Теория вероятности и математическая статистика

Теорема Бернулли на примере моделирования электросхемы. Моделирование случайной величины, имеющей закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив закон распределения.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 31.05.2010
Размер файла 2,3 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Московский авиационный институт

/государственный университет/

Филиал «Взлет»

Курсовая работа

Теория вероятности и математическая статистика

Содержание

Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электросхемы

Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

Задание №3: Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Список используемой литературы

Задание №1: Проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электросхемы

Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов, частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.

План проверки: Составить электросхему из последовательно и параллельно соединенных 7 элементов, рассчитать надежность схемы, если надежность каждого элемента: 0.6 < pi < 0.9. Расчет надежности схемы провести двумя способами. Составить программу в Turbo Pascal, при помощи которой мы будем проводить опыты, учитывая, что надежность каждого из элементов в пределах от 0.6 до 0.9. Высчитывать частоту безотказной работы схемы. Для этого мы вводим надежность каждого из элементов. Программа будет увеличивать число опытов от 1000 до 20000 через 1000 проверяя сколько из этих опытов окажутся успешными, т.е. схема работает, для этого проверяется условие когда x[i]<P[i] то присваиваем этому элементу логическую 1 т.е. элемент работает, а если условие не выполняется то элемент не работает, всё это проделывается для каждого из 7 элементов для этого данное условие задаётся при помощи цикла. Далее получаем количество успешных опытов и делим на количество проведённых получая при этом частоту безотказной работы данной схемы.

Схема:

Электрическая цепь, используемая для проверки теоремы Бернулли

Расчет:

Чтобы доказать выполнимость теоремы Бернулли, необходимо чтобы значение частоты появления события в серии опытов в математическом моделировании равнялось значению вероятности работы цепи при теоретическом расчёте этой вероятности.

Математическое моделирование с помощью Turbo Pascal.

Program TVMS_kursov_1;

Uses CRT;

Var i,b,k,d,op,n:Integer;

ch:Real;

P,x:Array[1..10] of Real;

a:Array[1..30] of Integer;

Begin

ClrScr;

Randomize;

For i:=1 to 7 do

begin

Write(' Введите надёжности элементов P[',i,']=');

ReadLn(P[i]);

End;

WriteLn;

WriteLn('Число опытов ','Число благоприятных исходов ','Частота');

For op:=1 to 20 do

begin

n:=op*1000;

d:=0;

For k:=1 to n do

begin

For i:=1 to 7 do

begin

x[i]:=Random;

If x[i]<P[i] then a[i]:=1 else a[i]:=0;

End;

b:=((a[3]+a[4]+a[5]*a[6]*a[7])*a[1]*a[2]);

if b>=1 then d:=d+1;

End;

ch:=d/n;

WriteLn;

Write(' ':3,n:5,' ':20,d:5,' ':15,ch:5:4);

End;

WriteLn;

ReadLn;

End.

Результат работы программы.

Введите надёжности элементов P[1]=0.7

Введите надёжности элементов P[2]=0.9

Введите надёжности элементов P[3]=0.8

Введите надёжности элементов P[4]=0.6

Введите надёжности элементов P[5]=0.9

Введите надёжности элементов P[6]=0.7

Введите надёжности элементов P[7]=0.8

Таблица

Числоопытов

Числоблагоприятныхисходов

Частота

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

20000

618

1225

1808

2478

3022

3592

4182

4847

5432

6070

6643

7252

7876

8574

9030

9769

10281

11006

11520

11997

0.6180

0.6125

0.6027

0.6195

0.6044

0.5987

0.5974

0.6059

0.6036

0.6070

0.6039

0.6043

0.6058

0.6124

0.6020

0.6106

0.6048

0.6114

0.6063

0.5998

Теоретический расчёт вероятности работы цепи:

I способ:

II способ:

Из математического моделирования с помощью Turbo Pascal видно, что частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к рассчитанной теоретически вероятности данного события .

Распределение модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

Пусть СВ Y подчиняется закону нормального распределения. Пусть по тем или иным причинам представляет интерес величина отклонения Y от нуля независимо от знака этого отклонения, т. е. СВ

X=|Y|

которая образует распределение модуля СВ, подчиненной нормальному закону.

Математическое выражение. Распределение модуля СВ определяется теми же двумя параметрами, которые характеризуют исходное нормальное распределение.

