Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

4

Міністерство освіти і науки України

Закарпатський державний університет

ІНСТИТУТ ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

Реєстраційний №____

Дата ______________

КУРСОВА РОБОТА

з вищої математики

Тема: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків.

Рекомендовано до захисту

“__” ____________ 2006 р.

Робота захищена

“__” ____________ 2006 р.

з оцінкою

__________

Підписи членів комісії:

студента II курсу

денного відділення

П. І. Б.

Науковий керівник

проф. П. І. Б.

Ужгород

Зміст

I. Вступ ______________________________________________________3

II. Теоретичний виклад матеріалу _________________________________4

1. Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь _____________________4

2. Ранг матриці ______________________________________________5

3. Фундаментальна система розв'язків __________________________7

4. Приклади розв'язання завдань _______________________________9

III. Висновок __________________________________________________14

Використана література ______________________________________15

Вступ

Спочатку нам потрібно розглянути те, як виглядають системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, ознайомитися з тими компонентами, які входять у ці системи.

Отже, система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими в загальному випадку має вигляд:

(2.1)

Тут n і m -- довільні натуральні числа, ніяк не пов'язані між собою; x_1, x₂,…,x_n -- невідомі величини; (коефіцієнти системи), (вільні члени) -- довільні відомі числа.

В цій роботі нас цікавитиме система, у якої всі вільні члени дорівнюють нулю. Тобто однорідна система до системи (2.1), яка має такий вигляд:

(2.2)

Вона буде називається однорідною системою, відповідною до системи (2.1).

Система ж (2.1) називається неоднорідною, якщо (принаймні одне з чисел є відмінним від нуля).

Розв'язком системи (2.1) (системи (2.2)) називається така впорядкована система n чисел яка при підставленні в систему (2.1) (систему (2.2)) на місце невідомих відповідно, тобто замість , підставляємо , замість , підставляємо і т. д., перетворює всі рівняння системи (2.1) (системи (2.2)) в правильні рівності. Розв'язок записують у вигляді n- вимірного вектора .

Теоретичний виклад матеріалу

5. Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь.

Будь-яка система рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, і -- несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку. При цьому сумісна система називається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок, і -- невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.

Дві системи рівнянь називаються еквівалентними, якщо обидві вони несумісні, або якщо обидві вони сумісні та мають одні й ті ж розв'язки. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь є еквівалентними, якщо вони одержуються одна з однієї шляхом застосування скінченної послідовності таких перетворень.

* переставляння місцями двох рівнянь системи (елементарне перетворення першого роду),

* додавання до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).

Кожній системі лінійних алгебраїчних рівнянь (2 1) чи (2.2) відповідає деяка матриця

(2.3)

її називають матрицею цієї системи. Для системи (2.1) можна виписати матрицю

(2.4)

Її називають розширеною матрицею системи (2.1).

З іншого боку, кожну - матрицю можна розуміти як матрицю деякої системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими, а - матрицю як розширену матрицю деякої неоднорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Останнє зауваження означає, що система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими з точністю до позначень невідомих, задається своєю розширеною - матрицею.

Неважко помітити, що, проводячи елементарні перетворення першого і другого роду в системі лінійних алгебраїчних рівнянь, ми маємо справу лише з коефіцієнтами при невідомих. Через це значно простіше виконувати елементарні перетворення, оперуючи не з самою системою, а лише з її розширеною матрицею. Таким чином, елементарні перетворення першого і другого роду над системами лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими здійснюються, як перетворення відповідних їм матриць. При цьому переставлянню місцями двох рівнянь системи відповідає переставляння місцями двох рядків матриці системи (елементарне перетворення першого роду), а додаванню до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженого на деяке число, відповідає додавання до якогось рядка матриці системи іншого її рядка, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).

6. Ранг матриці.

Нехай - система таких n-вимірних векторів, що:

,

тобто -- система векторів-рядків матриці А. Цю систему можна впорядковувати різними способами.

Нехай -- певним чином впорядкована система векторів-рядків матриці А. Вилучаючи з цієї системи ті вектори-рядки матриці А, які лінійно виражаються через попередні, одержуємо лінійно незалежну підсистему векторів-рядків матриці А.

