Практические результаты использования Системы mn параметров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Практические результаты использования Системы mn параметров

Автор: Фильчев Э.Г.

Эта статья имеет целью раскрыть практические результаты использования разработанной автором Системы mn параметров, что позволит читателю принять решение о необходимости более подробного изучения предлагаемой работы (см. сайт fgg-fil1.narod.ru).

“ … существо математической науки таково

что каждый действительный успех в ней

идет рука об руку с нахождением более

сильных вспомогательных средств и более

простых методов, которые одновременно

облегчают понимание более ранних

теорий и устраняют затруднительные

старые рассуждения … ведь математика

- основа всего точного естествознания “

[Проблемы Гильберта. Изд.Наука.М.1969.стр.6]

параметр теорема треугольник пифагор

Базовые основы системы mn параметров

Система mn параметров, разработанная автором, представлена в виде ряда отдельных статей, каждая из которых имеет законченный вид с целью ограничения ссылок на другие статьи. Следует указать, что весь последующий материал разработан лично автором и его приоритет подтверждается открытыми публикациями 1981-1982г.г. (см., например, Указатель поступлений информационных материалов. ЦИВТИ МО. Серия Б, вып.7, 1982г. Д 5422-Д 5423).

Система mn параметров имеет следующие базовые основы

1. Теорема 1. О замкнутости цикла процедуры последовательного взаимного вычитания сторон треугольника, если цикл начинается с одной из вершин исходного треугольника.

2. Восемь вариантов значений параметров mn (Табл.1).

3. Теорема 2. О замкнутости цикла процедуры последовательного взаимного вычитания сторон треугольника, если цикл начинается с точки, лежащей на любой стороне исходного треугольника (см. Сайт fgg-fil1.narod.ru/fmatkst.doc).

4. Итерационные формулы, с помощью которых реализуется возможность создания деревьев и массивов упорядоченных множеств (рациональных точек, нерациональных точек, рациональных лучей и др.)

Теорема циклов для треугольников

Теорема 1. Для любого треугольника цикл последовательного взаимного вычитания сторон всегда ограничен пятью шагами.

Или иначе “Если для трех чисел выполняется условие - любое число меньше суммы двух других чисел, то цикл последовательного взаимного вычитания сторон всегда ограничен пятью шагами “.

Доказательство Пусть имеем произвольный треугольник ABC(Рис.1). При этом AC - большая сторона.

Шаг 1 AC-AB=d, Шаг 2 BC-d=BC-AC+AB=c,

Шаг 3 AB-c=AB-BC+AC-AB=AC-BC=b, Шаг 4 AC-b=AC-AC+BC=BC,

Шаг 5 BC-BC=0 . Цикл окончен (замкнулся).

Результат AC=b+c+d (1)

AB= b+c (2)

BC= d+c. (3)

Вывод Стороны любого исходного треугольника объективно выражаются двумя параметрами (b,d). Параметр с = ц(b,d).

Теорема циклов для прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник, являясь экстремальным случаем косоугольного треугольника, имеет особое значение в математике в связи с тем, что координаты любой точки в прямоугольной системе координат связаны между собой этим координатным треугольником. Поэтому координаты точки любой функции, представленные в системе координат, объективно обладают свойствами прямоугольного треугольника. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (Рис.) с взаимно-простыми целочисленными сторонами. Числа, удовлетворяющие значениям сторон таких треугольников в современной математике принято называть пифагоровой тройкой. Пифагорова тройка (4,3,5)- самый простой и наиболее известный пример. В археологической коллекции Колумбийского университета хранится клинописная табличка, датируемая приблизительно 1500 г. До н.э.. В этой табличке указана тройка (6480,4961,8161).Эта тройка со всей достоверностью показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок; значит, древние вавилоняне обладали каким-то способом нахождения таких троек...знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора... [Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма, Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Изд. МИР.М. 1980. Стр.17].

Известный польский математик В. Серпинский в своих работах называет такие тройки основными пифагоровыми треугольниками (ПТ). Далее будем использовать эту терминологию.

Тайна теоремы Пифагора

Теорема Пифагора, как много о ней написано различных трудов, как много вариантов доказательств ее объективности. Однако, существуют вопросы:

Какова предистория рождения теоремы Пифагора?

Что явилось базовой основой этой теоремы?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо принять определенные исходные данные, которые имели и могли иметь древние.

1. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

2. Допустим, что они знали и свойство цикличности значений сторон треугольника (см. Теорема1).

