56

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

	студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P₂ ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P₂ …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р₁ +Р₂ …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР₁ + bР₂ (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н - гильбертово пространство, L(Н) - множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А - операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) - перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P₂

P₂ = С < p₁, p₂ | p₁² = p₁* = p₁, p₂² = p₂* = p₂ >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P₂, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления р в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ . Неприводимые *-представления P₂ одномерны и двумерны:

4 одномерных: р_0,0(p₁) = 0, р_0,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0, р_0,1(p₂) = 1;

р_1,0(p₁) = 1, р_1,0(p₂) = 0; р_1,1(p₁) = 1, р_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , ф (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно р подпространств Н, а также получено разложение р на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р_1, Р₂, применяется к изучению сумм Р₁+Р₂, аР₁+bР₂ (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р₁+Р₂ или А = аР₁+bР₂, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

1.1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

1) А есть линейное пространство;

2) в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

б (x y) = (б x) y,

x (б y) = б (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел б.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А - алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x ? x* алгебры А в А, что

(i) (x*)* = x;

(ii) (x + y)* = x* + y*;

(iii) (б x)* = x*;

(iv) (x y)* = y*x* для любых x, y С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

1) На А = С отображение z ? (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

2) Пусть Т - локально компактное пространство, А = С(Т) - алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого е > 0 множество {tT: |f (t)| е} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f? получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

3) Пусть Н - гильбертово пространство. А = L(H) - алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А?А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если еґ - также единица в А, то

еґх = хеґ = х, для всех хА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = еґ, а в (1.2.) х = е, получим:

ееґ = еґе = еґ и еґе = ееґ =е, следовательно еґ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры Аґ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы хґ=бе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру Аґ, в которой основные операции определяются формулами:

в(бе + х) = вбе + вх, (б₁е + х₁) + (б₂е + х₂) = (б₁ + б₂)е + (х₁ + х₂),

(б₁ е + х₁)(б₂ е+ х₂ )=б₁ б₂ е +б₁ х₂ +б₂ х₁ + х₁ х₂ (1.3.)

Каждый элемент хґ из Аґ представляется единственным образом в виде

хґ = бе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому Аґ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм хґ = бе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при б = 0.

Алгебру Аґ можно также реализовать как совокупность всех пар (б, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

в (б, х) = (вб, вх), (б₁, х₁) + (б₂, х₂) = (б₁ + б₂, х₁ + х₂),

(б₁, х₁)(б₂, х₂) = (б₁б₂, б₁х₂ + б₂ х₁ + х₁х₂), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(б, х) = б(1, 0) + (0, х) = бе + х,

так что вторая реализация алгебры Аґ равносильна первой.

Переход от А к Аґ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х^-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х₁ +iх₂, где х₁, х₂ - эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х₁ +iх₂, следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х₁, х₂, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х₁ +iх₂.

Эти элементы х₁, х₂ называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х₁² + х₂² + i(х₂х₁ - х₁х₂),

хх* = х₁² + х22 - i(х₂х1 - х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х₁ и х₂ перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а Аґ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в Аґ, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что Аґ станет *-алгеброй. Говорят, что Аґ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х^-1 существует, то (х*)^-1 также существует и

(х*)^-1 = (х^-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х^-1х = хх^-1 = е,

получим х*(х^-1)*= (х*)^-1х*=е.

Но это означает, что (х^-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А₁ алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА₁ следует, что х*А₁ .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В - максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х^-1 существует, то х^-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х^-1 и (х*)^-1 = (х^-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х^-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)^-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы - комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению - унитарную группу А. Действительно, если x и y - унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)^-1 = (у*х*)^-1 =(х*)^-1 (y*)^-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х^-1)*)^-1= ((х*)^-1)^-1 = х^-1, то х^-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В - две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (бx) = б f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, бС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

(i) I ? A;

(ii) Из х, yI следует x + y I;

(iii) Из хI, а бА следует б хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I - двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А₁ операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I - двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А₁ становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х > х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х > х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х > хґ есть *-гомоморфизм А на Аґ, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре Аґ.

Обратно, отображение х > [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н - гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

р (x+y) = р (x) + р (y), р (б x) = б р(x),

р (xy) = р (x) р (y), р (x*) = р (x)*

для любых х, y А и б С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью р и обозначается dimр. Пространство Н называется пространством представления р.

