*-Алгебры и их применение

Пусть каждому вектору оН поставим в соответствие подпространство Н_о Н, которое получается замыканием множества векторов вида р(х)о, где хА. Ограничения операторов из р(А) на Н_о является циклическим представлением. Обозначим его через р_о, а соответствующую меру на Т через м_о. Введем упорядочение в Н, полагая о>з, если м_о > м_з (то есть м_з абсолютно непрерывна по мере м_о).

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н - гильбертово пространство. Если Р - ортопроектор, то (Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р (Р) - точечный спектр при условии, что Р ? 0 и Р ? I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - лх = y, х, y Н, л С. Тогда (1 - л) Р_х = Р_y . Если л ? 1, то Р_х = Р_y. Если х ? 1, то х = (Р_y - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ? 0 и Р ? I, то существует х ? 0 такой, что Р_х ? 0. Тогда Р(Р_х) = Р_х, то есть 1_р (Р). Существует y ? 0: (I - Р)y ? 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 _р (Р). Итак, (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к - область значений оператора Р_к к = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем (А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х Н₂ = Н Ах = х, то есть 1 (А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х Н₁ = Н Ах = х.

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁х + Р₂х = 2х, то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н_0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н_0,1 или х Н_1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н_1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Н_i,j ? {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Н_i,j Н_k,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н_k,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р₁ и Р₂, тогда АLL. Пусть х L, тогда Р_kх = л_кх (k = 1, 2 ). Так как Р_k ортопроектор, то возможны случаи:

(i) л₁ = 0, л₂ = 0;

(ii) л₁ = 0, л₂ = 1;

(iii) л₁ = 1, л₂ = 0;

(iv) л₁ = 1, л₂ = 1;

Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Н_k,l ? {0} вопреки предположению. Тогда пара Р₁, Р₂ неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р₁ и Р₂ в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р₁ = , Р₂ ф (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР₁ + bР₂, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР₁ + bР₂ - лI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, е = , тогда л₁ = 1+е , л₂ = 1-е и 0<е<1 (поскольку 0<ф<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+е , 1-е}. Причем собственные значения 1+е и 1-е входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть л (А), тогда Ах = лх =лk +лl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н₀ = Н_0,0, Н₁=Н_0,1Н_1,0, Н₂=Н_1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нц_к ц_к (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р₁ и Р₂ неприводимы в Нц_к (к = 1,…, s), и собственные значения 1+е_к, 1-е_к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нц_к = Н_1+ек Н_1-ек , причем dimН_1+ек = dimН_1-ек = 1 (1.3)

Если ц_к ? ц_i, то е_к ? е_i (так как е_к = =cosц_к и ц_к (0, )). Объединим все Нц_к , у которых одинаковые ц_к , в одно слагаемое, и обозначим его через Нц_к. При этом, если dimНц_к = 2q_k, то есть Нц_к состоит из q_k экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному ц_к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нц_к = Н_1+ек Н_1-ек , dimН_1+ек = dimН_1-ек = q_k.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ и Р₂ тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+е , 1-е}), 0<е_к<1,

причем dimН_1+ек = dimН_1-ек к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р₁ и Р₂, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+е , 1-е}), где 0<е_к<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН_1+ек = dimН_1-ек . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²Н_к)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²(Н_1+ек Н_1-ек ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_Н2((I_к )) (1.6.)

Р₂ = P_Н1 P_Н2 ( I_к )) (1.7.)

где P_Нк - ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s - единичный оператор в H_s s=1,…, m. Но тогда

Р₁ + Р₂ = P_Н1 P_Н2 ( I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует л₁ + л₂ = a + b. Пусть л₂ = е, тогда л₁ = a + b - е.

Оценим е. Заметим, что (a +b)² - 4ab(1-ф) = (a - b)² + 4abф > 0.

Тогда е = > = 0, то есть е = 0.

Допустим, что е = a , тогда

a =

= b - a

(b - a)² +4abф = (b - a)²

abф ? 0, но abф > 0 и значит е < a

Итак,

л₁ = е

л₂ = a + b - е. (1.8.)

0 < е < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({е_к , a + b - е_к}), 0<е_к<1, и

dimН_ек = dimН_a+b-ек (Н_ек , Н_a+b-ек - собственные подпространства оператора А, отвечающие е_к) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н_0,0, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н_0,1 , то Ах = bx и b(А);

3) х Н_1,0 , то Ах = ax и a(А);

4) х Н_1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({е_к , a + b - е_к}), где 0<е_к<1, к=1,…m. Причем числа е_к, a + b - е_к входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному е_к также инвариантна относительно А и dimН_ек = dimН_a+b-ек = q_k. (с учетом кратности е_к)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((С²Н_к)) (1.9.)

Где Н₍₀₎=Н_0,0 , Н_(a) =Н_1,0 , Н_(b)=Н_0,1 , Н_(a+b)=Н_1,1 или

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((Н_ек Н_a+b-ек) (1.10.)

Положим

P₁ = P_aP_a+b ((I_к )) (1.11.)

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к )) (1.12.)

Но тогда

aР₁ + bР₂ = aP_abP_b (а+b)P_a+b (a(I_к ))

(bI_к )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({е_к , a + b - е_к}), (0<е_к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂. Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, ), dс_к))) (2.1.)

и меры с_к инвариантны относительно преобразования 1+х ? 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ + Р₂. Н₀=Н_0,0 , Н₁=Н_1,0Н_0,1 , Н₂=Н_1,1

Поставим в соответствие ц>е cosц, где ц (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, 2), dс_к)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+е , 1-е, 0<е<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера с_к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х ? 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁ґ Р₂ґ равенствами

Р₁ґ = P₁P₂((I_к ))

Р₂ґ = P₂ ( I_к ))

где P_i: Н?Н_i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I_k - единичный оператор в L₂((0, 2), dс_к)). Тогда А =Р₁ґ + Р₂ґ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_кґ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dс_к)))) (2.2.)

и меры с_к инвариантны относительно преобразования х>a+b.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Пусть Н₀=Н_0,0, Н_а=Н_0,1, Н_b=Н_1,0 , Н_a+b=Н_1,1. Так как (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dс_к))))

где меры с_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х > a+b-х.

Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_aP_a+b ((I_к ))

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к ))

где Р_б: Н?Н_б , б = a, b, a+b - ортопроекторы, I_к - единичный оператор в L₂([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР₁ + bР₂ = aР₁ bР₂(a+b)P_a+b ((I_к ))

( I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ .

P₂ = С <p₁, p₂ | p_к² = p_к* =p_к>.

А именно: 4 одномерных р_0,0(p₁) = 0, р_0,0(p₂) = 0; р_0,1(p₁) = 0, р_0,1(p₂) = 1; р_1,0(p₁) = 1, р_1,0(p₂) = 0; р_1,1(p₁) = 1, р_1,1(p₂) = 1.

И двумерные: , ф (0, 1)

Изучен спектр операторов Р₁ + Р₂, aР₁ + bР₂ (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р₁ + Р₂ и А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.