1

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2007 г.

Об одной проблеме теории

Формации конечных групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-51 А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2007

Оглавление

Введение

Вспомогательные факты

Основные результаты

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1-3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].

Пусть - некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел; - дополнение к во множестве всех простых чисел. Формация называется -насыщенной, если ей принадлежит всякая группа , удовлетворяющая условию , где . Всякая формация считается 0-кратно -насыщенной. При формация называется -кратно -насыщенной [4], если , где все непустые значения -локального спутника являются -кратно -насыщенными формациями.

Для любых двух -кратно -насыщенных формаций и полагают , а , где - пересечение всех -кратно -насыщенных формаций, содержащих . Через обозначают решетку -кратно -насыщенных формаций, заключенных между и . Длину решетки обозначают и называют -дефектом формации . -Кратно -насыщенную формацию называют -приводимой, если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных -кратно -насыщенных подформаций в решетке . В противном случае формацию называют -неприводимой.

Группа называют критической, если - группа минимального порядка из для некоторых формаций и . Критическая группа называется -базисной, если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация , причем .

В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была поставлена задача описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта (вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1-3 завершают описание -кратно -насыщенных формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать -приводимые -кратно -насыщенные формации, имеющие -дефект , а в теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2 (). Отметим, что при решение данной задачи получено в работе [5].

Вспомогательные факты

Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является

Лемма 1. Пусть - -кратно -насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация.

Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].

Лемма 2. Пусть , и - -кратно -насыщенные формации, причем . Тогда если и соответственно -дефекты формаций и и , то .

Лемма 3 [4]. Для всех решетка модулярна.

Аналогично лемме 14 [7] доказывается

Лемма 4. Пусть , где - некоторая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , - минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации . Тогда в формации не существует минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формаций, отличных от .

Лемма 5. Пусть , и - -насыщенная формации и . Тогда .

Доказательство аналогично лемме 20.3 [2].

Лемма 6 [8]. При всякая -кратно насыщенная формация, имеющая -дефект 2, приводима.

Лемма 7 [4]. Пусть - -кратно -насыщенная формация . Тогда спутник является -значным.

Лемма 8 [9]. Пусть - такая полная решетка формаций, что . Пусть - -локальная формация с каноническим -локальным спутником , - -локальная формация с минимальным -локальным -значным спутником . Тогда в том и только в том случае - -критическая формация, когда , где - такая монолитическая группа с монолитом , что либо , и - -критическая формация для всех , либо и - -критическая формация.

Лемма 9 [4]. Пусть , где , и пусть - минимальный -значный спутник формации . Тогда справедливы следующие утверждения: 1) ; 2) для всех ; 3) , спутник является -значным и - некоторый фиксированный элемент из , то , где для всех , и, кроме того, ; 4) , где и для всех .

Лемма 10 [4]. Пусть такой внутренний -кратно -локальный спутник формации , что , . Тогда , где .

Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является минимальной -кратно -насыщенной ненильпотентной формацией, когда , где - такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

1) - группа Шмидта с , где - абелева -группа, и - простое число;

2) - неабелева -группа, , где , причем, если , то и - простая неабелева группа.

Лемма 12 [6]. Пусть - монолитическая группа с неабелевым монолитом . Тогда если простое число делит порядок группы , то .

Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть - произвольная непустая формация и пусть у каждой группы -корадикал не имеет фраттиниевых -главных факторов. Тогда если - монолитическая группа из , то .

Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и - формации, причем - локальна и - группа минимального порядка из . Тогда монолитична, ее монолит совпадает с и если - -группа, то .

Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и ( - некоторое простое число), то существует точный неприводимый -модуль, где - поле из элементов.

Лемма 16 [4]. Пусть - -насыщенная формация и - ее -локальный спутник. Если , то .

Лемма 17 [4]. Пусть и - минимальные -локальные -значные спутники формаций и соответственно. Тогда в том и только в том случае, когда .

Лемма 18 [10]. Пусть (), где - такая монолитическая группа с неабелевым монолитом , что и . Тогда имеет единственную максимальную -кратно -насыщенную подформацию , причем .

Основные результаты

Теорема 1. Пусть - -кратно -насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -дефект формации равен 1, когда , где - -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , - минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , при этом: 1) всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в ; 2) всякая -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из имеет вид

Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации равен 1. Так как не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в входит некоторая минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . По условию - максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Значит, .

