Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский Авиационный институт

(Государственный технический университет)

Курсовая работа

по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика»

На тему: «Метод наименьших квадратов»

Вариант 11

Выполнил:

студентка группы 05-209

Трофимова Е.М.

Руководитель:

Иванов С.В.

Москва

2011

Задание к курсовой работе

метод наименьший квадрат распределение дисперсия

Рассматривается регрессионная модель вида y=ax+b+.

Задание: 1) Считая, что a = 2,2, b = 8,5, в первом и третьем наборе = 1; во втором и четвертом наборе = 9. Получить 4 набора данных:a, b, x, е, y. 2) Получить точечные и интервальные оценки параметров a, b и .

Закон больших чисел

13.1. Виды сходимости последовательностей СВ

В п. 1.3 при определении вероятности указывается эмпирический факт, состоящий в устойчивости частоты появления события A в исследуемом опыте G при последовательном его повторении. Этот экспериментальный факт может быть обоснован математически с помощью закона больших чисел. Но для этого нам понадобятся некоторые понятия, характеризующие сходимость последовательности СВ.

Определение 13.1. Бесконечная последовательность СВ Xn,n=1,2,..., определенная на одном пространстве элементарных событий Щ, называется случайной последовательностью (СП) и обозначается {Xn},n=1,2,...

Замечание 13.1.

Если последовательность состоит из детерминированных величин xn, то говорят, что последовательность сходится к величине x (это обозначается xn>x или limn>?xn=x ), если для любого е>0 найдется такое N>0, что |xn?x|<е для всех n?N. Попробуем уточнить смысл этого понятия для случайной последовательности. Так как для любого n, вообще говоря, может найтись такое е>0, что случайное событие {щ:|Xn(щ)?X(щ)|?е}??, то нельзя говорить о сходимости случайной последовательности Xn к X в приведенном выше детерминированном смысле. Мы рассмотрим четыре вида сходимости последовательностей СВ. В дальнейшем для краткости записи мы по-прежнему не будем указывать зависимость СВ Xn(щ) от элементарного события щ.

Определение 13.2. Пусть Fn(x) -- Функция распределения СВ Xn, где n=1,2,... и F(x) -- функция распределения СВ X. СП {Xn}, n=1,2,..., сходится по распределению к СВ x при n>?, если последовательность функций Fn(x) сходится к функции F(x) в каждой точке x непрерывности функции F(x), т.е. Fn(x)>F(x) при n>?. Этот вид сходимости будем обозначать Xn>FX.

Пример 13.1.

Поясним на примере случай, когда Fn(x) сходится к F(x) во всех точках, за исключением точек разрыва функции F(x). Пусть с вероятностью 1 выполняется Xn=1/n,n=1,2,..., и X=0. Для них

Fn(x)={1,x?1/n,0,x<1/n,

F(x)={1,x?0,0,x<0.

Очевидно, что Fn(x)>F(x) при n>? для всех x?0. Но Fn(0)=0 для всех n, а F(0)=1, поэтому последовательность {Fn(0)},n=1,2,..., не сходится к F(0). Но точка x=0 является точкой разрыва функции F(x), поэтому согласно определению 13.2 Xn>FX.

Определение 13.3. Случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., сходится почти наверное (п.н.) к СВ X при n>?, что записывается как Xn?>„Ѓ.„~.X, если

P{щ:limn>?Xn(щ)=X(щ)}=1.

Очевидно, что если Xn?>„Ѓ.„~.X, то вероятность события, состоящего из таких щ, что последовательность {xn} реализаций СВ Xn(щ) не сходится к реализации x СВ X(щ), равна нулю:

P{щ:limn>?Xn(щ)?X(щ)}=0.

Таким образом, сходимость почти наверное случайной последовательности понимается по реализациям СВ Xn и X и в этом смысле похожа на сходимость детерминированной последовательности.

Кроме того, можно показать, что сходимость Xn?>„Ѓ.„~.X равносильна тому, что для всех е>0 имеет место

limn>?P{supm?n|Xm?X|?е}=1.

Определение 13.4. Случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., сходится по вероятности к СВ X при n>?, что записывается как Xn>PX, если для всех е>0 справедливо

limn>?P{|Xm?X|?е}=1.

Очевидно, что условие сходимости Xn>PX, в вышеприведенном определении эквивалентно следующему: limn>?P{|Xm?X|>е}=0.

Сходимость п.н. для случайной последовательности влечет за собой и сходимость по вероятности. Действительно,

{щ:|Xn(щ)?X(щ)|?е}Ѓ»{щ:supm?n|Xm(щ)?X(щ)|?е}.