3.Допустим, что они заметили (эмпирическим путем), свойства сторон треугольников с взаимно-простыми целочисленными сторонами. Рассмотрим треугольник (6480,4961,8161).Здесь Z= 8151- гипотенуза, X=6480,Y=4951-катеты.

> Z-X=8161-6480=1681 =41²

> Z-Y=8161-4961=3200 = 2?1600 = 2?40²

> X+Y-Z=6480+4961- 8161= 3280=2?41?40.

4. Обозначим

Z - X = n² (4)

Z - Y = 2m² (5)

Z = b+c+d (6)

Т.к. Z - X = b = n² . Z - Y = d = 2m² (см. формулы 1 и 3).

> Z= b+c+d = n² +c+2m² , X= d + c = 2m² +c , Y= b + c = n² +c.

Определим с.

5. Возведем Z в квадрат (считаем, что древние умели это делать)

> Z² = (b +c + d)² = ( b +c )² +2( b +c )? d + d²

> Z² =( b +c )² + 2bd + 2cd + d² > Z² =( b +c )² + 2bd + 2cd + d² +c²- c²

> Z² =( b +c )² +( d + c)² + ( 2bd - c²)

> Z² =X² + Y² + ( 2bd - c²) . (7)

6. Если в формуле (6) принять

c² = 2bd . (8)

то получим два главных уравнения, вытекающих из цикличности сторон прямоугольного треугольника, а именно формулу теоремы Пифагора и функциональную зависимость параметра с от параметров mn. Поэтому, если c = 2mn, то Z² =X² + Y² .

Из приведенного доказательства видно, что свойство замкнутости цикла последовательного вычитания сторон треугольника первично по отношению к теореме Пифагора.

Из формул (4), (5), (6) следует, что для любой точки в прямоугольной системе координат объективно можно записать

X = n² + 2mn (9)

Y = 2m² + 2mn (10)

Z = n² + 2mn + 2m² . (11)

Автор считает, что замкнутость цикла взаимного вычитания сторон треугольника (теорема 1), формулы (1?3) и формула c² = 2bd и являются тайной теоремы Пифагора и это было известно древним. Сохранение этих формул в тайне позволяет решать многие вопросы в математике, не раскрывая основных базовых соотношений и формул, например, составить таблицу (дерево) основных пифагоровых треугольников и др..

В современной математике для нахождения основных пифагоровых троек (основных ПТ) используют формулы

X = 2pq, Y = p² - q², Z = p² + q²

(см., например, О. Оре. Приглашение в теорию чисел. Изд.Наука. М. 1980.стр.59).

Внимание! 1.Формулы (9), (10), (11) являются аналитическим выражением теоремы цикличности значений сторон прямоугольного треугольника.

2. Для любой точки в прямоугольной системе координат, стороны координатного треугольника объективно выражаются этими формулами.

Таблица вариантов значений параметров mn

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat2.doc показано, что параметры mn могут быть представлены в виде восьми вариантов значений

Автор считает, что замкнутость цикла взаимного вычитания сторон треугольника (теорема 1), формулы (1?3) и формула c² = 2bd и являются тайной теоремы Пифагора и это было известно древним. Сохранение этих формул в тайне позволяет решать многие вопросы в математике, не раскрывая основных базовых соотношений и формул, например, составить таблицу (дерево) основных пифагоровых треугольников и др..

Выводы.

1. В системе mn параметров значения сторон прямоугольного треугольника объективно могут быть представлены в виде формул

X= n²+2mn, Y=2m²+2mn, Z= n²+2mn+ 2m²

Z - X = 2m² , Z + X = 2·( n + m )²

Z - Y = n² , Z + Y = ( n + 2m )²

2. В прямоугольной системе координат местоположение точки однозначно определяется формулами п.1

3. Представление координат произвольной точки в виде функций от mn параметров открывает ряд новых возможностей в математике.

4. Подтверждение знания древними цикличности сторон треугольника следует искать на старых рисунках и орнаментах.

Подробности на сайте http://fgg-fil1.narod.ru/fmattco.doc

Итерационные формулы

Формулы (получены автором)

X₁₁=2Z₀+2X₀+Y₀

E₁= : Y₁₁=2Z₀+X₀+2Y₀ (12)

Z₁₁=3Z₀+2X₀+2Y₀

X₁₂=2Z₀ -X₀+2Y₀

E₂= : Y₁₂=2Z₀ -2X₀ +Y₀ (13)

Z₁₂=3Z₀-2X₀+2Y₀

X₁₃=2Z₀ +2X₀ -Y₀

E₃= : Y₁₃=2Z₀ +X₀ -2Y₀ (14)

Z₁₂=3Z₀+2X₀ -2Y₀

X₁₄= I2Z₀ -X₀-2Y₀ I

E₄= : Y₁₄= I2Z₀ -2X₀ -Y₀ I (15)

Z₁₄=3Z₀-2X₀-2Y₀

Итерационное применение этих формул к значениям X_0,Y₀,Z₀ и далее к вновь получаемым значениям элементов позволяет построить дерево упорядоченных троек X_i,Y_i,Z_i (Упорядоченное множество точек в системе координат, Упорядоченное множество кристаллов) и получить новые результаты в математике при решении практических задач (Дисперсия данных одиночного эксперимента, эллипс допустимых значений нулей кубического многочлена и т.д.).

