Главная База знаний "Allbest" Математика *-Алгебры и их применение

*-Алгебры и их применение

Основные понятия и определения. * - алгебры. Представления. Тензорные произведения. Задача о двух ортопроекторах. Два ортопроектора в унитарном пространстве, в сепарабельном гильбертовом пространстве. Спектр суммы двух ортопроекторов.

Рубрика	Математика
Вид	дипломная работа
Язык	русский
Дата добавления	04.06.2002
Размер файла	303,0 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

поэтому и преобразуем р в р₁. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т₁ - борелевские пространства; м, м₁ - меры на Т и Т₁ соответственно; е = ((H(t))_t_T, Г), Z₁ = ((H₁(t₁))_t₁_T₁, Г), - м-измеримое и м₁-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть з: Т?Т₁ - борелевский изоморфизм, переводящий м в м₁; з-изоморфизм е на е₁ называется семейство (V(t))_t_T, обладающее следующими свойствами:

(i) для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н₁(з(t));

(ii) для того, чтобы поле векторов t?x(t)H(t) на Т было м-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле з(t)?V(t)х(t) Н₁(з(t)) на Т₁ было м₁-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dм(t) в поле з(t))?V(t)х(t) Н₁ = Н₁(t) dм₁(t) , есть изоморфизм Н на Н₁, обозначаемый V(t) dм(t).

Теорема 2.11. Пусть Т - борелевское пространство; м - мера на Т, t?H(t) - м- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t? р(t) - м- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dм(t), р ==р(t) dм(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т₁, м₁, t₁?H₁(t₁), t₁? р₁(t₁), Н₁, р₁, Д₁.

Предположим, что существует:

1. N, N₁ - борелевские подмножества Т и Т₁, такие что м (N) = м (N₁) = 0;

2. борелевский изоморфизм з: T\N ?T\N₁, преобразует м в м₁;

3. з-изоморфизм t?V(t) поля t?Н(t) (tZ\N) на поле t₁?Н₁(t₁) (t₁Т₁\N₁) такой, что V(t) преобразует р(t) в р₁(з(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dм(t) преобразует Д в Д₁ и р в р₁.

Доказательство. Обозначим через I_t, I_t₁ единичные операторы в Н(t) и Н₁(t₁). Если fL⁸(T, м) и если f₁ - функция на Т₁\N₁, получаемая из f|(T\N) при помощи з, то V преобразует f(t)I_tdм(t) в f₁(t₁) I_t₁dм₁(t₁), поэтому V преоб-
разует Д в Д₁. С другой стороны, пусть бА и х = х(t) dм(t)Н.

Тогда

Vр(б)х = Vр(t)(б) х(t) dм(t) = V(з^-1(t₁)) р(з^-1(t₁))(б) х(з^-1(t₁)) dм₁(t₁) = р₁(t₁)(б) V(з^-1(t₁)) х(з^-1(t₁)) dм₁(t₁) = р₁(б) V х

Поэтому V преобразует р в р₁.

Приведем примеры прямых интегралов.

1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера м на N, то есть м(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dм(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L₂ (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt ?х(t)L₂ (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Н_к.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

б = (б₁,…, б_n) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается Н₁,…, Н_n = . Его векторы имеют вид:

f = (f_бC), || f ||² =< 8 (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) = (3.3.)

Пусть f⁽^k⁾ = (к = 1,…, n) - некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾_…f⁽ⁿ⁾ = (3.4.)

Коэффициенты f_б= разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н₁,…, Н_n <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается б.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ - гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f₁ f₂, причем считается, что

(f₁ + g₁) f₂ = f₁ f₂ + g₁ f₂ (3.6.)

f₁ (f₂ + g₂) = f₁ f₂ + f₁ g₂ (3.7.)

(л f₁) f₂=л (f₁ f₂) (3.8.)

f₁ л (f₂) = л (f₁ f₂) (3.9.)

f₁, g₁Н₁; f₂, g₂Н₂; л С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) - (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f₁ f₂ , g₁ g₂ ) = (f₁ g₁)(f₂ g₂) (3.10.)

f₁, g₁Н₁; f₂, g₂Н₂,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов А_кL(Н_к, G_к). Определим тензорное произведение А₁ …А_n = А_к формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н₁,…, Н_n = (Н₁,…, Н_n_-1)Н_n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G_к (к = 1, 2) и пусть g = G₁ G₂. В качестве f возьмем вектор из Н₁ Н₂ с конечным числом отличных от нуля координат f_б.