Поэтому

limn>?P{|Xm?X|?е}?limn>?P{supm?n|Xm?X|?е}=1.

Из сходимости по вероятности не следует сходимость п.н.

Если Xn>PX, то можно доказать, что и Xn>FX. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Замечание 13.2.

В биржевом парадоксе мы имели сходимость Zn>P0.

Теорема 13.1. (Неравенство Чебышева, усиленный вариант). Пусть r-й абсолютный момент СВ X конечен, т.е. M[|X|r]<?. Тогда для всех е>0 выполняется неравенство P{|X|?е}?M[|X|r]/еr.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Для простоты доказательства предположим, что у СВ X существует плотность распределения fX(x). Тогда, используя свойство 3)f(x) имеем

M[|X|r]?

откуда следует доказываемое утверждение. ¦

Рассмотрим важный частный случай приведенного неравенства. Пусть СВ Y?X?mX, где mX?M[X]. Тогда, полагая в неравенстве Чебышева r=2, получим

P{|X?mX|?е}?M[|X?mX|2]е2?D[X]е2.

Замечание 13.3.

Данное неравенство, позволяющее оценить сверху вероятность отклонения от её МО на основе информации лишь о её дисперсии, широко используется в теории оценивания и управления стохастическими системами. В литературе чаще всего именно последнее неравенство называют неравенством Чебышева.

Определение 13.5. Случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., сходится к СВ X в среднем квадратическом при n>?, что записывается как Xn?>„ѓ.„{.X, если M[|Xn?X|2]>0 при n>?.

Покажем, что если Xn>„ѓ.„{X, то Xn>PX. Действительно, рассмотрим СВ Yn?Xn?X. В силу неравенства Чебышева для СВ Yn имеем

P{|Yn|>е}?P{|Yn|?е}?M[Y2n]е2?M[|Xn?X|2]е2.

Поэтому, если Xn?>„ѓ.„{.X, т.е. M[|Xn?X|2]>0 при n>?, то для любого е>0 выполняется P{|Yn|>е}>0 при n>?, т.е. Xn>PX. Из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднем квадратическом.

Связь между различными видами сходимости удобно представить в виде логической схемы ( рис. 13.1 ).

Рис. 13.1

13.2. Сходимость усредненной суммы независимых СВ

Определение 13.6. Будем говорить, что случайная последовательность {Xn},n=1,2,..., является последовательностью независимых СВ Xn, если при любом n СВ X1,...,Xn независимы.

Определение 13.7. СВ Yn?1n?k=1nXk называется усредненной суммой СВ Xk,k=1,n???.

Пусть СВ Xk,k=1,n???, независимы. Обозначим mk?M[Xk],dk?D[Xk],k=1,n???. Тогда, используя свойства 1) M[X] и 4) M[X], получим

M[Yn]=1n?k=1nmk, D[Yn]=1n2?k=1nD[Xk]?1n2?k=1ndk.

Определение 13.8. Будем говорить, что к последовательности Xk,k=1,n???, независимых СВ применим закон больших чисел (ЗБЧ), если |Yn?M[Yn]|>P0 при n>?.

Теорема 13.2. (Теорема Маркова). Если для последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых СВ выполняется условие limn>?D[Yn]=0, то к этой последовательности применим закон больших чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Утверждение теоремы равносильно тому, что

P{|Yn?M[Yn]|>е}=0.

По неравенству Чебышева при r=2 имеем

P{|Yn?M[Yn]|>е}?P{?Yn?M[Yn]??е}?.

Согласно условию теоремы, получаем |Yn?M[Yn]|0. ¦

Утверждение теоремы остается верным, если СВ {Xn},n=1,2,..., являются лишь попарно некоррелированными, так как свойство 4) M[X] сохраняется и для некоррелированных СВ.

Теорема 13.3. (Теорема Чебышева). Если последовательность {Xn} образована независимыми СВ, дисперсии которых равномерно ограничены, т.е. существует такая константа c, что D[Xn]?c для всех n=1,2,..., то к этой последовательности применим закон больших чисел.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как D[Xk]c для всех k=1,2,..., то, используя свойство 4) M[X] , получим

D[Yn]=

Но c/n>0 при n>?, т.е. условие теоремы 13.2 выполнено и к последовательности {Xn},n=1,2,..., применим закон больших чисел. ¦

Теорема 13.4. Если последовательность {Xn},n=1,2,..., образована независимыми СВ с одинаковыми распределениями и конечной дисперсией D[X]<+?, то к этой последовательности применим закон больших чисел, причем Yn, где mx=mk?M[Xk],k=1,2,...

