Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Самарский Государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» (СГАУ)

Филиал в г. Тольятти

Кафедра математики и механики

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине: «Математическое моделирование»

Тема: Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Тольятти 2010

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Смоделировать случайную величину x, имеющую закон распределения, близкий к нормальному, с параметрами на основе суммы N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. На основе выборки объема n исследовать статистические характеристики случайной величины x, решив следующие задачи.

Построить гистограмму распределения и изобразить ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности .

Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины x, используя критерий 2 Пирсона при уровне значимости .

Исходные значения:

Конечное математическое ожидание

Среднее квадратическое отклонение

Размер выборки

Доверительная вероятность

Уровень значимости

Количество выбираемых значений

Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону

Смоделировать случайную величину y, имеющую заданный непрерывный закон распределения. На основе выборки объема n исследовать статистические характеристики случайной величины y, решив следующие задачи.

Построить гистограмму распределения и изобразить ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Определить выборочные оценки математического ожидания и дисперсии.

Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности

Проверить гипотезу о виде распределении случайной величины Y, используя критерий 2 Пирсона при уровне значимости .

Исходные значения:

Распределение

Оценка статистических характеристик случайного процесса

Оценить точность работы автоматической системы управления динамической системой второго порядка, задав заданные законы распределения помех внутри объекта и погрешности измерений, на отрезке [0,T]. На основе выборки объема n исследовать статистические характеристики случайного выходного вектора (), решив следующие задачи.

Определить статистические характеристики системы управления в момент времени .

Проверить гипотезу о независимости случайных величин при уровне значимости в момент времени .

Найти эмпирические уравнения регрессии на и на и изобразить их графически одновременно с выборочными значениями.

Произвести оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени t.

Исходные значения:

Начальные условия - по равномерному закону

Ошибка измерения y2 - по равномерному закону

Исходная матрица В равна:

; Параметры управления: и .

Оценка статистических характеристик стационарного случайного процесса

Смоделировать стационарный процесс, имеющий параметры в соответствии с заданием. На основе реализации длины Т исследовать статистические характеристики выходного случайного процесса , решив следующие задачи.

Произвести оценку математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса.

Получить оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса, используя различные формулы, и сравнить их с соответствующей точной аналитической оценкой спектральной плотности.

Исходные значения:

Время

Процесс смешанного типа порядка ,

РЕФЕРАТ

Данная курсовая работа выполняются на ЭВМ с применением современного математического пакета MathCAD.

Цель курсовой работы - закрепление знаний по дисциплине «Математическое моделирование».

Введение

Цель курсовой работы - изучение студентами особенностей решения некоторых часто встречающихся статистических задач математического моделирования на компьютере. Курсовая работа проводится с применением современного математического пакета MathCAD. Курсовая работа по содержанию соответствуют программе курса моделирования систем для студентов, обучающихся по специальности 230102 - автоматизированные системы обработки информации и управления.

В курсовую работу входят следующие разделы:

1. Моделирование случай ной величины, распределенной по нормальному закону.

В этом разделе изучаются приемы генерирования нормально распределенной случайной одномерной величины с заданными параметрами. Генерирование данной случайной величины производится при помощи N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. На основе выборки объема n производится оценка статистических характеристик полученной случайной величины, и решаются следующие задачи: 1) строятся гистограмма распределения и теоретическая плотность распределения, 2) вычисляются статистические оценки для математического ожидания и дисперсии, 3) определяются доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии, соответствующие заданной доверительной вероятности; 4) проверяется гипотеза о нормальном распределении полученной случайной величины с использованием критерия Пирсона при заданном уровне значимости.

2. Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону.

В этом разделе изучаются приемы генерирования случайной непрерывной одномерной величины с заданным законом распределения. Закон распределения соответствует индивидуальному заданию. Для получения заданной случайной величины используются универсальный метод обратной функции и метод преобразований. При статистическом анализе качества полученной случайной величины решаются те же задачи, что и в первом разделе.

