О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« » 2007 г.

О щ-насыщенных формациях с -разложимым дефектом 1

Курсовая работа

Исполнитель:

Студент группы М-51 А.И. Рябченко

Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов

Гомель 2007

Оглавление

• 1. Введение
• 2. Основные понятия и обозначения
• 3. Используемые результаты
• 4. Основной результат
• 5 Заключение
• Литература
• 1. Введение
• Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта щ-насыщенной формации. При этом, под H-дефектом щ-насыщенной формации F понимают длину решетки щ-насыщенных формаций, заключенных между формацией FH и F.
• В случае, когда H - формация всех -разложимых групп, H-дефект щ-насыщенной формации F называют ее -разложимым l^щ-дефектом. Доказано, что -разложимый l^щ-дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной щ-насыщенной не -разложимой подформации и некоторой щ-насыщенной -разложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.
• Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый l^щ-дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации щ-насыщенных формаций с заданной структурой щ-насыщенных подформаций.
• Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1-3].
• В работе [4] было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом 2. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между FH и F.
• В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. С одной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991г., В.В.Аниськов, 1995-2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996-2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).
• В теории щ-насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом [5] и Н.Г.Жевновой [6] при изучении p-насыщенных и щ-насыщенных формаций с нильпотентным l^щ-дефектом 1. Классификация неразрешимых щ-насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную щ-насыщенную подформацию, получена в [7].
• Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание не -нильпотентной щ-насыщенной формации с -нильпотентной максимальной щ-насыщенной подформацией [8].
• В данной работе получена классификация частично насыщенных формаций -разложимого l^щ-дефекта 1.
• Основным результатом является
• Теорема 1. Пусть F - некоторая щ-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае -разложимый l^щ-дефект формации F равен 1, когда F=MV^щH, где M - щ-насыщенная -разложимая подформация формации F, H - минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация формации F, при этом: 1) всякая щ-насыщенная -разложимая подформация из F входит в MV^щ(HX); 2) всякая щ-насыщенная не -разложимая подформация F₁ из F имеет вид HV^щ(F₁X).
• 2. Основные понятия и обозначения
• Пусть щ - некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через щ ' обозначают дополнение к щ во множестве всех простых чисел.
• Всякую функцию вида f: щ{щ'}{формации групп} называют щ-локальным спутником. Если f - произвольный щ-локальный спутник, то LF_щ(f)={ G | G/G_щd f(щ') и G/F_p(G) f(p) для всех pщ (G)}, где Gщd - наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место (H/K)щ Ш , F_p(G) - наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .
• Если формация F такова, что F=LF_щ(f) для некоторого щ-локального спутника f, то говорят, что F является щ-локальной формацией, а f ее щ-локальный спутник. Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним щ-локальным спутником.
• Пусть X - произвольная совокупность групп и p - простое число. Тогда полагают, что X(F_p)=form(G/F_p(G) | GX), если p(X), X(F_p)=Ш, если p (X).
• Формация F называется щ-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /LF, где LФ(G)?O_щ(G).
• Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является щ-локальной тогда и только тогда, когда она является щ-насыщенной.
• Через l^щ обозначают совокупность всех щ-насыщенных формаций.
• Полагают l^щformF равным пересечению всех тех щ-насыщенных формаций, которые содержат совокупность групп F.
• Для любых двух щ-насыщенных формаций M и H полагают MH=M?H, а MV^щH=l^щform(MH). Всякое множество щ-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций и V^щ, является решеткой. Таковым, например, является множество l^щ всех щ-насыщенных формаций.
• Через F/^щF?H обозначают решетку щ-насыщенных формаций, заключенных между F?H и F. Длину решетки F/^щF?H обозначают |F:F?H |^щ и называют H^щ-дефектом щ-насыщенной формации F.
• щ-Насыщенная формация F называется минимальной щ-насыщенной не H-формацией, если FH, но все собственные щ-насыщенные подформации из F содержатся в H.
• Пусть - некоторое непустое множество простых чисел. Группу G называют -специальной, если в ней существует нильпотентная нормальная -холлова подгруппа. Класс всех -специальных групп совпадает с классом N G_'.
• Группу G называют -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Класс всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с GG'.
• Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и '-замкнута.