Определение 2.2. Два представления р₁ и р₂ инволютивной алгебры А в Н₁ и Н₂ соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н₁ в гильбертово пространство Н₂, переводящий р₁(х) в р₂(х) для любого хА, то есть

U р₁(х) = р₂(х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление р называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов р (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления р.

Определение 2.4. Подпространство Н₁Н называется инвариантным, относительно представления р, если р (А)Н₁Н₁.

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы р(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н₁. Сужения р(х) на Н₁ определяют подпредставления р₁ *-алгебры А в Н₁.

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁, то есть (f, g) = 0 для всех gН₁. Тогда для любого хА (р(х)f, g) = (f, р(х)*g) = (f, р(х*)g) = 0, так как р(х*)gН₁. Следовательно, вектор р(х)f также ортогонален к Н₁.

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁Н₁.

Теорема 2.2. Н₁ - инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁.

Доказательство. Пусть Н₁ - инвариантное подпространство и fН₁, но также р(х)f Н₁. Отсюда для любого вектора fН

р(х)Р₁f Н₁

следовательно, Р₁р(х)Р₁f = р(х)Р₁f ,

то есть Р₁р(х)Р₁ = р(х)Р₁.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р₁р(х)Р₁ = Р₁р(х).

Следовательно, Р₁р(х) = р(х)Р₁; операторы Р₁ и р(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН₁

Р₁р(х)f = р(х)Р₁f = р(х)f ;

Следовательно, также р(х)f Н₁. Это означает, что Н₁ - инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f₁ + … + f_n, где f₁, …, f_n - векторы исходных подпространств. С другой стороны, р(х)h = р(х)f₁ +…+ р(х)f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом р(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I - произвольное множество. Пусть (р_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н_i (iI). Пусть

|| р_i (х) || = с_х

где с_х - положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н_i, то есть Н = Н_i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор р(х) в Н, который индуцирует р_i (х) в каждом Н_i. Тогда отображение х > р(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений р_i и обозначаемое р_i или р₁…..р_n в случае конечного семейства представлений (р₁…..р_n). Если (р_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением р, и если CardI = c, то представления р_i обозначается через ср. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным р.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f₀ ? 0 - какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов р(х)f₀, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁. Тогда Н₁ - инвариантное подпространство, в котором f₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления р.

Если Н₁ = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н_б}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁, Н₂}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н_б}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н_б}. Но тогда Н=Н_б; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н_б) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н_б}Н₀М, содержащую максимальную систему {Н_б}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление р в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление р неприводимо. При fН, f ? 0, подпространство, натянутое на векторы р(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{б f | б C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть р(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление р приводимо и К - отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления р в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление р неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант р (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление р неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами р(х). Предположим сначала, что В - эрмитов оператор; обозначим через E(л) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом л оператор E(л) перестановочен со всеми операторами р(х) ; в виду неприводимости представления E(л) =0 или E(л) =1, так как (E(л) f, f) не убывает при возрастании л, то отсюда следует, что существует л₀ такое, что E(л) =0 при л<л₀ и E(л) =1 при л>л₀ . Отсюда

В=л dE(л) = л₀ 1.

Пусть теперь В - произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами р(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами р(х). Действительно,

В*р(х) = (р(х*)В)* = (Вр(х*))* = р(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В₁=, В₂= также перестановочны со всеми операторами р(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В₁+iВ₂ кратен единице, то есть В - скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами р(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами р(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н ? Нґ такой, что Тр(х)=рґ(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим р и рґ.

Пусть Т : Н ? Нґ - оператор, сплетающий р и рґ. Тогда Т* : Нґ ? Н является оператором, сплетающим рґ и р, так как

Т* рґ(х) = (рґ(х)Т)* = (Тр(х*))* = р(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тр(х)=Т* рґ(х)Т= р(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)^1/2 перестановочен с р(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

Uр(х)|T| = U|T| р(х)= Тр(х)= рґ(х)Т=рґ(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uр(х) = рґ(х)U (2.3.)

Если, кроме того, = Нґ, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Нґ и (2.3.) доказывает что р и рґ эквивалентны.