Достаточность. Пусть , где - -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , - минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация . Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций , и равны соответственно , и . Поскольку - -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации , то . Так как - минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то - нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким образом, -дефект формации равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как - максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно, - максимальная -кратно -насыщенная подформация в . Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из входит в .

Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от .

Пусть теперь - произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из . Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя лемму 3, получаем . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть - -приводимая формация, . Тогда и только тогда -дефект формации равен 2, когда удовлетворяет одному из следующих условий: 1) , где , и - различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации; 2) , где , - -неприводимая формация -дефекта 2, , причем если , то .

Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что .

Необходимость. Пусть -дефект формации равен 2, - такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , что -дефект формации равен 1. По теореме 1 получаем , где - минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, а . Если в формации имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, . Значит,

и выполнено условие 1).

Пусть теперь в формации нет отличных от минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку - -приводимая формация, то в найдется такая группа , что . Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект формации меньше или равен 2. Поскольку и -дефект формации равен 1, то -дефект формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем, что , где . Значит, где . Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен 2. Тогда , так как иначе , что противоречит максимальности формации в формации . Таким образом,

Предположим, что - -неприводимая формация. Заметим, что если и - -насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия следует, что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия следует, что . Таким образом, является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае - приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому . Тогда получаем, что формация удовлетворяет условию 2).

Пусть теперь - -приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых -кратно -насыщенных подформаций однопорожденной формации .

Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект, равный 1. Так как - -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где - некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации .

Тогда . Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для , получаем, что либо формация (где ) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация является -приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что , так как иначе , что противоречит максимальности формации в .

Поскольку - собственная -кратно -насыщенная подформация формации , то число разрешимых подформаций формации меньше чем у . Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации имеется лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация (где ) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо , где - -приводимая формация -дефекта 2, - наименьшая неединичная разрешимая подформация формации , такая что .

Обозначим через максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как - -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где - некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда

Но по предположению индукции. Следовательно, формация не может быть -приводимой формацией. Значит, , где , - -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть , где , и - различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации. Пусть , , и -дефекты формаций , , и соответственно. Тогда по лемме 2 -дефект формации не превосходит. С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект формации равен 2.

Аналогично рассматривается случай, когда , где , - -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть - -кратно -насыщенная формация . Тогда и только тогда формации - - -неприводимая формация -дефекта 2, когда , где - такая монолитическая группа с цоколем , что выполняется одно из следующих условий:

1) , где - -группа, , а - группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1.1) циклическая примарная группа порядка ;

1.2) неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты;

1.3) монолитическая группа с цоколем и - -группа;

2) - неабелева группа, , а группа удовлетворяет одному из следующих условий:

2.1) -группа, где ;

2.2) элементарная абелева -группа, ;

2.3) подпрямое произведение групп изоморфных , где - такая монолитическая группа с цоколем , что - неабелева группа, ;

3) - -группа, формация имеет -дефект 1, - -базисная группа, где , , а - такая монолитическая группа с цоколем , что выполнено одно из следующих условий:

3.1) - группа Шмидта с , где - абелева -группа, и - простое число,;

3.2) - неабелева группа, причем ;

3.3) - -группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть - -неприводимая формация -дефекта 2, - максимальная -кратно -насыщенная подформация формации с каноническим спутником . Заметим, что ввиду леммы 7 спутник является -кратно -локальным. Тогда является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Пусть и - минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. В силу замечания 2 [4] имеем , для всех .

Применяя лемму 8, получим, что , где - такая монолитическая группа с цоколем , что либо (, и - -критическая формация для всех , либо и - -критическая формация. По теореме 1 , где - минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация формации , .

Предположим, что . Тогда найдется простое число . Пусть - группа порядка . Тогда . Так как - максимальная -кратно -насыщенная подформация формации и , то . Но формация является -неприводимой по условию теоремы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть и - минимальные -кратно -локальные спутники формаций и соответственно. По лемме 9 формации и имеют такие внутренние -кратно -локальные спутники и , принимающие соответственно значения , при , , при , , при , и , при , , при , , при . Ввиду леммы 10 справедливо равенство .

В силу леммы 11 , где - такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

(1) -группа Шмидта с , где - абелева -группа, и - простое число;

(2) - неабелева -группа , где .