• 3. Используемые результаты
• Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.
• Лемма 1 [1]. Пусть F=MH, где M и H - формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо p(M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), где f(p')=m(p')H и f(p)=m(p)H, если p(M), f(p)=h(p), если p(M).
• Следствием теоремы 1.2.25 [3] является следующая
• Лемма 2 [3]. Пусть X - полуформация и AF=formX. Тогда если A - монолитическая группа и AX, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1?…? Nt=1; (3) H/Ni - монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1?…? Mt M.
• Лемма 3 [2]. Пусть M и N - нормальные подгруппы группы G, причем MCG(N). Тогда [N](G/M)formG.
• Лемма 4 [9]. Пусть F - произвольная щ-насыщенная не -разложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация.
• Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является
• Лемма 5. Пусть F, M, X и H - щ-насыщенные формации, причем F=MVщX. Тогда если m, r и t соответственно Hщ-дефекты формаций M, X и F и m, r<, то t m+r.
• Лемма 6 [1]. Решетка всех щ-насыщенных формаций lщ модулярна.
• Лемма 7 [1]. Если F=lщformX и f - минимальный щ-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f(щ ') = form(G/Gщd | GX); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все pщ; 3) если F=LFщ(h) и p - некоторый фиксированный элемент из щ, то F=LFщ(f1), где f1(a)=h(a) для всех a(щ\{p}){щ'}, f1(p)=form(G | Gh(p)? F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFщ(G), где g(щ')=F и g(p)=f(p) для всех pщ.
• Лемма 8 [1]. Пусть fi - такой внутренний щ-локальный спутник формации Fi, что fi(щ')=Fi, где iI. Тогда F=F1VщF2=LFщ(f), где f=f1V f2.
• Лемма 9 [10]. Тогда и только тогда F - минимальная щ-насыщенная не -разложимая формация, когда F=lщformG, где G - такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом P, что (G)?=Ш и либо =(P)?щ=Ш и P совпадает с -разложимым корадикалом группы G, либо Ш и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если ', то G/P - '-группа, если ={p}, то G/P - p-группа, если же ?щШ и ||>1, то G=P - простая неабелева группа; 2) G - группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) - минимальная нормальная подгруппа группы G, H - простая неабелева группа, причем ?(H)=Ш.
• Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M - некоторая полуформация и AformM. Тогда A M.
• Лемма 11 [1]. Если формации M и H являются щ-насыщенными, то формация F=MH также является щ-насыщенной.
• Лемма 12 [1]. Пусть F - щ-насыщенная формация и f - ее щ-локальный спутник. Если G/Op(G)f(p)?F, то GF.
• Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].
• Лемма 13. Пусть M, F и H - щ-насыщенная формации и MF. Тогда |M:M?H|щ|F:F?H |щ.
• Лемма 14 [3]. Пусть F - произвольная непустая формация и пусть у каждой группы GX F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A - монолитическая группа из form X\F, то AH(X).
• 4. Основной результат
• В дальнейшем через X будем обозначать формацию всех -разложимых групп, а X-дефект щ-насыщенной формации F называть ее -разложимым lщ-дефектом. Заметим, что класс всех -разложимых групп совпадает с классом G'G ?NG'.
• Лемма 15. Пусть H - некоторая формация. Тогда формация NщH является щ-насыщенной.
• Доказательство. Пусть F=NщH. Как известно, формация Nщ является насыщенной и, следовательно, щ-насыщенной для всякого непустого множества простых чисел щ. В силу леммы 7 формация Nщ имеет такой внутренний щ-локальный спутник n, что n(p)=1 для любого pщ и n(щ')=Nщ.
• Так как для любого pщ справедливо включение, то применяя лемму 1 заметим, что F - p-локальная формация. Следовательно формация F является щ-локальной или щ-насыщенной. Лемма доказана.
• Лемма 16. Пусть A - простая группа, M и X - некоторые непустые формации. Тогда если AMVX, то AMX.
• Доказательство. Предположим, что AMX=F. Тогда в силу леммы 2 в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1?…? Nt=1; (3) H/Ni - монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1?…? Mt M.
• Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)/)form(H/Ni).
• Пусть A - группа простого порядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N - абелев фактор.