Зрозуміло, що впорядковуючи різними способами систему векторів-рядків матриці А, ми будемо одержувати, загалом, різні лінійно незалежні підсистеми лінійно незалежних векторів-рядків матриці А. Спільним для всіх таких підсистем є кількість векторів-рядків матриці А, що входять до них. Власне, це число називається рангом системи векторів-рядків матриці А.

Означення. Рангом матриці А називається ранг системи її векторів-рядків.

Нехай А -- довільна прямокутна матриця, k -- таке натуральне число, що Зафіксуємо в цій матриці k рядків і k стовпців. Не змінюючи взаємного розташування елементів матриці А, розташованих на перетині зафіксованих рядків і стовпців, складемо з них матрицю k-го порядку. Детермінант цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А.

Кажуть, що мінор r+1-го порядку матриці А обводить мінор 1-го порядку, якщо він містить його в собі повністю.

Теорема. Найвищий порядок r відмінних від нуля мінорів матриці А дорівнює рангу цієї матриці.

Наслідок 1. Ранг системи векторів-рядків матриці А дорівнює рангові системи векторів-стовпців цієї матриці.

Наслідок 2. Детермінант квадратної матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли якийсь її рядок є лінійною комбінацією інших її рядків.

Для знаходження рангу матриці А розмірності використовують такий алгоритм:

1) Якщо всі елементи матриці А дорівнюють нулю, тобто, то її ранг R(A) дорівнює нулю.

2) Якщо хоча би один елемент матриці А відмінний від нуля, то При цьому, якщо всі мінори другого порядку

матриці дорівнюють нулю, то .

3) Якщо хоча би один мінор другого порядку матриці А відмінний від нуля, то При цьому, якщо всі мінори третього порядку

матриці А, які обводять відмінний від нуля мінор другого порядку матриці A, дорівнюють нулю, то .

4) Якщо хоча би один мінор третього порядку матриці А відмінний від нуля, то При цьому, якщо всі мінори четвертого порядку матриці А, які обводять відмінний від нуля мінор третього порядку матриці А, дорівнюють нулю, то ... і т.д.

Означення. Нехай r -- ранг матриці . Будь-який відмінний від нуля мінор 1-го порядку матриці називають її базовим мінором.

7. Фундаментальна система розв'язків.

З теореми Кронекера-Капеллі випливає, що будь-яка система (2.2) лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Вона має очевидний (тривіальний) розв'язок: (його записують у вигляді (0.....0)). Якщо ранг матриці системи (2.2) дорівнює кількості невідомих, тобто , то така система має тільки нульовий розв'язок. Якщо ж , де , то в системі є n-r вільних невідомих, які можна дібрати так, щоб система (2.2) мала ще й ненульові розв'язки. Зазначимо, що система n лінійних однорідних рівнянь з n невідомими тоді і тільки тоді має розв'язки, відмінних від нульового, коли детермінант цієї системи дорівнює нулю.

Нехай вектори та є розв'язками с системи (2.2). Тоді при будь-якому дійсному k вектор також є розв'язком системи (2.2). Крім того, при будь-яких дійсних k та l вектор також є розв'язком системи (2.2). Іншими словами: будь-яка лінійна комбінація розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь є розв'язком цієї ж системи Сукупність усіх можливих розв'язків системи (2.2) називають простором розв'язків цієї системи.

Систему (2.2) розв'язують за тим же алгоритмом, що й систему (2.1). При цьому, очевидно і ми фіксуємо деякий базовий мінор матриці А системи (2.2). Потім виконуємо такі дії:

1. Відкидаємо всі ті рівняння системи (2.2), коефіцієнти при невідомих у яких не складають рядок вибраного базового мінора матриці А, тобто залишаємо тільки рівнянь системи (2.2).

2. Всі невідомі в залишених нами рівняннях, коефіцієнти при яких не входять в базовий мінор, переносимо в праву частину рівняння (ці невідомі називають вільними).

3. Надаючи вільним невідомим довільних значень, знаходимо значення інших r невідомих (ці невідомі називаються головними).