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В данном случае D[Xk]=dX<? для всех k=1,2,... Поэтому условие теоремы Чебышева выполнено. Следовательно, |Yn?M[Yn]|0 при n>?. Кроме того, M[Xk]?mk=mX для всех k=1,2,... Таким образом,

M[Yn]=

откуда следует, что |Yn?mX|0. ¦

Определение 13.9. Будем говорить, что к последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых СВ применим усиленный закон больших чисел, если |Yn?M[Yn]|0 при n>?.

Из усиленного закона больших чисел следует закон больших чисел, так как из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности.

Теорема 13.5. (Теорема Колмогорова). К последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых одинаково распределенных СВ, у которых mX, конечно, применим усиленный закон больших чисел, причем YnmX.

Замечание 13.4.

В данной теореме, в отличие от теоремы 13.4, не требуется существования дисперсии СВ Xn и при этом утверждение оказывается более сильным. Но доказательство этой теоремы значительно сложнее, чем доказательство теоремы 13.4, поэтому мы не приводим его в данной книге.

Замечание 13.5.

Закон больших чисел - это, по сути, свойство случайной последовательности {Xn},n=1,2,..., состоящее в том, что случайные отклонения отдельных независимых СВ Xn от их общего среднего значения mX при большом n в своей массе взаимно погашаются. Поэтому, хотя сами величины Xn случайны, их среднее арифметическое значение при достаточно большом n практически уже неслучайно и близко к mX. Таким образом, МО mX СВ Xn заранее неизвестно, то, согласно теореме 13.5, его можно вычислить с любой "степенью точности" с помощью среднего арифметического Yn?. Но при этом встает вопрос: в каком смысле понимать точность приближения Yn?mX? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем параграфе. Рассмотрим опыты, проводимые по схеме Бернулли, в результате которых событие A ("успех") происходит с вероятностью p?P(A).

Рассмотрим частоту "успехов" Wn(A)?M/n, где M, есть число "успехов" при n испытаниях. Случайная величина M имеет биномиальное распределение Bi(n;p).

Теорема 13.6. (Теорема Бернулли, усиленный вариант). Частота "успехов" сходится почти наверное к вероятности "успеха", т.е. Wn(A).P(A)?p

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как M имеет биномиальное распределение, то частоту успехов Wn=M/n можно представить в виде усредненной суммы независимых одинаково распределенных СВ Xk, k=, имеющих распределение Бернулли, со значениями x0=1 и x1=0. Причем P{Xk=1}=p,P{Xk=0}=q. Поэтому

Yn=Mn= где M[Xk]=p, D[Xk]=pq,k=1,2,...

Тогда по теореме 13.5, так как выполнено условие mX=p<?, получаем M/np. ¦

Замечание 13.6.

Самому Якову Бернулли принадлежит доказательство более слабого утверждения, что Wn(A)P(A). Теорема Бернулли объясняет смысл свойства устойчивости частоты Wn(A)=M/n, которое мы ранее принимали как экспериментальный факт. Таким образом, теорема Бернулли является "переходным мостиком" от теории вероятностей к её приложениям.

14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ

Рассмотрим нормированную сумму Zn независимых СВ Xk,k=:

Zn?

где по свойству 4)M[X] имеет место соотношение

?D,

так как ?D[Xk],mk?M[Xk]. В связи с тем, что Zn является нормированной СВ, то по свойства 5) mX : M[Zn]=0, D[Zn]=1. Изучим поведение последовательности СВ при n>?.

Определение 14.1. Будем говорить, что к последовательности {Xn},n=1,2,..., независимых СВ применима центральная предельная теорема (ЦПТ), если последовательность СВ Zn сходится по распределению к СВ U, имеющей стандартное нормальное распределение, U?N(0;1), т.е. Zn U.

Замечание 14.1.

Как отмечалось выше, закон больших чисел -- это, по сути, свойство последовательности независимых СВ Xn (см. замечание 13.5), которое выполняется при определенных условиях. Аналогичную интерпретацию имеет и центральная предельная теорема. Название "центральная предельная теорема", на наш взгляд, не очень точное, так как по смыслу - это свойство, а не теорема. Но так как в литературе это понятие закрепилось, то и мы будем его придерживаться.