• Поэтому CH(M/N)=H. В силу условия (3) CH(Mi/Ni)=CH(M/N)=H. Поскольку =CH(Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/
• H/CH(Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Niform(H/Ni). Но ввиду (3) H/NiF=MX. Поскольку M и X - формации, то AMi/NiMX.
• Пусть теперь A - простая неабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем AMX. Лемма доказана.
• Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть -разложимый lщ-дефект формации F равен 1. Так как F не является -разложимой формацией, то по лемме 4 в F входит некоторая минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация H1. По условию M=X?F - максимальная щ-насыщенная подформация в F. Значит, F=MVщH1.
• Достаточность. Пусть F=MVщH1, где M - щ-насыщенная -разложимая подформация формации F, H1 - минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация F. Понятно, что FX. Пусть -разложимые lщ-дефекты формаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M - щ-насыщенная -разложимая формация, то m=0. Так как H1 - минимальная щ-насыщенная не -разложимая формация, то ее -разложимый lщ-дефект r равен 1. В силу леммы 5 для -разложимого lщ-дефекта формации F имеет место неравенство tm+r = 0+1 = 1.
• Если t = 0, то F - -разложимая формация, что противоречит условию FX. Таким образом, |F:F?X |щ=1.
• Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы.
• Так как X?H1 - максимальная щ-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеет место решеточный изоморфизм
• (((X?H1)VщM)VщH1)/щ((X?H1)VщM)H1/щH1?((X?H1)VщM) =
• = H1/щ(X?H1)Vщ(H1?M) = H1/щX?H1.
• Следовательно, (X?H1)VщM - максимальная щ-насыщенная подформация в F.
• Тогда, поскольку FX, то всякая щ-насыщенная -разложимая подформация из F входит в (X?H1)VщM.
• Для доказательства утверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных щ-насыщенных не -разложимых подформаций, отличных от H1. Пусть M1=F?X. Тогда M1 - -разложимая максимальная щ-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т.е. что в F существует H2 - минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация, отличная от H1. Поскольку M1 является -разложимой формацией, то H2M1. Значит, F=H2VщM1=H1VщM1.
• Из леммы 9 следует, что Hi=lщformGi, где Gi - такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом Pi, что (Gi)?=Ш и либо =(Pi)?щ=Ш и Pi совпадает с -разложимым корадикалом группы Gi, либо Ш и выполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если ', то Gi/Pi - '-группа, если ={pi}, то Gi/Pi - p-группа, если же ?щШ и ||>1, то Gi=Pi - простая неабелева группа; (2) Gi - группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi=(Pi) - минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi - простая неабелева группа, причем ?(Hi)=Ш.
• По лемме 7 формации Hi и M1 имеют такие внутренние щ-локальные спутники hi и m соответственно, что hi(a)=form(Gi/Fa(Gi) | GiHi), если aщ?(Gi), hi(a)=Hi, если a=щ', hi(a)=Ш, если aщ\(Gi), где i=1,2 и m(a)=form(A/Fa(A) | A M1), если aщ?(M1), m(a)=M1, если a=щ', m(a)=Ш, если aщ\(M1).
• Тогда по лемме 8 получаем, что формация F имеет такой щ-локальный спутник f, что f(p)=hi(p)V m(p) для всех p щ и f(щ')=HiVM1=form(H1M1)F.
• Пусть G2 удовлетворяет условию (1), т.е. P2 - неабелева щd-группа. Обозначим через R формацию, равную form(H1M1). Поскольку, по лемме 15, NщR - щ-насыщенная формация и H1M1RNщR, то F=lщform(H1M1) NщR. Но G2F. Следовательно G2NщR. Значит, R-корадикал группы G2 содержится в Nщ.
• Пусть G2R 1. Так как R-корадикал - нормальная в G2 подгруппа и P2 - единственная минимальная нормальная подгруппа в G2, верно включение P2GR. Тогда получаем, что P2 - неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентной подгруппе G2R группы G2. Противоречие.
• Следовательно, G2R=1. Поэтому G2R=form(H1M1). Применяя теперь лемму 10, имеем G2H1M1. Тогда, так как G2M1, то G2H1. Поэтому H2=lщformG2H1.
• Поскольку H2 - минимальная щ-насыщенная не X-формация, то H1=H2. Противоречие.