Зафиксируем б₂, в₁ Z₊ и обозначим через f(б₂) Н₁ вектор f(б₂) = и через g(в₁)G₂ - вектор g(в₁) =. Получим

= =

= = =

= = =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G₁G₂ ряда уже при произвольном c Н₁Н₂ и оценка его нормы в G₁G₂ сверху через ||A₁|| ||A₂|| ||f||. Таким образом, оператор A₁ A₂: Н₁ Н₂ ?G₁G₂ определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A₁|| ||A₂||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A₁ A₂) (f₁ f₂)|| = ||A₁ f₁|| ||A₂ f₂|| (f_к Н_к , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f₁, f₂ последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A₁|| ||A₂||, поэтому неравенство ||(A₁ A₂)|| = ||A₁|| ||A₂|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для А_к L(H_к, G_к), В_к L(H_к, G_к) (к = 1,…, n) соотношения

(В_к) (А_к) = (В_к А_к) (3.13.)

(А_к)* = А_к* (3.14)

(А_к) (f₁ … f_n) = A₁ f₁… A_n f_n (3.15.)

(f_к H_к; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор А_к.

Приведем пример. Пусть H_к = L²((0,1), d (m_к)) = L²

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L². Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L², поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L².

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P₂

P₂ = С < р₁, р₂| р₁²= р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p₁ - 1, v = 2p₂ - 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ - 1)²= 4p₁ - 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u, v - унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P₂ можно задать иначе:

P₂ = С < p₁*= p₁, p₂*=p₂ | p₁² = p₁, p₂² = p₂ > = C <u* = u, v* = v | u² = 1, v² =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P₂, с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂. Пусть р: P₂ ?L(H) - *-представление *-алгебры P₂. Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim р = 1.

P₂ = С < р₁, р₂| р₁²= р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

Обозначим через Р_к = р(р_к), к = 1,2. Поскольку р_к²= р_к* = р_к (к = 1, 2) и р - *-представление, то Р_к² = Р_к* = Р_к (к =1, 2) - ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {yH | Р_к y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н₁ = Н₂ = {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2. Н₁= Н (то есть dim H₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3. Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dim H₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4. Н₁ = Н₂ = Н (dim H₁ = dim H₂=1), тогда Р₁ = 1, Р₂= 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P₂, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P_{2 .} Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к^- - ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H₁Н₁^- , Н=H₂Н₂^-

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0= Н₁^- ?Н₂^-, Н_0,1= Н₁^- ?Н₂, Н_1,0= Н₁ ?Н₂^-, Н_1,1= Н₁ ?Н₂. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ij нетривиально, то есть dim H_ij=1. Пусть, например, dim Н_1,0= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0= л.о. {h}, но тогда P₁h = h, P₂h = 0; следовательно Н_1,0инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление р не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ij линейно независимы) и dim H₁ = dim H₂=1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁, e₂} и {g₁, g₂}, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид . Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂}.

Пусть g₁ = a₁₁e₁ + a₁₂ e₂

g₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂

e₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^ite₁ и h₂ = e^ile₂, тогда

|| h₁|| = || e^ite₁|| = || e₁ || = 1, || h₂|| = || e^ile₂|| = || e₂ || = 1

(h₁,h₂ ) = (e^ite₁ , e^ile₂) = eⁱ⁽^t^-^l⁾(e₁, e₂ ) = 0, то есть {h₁,h₂} - ортонормированный базис.

Р₁h₁ =eⁱ^tР₁e₁ = h₁, Р₁h₂ =e^ilР₁e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁,h₂} матрица оператора Р₁ также имеет вид . Тогда можно считать, что a₁₁, a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁e₁=|a₁₁| e^ite₁ =|a₁₁| h₁)

(e₁, e₂ ) = 0, значит a₁₁ a₂₁ = a₁₂ a₂₂ = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a₂₂ = - ra₁₁

a₂₁ = ra₁₂

Базис (e₁, e₂ ) ортонормированный; следовательно

a₁₁² + a₁₂² = 1

|a₂₂ |² + |a₂₁ |² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂e₁ = Р₂ ( b₁₁g₁ + b₁₂g₂) = b₁₁g₁ = b₁₁a₁₁e₁ + b₁₁a₁₂e₂,

Р₂e₂ = Р₂ ( b₂₁g₁ + b₂₂g₂) = b₂₁g₁ = b₂₁a₁₁e₁ + b₂₁a₁₂e₂.

Найдем b₁₁ и b₂₁:

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂ = b₁₁ (a₁₁e₁ + a₁₂ e₂) + b₁₂(a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂)e₁ + (b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂)e₂,

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ = 1

b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂ = 0 или

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ r = 1

b₁₁a₁₂ - b₁₂a₁₁ r = 0,

Тогда b₁₁ = a₁₁.