Плотность вероятности равна

где x0, ун -- математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение исходного нормального распределения;

ц(t) -- функция, определяемая равенством (5.12).

Функция распределения равна

где Ф0(t) -- функция, определяемая равенством (5.19).

График плотности вероятности приведен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение СВ Х определяются равенствами:

Вид распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону, зависит от соотношения между x0 и ун (рис. 5.2).

Для определения медианы нужно решить уравнение

а для определения моды -- уравнение

Второе уравнение при x0> ун, а первое при любых x0 и ун решаются численными или графическими методами. При x0н мода равна нулю.

Формулы (5.33) и (5.34) можно выразить через срединное отклонение Ен исходного нормального распределения, заменив в них ун на Ен, ц(t) на ц^(t), Ф0(t) на Ф^0(t). Функции ц^(t) и Ф^0(t) определяются равенствами (5.13) и (5.21).

Вычисление: Расчеты по формулам (5.33) -- (5.37) производятся с помощью табл. II и III. Если расчетчик предпочитает выражение исходного нормального распределения через срединное отклонение, то используются табл. IV и V.

Задание №2: Смоделируем случайную величину, имеющую закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону

Программа в Turbo Pascal:

PROGRAM Kursov_2;

Uses Graph,Crt;

Var mi:array[1..100] of integer;

hi,pix,hn,hr,xi:array[1..200] of real;

m,i,l,j,n,a,b:integer;

mx,Dx,Gx,Sk,Ex,fx,xl,Dxs,Gxs,Sks,Exs:real;

xmin,xmax,pod,c,c1,c2,x,v:real;

st:string;

{---------------Генерирование числовых последовательностей-----------}

BEGIN

Randomize;

ClrScr;

Write(' Введите количество элементов последовательности: ' );

ReadLn(n);

a:=-3; b:=6;

WriteLn;

WriteLn(' Исходная последовательность с нормальным ');

WriteLn(' законом распределения на интервале [-3;6]:');

mx:=(a+b)/2;

Dx:=30/12;

for i:=1 to n do

begin

v:=0;

for j:=1 to 30 do

begin

x:=Random;

v:=v+x;

end;

v:=(v-15)/Sqrt(Dx)*1.5+mx;

hn[i]:=v;

Write(hn[i]:10:2);

end;

WriteLn;

ReadLn; ClrScr;

{-------------Минимальное и максимальное значения диапазона----------}

xmin:=hn[1]; xmax:=hn[1];

for i:=1 to n do

begin

if hn[i]>xmax then

xmax:=hn[i];

if hn[i]<xmin then

xmin:=hn[i];

end;

WriteLn;

WriteLn(' Максимальное значение:',xmax:6:2);

WriteLn(' Минимальное значение: ',xmin:6:2);

ReadLn; ClrScr;

{--Генерирование модyля CB с нормальным законом распределения--}

a:=0; b:=6;

WriteLn(' последовательность модyля CB с нормальным ');

WriteLn(' законом распределения:');

WriteLn;

for i:=1 to n do

begin

hr[i]:=abs(hn[i]);

Write(hr[i]:10:2);

end;

WriteLn;

ReadLn; ClrScr;

{-------------Минимальное и максимальное значения диапазона----------}

xmin:=hr[1]; xmax:=hr[1];

for i:=1 to n do

begin

if hr[i]>xmax then

xmax:=hr[i];

if hr[i]<xmin then

xmin:=hr[i];

end;

WriteLn;

WriteLn(' Максимальное значение:',xmax:6:2);

WriteLn(' Минимальное значение: ',xmin:6:2);

ReadLn; ClrScr;

{------------------------Разбивка на интервалы-----------------------}

m:=b-a;

c:=(xmax-xmin)/m;

c1:=xmin; c2:=c+xmin;

for i:=1 to m do

begin

xi[i]:=(c1+c2)/2;

mi[i]:=0; l:=1;

repeat

if (hn[l]<=c2) and (hn[l]>=c1) then

mi[i]:=mi[i]+1;

l:=l+1;

until l=n+1;

c1:=c2;

c2:=c2+c;

end;

GotoXY(1,8);

WriteLn('Kоличество чисел Чacтoтa пoпaдaния Bыcoтa cтoлбикa гиcтoгpaммы');

WriteLn;

for i:=1 to m do

begin

pix[i]:=mi[i]/n;

hi[i]:=pix[i]/c;