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса.

В этом разделе необходимо оценить точность работы линейной динамической системы автоматического управления (САУ) второго порядка, задав заданные законы распределения для ошибок измерений выходных характеристик САУ и законы распределения случайного шума внутри объекта управления. Точность работы САУ оценивается на отрезке времени [0,T]. На основе выборки объема n необходимо исследовать статистические характеристики случайного выходного двумерного вектора САУ, решив следующие задачи: 1) найти выборочные оценки для корреляционной матрицы выходного случайного вектора САУ в момент времени t=T, 2) проверить гипотезу о независимости случайных величин, входящих в выходной вектор при заданном уровне значимости, 3) найти эмпирические уравнения регрессии между компонентами выходного вектора САУ и изобразить их графически одновременно с выборочными значениями, 4) найти оценки для математических ожиданий, корреляционной и нормированной корреляционной функций случайного двумерного процесса, возникающего в САУ при действии на нее заданных случайных возмущений.

4. Оценка статистических характеристик стационарного случайного процесса.

В этом разделе изучаются вопросы статистического моделирования стационарных случайных процессов. Рассматриваются случайные процессы авторегрессии и скользящего среднего. При выполнении раздела студенты должны решить следующие задачи: 1) произвести генерирование стационарного случайного процесса в соответствии с индивидуальным заданием на отрезке времени; 2) произвести оценку математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса; 3) получить оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса и сравнить их с соответствующими точными аналитическими оценками.

1. Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Смоделируем случайную величину x, имеющую закон распределения, близкий к нормальному, с параметрами на основе суммы N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. Для этого воспользуемся формулами (1) и (2)

(1)

(2)

и датчиком равномерно распределенных случайных чисел .

Заданы следующие параметры нормального закона распределения:

n=165, a=0.5, =2, N=5, где

n - количество реализаций случайной величины,

a - математическое ожидание,

- стандартное отклонение,

N - количество экспериментов.

Тогда случайную величину с распределением (0.5, 2) можно вычислить по формуле (3),

(3)

где

В результате получается таблица выборочных значений случайной величины:

Таблица 1 - Выборочные значения случайной величины

Определим максимальное и минимальное значения данной выборки:

,.

Построение гистограммы распределения

Для проверки качества полученной нормально распределенной случайной величины построим гистограмму распределения - удобный способ представления статистических данных.

Из выборки случайной величины определим ее минимальные и максимальные значения и .

Далее отрезок разбивается на интервалов, как правило, одинаковой длины. Предварительный выбор количества интервалов можно сделать по правилу Стургенса

. (4)

Для построения гистограммы нужно частоту попадания случайных величин в каждый интервал , где , (причем последний интервал необходимо рассмотреть как отрезок ), разделить на его длину и полученную величину взять в качестве высоты прямоугольника на графике, изображающем гистограмму. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице. На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону

. (5)

Для случайной величины распределенной по закону (1, 1.8) на рис.1 приводится гистограмма с теоретической плотностью вероятности.

Рисунок 1 - Сравнение теоретической и эмпирической плотностей распределения

Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии.

По имеющейся выборке оценим значения числовых характеристик исследуемой случайной величины.

Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

(6)

где Y - последовательность взаимно независимых случайных величин, n - количество случайных величин.

Выборочное среднее служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины.

Выборочное среднее для данного распределения .

Выборочную дисперсию вычислим по формуле

, (7)

которая для данного распределения .

Несмещенную оценку дисперсии найдем по следующей формуле:

(8)

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение (9).

Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности .

Чтобы иметь представление о точности и надежности оценок в математической статистике используется понятие доверительного интервала. Получим несмещенную оценку для математического ожидания. Доверительная вероятность согласно заданию равна

Найдем такое значение , при котором вероятность

(10)

Это равенство означает, что с вероятностью интервал , который называется доверительным интервалом, накрывает неизвестное значение параметра a.