Одержавши всі можливі розв'язки системи (2.2), ми можемо вибрати з них лінійно незалежні розв'язки. Для цього потрібно вільним невідомим (а їх є n-r, де ), наприклад, надавати такі сукупності значень (i=1,...), щоб ці n-r-вимірні вектори виявилися лінійно незалежними. Таких векторів можна вибрати n-r. Для кожного з цих лінійно незалежних n-r-вимірних векторів, компонентами яких є значення вільних невідомих, знаходимо відповідні значення головних невідомих , де (i=1,...,n-r). Тоді n-вимірні вектори (i=1,...,n-r) є лінійно незалежними розв'язками системи (2.2). Таку систему розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називають лінійно незалежною.

Зрозуміло, що лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) знаходиться неоднозначно. Це пов'язано з тим, що базовий мінор матриці системи (2.2) знаходиться неоднозначно, а, потім, довільним чином добираються лінійно незалежні рядки значень вільних невідомих. Будь-яка лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називається її фундаментальною системою .

Якщо вже вибрана деяка фундаментальна система розв'язків системи (2.2), наприклад , то будь-який розв'язок цієї системи є лінійною комбінацією розв'язків фундаментальної системи, тобто , і навпаки, будь-яка лінійна комбінація розв'язків фундаментальної системи є розв'язком системи (2.2). Якщо коефіцієнти цієї лінійної комбінації вважати довільними, то вона (тобто, ця лінійна комбінація) називається загальним розв'язком системи (2.2).

Серед фундаментальних систем розв'язків системи (2.2) виділяють нормальну фундаментальну систему, яка відповідає таким лінійно незалежним n-r-вимірним векторам значень вільних невідомих (1,0,...,0), (0,1,…,0),...,(0,0,...,1) (тут кожний з n-r-векторів є n-r-вимірним).

Нехай (2.1) -- довільна неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь, (2.2) -- відповідна їй однорідна система. Якщо вектор --довільний розв'язок системи (2.1), а -- довільний розв'язок системи (2.2), то є знову ж таки розв'язком неоднорідної системи лінійних рівнянь (2.1). Будь-який розв'язок лінійної неоднорідної системи (2.1) дорівнює сумі деякого розв'язку цієї системи і загального розв'язку відповідної їй однорідної системи (2.2). Такий розв'язок системи (2.1) називають її загальним розв'язком.

Зауважимо також, що різниця двох розв'язків системи (2.1) є розв'язком системи (2.2).

2. Приклади розв'язання завдань.

Завдання 1. Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь:

Розв'язання. Кожна система лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Знаходимо ранг матриці А цієї системи.

А =

Матриця А -- ненульова, отже,

Обчислюємо мінори третього порядку матриці А, одержані обведенням відмінного від нуля мінора другого порядку. Звернемо увагу на те, що третій і четвертий стовпці матриці А пропорційні відповідно першому та другому її стовпцям. Тому мінори, утворені обведенням за допомогою як третього, так і четвертого стовпців, дорівнюють нулю. Залишається обчислити ще два мінори, утворені обведенням за допомогою п'ятого стовпця.

Таким чином, ранг матриці А дорівнює 2. Зважаючи на те, що її базовий мінор розташовано в лівому верхньому куті матриці А, залишаємо в системі тільки перші два рівняння, а в їх лівих частинах -- тільки перші дві невідомі. Інші три невідомі переносимо в праві частини, тобто вільними невідомими є . Маємо:

Складемо таблицю для невідомих x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, відокремивши в ній головні (x₁ та x₂) і вільні (х₃, х₄, та х₅) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х₃, х₄, х₅) такі, наприклад, значення: (1, 0, 0) = ₁ , (0,1, 0) = ₂ , (0, 0,1) = ₃ (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори ₁, ₂ та ₃ виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних тривимірних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд:

Другий рядок таблиці (х₃+x₅, х₄+х₅, x₃, х₄, х₅) є загальним розв'язком розглядуваної системи, якщо х₃, x₄ та х₅ є будь-які числа; третій -- ?₁ = (1, 0, 1, 0, 0), четвертий -- ?₂ = (0, 1, 0, 1, 0) та п'ятий -- ?₃ = (1, 1, 0, 0, 1) є частинними розв'язками розглядуваної системи.