Подробности на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

Практическое использование

1. Формулы (1), (2), (3)

Эти формулы - аналитическое представление теоремы цикличности для любого треугольника. Ранее было рассмотрено выражение Z² = (b +c + d)². Откуда

> Z² =X² + Y² + ( 2bd - c²) > c² = 2bd,

если исходный треугольник прямоугольный. Поэтому, для любой точки в прямоугольной системе координат, всегда имеем c² = 2bd.

Задача 1. Имеем уравнение Z³ =X³ + Y³ . Определить наличие решений в целых числах для исходного уравнения

Решение. Произведем замену. Запишем

Z³ = (b +c + d)³

> Z³ = (b +c )³ + 3(b +c )² d + 3(b +c )d² + d³ > Z³ = X³ + 3(b +c )²d +3(b +c )d² + d³

Для наличия решения необходимо иметь

Y³ = 3(b +c )²d +3(b +c )d² + d³

> (d + c )³ = 3(b +c )²d +3(b +c )d² + d³

> d³ + 3сd² + 3dc² + c³ = 3b²d + 6bdc + 3dc² + 3bd² + 3cd² + d³> c³ = 3b²d + 6bdc

Для прямоугольного треугольника всегда имеем

c² = 2bd

> с(2bd) = 3b²d + 6bdc > 3b²d = - 4bdc > с = - .

Отрезок с не может быть отрицательным, поэтому можно сделать вывод

Вывод

Уравнения Z3 = X3 +Y3, в качестве прямоугольного треугольника, не имеет решения в целых числах значений X,Y,Z.

Задача 2. Имеем уравнение Zⁿ =Xⁿ + Yⁿ . Определить наличие решений в целых числах для исходного уравнения

Решение. Произведем замену. Запишем

Zⁿ = (b +c + d)ⁿ

> Zⁿ = (b +c)ⁿ + A(b, с, d) ,

где A(b, с, d)- остаток от бинома Ньютона. Для наличия решения, необходимо иметь равенство A(b, с, d) = (d + с )ⁿ. Это возможно только при n = 2.

Выводы

1. Уравнения Zn = Xn +Yn, в качестве прямоугольного треугольника, не имеет решения в целых числах значений X,Y,Z.

2. Секрет теоремы Ферма заключается в замене X, Y, Z на

X = b + с , Y = d + с, Z = b + с + d

3. Предлагаемый метод заключается в следующем

- задайте показатель степени n

- используя бином Ньютона, раскройте выражение (b + c + d)ⁿ

- попробуйте получить равенство A(b, с, d) = (c + d)ⁿ, где A(b, с, d)- остаток от бинома Ньютона, т.к. (b + c + d)ⁿ = (b + c )ⁿ + A(b, с, d). Это возможно только для n = 2.

2. Формулы (9), (10), (11)

X = n² + 2mn

Y = 2m² + 2mn

Z = n² + 2mn + 2m² .

У читателя может возникнуть вопрос - “ Что дает переход к этим формулам в сравнении с известными X = 2pq, Y = p² - q², Z = p² + q²? “.

2.1 Степенные функции

1. Рассмотрим уравнение aX² + bX + с = 0. Пусть X = n² + 2mn

> a(n² + 2mn )² + b(n² + 2mn ) + с =0

> an⁴ + 2an²(2mn) + a(2mn)² + bn² + b(2mn) + с = 0

> (an⁴ + bn² + с) + [4an²(2mn) + a(2mn)² + b(2mn)] = 0

Обратим внимание на то, что здесь первое слагаемое имеет вид исходной функции, если считать, что x=n² .

Допустим, что x=n² тогда из уравнения ( ) получим

2an²(2mn) + a(2mn)² + b(2mn) = 0 (14)

откуда (2mn)₁=0 , т.е. мы подтвердили принятое ранее допущение

x=n²+2mn при (2mn)₁=0 x=n²

Из (14) имеем

2an²+ a(2mn) + b= 0

> mn =

> X =

Обратим внимание на то, что y'=(2ax+b), y''=2a

где y' - первая производная по x от исходной функции,

y''- соответственно 2-ая производная.