• Пусть группа G2 удовлетворяет условию (2), т.е. G2 является группой Шмидта и P2 - щd-группа. Поскольку для любой группы A имеет место lщformA=lщform(A/Ф(A)?Oщ(A)), то группу Gi (i=1,2) можно считать группой Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини, т.е. Gi=[Pi] Hi, где группа Hi имеет простой порядок qi, Pi=(Pi) - минимальная нормальная pi-подгруппа группы Gi.
• Так как G2/P2F?X=M1, G2M1, то P2=G2M1. Из того, что M1Np2M1 и P2Np2, следует G2Np2M1.
• По лемме 11 формация Np2M1 является щ-насыщенной формацией. Так как H2=lщformG2, то H2Np2M1. Тогда FNp2M1, так как F - наименьшая щ-насыщенная формация, содержащая M1 и H2. Следовательно, G1Np2M1. Поскольку, G1/P1M1 и G1M1, то P1=G1M1 Np2, т.е. P1 является p2-группой. Так как G2F, то G2/Fp2(G2)f(p2)=h1(p2)Vm(p2). Но H2G2/P2=G2/Fp2(G2). Поэтому H2h1(p2)Vm(p2).
• Ввиду пункта 18.20. [2], леммы 7 и замечания 1 [1] формация X всех -разложимых групп имеет такой максимальный внутренний щ-локальный спутник x, что x(p)=Np, если p?щ и x(p)=G' если pщ\.
• Так как m(p2) - внутренний спутник формации M1X, то H2 h1(p2)V m(p2)h1(p2)V x(p2). Заметим также, что h1(p2)=form(G1/Fp2(G1))=formH1. Кроме того p2?щ. Таким образом, H2formH1Vx(p2) = formH1VNp2 = form(formH1Np2). Применяя лемму 16, получаем, что H2formH1Np2.
• Заметим, что G1 удовлетворяет либо условию (2), либо условию (3). Следовательно H1 является простой группой. Поскольку H2 - q2-группа и q2p2, то H2H1.
• Но тогда G2/Op2(G2)=G2/P2H2H1G1/Fp2(G1)h1(p2)H1. Применяя лемму 12, получаем, что G2H1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.
• Пусть теперь для группы G2 выполняется условие(3), т.е. G2=[P2]H2, где P2=CG(P2) - минимальная нормальная подгруппа группы G2, H2 - простая неабелева группа, причем ?(H2)=Ш.
• Рассуждая аналогично случаю (2) получаем, что P1 является p2-группой и H2h1(p2)VNp2 = formH1VNp2 = form(formH1Np2). Но H2 - простая неабелева группа. Значит, в силу леммы 16 получаем H2formH1Np2 и H2formH1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.
• Пусть теперь P2 - щ'-группа. Заметим, что если P2 - неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, P2 - абелева p2-группа.
• Рассмотрим формацию H=H1VщH2. Поскольку формация H1 содержится в формации H и -разложимый lщ-дефект формации H1 равен 1, то по лемме 13 получаем, что |H:H?X |щ1. С другой стороны, так как HF и -разложимый lщ-дефект формации F равен 1, то по лемме 13, |H:H?X |щ1. Значит, -разложимый lщ-дефект формации H равен 1. Поэтому в H существует -разложимая максимальная щ-насыщенная подформация L. Понятно, что L=H?X. Тогда H=LVщH1=LVщH2. Поскольку P2 является абелевой p2-группой и единственной минимальной нормальной подгруппой в G2 такой, что G2/P2L=H?X, то G2L=P2. Это означает, что G2Np2L. Следовательно, H2Np2L. Кроме того, LNp2L. А так как по лемме 11 формация Np2L является щ-насыщенной формацией и H=LVщH2, то HNp2L. Поэтому H=LVщH1Np2L и G1Np2L. Таким образом, аналогично получаем, что P1 является p2-группой.
• Рассмотрим решетку HVщX/щX. Ввиду леммы 6 HVщX/щXH/щX?H=H/щL.
• Таким образом, X является максимальной щ-насыщенной подформацией в HVщX. Тогда H1VщX=HVщX=H2VщX. Значит G1H2VщX. Следовательно, G1lщform(H2X)=lщform({G2}X)Nщform({G2}X).