WriteLn(i,': ',mi[i]:6,pix[i]:20:3,hi[i]:22:3);

end;

ReadLn; ClrScr;

{----------------------Числовые характеристики-----------------------}

xl:=0;

for i:=1 to m do

xl:=xl+xi[i]*pix[i];

Dxs:=0;

for i:=1 to m do

Dxs:=Dxs+sqr(xi[i]-xl)*pix[i];

Gxs:=sqrt(Dxs); Sks:=0; Exs:=0;

for i:=1 to m do

begin

pod:=xi[i]-xl;

Sks:=Sks+pod*pod*pod*pix[i]/(Gxs*Gxs*Gxs);

Exs:=Exs+pod*pod*pod*pod*pix[i]/(Gxs*Gxs*Gxs*Gxs);

end;

Exs:=Exs-3;

GotoXY(10,1);

WriteLn(' Числовые характеристики:');

GotoXY(10,5);

WriteLn('Среднестатистическое значение xl= ',xl:6:3);

GotoXY(10,8);

WriteLn('Статистическая дисперсия Dxs= ',Dxs:6:3);

GotoXY(10,11);

WriteLn('Среднестатистическое отклонение Gxs= ',Gxs:6:3);

GotoXY(10,14);

WriteLn('Скошенность Sks= ',Sks:6:3);

GotoXY(10,17);

WriteLn('Островершинность Exs= ',Exs:6:3);

ReadLn;

END.

Результат работы программы:

Введите количество элементов последовательности: 300

Исходная последовательность с нормальным

законом распределения на интервале [-3;6]:

2.79 1.48 -0.18 2.84 -0.51 1.90 0.83 0.84

-1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 -1.24 -0.49

2.14 -0.16 -2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

-0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

-1.14 0.77 1.68 -0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 -0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 -0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 -0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

-0.53 -0.03 0.78 -0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 -0.49 2.06 0.64 2.29

-0.02 3.78 3.66 1.13 1.46 4.10 2.95 1.94

0.31 2.14 1.84 -0.40 0.84 1.89 1.88 3.47

2.51 -0.50 1.05 2.15 2.54 1.27 1.61 0.32

2.33 4.57 2.84 4.60 1.74 0.81 -1.28 -0.98

-1.84 -0.64 2.18 2.20 1.01 2.29 0.35 1.35

3.48 3.82 -0.07 1.14 1.99 -0.52 4.42 -0.34

1.43 -0.90 1.96 -1.30 -0.26 1.04 3.47 3.58

-0.95 1.68 -0.60 4.30 -0.96 1.19 1.94 1.23

0.76 1.84 0.05 0.69 1.18 1.68 1.04 1.07

2.87 1.66 0.96 2.88 4.11 0.49 0.82 1.71

-0.67 0.06 -0.98 3.26 2.56 1.49 3.09 1.43

1.77 2.30 2.44 2.06 3.33 0.26 0.19 4.09

2.69 -0.69 3.35 1.78 3.56 4.19 0.71 1.15

1.10 0.03 1.67 3.50 -1.51 3.16 0.18 -1.62

0.81 3.05 3.31 3.25 4.32 0.02 -2.65 0.79

0.07 1.51 1.30 2.49 -1.45 2.18 -0.03 3.27

1.21 -1.62 2.49 0.72 3.60 0.83 -0.67 2.11

3.15 1.83 3.02 0.27 0.61 6.20 -1.20 0.76

-1.34 0.68 -0.22 1.73 0.67 1.17 0.69 0.51

2.01 3.43 0.05 0.25 1.35 2.10 -0.29 -0.35

-0.22 2.33 1.67 2.72 3.85 0.15 1.16 2.09

2.14 1.93 -1.11 2.30 -1.10 1.21 2.00 -0.48

0.34 0.25 2.35 1.31 0.11 3.29 3.36 2.78

1.91 4.10 2.28 0.89 3.27 3.25 3.06 0.25

3.25 -0.28 0.80 0.17 0.69 2.63 2.36 3.52

Максимальное значение: 6.20

Минимальное значение: -2.65

Последовательность модуля CB с нормальным

законом распределения

2.79 1.48 0.18 2.84 0.51 1.90 0.83 0.84

1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 1.24 0.49

2.14 0.16 2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

1.14 0.77 1.68 0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

0.53 0.03 0.78 0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 0.49 2.06 0.64 2.29