Заметим, что если , то любая -насыщенная подформация из является насыщенной. Следовательно, любая -кратно -насыщенная подформация формации является -кратно насыщенной. По лемме 6 при всякая -кратно насыщенная формация с -дефектом 2 приводима. Поэтому при формация не может быть -неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом, .

Допустим, что - неабелев цоколь группы . Пусть и . Тогда по лемме 12 имеем . Значит,

Пусть для формации выполнено условие (1). Предположим, что . Так как , то имеем . Тогда - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, , и -дефект формации равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому . Используя лемму 9, имеем

.

Следовательно, .

Покажем, что . Действительно, если , то найдется такое , что . Поскольку , то . Тогда . Так как делит порядок , то по лемме 12 имеем . Тогда - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку и , то . Так как при этом и , то . Но . Противоречие. Поэтому .

По лемме 9 имеем Следовательно, и является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией.

Ясно также, что , поскольку в противном случае -дефект формации равен 1 в силу леммы 11.

Если , то . Значит, является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Поэтому . Значит, , и формация удовлетворяет условию 2.1) теоремы.

Если , то . Тогда . Так как , то , т.е. является элементарной абелевой -группой, и формация удовлетворяет условию 2.2) теоремы.

Пусть для формации выполнено условие (2). Покажем, что . Предположим, что существует . Тогда . Значит, - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Последнее невозможно, так как . Поэтому . Но . Следовательно, .

Ввиду леммы 12, . Так как , то - минимальная не -формация. Значит, . Но, как нетрудно показать, . Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, и . Но тогда Так как при этом группа является монолитической группой с неабелевым цоколем , то применяя лемму 13 получим, что - подпрямое произведение групп изоморфных группе . Таким образом, группа удовлетворяет условию 2.3) теоремы.

Пусть теперь - такая формация, что - монолитическая группа с цоколем , . Так как , то . Но тогда - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, и по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.

Пусть - абелева -группа, . Тогда по лемме 14 имеем . Пусть формация удовлетворяет условию (1).

Предположим, что . Тогда . Значит, - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть - группа минимального порядка из . Тогда является монолитической группой с цоколем . Ясно, что и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Поскольку и формация разрешима, то - абелева -группа для некоторого простого числа . Но . Если , то группа нильпотентна. Поскольку , то - группа простого порядка . Но тогда по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому . Так как при этом , то , что невозможно. Поэтому .

Но тогда и - минимальная -кратно -насыщенная не -формация.

Рассмотрим группу . Тогда является монолитической группой с цоколем . Поскольку и формация разрешима, то - абелева -группа для некоторого простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Но . Значит, . Но - монолитическая группа. Значит, - -группа. Если , то , что невозможно. Значит, . Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, . Поскольку , то . Таким образом, и . Тогда - минимальная не -формация. Поскольку группа нильпотентна, то любая собственная подгруппа из принадлежит . Таким образом, - минимальная не -группа. Так как при этом - -группа, то либо циклическая примарная группа порядка , либо неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты . Но тогда группа удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.

Пусть для формации выполнено условие (2). Допустим, что . Тогда . Значит, - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку , то . Так как при этом , то . Если , то , что невозможно. Значит, . Но . Следовательно, . Противоречие. Таким образом, .

Тогда и - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Выберем в группу минимального порядка. Тогда - монолитическая группа с цоколем и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Предположим, что - неабелев цоколь группы . Ввиду того, что и

то . Следовательно, по лемме 13 имеем . Поскольку и , то группа изоморфна группе . Но тогда . Однако . Поэтому и -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, - абелева -группа, для некоторого простого числа . Допустим, что . Пусть - группа порядка . Тогда . Пусть - точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Поскольку и

то . Следовательно, по лемме 13 имеем Так как и , то группа изоморфна группе . Но - неабелева -группа. Противоречие. Следовательно, данный случай невозможен.

Пусть формация такая, что . Так как , то . Но тогда - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть - группа минимального порядка из . Тогда является монолитической группой с цоколем . Понятно, что и . Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то .

Пусть - абелева -группа для некоторого простого числа . Если , то . Противоречие. Значит, . Кроме того, понятно, что . Так как в противном случае и по лемме 11 формация имеет -дефект 1, что невозможно. Поскольку и , то . Тогда по лемме 13 получим, что . Так как и , то группа изоморфна группе .