Определение 14.2. Будем говорить, что последовательность {Xn},n=1,2,..., независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова, если

Поясним смысл условия Ляпунова. Рассмотрим для произвольного д>0 случайные события

Ak?{|Xk?mk|/sn?д},k=.

Тогда по свойству 7)P получаем

По условию Ляпунова последнее выражение стремится к нулю при n>?. Таким образом, все слагаемые в нормированной сумме Zn равномерно малы в том смысле, что вероятность хотя бы одного из них превзойти величину д>0 стремится к нулю при возрастании числа слагаемых.

Теорема 14.1(Теорема Ляпунова). Если последовательность {Xn},n=1,2,..., независимых СВ удовлетворяет условию Ляпунова и СВ Xn, её образующие, имеют конечные МО и дисперсии, т.е. mn<?, <?, то к случайной последовательности {Xn},n=1,2,..., применима центральная предельная теорема.



Замечание 14.2.

Фундаментальная роль ЦПТ в теории вероятностей состоит в том, что при весьма общих предположениях сумма большого числа независимых (относительно малых, см., например, условие Ляпунова) СВ удовлетворительно описывается нормальным законом. Этим фактом и объясняется очень широкое распространение нормального закона на практике. Отметим, что существуют и другие условия, отличные от условия Ляпунова, при которых к последовательности СВ применима ЦПТ. Но эти условия имеют общую черту: все слагаемые в нормированной сумме равномерно малы.

Пример 14.1.

Рассмотрим последовательность {Xn},n=1,2,..., независимых одинаково распределенных СВ Xn с конечным МО, дисперсией и третьим абсолютным моментом. Тогда

Таким образом, условие Ляпунова выполнено. Поэтому к последовательности независимых одинаково распределенных СВ в данном случае применима ЦПТ. В действительности это утверждение верно при более слабых предположениях. По теореме Леви для применимости ЦПТ в данном примере достаточно существования конечных МО и дисперсии.

14.2. Сходимость частоты



Основные выборочные характеристики. Основные понятия

Вариационный ряд

Выборочная функция распределения



Практическая часть

Исходные данные:

;

2,2;

= 8,5;

;

Набор 1 (n=11, шаг=5, m=0, у2=1)

n	xn	a	b			y	y+
1	-25	2,2	8,5	1	-0,36207	-46,5	-46,8621
2	-20	2,2	8,5	1	-1,78779	-35,5	-37,2878
3	-15	2,2	8,5	1	-0,86042	-24,5	-25,3604
4	-10	2,2	8,5	1	0,476032	-13,5	-13,024
5	-5	2,2	8,5	1	0,215696	-2,5	-2,2843
6	0	2,2	8,5	1	1,189442	8,5	9,689442
7	5	2,2	8,5	1	-1,21479	19,5	18,28521
8	10	2,2	8,5	1	0,414174	30,5	30,91417
9	15	2,2	8,5	1	-0,56622	41,5	40,93378
10	20	2,2	8,5	1	2,20651	52,5	54,70651
11	25	2,2	8,5	1	-0,92203	63,5	62,57797

Аналогичные вычисления проводим для остальных наборов данных.

Набор 2 (n=51, шаг=1,m=0, у2=1)