Так как оценка представляет собой сумму независимых одинаково распределенных случайных величин то, согласно центральной предельной теореме, при достаточно больших ее закон распределения близок к нормальному закону. Характеристики этого закона равны соответственно и . В этом случае доверительный интервал для математического ожидания можно представить в виде

, (11)

где , , t - квантиль нормального распределения, который определяется по статистическим таблицам.

Определенный доверительный интервал является приближенным, так как вместо точного значения дисперсии используется ее оценка. Величина определяет для нормального закона число стандартных отклонений, которое нужно отложить вправо и влево от оценки математического ожидания для того, чтобы вероятность попадания в полученный интервал была равна .

Вычислим квантиль нормального распределения t по стандартной программе в пакете MathCAD:

,

Границы доверительного интервала равны:

Найдем более точную оценку доверительного интервала на основе распределения Стьюдента. В этом случае доверительный интервал для оценки математического ожидания можно представить в виде

,

где , , t1 - квантиль распределения Стьюдента, который тоже определяется по статистическим таблицам.

Вычислим квантиль нормального распределения j по стандартной программе в пакете MathCAD:

, .

Границы доверительного интервала равны:

.

Аналогично может быть получен доверительный интервал для дисперсии. Оценка дисперсии также представляет собой сумму случайных величин. Однако эти величины уже нельзя считать независимыми, так как в любую из них входит оценка . Но и этом случае при увеличении закон распределения их суммы также приближается к нормальному. Поэтому доверительный интервал для дисперсии определяется также, как и для математического ожидания и имеет вид:

 (12)

где дисперсия Dd оценки Dn определяется формулой:

(13)

Квантиль t можно найти по таблицам нормального распределения так же, как для математического ожидания.

Вычислим квантиль нормального распределения t по стандартной программе в пакете MathCAD:

,

.

Границы доверительного интервала равны:

.

Более точный доверительный интервал для оценки дисперсии получим при нормальном распределении на основе распределения .

Однако в отличие от нормального распределения и распределения Стьюдента распределение не является симметричным распределением. Поэтому выберем интервал так, чтобы вероятность выхода величины вправо и влево были одинаковы и равны . Чтобы построить интервал с таким свойством, необходимо воспользоваться таблицами распределения . Определим два табличных значения, соответствующие вероятностям и . Табличные значения и найдем по стандартной программе в пакете MathCAD.

,

.

В этом случае доверительный интервал для оценки дисперсии в соответствии с обозначением примет вид

(16)

где

Границы доверительного интервала равны:

Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины x с помощью критерия 2 Пирсона при уровне значимости .

На основании полученной выборки значений случайной величины X проверим гипотезу о ее нормальном распределении. Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия: критерий Пирсона , который имеет следующий вид

, (19)

где - число точек в - ом интервале гистограммы, - количество интервалов, - теоретические вероятности попадания точек в - ый интервал, которые вычислим по формуле

(20)

Получим

Для распределения составлены специальные таблицы. По ним по заданному числу степеней свободы 4 и по заданной вероятности (уровню значимости) можно найти граничное табличное значение критерия. Табличное значение найдем по стандартной программе в пакете MathCAD:

, (21)

.

, следовательно, гипотеза не противоречит статистическим данным и ее можно считать правдоподобной с уровнем значимости .

Таким образом, при моделировании случайной величины, распределенной по нормальному закону, мы выполнили ряд действий:

С помощью формул (1), (2) и датчика случайных равномерно распределенных случайных чисел сгенерировали выборку .

Построили гистограмму статистического распределения для полученной выборки и изобразили ее графически вместе с теоретической плотностью распределения f(y);

Определили статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнили их с теоретическими значениями.

Определили доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии двумя способами (при помощи нормального распределения и с помощью более точных распределений), и убедились в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы.

Проверили гипотезу о нормальном распределении полученной случайной величины с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости .

Листинг программы приведен в Приложении 1.

2. Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону

Случайная величина X распределена по распределению Хи-квадрат. Осуществим генерацию по следующей формуле:

(22)

Построение гистограммы распределения и изображение ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Построим гистограмму распределения для проверки качества полученных нормально распределенных случайных величин, применяя формулу (22).



Рисунок 2 - Сравнение теоретической и эмпирической плотностей распределения для случайной величины X

Определение выборочных оценок математического ожидания и дисперсии.

Оценим значения числовых характеристик исследуемых случайных величин по имеющейся выборке.

Вычислим выборочное среднее по формуле (6):

.

Выборочную дисперсию найдем из формулы (7):

, где D - выборочная дисперсия для случайной величины X.

Несмещенную оценку дисперсии вычислим по формуле (8):

, где Dn - несмещенная оценка для случайной величины X.

Выборочное среднее квадратическое отклонение найдем из формулы (8):

, где s - выборочное среднее квадратическое отклонение для случайной величины X.

Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

Доверительная вероятность согласно заданию равна .

С помощью формулы (11) вычислим границы доверительных интервалов для математического ожидания по нормальному закону:



, - границы доверительного интервала для случайной величины X.

Найдем более точную оценку доверительных интервалов на основе распределения Стьюдента. В этом случае доверительный интервал для математического ожидания можно представить в виде

,

где , , t - квантиль распределения Стьюдента, который тоже определяется по статистическим таблицам.

Вычислим квантиль нормального распределения t1 по стандартной программе в пакете MathCAD:

, .

Границы доверительных интервалов равны:

.

С помощью формул (12) и (13) найдем границы доверительных интервалов для дисперсии:

.

Более точные доверительные интервалы для оценки дисперсии получим при нормальном распределении на основе распределения . Вычислим с помощью формул (14) - (18) границы доверительных интервалов по распределению:

.

Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины X с помощью критерия 2 Пирсона при уровне значимости .

На основании полученной выборки значений случайных величин и проверим гипотезы о их нормальном распределении.

С помощью формул (19) и (20) определим :

- для случайной величины X.

Для распределения составлены специальные таблицы. По ним по заданному числу степеней свободы 4 и по заданной вероятности (уровню значимости) можно найти граничное табличное значение критерия.

По формуле (21) определим : .

Таким образом , значит гипотеза не противоречит статистическим данным и случайную величину можно считать правдоподобной с уровнем значимости .

При моделировании случайной величины, распределенной по заданному закону (нормальному), мы выполнили ряд действий:

С помощью формул (1), (2) и датчика случайных равномерно распределенных случайных чисел сгенерировали выборки.

Построили гистограммы статистического распределения для полученных выборок и изобразили их графически вместе с теоретической плотностью распределения f(y);

Определили статистические оценки для математического ожидания и дисперсии и сравнили их с теоретическими значениями.

Определили доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии двумя способами (при помощи нормального распределения и с помощью более точных распределений), и убедились в том, что теоретические значения параметров попадают в полученные доверительные интервалы.

Проверили гипотезы о заданном распределении полученных случайных величин с помощью критерия Пирсона с заданным уровнем значимости .

Листинг программы приведен в Приложении 2.

3. Оценка статистических характеристик случайного процесса

Случайной функцией называется функция, значение которой при каждом данном значении аргумента (или аргументов) является случайной величиной.

В результате опыта случайная функция может принимать различные формы. Всякая функция, которой может оказаться равной случайная функция в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Случайную функцию можно рассматривать как бесконечную совокупность случайных величин, зависящих от одного или нескольких непрерывно изменяющихся аргументов. Случайную функцию будем обозначать , и т.д. В дальнейшем будем рассматривать функции скалярного аргумента . Каждому данному значению аргумента соответствует одна случайная величина . В физических и технических приложениях часто приходится рассматривать случайные функции времени. В этом случае случайные функции обычно называют случайными процессами. Если проведено опытов, в которых наблюдалась случайный процесс, то мы имеем реализаций случайного процесса , где .