• Так как P1 - p2-группа и p2щ', то G1form({G2}X). По условию P2=GX. Поэтому P2Ф(G2). Но G1X. Значит, G1form({G2}X)\X. Поскольку для любой группы A из {G2}X, подгруппа AX не содержит фраттиниевых A-главных факторов, то по лемме 14 получаем G1H({G2}X). Так как G1X и G2/P2X, то G1G2. Следовательно, H1=H2. Противоречие.
• Таким образом, в формации F нет минимальных щ-насыщенных не -разложимых подформаций, отличных от H1.
• Пусть теперь F1 - произвольная не -разложимая щ-насыщенная подформация из F. Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что H1F1. Следовательно, применяя лемму 4, получаем F1=F1?F=F1?(H1VщM)=H1Vщ(F1?M). Теорема доказана.
• Приведем некоторые следствия доказанной теоремы.
• Если щ={p}, а - множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает
• Следствие 1. В том и только том случае p-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную p-насыщенную подформацию, когда F= MVpH, где M - p-насыщенная нильпотентная формация, H - минимальная p-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая p-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVp( H?N ); 2) всякая p-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVp(F1?N).
• Если - множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает
• Следствие 2. В том и только том случае щ-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную щ-насыщенную подформацию, когда F= MVщH, где M - щ-насыщенная нильпотентная формация, H - минимальная щ-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая щ-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVщ(H?N); 2) всякая щ-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVщ(F1?N).
• Если щ и равны множеству всех простых чисел, то из теоремы 1 получаем
• Следствие 3 [4]. В точности тогда нильпотентный дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M - нильпотентная локальная формация, H - минимальная локальная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая нильпотентная подформация из F входит в MVl(H?N); 2) всякая ненильпотентная локальная подформация F1 из F имеет вид HVl(F1?N).
• Если щ - множество всех простых чисел, из теоремы 1 вытекает
• Следствие 4. В точности тогда -разложимый дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M - -разложимая локальная формация, H - минимальная локальная не -разложимая формация, при этом: 1) всякая -разложимая подформация из F входит в MVl(H?X); 2) всякая не -разложимая локальная подформация F1 из F имеет вид HVl(F1?X).
• 5 Заключение
• В данной работе получено описание не -разложимых щ-насыщенных формаций с -разложимой максимальной щ-насыщенной подформацией. Результаты работы, являются новыми и связаны с исследованием структурного строения и классификацией частично насыщенных формаций конечных групп. В доказательствах используются методы абстрактной теории групп, общей теории решеток, а также методы теории формаций конечных групп. Результаты работы и методы исследования могут быть использованы при изучении внутреннего строения частично насыщенных формаций.
• Литература
• 1 Скиба, А.Н. Кратно щ-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков // Матем. Труды. -1999. -Т.2, №2. - С. 114-147.
• 2 Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
• 3 Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. - Мн.: Беларуская навука, 1997. -240 c.
• 4 Скиба, А.Н. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 / А.Н.Скиба, Е.А. Таргонский // Математ. заметки. -1987. -Т.41, .№ 4. - С. 490-499.
• 5 Джехад, Дж. Классификация p-локальных формаций длины 3: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Дж. Джехад; Гом. гос. ун-т им.Ф.Скорины. - Гомель, 1996. - 15 с.
• 6 Жевнова, Н.Г. щ-Локальные формации с дополняемыми подформациями: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Н.Г. Жевнова; Гом. гос. ун-т им. Ф.Скорины. - Гомель, 1997. - 17 с.
• 7 Сафонов, В.Г. О приводимых щ-насыщенных формациях с разрешимым дефектом 2 / В.Г. Сафонов, И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. - 2005. - №5(32). - С. 162-165.
• 8 Сафонов, В.Г. Частично насыщенные формации с -нильпотентным дефектом 1 / В.Г. Сафонов, А.И. Рябченко // Вестн. Мозырьского гос. пед. ун-та. - 2005. - № 2(13). - С. 16-20.
• 9 Сафонова, И.Н. О существовании Hщ-критических формаций / И.Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. - 1999. - №1. - С. 118-126.
• 10 Сафонова, И.Н. К теории критических щ-насыщенных формаций конечных групп / И.Н. Сафонова // Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С. -2004. - №11. - С. 9-14.