Пусть - неабелев цоколь группы . Тогда так как и , то . Применяя теперь лемму 13, заключаем, что . Так как и получаем, ввиду монолитичности , что группы и изоморфны.

Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется группа простого порядка , такая, что . Пусть - точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Таким образом, группа удовлетворяет условию 1.3) теоремы.

Пусть теперь - -группа и пусть формация удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда или, соответственно,. Если , то или . Но - -группа. Значит, . Противоречие. Поэтому . Но тогда - единственная максимальная подформация и - -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Значит, удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы.

Пусть теперь для формации выполняется условие . Тогда по лемме 8 - минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Снова применяя лемму 8, получим, что - -критическая формация, …, - минимальная не -формация и - -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Таким образом, группа удовлетворяет условию 3.3) теоремы.

Достаточность. Пусть для формации выполнено условие 1) теоремы и - циклическая примарная группа порядка , . Пусть - минимальный -кратно -локальный спутник формации . По лемме 14 имеем . Так как , то . Заметим, что является единственной максимальной подформацией формации , где - группа порядка .

Построим -кратно -локальный спутник , принимающий следующие значения , при , , при . Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию . Пусть - минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

Пусть - произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации . И пусть - минимальный -кратно -локальный спутник формации . Если , то так как , получаем . Следовательно, . Противоречие. Значит, . Тогда, так как - единственная максимальная подформация , то и для , т.е. . По лемме 17 получаем, что . Таким образом, - единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.

Поскольку , то ввиду леммы 15 существует точный неприводимый -модуль , где - поле из элементов. Пусть . Тогда, так как , то, ввиду леммы 16, . Если предположить, что , то по лемме 17 получаем , где - минимальный -кратно -насыщенный спутник формации . Но тогда . Противоречие. Значит, , т.е. формация порождается группой Шмидта и имеет нильпотентный -дефект 1. Но тогда -дефект формации равен 2.

Случаи, когда - неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты , и - монолитическая группа с цоколем , где - -группа, рассматриваются аналогично.

Пусть для формации выполнено условие 2) теоремы. Построим -значный -локальный спутник , принимающий следующие значения: , при , , при . Ясно, что .

Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию , порожденную спутником . Пусть - минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

Пусть - произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации , - ее минимальный -значный -локальный спутник. Тогда для любого . Кроме того, как нетрудно показать, имеет место включение

Поэтому . Таким образом, - единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.

В силу леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен 1. Но тогда -дефект -неприводимой формации равен 2.

Пусть для формации выполнено условие 3). Построим -локальный спутник - такой, что и для любого . Так как группа является -базисной, то всякая подформация из содержится в . Следовательно, формация по лемме 8 является -критической. Пусть теперь - такой -значный -локальный спутник, что и для любого . Снова применяя лемму 8, получаем, что формация является -критической и т.д. Построим -значный -локальный спутник такой, что и для любого . Опять применяя лемму 8, получим, что формация является -критической. Заметим также, что ввиду леммы 11 -дефект -кратно -насыщенной формации равен 1. Следовательно, -дефект -неприводимой формации равен 2. Теорема доказана.

Заключение

Дано решение проблемы описания -кратно -насыщенных формаций -дефекта 2, поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. - 1999. - Т.2, №2. - С. 114-147, проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение -приводимых формаций -дефекта 2; получено описание конечных групп, порождающих -неприводимые формации -дефекта 2.

ЛИТЕРАТУРА

Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М., 1978. - 267 с.

Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М., 1989. -- 256 с.

Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Беларуская навука, 1997. - 240 c.

Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. -1999. - Т.2, №2. - С. 114-147.

Частично локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР (заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. - Гомель, 2001. - 69 с. - Библиогр.: с. 66-69. - № ГР 2000419.

Шаблина И.П. Модулярные и алгебраические решетки -кратно -насыщенных формаций конечных групп: Дис. … канд. физ.-мат. наук. - Гомель, 2003. - 92 с.

Рябченко А. И О частично насыщенных формациях с -дефектом 1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. - 2008. - № 1 .- С.28-34.

Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не -формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. - Вып. 8. - С. 109-138.

Селькин В.М., Скиба А.Н. О -критических формациях // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. - Вып. 14. - С. 127-131.

Рябченко А. И. О минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных формациях // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. - 2008. - №5. - C. 41-46.

Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. - 2008. - №6(51). Ч.2.- С. 153-160.