Останні рядки, тобто вектори ?₁, ?₂ та ?₃ є лінійно незалежними, бо і лінійно незалежними є їх частини, відповідно, ₁, ₂ та ₃ . Вектори ?₁, ?₂ та ?₃ утворюють фундаментальну систему розв'язків розглядуваної нами в цьому завданні системи. Зауважимо, що ми здійснили такий вибір значень вільних невідомих, при якому одержано нормальну фундаментальну систему ?₁, ?₂ та ?₃ розв'язків заданої системи рівнянь.

Завдання 2. Знайти фундаментальну систему розв'язків.

Розв'язання. Кожна система лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Знаходимо ранг матриці А цієї системи.

Матриця А -- ненульова, отже,

Обчислюємо мінори третього порядку матриці А, одержані обведенням відмінного від нуля мінора другого порядку. Бачимо, що перший і другий рядки однакові, тому нам досить обчислити два мінори третього порядку утворені обведенням першого стовпця і третього рядка, першого стовпця і четвертого рядка.

, тому що другий і третій рядки пропорційні.

Таким чином, ранг матриці А дорівнює 2. Зважаючи на те, що її базовий мінор розташовано в правому верхньому куті матриці А, залишаємо в системі тільки перші два рівняння, а в їх лівих частинах -- тільки ті невідомі, коефіцієнти при яких ввійшли до базового мінору. Інші дві невідомі переносимо в праві частини, тобто вільними невідомими є х₃ та х₄. Маємо:

Додамо до другого рівняння перше помножене на 3

Складемо таблицю для невідомих x₁, x₂, x₃, x₄, відокремивши в ній головні (x₃ та x₄) і вільні (х₁ та х₂) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х₁ та х₂) такі, наприклад, значення: (1, 0) = ₁ , (0,1) = ₂, (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори ₁ та ₂ виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд:

Другий рядок таблиці є загальним розв'язком розглядуваної системи, якщо х₁ та х₂ є будь-які числа; третій -- ?₁ = (1, 0, -3, 2) та четвертий -- ?₂ = (0, 1, -3, 2) є частинними розв'язками розглядуваної системи. Останні рядки, тобто вектори ?₁ та ?₂ є лінійно незалежними, бо і лінійно незалежними є їх частини, відповідно, ₁ та ₂ . Вектори ?₁ та ?₂ утворюють фундаментальну систему розв'язків розглядуваної нами в цьому завданні системи. Зауважимо, що ми здійснили такий вибір значень вільних невідомих, при якому одержано нормальну фундаментальну систему ?₁ та ?₂ розв'язків заданої системи рівнянь

Висновок

Можна визначити такий основний алгоритм знаходження фундаментальної системи розв'язків лінійних однорідних рівнянь:

1. Виписуємо матрицю системи, при цьому вибираємо один з мінорів, що відмінний від нуля найвищого порядку. Його назвемо базою мінор.

2. Тоді в розглядуваній СЛОР відкидаємо всі ті рівняння коефіцієнти при яких не увійшли до базового мінора.

3. В рівняннях, що залишилися переносимо у праву частину ті члени коефіцієнти при невідомих у яких не увійшли до базового мінора. Ці невідомі назвемо вільними невідомими. Ті ж невідомі, що залишилися у тій лівій частині назвемо - головними.

4. Виражаємо головні невідомі через вільні невідомі. Значення для вільних невідомих різними способами підбираємо так, що набори, які утворилися при цьому є лінійно незалежними.

5. Підставляючи ці значення у розв'язок для головних невідомих одержуємо фундаментальну систему розв'язків.

Використана література

1. Курош А. Г., “ Курс высшей алгебры ”, изд. 10, <<Наука>>, Москва, 1971 г., 432 стр.

2. Ф. Г. Ващук, С. С. Поляк, І. О. Пономарьова, “ Практикум з алгебри ”, Ужгород, 1997 р., 147ст.

3. Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М.. Высшая математика - К.: Вища шк. Главное изд., 1987 г., 552 стр.

4. Ващук Ф. Г., Поляк С. С.. Практикум з вищої математики. Частина І: Елементи алгебри та аналітичної геометрії. - Ужгород: Гражда, 2005. - 294 с.: іл.