілої частини. Очевидно, що обидва ці методи розв'язання незручні у тому, що потребують перевірки всіх можливих значень і . До того ж ці методи незручні при розв'язуванні рівнянь з великими числовими коефіцієнтами.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бухштаб А. А. Теорія чисел. - М.: Просвітництво, 1996.

2. Гнезділова Т. Діофантові рівняння // Математика. - 2009. - №38.

3. Гнезділова Т. Діофантові рівняння // Математика. - 2009. - №39.

4. Гнезділова Т. Діофантові рівняння // Математика. - 2009. - №41.

5. Гнезділова Т. Діофантові рівняння // Математика. - 2009. - №46-47.

6. Електронна бібліотека «Бібліофонд» [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https://www.bibliofond.ru/detail.aspx?id=20851

7. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. - М.: Наука, 1967.

8. Конфорович А.Г. Колумби математики. - К.: Рад. школа, 1982. - с.61-65.

9. Математическая знциклодедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т.2 Д - Коо. - М.: „Советская знциклопедия”, 1979.-е. 158-175.

10. Грохольська А.В. Невизначені рівняння.// Математика в школі. - 2003. - №5. - с.36-43

11. Лейфура В.М. Діофантові рівняння. // У світі математики. - 1985. - В. 16. - с.57-69.

12. Працьовитий М. В. «ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ» / Працьовитий М. В.. - с.151-161.

13. Чемерис М. І. ДІОФАНТ / Михайло Іванович Чемерис. - Житомир, 2012. - 23 с.

14. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения / Изабелла Григорьевна Башмакова.. - 67 с.

15. Приблуда І. А. «Діофантові рівняння» [Електронний ресурс] / Ірина Андріївна Приблуда. - 2010. - Режим доступу до ресурсу: http://ua-referat.com/%D0%94%D1%96%D0%B0%D1%84%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F.

16. Вільна енциклопедія «Вікіпедія» [Електронний ресурс]. - Режим доступу: https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BE%D1%84%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F

17. Бєлов Д. В. Лінійні діофантові рівняння [Електронний ресурс] / Денис Володимирович Бєлов. - 2006. - Режим доступу до ресурсу: http://ua-referat.com/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%94%D1%96%D0%BE%D1%84%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F.

18. Синиця О. О. Нелінійні діофантові рівняння [Електронний ресурс] / О. О. Синиця // Сумський державний університет. - 2018. - Режим доступу до ресурсу: http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/66829.

19. Первєєв В. Д. Деякі методи розв'язування діофантових рівнянь та їх систем у цілих числах [Електронний ресурс] / Володимир Дмитрович Первєєв - Режим доступу до ресурсу: https://ru.calameo.com/read/005440466aea0b3ca11dc.

20. Діофантові рівняння. Застосування конгруенції, їх властивостей та теорем Ейлера і Ферма. [Електронний ресурс] - Режим доступу до ресурсу: https://studlib.info/filosofiya/1085657-diofantovi-rivnyannya-pershogo-stepenya/.

Размещено на Allbest.ru