n	xn	a	b			y	y+
1	-25	2,2	8,5	1	0,103284	-46,5	-46,3967
2	-24	2,2	8,5	1	0,874743	-44,3	-43,4253
3	-23	2,2	8,5	1	-0,82023	-42,1	-42,9202
4	-22	2,2	8,5	1	-0,0785	-39,9	-39,9785
5	-21	2,2	8,5	1	-1,4358	-37,7	-39,1358
6	-20	2,2	8,5	1	-0,84633	-35,5	-36,3463
7	-19	2,2	8,5	1	-0,70077	-33,3	-34,0008
8	-18	2,2	8,5	1	0,184355	-31,1	-30,9156
9	-17	2,2	8,5	1	0,795	-28,9	-28,105
10	-16	2,2	8,5	1	-0,77443	-26,7	-27,4744
11	-15	2,2	8,5	1	0,282195	-24,5	-24,2178
12	-14	2,2	8,5	1	0,155754	-22,3	-22,1442
13	-13	2,2	8,5	1	0,731334	-20,1	-19,3687
14	-12	2,2	8,5	1	-1,25645	-17,9	-19,1564
15	-11	2,2	8,5	1	-2,01325	-15,7	-17,7132
16	-10	2,2	8,5	1	-0,4173	-13,5	-13,9173
17	-9	2,2	8,5	1	-1,63228	-11,3	-12,9323
18	-8	2,2	8,5	1	0,889144	-9,1	-8,21086
19	-7	2,2	8,5	1	-0,7355	-6,9	-7,6355
20	-6	2,2	8,5	1	-0,64904	-4,7	-5,34904
21	-5	2,2	8,5	1	0,9967	-2,5	-1,5033
22	-4	2,2	8,5	1	-0,63356	-0,3	-0,93356
23	-3	2,2	8,5	1	0,958946	1,9	2,858946
24	-2	2,2	8,5	1	0,282228	4,1	4,382228
25	-1	2,2	8,5	1	-2,85926	6,3	3,440737
26	0	2,2	8,5	1	0,513213	8,5	9,013213
27	1	2,2	8,5	1	0,522668	10,7	11,22267
28	2	2,2	8,5	1	-0,93408	12,9	11,96592
29	3	2,2	8,5	1	-0,95597	15,1	14,14403
30	4	2,2	8,5	1	0,735179	17,3	18,03518
31	5	2,2	8,5	1	1,122824	19,5	20,62282
32	6	2,2	8,5	1	-1,42469	21,7	20,27531
33	7	2,2	8,5	1	-0,40295	23,9	23,49705
34	8	2,2	8,5	1	-0,99394	26,1	25,10606
35	9	2,2	8,5	1	0,115793	28,3	28,41579
36	10	2,2	8,5	1	-0,69703	30,5	29,80297
37	11	2,2	8,5	1	-0,99891	32,7	31,70109
38	12	2,2	8,5	1	0,611288	34,9	35,51129
39	13	2,2	8,5	1	0,587788	37,1	37,68779
40	14	2,2	8,5	1	0,318691	39,3	39,61869
41	15	2,2	8,5	1	0,326846	41,5	41,82685
42	16	2,2	8,5	1	-1,07755	43,7	42,62245
43	17	2,2	8,5	1	-0,26462	45,9	45,63538
44	18	2,2	8,5	1	-1,35918	48,1	46,74082
45	19	2,2	8,5	1	0,219793	50,3	50,51979
46	20	2,2	8,5	1	0,34881	52,5	52,84881
47	21	2,2	8,5	1	3,172969	54,7	57,87297
48	22	2,2	8,5	1	0,508573	56,9	57,40857
49	23	2,2	8,5	1	1,234509	59,1	60,33451
50	24	2,2	8,5	1	-0,51873	61,3	60,78127
51	25	2,2	8,5	1	-0,07245	63,5	63,42755

Набор 3 (n=11, шаг=5, m=0, у2=9)

n	xn	a	b			y	y+
1	-25	2,2	8,5	9	-1,39154	-46,5	-47,8915
2	-20	2,2	8,5	9	-1,54045	-35,5	-37,0405
3	-15	2,2	8,5	9	-1,6359	-24,5	-26,1359
4	-10	2,2	8,5	9	2,012927	-13,5	-11,4871
5	-5	2,2	8,5	9	-1,18336	-2,5	-3,68336
6	0	2,2	8,5	9	-0,15771	8,5	8,342292
7	5	2,2	8,5	9	-2,689	19,5	16,811
8	10	2,2	8,5	9	5,388635	30,5	35,88864
9	15	2,2	8,5	9	1,251683	41,5	42,75168
10	20	2,2	8,5	9	-2,32656	52,5	50,17344
11	25	2,2	8,5	9	-5,85698	63,5	57,64302

Набор 4 (n=51, шаг=1, m=0, у2=9)