Пусть р и рґ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Нґ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н ? Нґ. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (?0) и р, рґ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть р - конечномерное представление *-алгебры А. Тогда р = р₁…..р_n , где р_i неприводимы.

Доказательство. Если dimр = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimр = q и что наше предложение доказано при dimр<q. Если р неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае р = рґ рґґ, причем dimрґ<q, dimрґґ<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение р = р₁…..р_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть с₁, с₂ - два неприводимых подпредставления р. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂. Пусть Р₁ и Р₂ - проекторы Н на Н₁ и Н₂. Они коммутируют с р(А). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий с₁ и с₂. Следовательно, если Н₁ и Н₂ не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что с₁ и с₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление р эквивалентно одному из р_i . Итак, перегруп-
пировав р_i , получаем, что р = н₁…..н_m, где каждое н_i есть кратное с_iн_iґ неприводимого представления н_iґ, и н_iґ попарно эквивалентны. Если с - неприводимое представление р, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Нґ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н_i, отвечающих н_i, кроме одного. Поэтому Нґ содержится в одном из Н_i. Это доказывает, что каждое пространство Н_i определяется однозначно: Н_i - это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений р, эквивалентных н_iґ. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении р = с₁н₁ґ…..с_mн_mґ представления р, (где н₁ґ,…, н_mґ неприводимы и неэквивалентны) целые числа с_i и классы представлений н_iґ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁, Т₂ - борелевские пространства. Отображение f: Т₁?Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т - борелевское пространство и м - положительная мера на Т.

Определение 2.9. м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара е = ((H(t))_tT, Г), где (H(t))_tT - семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г - множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г - векторное подпространство Н(t);

(ii) существует последовательность (х₁, х₂,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы х_n(t) образуют последовательность H(t);

(iii) для любого хГ функция t?||x(t)|| м - измерима;

(iv) пусть х - векторное поле; если для любого yГ функция t?(x(t), y(t)) м - измерима, то хГ.

Пусть е = ((H(t))_tT, Г) м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||² dм(t) < +8.

Если х, y - с интегрируемым квадратом, то х+y и лх (лС) - тоже и функция t ?(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dм(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dм(t).

Определение 2.10. Пусть е = ((H(t))_tT, Г) - измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t?S(t)x(t) измеримо, то t?S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т - борелевское пространство, м - положительная мера на Т, t?Н(t) - м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление р(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t?р(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t?р(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t?р(t)х измеримо.

Если поле представлений t?р(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор р(х)=р(t) (x) dм(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dм(t).

Теорема 2.9. Отображение х>р(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

р(х+y) = р(t) (x+y) dм(t) = (р(t) (x) + р(t) (y)) dм(t) =р(t) (x )dм(t) +

+р(t) (y) dм(t) = р(х) +р(y)

Аналогично р(лх) = лр(х), р(хy) = р(х) р(y), р(х*)=р(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях р называется прямым интегралом р(t) и обозначается р =р(t) dм(t).

Определение 2.13. Операторное поле t>ц(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dм(t).

Пусть е = ((H(t))_tT, Г) - м-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, м₁ - мера на Т, эквивалентная м (то есть каждая из мер м₁, м абсолютно непрерывна по другой), и с(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dм(t) составляет поле t>с(t^)-1/2х(t)Н₁=Н(t) dм₁(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁, называемый каноническим.

Действительно,

||с(t^)-1/2х(t)dм₁(t)||² = ||х(t)||²с(t^)-1 dм₁(t) = ||х(t)||²dм₁(t) = ||х(t)||²

Теорема 2.10. Пусть Т - борелевское пространство, м - мера на Т, t?Н(t) - измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t?р(t) - измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dм(t) , р₁==р(t )dм(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Пусть м₁ - мера на Т, эквивалентная м,

Н₁ =Н(t) dм₁(t) , р₁ =р(t) dм₁(t),

Д₁ - алгебра диагональных операторов в Н₁. Тогда канонический изоморфизм преобразует р в р₁ и Д в Д₁.

Доказательство. Пусть с(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н₁ есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dм(t)Н в

Ux = с^-1/2х(t) dм₁(t).

Пусть б А. Имеем

р₁(б)Ux = р(t)(б) с^-1/2 х(t) dм₁(t) = Uр(t)(б) х(t) dм(t) = Uр(б)x,