0.02 3.78 3.66 1.13 1.46 4.10 2.95 1.94

0.31 2.14 1.84 0.40 0.84 1.89 1.88 3.47

2.51 0.50 1.05 2.15 2.54 1.27 1.61 0.32

2.33 4.57 2.84 4.60 1.74 0.81 1.28 0.98

1.84 0.64 2.18 2.20 1.01 2.29 0.35 1.35

3.48 3.82 0.07 1.14 1.99 0.52 4.42 0.34

1.43 0.90 1.96 1.30 0.26 1.04 3.47 3.58

0.95 1.68 0.60 4.30 0.96 1.19 1.94 1.23

0.76 1.84 0.05 0.69 1.18 1.68 1.04 1.07

2.87 1.66 0.96 2.88 4.11 0.49 0.82 1.71

0.67 0.06 0.98 3.26 2.56 1.49 3.09 1.43

1.77 2.30 2.44 2.06 3.33 0.26 0.19 4.09

2.69 0.69 3.35 1.78 3.56 4.19 0.71 1.15

2.79 1.48 0.18 2.84 0.51 1.90 0.83 0.84

1.50 0.43 3.67 1.30 2.61 1.22 1.24 0.49

2.14 0.16 2.01 4.72 3.08 1.14 0.84 0.24

0.63 2.18 1.38 2.30 0.42 3.69 1.99 0.38

1.14 0.77 1.68 0.70 3.02 2.26 1.50 1.50

0.19 0.19 1.61 1.92 2.63 0.76 1.28 1.90

4.41 0.64 0.88 2.30 1.07 0.39 3.11 3.44

0.84 2.05 0.07 0.56 1.77 0.77 1.21 2.08

0.53 0.03 0.78 0.64 1.40 0.93 0.32 0.42

2.62 2.26 4.79 1.95 1.31 2.36 1.66 2.06

2.20 1.08 0.90 2.95 2.97 3.36 1.08 3.21

2.61 4.01 5.84 1.67 0.49 2.06 0.64 2.29

0.02 3.78 3.66 1.13

Максимальное значение: 5.84

Минимальное значение: 0.02

Kоличество чисел

Чacтoтa пoпaдaния

Bыcoтa cтoлбикa гиcтoгpaммы

1:

2:

3:

4:

5:

6:

71

81

59

35

16

2

0.237

0.270

0.197

0.117

0.053

0.007

0.244

0.278

0.203

0.120

0.055

0.007

Числовые характеристики:

Среднестатистическое значение xl=1.664

Статистическая дисперсия Dxs=1.291

СреднестатистическоеотклонениеGxs=1.136

СкошенностьSks=1.193

Островершинность Exs= 0.449

Задание №3: Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив соответствующий закон распределения

Гистограмма и сглаживающая функция

r=k-3=6-3=3,

Вывод: Нет оснований принять гипотезу о распределении модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону, так как

Список используемой литературы

1. «Теория вероятностей» В.С. Вентцель

2. «Теория вероятностей (Задачи и Упражнения)» В.С. Вентцель, Л.А. Овчаров

3. «Справочник по вероятностным расчётам»

4. «Теория вероятностей и математическая статистика» В.Е. Гмурман

5. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В.Е. Гмурман


Подобные документы

  • Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.

    курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010

  • Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей закон распределения Пуассона. Подтверждение гипотезы данного закона распределения с помощью критерия Колмогорова.

    курсовая работа [134,2 K], добавлен 31.05.2010

  • Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения, проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Математическое моделирование в среде Turbo Pascal. Теоретический расчёт вероятности работы цепи.

    контрольная работа [109,2 K], добавлен 31.05.2010

  • Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.

    контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015

  • Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.

    контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013

  • Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующие вероятности. Исследование статистических характеристик случайной величины на основе выбора объема. Теоретическая и эмпирическая плотность распределения.

    курсовая работа [594,4 K], добавлен 02.01.2012

  • Определение вероятности попадания в мишень по формуле Бернулли. Закон и многоугольник распределения случайной величины. Построение функции распределения, графика. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение случайной величины.

    контрольная работа [86,4 K], добавлен 26.02.2012

  • Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.

    контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014

  • Понятия теории вероятностей и математической статистики, применение их на практике. Определение случайной величины. Виды и примеры случайных величин. Закон распределения дискретной случайной величины. Законы распределения непрерывной случайной величины.

    реферат [174,7 K], добавлен 25.10.2015

  • Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.

    контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.