Заданы матрица и векторы , характеризующие объект управления.

Определение статистических характеристик системы управления в момент времени .

Подберем коэффициенты регулятора и в управлении из условия устойчивой работы системы (действительные части собственных значений измененной матрицы должны быть отрицательны). Коэффициенты .

При генерации ошибок измерений и помех .

Сгенерируем ошибки измерений:

.

Сгенерируем помехи внутри объекта управления:

.

Пересчитаем ошибки измерений в главную систему координат:

.

Пересчитаем помехи в главную систему координат:

.

Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [], получив реализации случайного процесса:

Рисунок 3 - Реализация случайного процесса

Значения переменных состояния в конечной точке



Определим статистические характеристики системы управления в момент времени .

Математическим ожиданием случайного процесса называется такая функция , значение которой при каждом данном значении аргумента равно математическому ожиданию значения этой функции при этом аргументе, то есть

. (24)

Математическое ожидание случайного процесса представляет собой некоторую среднюю функцию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайного процесса.

Дисперсией случайного процесса называется такая функция , значение которой при каждом данном значении аргумента равно дисперсии значения этой функции при этом аргументе, то есть

. (25)

Для того чтобы учесть статистическую связь между значениями функции при различных значениях аргумента, кроме математического ожидания и дисперсии, анализируются корреляционные моменты между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Корреляционный момент между двумя значениями функции в моменты и определяет корреляционную функцию случайного процесса

, (26)

где аргументы и принимают все возможные значения.

Вычислим выборочное среднее по формулам

(27)

(28)

.

Определим выборочную дисперсию по формулам

(29)

(30)

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение найдем из формул

(31)

(32)

.

Оценка коэффициента корелляции

(33)

.

Проверка гипотезы о независимости случайных величин при уровне значимости в момент времени .

На основании полученной выборки проверим гипотезу о независимости переменных состояния системы в момент времени .

Таким образом, гипотеза о независимости двух случайных величин отвергается с уровнем значимости .

Нахождение эмпирических уравнений регрессии на и на и изображение их графически одновременно с выборочными значениями.

Определим уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени .

Эмпирическое уравнение регрессии У на Х:

 (36)

Рисунок 4 - Эмпирическое уравнение регрессии У на Х и выборочные значения

Эмпирическое уравнение регрессии Х на У:

(37)

Рисунок 5 - Эмпирическое уравнение регрессии Х на У и выборочные значения

Оценка статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени t.

Произведем оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени.

Оценка математического ожидания:

(38)

(39)

Рисунок 6 - Оценка математического ожидания случайного процесса

Оценка дисперсии:

(40)

(41)



Рисунок 7 - Оценка дисперсии случайного процесса

Оценка выборочного среднего квадратического отклонения:

(42)

(43)

Рисунок 8 - Оценка выборочного среднего квадратического отклонения случайного процесса

Оценка коэффициента корреляции:

(44)



Рисунок 9 - Оценка коэффициента корреляции

Произведем оценку корреляционных функций случайного процесса.

(45)

Рисунок 10 - Оценка корреляционной функции случайного процесса

(46)

Рисунок 11 - Оценка корреляционной функции случайного процесса

 (47)

Рисунок 12 - Оценка взаимной корреляционной функции случайного процесса

Таким образом, при выполнении данного раздела курсовой работы, мы:

Сгенерировали двумерные массивы для ошибок измерений и для помех внутри объекта управления в соответствии с заданными законами распределения;

пересчитали ошибки измерений и помехи в главную систему координат;

проинтегрировали систему дифференциальных уравнений n раз на отрезке времени [0,T], получив реализации случайного процесса;

определили статистические характеристики системы управления в момент времени t=T;

вычислили статистику (31) и произвели проверку гипотезы о независимости переменных состояния системы в момент времени t=T;

определили уравнения регрессии для переменных состояния системы в момент времени t=T;

произвели оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени;

произвели оценку корреляционных функций случайного процесса.