n	xn	a	b			y	y+
1	-25	2,2	8,5	9	-2,51409	-46,5	-49,0141
2	-24	2,2	8,5	9	-3,30522	-44,3	-47,6052
3	-23	2,2	8,5	9	-3,78947	-42,1	-45,8895
4	-22	2,2	8,5	9	-1,2579	-39,9	-41,1579
5	-21	2,2	8,5	9	0,483677	-37,7	-37,2163
6	-20	2,2	8,5	9	1,750138	-35,5	-33,7499
7	-19	2,2	8,5	9	-1,20124	-33,3	-34,5012
8	-18	2,2	8,5	9	-2,39213	-31,1	-33,4921
9	-17	2,2	8,5	9	-1,24014	-28,9	-30,1401
10	-16	2,2	8,5	9	-1,43662	-26,7	-28,1366
11	-15	2,2	8,5	9	0,138364	-24,5	-24,3616
12	-14	2,2	8,5	9	-3,57202	-22,3	-25,872
13	-13	2,2	8,5	9	-2,88792	-20,1	-22,9879
14	-12	2,2	8,5	9	1,727107	-17,9	-16,1729
15	-11	2,2	8,5	9	1,801927	-15,7	-13,8981
16	-10	2,2	8,5	9	5,471256	-13,5	-8,02874
17	-9	2,2	8,5	9	1,128807	-11,3	-10,1712
18	-8	2,2	8,5	9	-0,85735	-9,1	-9,95735
19	-7	2,2	8,5	9	-1,56518	-6,9	-8,46518
20	-6	2,2	8,5	9	-0,20891	-4,7	-4,90891
21	-5	2,2	8,5	9	7,601435	-2,5	5,101435
22	-4	2,2	8,5	9	5,755031	-0,3	5,455031
23	-3	2,2	8,5	9	1,300006	1,9	3,200006
24	-2	2,2	8,5	9	-2,22166	4,1	1,878338
25	-1	2,2	8,5	9	2,470795	6,3	8,770795
26	0	2,2	8,5	9	8,224408	8,5	16,72441
27	1	2,2	8,5	9	3,108459	10,7	13,80846
28	2	2,2	8,5	9	3,658565	12,9	16,55856
29	3	2,2	8,5	9	3,647347	15,1	18,74735
30	4	2,2	8,5	9	1,777023	17,3	19,07702
31	5	2,2	8,5	9	0,548765	19,5	20,04877
32	6	2,2	8,5	9	-3,16373	21,7	18,53627
33	7	2,2	8,5	9	-5,36136	23,9	18,53864
34	8	2,2	8,5	9	-0,9966	26,1	25,1034
35	9	2,2	8,5	9	-0,86153	28,3	27,43847
36	10	2,2	8,5	9	-1,65871	30,5	28,84129
37	11	2,2	8,5	9	-3,35518	32,7	29,34482
38	12	2,2	8,5	9	-1,71052	34,9	33,18948
39	13	2,2	8,5	9	1,771512	37,1	38,87151
40	14	2,2	8,5	9	-7,73326	39,3	31,56674
41	15	2,2	8,5	9	5,21859	41,5	46,71859
42	16	2,2	8,5	9	0,369928	43,7	44,06993
43	17	2,2	8,5	9	3,100198	45,9	49,0002
44	18	2,2	8,5	9	1,027322	48,1	49,12732
45	19	2,2	8,5	9	0,328281	50,3	50,62828
46	20	2,2	8,5	9	-3,52341	52,5	48,97659
47	21	2,2	8,5	9	-2,12815	54,7	52,57185
48	22	2,2	8,5	9	4,578646	56,9	61,47865
49	23	2,2	8,5	9	-1,38467	59,1	57,71533
50	24	2,2	8,5	9	0,2414	61,3	61,5414
51	25	2,2	8,5	9	2,770213	63,5	66,27021



Рассмотрим

Так как , следовательно, уравнение зависит только от .

Найдём

Для набора 1:

=2,222738

=8,389866

Для набора 2:

=2,212794

=8,343918

Для набора 3:

=2,178976

=7,761067

Для набора 4:

=2,222452

=8,689651

Построение оценки неизвестной дисперсии погрешности измерений

, где n- число измерений.

где - оценка кривой регрессии

Значения найдены с помощью ЭВМ.

Для набора 1:

= 1,320778

Для набора 2:

=1,009621

Для набора 3:

=9,1992

Для набора 4:

=10,58741

Сравнение точечных оценок с истинными

	N(0;1) n=11	N(0;1) n=51	N(0;9) n=11	N(0;9) n=51	Истинные значения
	2,222738	2,212794	2,178976	2,222452	2,2
	8,389866	8,343918	7,761067	8,689651	8,5
	1,320778	1,009621	9,1992	10,58741	1,2) 1; 3,4) 9.

Сравнение графиков функций:

Для набора 1:

Для набора

Для набора 3

Для набора 4:

Построение интервальных оценок для a, b.

Построим интервальную оценку для b:

Построим интервальную оценку для a:

где -квантиль уровня распределения Стьюдента .

Выберем уровень надежности 0,9

Для набора 1:

Для набора 2:

Для набора 3:

Для набора 4:

Построение интервальных оценок дисперсии

где ;

-квантиль для распределения с n степенями свободы.

Для набора 1:

Для набора 2

Для набора 3

Для набора 4

Список используемой литературы

1. А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами».

2. Электронный учебник

3. Е.М.Гмурман «Теория вероятностей и математическая статистика»

Размещено на Allbest.ru