Аналогично

E₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂ = (b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁)e₁ + (b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂)e₂,

b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁= 0

b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂.

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂ } будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂)

Р₂ = , где a₁₁>0, a₁₂>0 и a₁₁² + a₁₂² =1

А) Пусть a₁₁² = ф, тогда a₁₂² =1 - ф, a₁₁a₁₂ = . Так как a₁₁a₁₂ >0, то ф(0, 1).

Тогда Р₂ = .

В) Положим a₁₁ = cosц,тогда a₁₂ = sinц и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ = .

Найдем коммутант р(P₂). Пусть Т = оператор перестановочный с Р₁ и Р₂, тогда

ТР₁ = =

Р₁Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ = =

Р₂Т = =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление р неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть ф, н(0, 1), ф ? н. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁U, следовательно U= , a, b C

UР₂ (ф) = =

Р₂ (н) U = = .

Тогда ф = н, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть р: P₂?L(H) - *-представление *-алгебры P₂.

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: р_0,0(p₁) = 0; р_0,0(p₂) = 0; р_1,0(p₁) = 1; р_1,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0; р_0,1(p₂) = 1; р_1,1(p₁) = 1; р_1,1(p₂) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: р(p₁) , р(p₂) ф (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить р(p₂) = ц (0, ).

1.4. n - мерные *-представления *-алгебры P₂. Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁, dimН₁^-) + max (dimН₂, dimН₂^-) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н_i_,_j? {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления р, но тогда р приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n, dimН₂ = n и Н_i_,_j= {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н_i_,_j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление р окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ? 0, хН₁ такой, что Р₁Р₂х = лх, где лС.

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I - единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН₁, то , g_k C, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂= Р₁Р₂= Р₁=

= Р₁= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

j = 1,…, n

Подбирая лC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} - инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + лbх = (a + лb) х L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a + b) Р₂х L

dimL = 2, так как Н_i_,_j= {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ? 0, то х = Р₂х, значит = 0 или 1 и х Н_1,1; тогда Н_1,1?{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂. Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления р *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно р.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0Н_1,1 ((С²Н_к)), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно ц_к (0, ), ц_к? ц_i при к?i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i_,_j: Н ? Н_i_,_j, Рц_к: Н ? С²Н_к - ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0P_1,1(Рц_к), (1.2.)

P₁ = P_1,0P_1,1((I_к )) (1.3)

Р₂ = P_0,1P_1,1 (I_к )) (1.4)

где I_к - единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН_i_,_j = n_i_,_j. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0Н_1,1 Нґ, где dimНґ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Нґ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром ц_к (0, ):

Нґ = Нц_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нц_к, у которых одно ц_к, получим изоморфизм

Нц_к…Нц_к С²Н_к , где Нц_к n_к экземпляров, dim(Нц_к…Нц_к )=2n_к dim(С²Н_к) = dimС²dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0Н_1,1 ((С²Н_к))

Пусть р_i_,_j - сужение р на Н_i_,_j ( i, j= 0,1), р_к - сужение р на Нц_к (к = 1,…, m), то есть р_i_,_j и р_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

р = n_0,0р_0,0n_0,1р_0,1n_1,0р_1,0n_1,1р_1,1(n_кр_к) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0P_1,1 (Рц_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0P_1,1 ((I_к ))

Р₂ = P_0,1P_1,1 ( I_к ))

Причем n_1,0р_1,0(р₁) = P_1,0, n_0,1р_0,1(p₂) = P_0,1, n_1,1р_1,1(р₁) = P_1,1, n_0,0р_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂. Пусть А = Р₁ - Р₁^- = 2Р₁ - I и В = Р₂ - Р₂^- = 2Р₂ - I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В - приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р₁LL, Р₂LL. Рассмотрим АL = (2Р₁ - I)LL, ВL = (2Р₂ - I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L = LL, Р₂L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eⁱ^ц(U), то e^-ⁱ^ц(U).

Доказательство.

1) Если eⁱ^ц принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = eⁱ^ц f. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = eⁱ^цАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^-ⁱ^ц принадлежит спектру U.

2) Если eⁱ^ц(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - eⁱ^цf_n || = || UАf_n - eⁱ^цA f_n || = || U^-1Аf_n - eⁱ^цA f_n || ? 0 при n ? ? (|| Аf_n || =1)

Тогда eⁱ^ц(U^-1), следовательно e^-ⁱ^ц(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² - 2I + U^-2) = (U² - 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d С. По теореме преобразования спектров eⁱ^ц+ e^-ⁱ^ц= c, eⁱ^ц- e^-ⁱ^ц= ±d.

1) Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eⁱ^ц, где ц=0 или ц=р, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

2) Если d ? 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек eⁱ^ц= и e^-ⁱ^ц= ц(0, р)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eⁱ^ц (или e^-ⁱ^ц), Н_ei_ц = {fH | Uf = eⁱ^цf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eⁱ^цf, U(Аf) = eⁱ^цАf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_ei_ц= dimН_-_ei_ц=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eⁱ^ц, e^-ⁱ^ц} ц(0, р) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂ ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0Н_1,1 ((С²L₂((0, ), dс_к))) (2.4.)

где с₁> с₂ >… с_к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0P_1,1 ((I_к )) (2.5.)

Р₂ = P_0,1P_1,1 (I_к )) (2.6.)

I_к - единичный оператор в L₂((0, ), dс_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0Н_1,1 Нґ, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Нґ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂ отвечает циклическое представление р_F *-алгебры P₂ в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере м_F на Т.

Страница:

дипломная работа "*-Алгебры и их применение" скачать

Подобные документы

Математическая логика
Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.

контрольная работа [345,3 K], добавлен 29.11.2010
Булевы функции
Логика - наука о законах и формах мышления, а основное понятие алгебры логики - высказывание. Основные понятия и тождества булевой алгебры. Изучение методов минимизации булевых функций. Метод Квайна, основанный на применении двух основных соотношений.

контрольная работа [178,2 K], добавлен 20.01.2011
Линейные алгебры малых размерностей
Оценка алгебры Ли как одного из классических объектов современной математики. Основные определения и особенности ассоциативной алгебры. Нильпотентные алгебры Ли, эквивалентность различных определений нильпотентности. Описание алгебр Ли малых размерностей.

курсовая работа [79,4 K], добавлен 13.12.2011
Дискретная математика
Понятие алгебры логики, ее сущность и особенности, основные понятия и определения, предмет и методика изучения. Законы алгебры логики и следствия из них, методы построения формул по заданной таблице истинности. Формы представления булевых функций.

учебное пособие [702,6 K], добавлен 29.04.2009
Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве
Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.

курсовая работа [190,6 K], добавлен 18.08.2011
Алгебра логики
Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.

реферат [63,3 K], добавлен 06.12.2010
Групповые представления кристаллографии (математика кристаллографического пространства) и правильные системы точек
Действие оператора точечной группы в двух- и трехмерном пространстве. Определение его порядка по матрице Система эквивалентных точек. Возможные порядки осей симметрии в кристаллографическом пространстве. Геометрическая интерпретация сложения операторов.

презентация [107,4 K], добавлен 23.09.2013
Основные понятия алгебры множеств
Предпосылки развития алгебры множеств. Основы силлогистики и соотношение между множествами. Применение и типы жергонновых отношений. Понятие пустого множества и универсума. Построение диаграмм Эйлера и обоснование законов транзитивности и контрапозиции.

контрольная работа [369,0 K], добавлен 03.09.2010
Абелевы универсальные алгебры
Понятие и свойства n-арных операций, универсальной алгебры и сигнатуры. Характеристика централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и доказательство их основных свойств. Нильпотентные и абелевы алгебры, формулировка и метод доказательства их лемм.

курсовая работа [399,1 K], добавлен 22.09.2009
Векторная алгебра
Понятия векторной алгебры: нулевой, единичный, противоположный и коллинеарный векторы. Проекция вектора на ось. Векторный базис на плоскости и в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Действия над векторами, заданными координатами.

презентация [217,3 K], добавлен 16.11.2014

Другие документы, подобные "*-Алгебры и их применение"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

*-Алгебры и их применение

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

поэтому и преобразуем р в р1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

(i) для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(з(t));

(ii) для того, чтобы поле векторов t?x(t)H(t) на Т было м-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле з(t)?V(t)х(t) Н1(з(t)) на Т1 было м1-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dм(t) в поле з(t))?V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dм1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dм(t).

Теорема 2.11. Пусть Т - борелевское пространство; м - мера на Т, t?H(t) - м- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t? р(t) - м- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dм(t), р ==р(t) dм(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, м1, t1?H1(t1), t1? р1(t1), Н1, р1, Д1.

Предположим, что существует:

1. N, N1 - борелевские подмножества Т и Т1, такие что м (N) = м (N1) = 0;

2. борелевский изоморфизм з: T\N ?T\N1, преобразует м в м1;

3. з-изоморфизм t?V(t) поля t?Н(t) (tZ\N) на поле t1?Н1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует р(t) в р1(з(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dм(t) преобразует Д в Д1 и р в р1.