Листинг программы приведен в Приложении 3.

4. Оценка статистических характеристик стационарного случайного процесса

Существуют процессы, вероятностные характеристики которых не зависят от времени. Наличие или отсутствие зависимости значений вероятностных характеристик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эргодичность.

Стационарным называется процесс , вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

В теории случайных процессов различают стационарность в узком и широком смыслах. Процессы, для которых условие стационарности выполняется для всех вероятностных характеристик, называются стационарными в узком смысле. Если от времени не зависят только математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, то такой процесс называется стационарным в широком смысле. Аналогично определяется эргодические процессы в узком и в широком смыслах.

Для стационарных процессов корреляционная функция зависит только от разности аргументов

(48)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса является функцией одного аргумента. В этом случае дисперсия стационарного случайного процесса, которая при этом равна

, (49)

а также постоянна.

Таким образом, , (50)

то есть корреляционная функция обладает свойством четности.

Широкий класс стационарных случайных процессов представляют собой процессы авторегресии и скользящего среднего. Использование их позволяет достаточно просто описать многие случайные процессы в различных областях науки и техники.

Оценка математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса.

Входные данные:

Стационарный случайный процесс p=1, q=1. Входной стационарный случайный процесс с равномерным распределением Т=5000.

Для эргодического стационарного случайного процесса при неограниченном возрастании интервала наблюдения средние по времени приближенно равно средним по множеству наблюдений. Следовательно, все характеристики случайного процесса (математическое ожидание, корреляционную функцию) можно приближенно определить по одной достаточно длинной его реализации.

На основании этого за оценки математического ожидания и корреляционной функции для эргодического случайного процесса можно принять

(51)

(52)

Если , то формула (52) дает оценку дисперсии случайного процесса .

Интегралы в оценках (51) и (52) обычно вычисляются приближенно заменой соответствующими суммами. Так, если применить для этого формулу прямоугольников, то оценки примут вид

(54)

(55)

, (56)

где промежуток времени T разделен на N равных отрезков, - значения переменной процесса на k-ом отрезке, а переменная принимает следующие дискретные значения .

Произведем генерирование стационарного случайного процесса по формуле

(57)

на отрезке времени [0, Т],

где - индекс, определяющий момент времени; - постоянные параметры разностного уравнения (56), - последовательность входных центрированных одинаково распределенных некоррелированных случайных величин, - последовательность значений полученного случайного процесса.

Из уравнения (56) как частный случай следуют: уравнение для процесса авторегрессии порядка р:

(58)

По формулам (54) и (55) вычислим оценки математического ожидания и корреляционной функции:

Рисунок 13 - Оценка корреляционной функции случайного процесса

Получение оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса с помощью различных формул и сравнение их с соответствующей точной аналитической оценкой спектральной плотности.

Так как корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной функцией своего аргумента , то она может быть разложена в ряд Фурье по четным функциям на интервале

. (59)

Здесь , ,

, (60)

где - коэффициент ряда.

С другой стороны сам стационарный случайный процесс может быть представлен в виде канонического разложения

, (61)

где - некоррелированные случайные величины с вероятностными характеристиками .

. (62)

Причем дисперсии совпадают с коэффициентами ряда Фурье (59).

Разложение вида (61) называют спектральным разложением стационарного случайного процесса .

Если теперь определить дисперсию разложения (61), то

, (63)

то есть дисперсия стационарного случайного процесса равна сумме дисперсий его спектрального разложения.

Дисперсии и соответствующие им частоты определяют дискретный спектр стационарного случайного процесса .

Получим оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса, используя формулы:

, (64)

, (65)

, (66)

, (67)

и сравним их с соответствующей точной аналитической оценкой

(68)

Рисунок 14 - Оценки спектральной плотности случайного процесса (число учитываемых гармоник М=3)

Наилучшей оценкой для спектральной плотности стационарного случайного процесса, по сравнению с точной аналитической оценкой S(w) (68), является S1(w) (64).

Таким образом, при выполнении данного раздела курсовой работы:

Смоделировали стационарный процесс, имеющий параметры в соответствии с заданием. На основе реализации длины Т исследовали статистические характеристики выходного случайного процесса .

Произвели оценку математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса.

Получили оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса, используя различные формулы, сравнили их с соответствующей точной аналитической оценкой спектральной плотности и выявили лучшую из них.

Листинг программы приведен в Приложении 4.

Заключение

Таким образом, при выполнении курсовой работы обучились основным методам и приёмам решения статистических задач на компьютере, закрепили знания, полученные на лекциях и лабораторных занятиях.

Моделирование случайной величины, распределенной по нормальному закону

Смоделировали случайную величину x, имеющую закон распределения, близкий к нормальному, с параметрами на основе суммы N случайных величин, имеющих равномерный закон распределения. На основе выборки объема n исследовали статистические характеристики случайной величины x, решив следующие задачи:

Построили гистограмму распределения и изобразили ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Вычислили выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Построили доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности .

Проверили гипотезу о нормальном распределении случайной величины x, используя критерий 2 Пирсона при уровне значимости .

Моделирование случайной величины, распределенной по заданному закону

Смоделировали случайную величину y, имеющую заданный непрерывный закон распределения. На основе выборки объема n исследовали статистические характеристики случайной величины y, решив следующие задачи:

Построили гистограмму распределения и изобразили ее графически одновременно с теоретической плотностью вероятностей.

Определили выборочные оценки математического ожидания и дисперсии.

Построили доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, соответствующие доверительной вероятности

Проверили гипотезу о виде распределении случайной величины Y, используя критерий 2 Пирсона при уровне значимости .

Оценка статистических характеристик случайного процесса

Оценили точность работы автоматической системы управления динамической системой второго порядка, задав заданные законы распределения помех внутри объекта и погрешности измерений, на отрезке [0,T]. На основе выборки объема n исследовали статистические характеристики случайного выходного вектора (), решив следующие задачи:

Определили статистические характеристики системы управления в момент времени .

Проверили гипотезу о независимости случайных величин при уровне значимости в момент времени .

Нашли эмпирические уравнения регрессии на и на и изобразили их графически одновременно с выборочными значениями.

Произвели оценку статистических характеристик случайного процесса в зависимости от времени t.

Оценка статистических характеристик стационарного случайного процесса

Смоделировали стационарный процесс, имеющий параметры в соответствии с заданием. На основе реализации длины Т исследовали статистические характеристики выходного случайного процесса , решив следующие задачи:

Произвели оценку математического ожидания и корреляционной функции стационарного случайного процесса.

Получили оценки для спектральной плотности стационарного случайного процесса, используя различные формулы, и сравнили их с соответствующей точной аналитической оценкой спектральной плотности.

Список использованной литературы

1. Статистическое моделирование и метод Монте-Карло ч.1: Учебное пособие/ А.Ф. Тараскин; Самарский Государственный Аэрокосмический Университет, г. Самара, 1997.

2. Статистическое моделирование и метод Монте-Карло ч.2: Учебное пособие/ А.Ф. Тараскин; Самарский Государственный Аэрокосмический Университет, г. Самара, 1997.

3. Статистическое моделирование систем: Учебное пособие к курсовой работе / Заболотнов Ю.М; Самарский Государственный Аэрокосмический Университет, г. Самара, 2006.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1



ПРИЛОЖЕНИЕ 2

дисперсия математический ожидание распределение



ПРИЛОЖЕНИЕ 3



ПРИЛОЖЕНИЕ 4



Размещено на Allbest.ru