Подставим это значение x в исходное уравнение (1) и приравняем нулю

> a[² - b[ ] + с = 0

> (2mn)² =

Если квадратное уравнение решить обычным способом, то получим

( X₁ - X₂ )² =

> (2mn)² = ( X₁ - X₂ )²

где x₁, x₂ -корни исходного уравнения.

На основании результатов проведенного расчета можно сделать следующее утверждение

Утверждение 1. Для квадратного уравнения вида aX² + bX + с = 0 справедливо равенство

(2mn)² = ( X₁ - X₂ )²

где

- (2mn) - параметр системы,

-x₁, x₂ - корни уравнения ,

-y', y" - производные по x.

Рассмотрим функцию aX³ + bX² + сX + d = 0. Пусть X = n²+2mn

> a(n² + 2mn )³ + b(n² + 2mn )² + с(n² + 2mn ) + d =0

Откуда, аналогично расчетам п.1,получим

a( 2mn )³ + (3ax + b)(2mn )² + 3ax² + 2bx + с = 0 (16)

Легко проверить, что вместо этого уравнения можно записать

² +

Для функции aX⁴ + bX³ + сX² + dX + e = 0 аналогично получим

³ +

На основании формулы (16) автором разработан новый метод решения любого кубического уравнения включая неприводимый случай формулы Кардана(см.сайт fgg-fil1.narod.ru ).

Из анализа полученных формул следует

Утверждение 2. Для функции вида y = ax^k + bx^k-1+…+ N = 0 справедливо уравнение

^k-1 + (17)

де - y^(k) к-ая производная исходной функции,

- y^(k-1) -ая производная,

- y ^(k-i) -ая производная,

- (2mn) -параметр системы m, n .

Следует сказать, что эта формула, обладая внешним сходством с известной формулой Тейлора (см. любой справочник по математике), имеет в сравнении с ней следующие существенные отличия:

1.В формуле Тейлора имеет место , где а - конкретное значение переменной, т.е.

конкретное число, не содержащее переменной x.

В формуле может содержать переменную x.

2.В ряде Тейлора имеет место при слагаемых множитель вида(x - a)' содержит только одну переменную x. В формуле имеют место две переменные.

3.В частном случае параметр (2mn)² = ( X₁ - X₂ )² , где xi, xi+1 -любая пара корней исходного уравнения. При этом число (2mn)_i² равно числу сочетаний из n элементов (n-число корней исходного уравнения) по m .

C_n^m = .

Задача 3. В результате одиночного эксперимента получены координаты одной точки M(X, Y). Для планирования последующих экспериментов необходимо знать дисперсию возможных координат точек ожидаемой функции. На основании данных одной точки M(X, Y) необходимо определить дисперсию точек ожидаемой функции.

Решение. Задача кажется неразрешимой, т.к. для определения дисперсии требуется массив данных, которых в данном случае нет.

Автором предлагается метод решения данной задачи на основе использования Таблицы вариантов значений параметров mn.

Этот метод представлен на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

Задача 4. Установить связь формул Системы mn параметров с тригонометрическими функциями.

Решение данной задачи представлено на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

4. Формулы (12)?(15)

Эти формулы используются для построения дерева основных ПТ (дерева ПТ). Программа расчета выполнена в MachCad и позволяет рассчитать более 10 миллионов ПТ в секторе от 0⁰ до 90⁰ и таким образом представить прямоугольную систему координат в дискретном (страфицированном) виде.

На основе дерева ПТ решаются задачи

-( Задача 5) , анаболизма (подъема) и катаболизма (спуска) координат исходной точки

-( Задача 6), определения ПТ в пограничных областях системы координат

-( Задача 7), определения простого и составного числа

-( Задача 8), определения музыкального ряда на основе Sinб, Cosб, tgб дерева ПТ

-( Задача 9), решения уравнения Пелля

-( Задача 10), решения системы диофантовых уравнений вида, если задано только А

X² + AY² = U²

X² - AY² = V²

-( Задача 11), составление систематизированной таблицы кристаллов

-( Задача 12), расчета высоты ветхих пирамид (например, египетских )

-( Задача 13), золотое сечение и mn параметры

-( Задача 14), сравнения по модулю в Системе mn параметров

Решение всех этих задач представлено на сайте fgg-fil1.narod.ru/index.html.

Автор будет благодарен за предложения, оценки и конкретные замечания.

Размещено на Allbest.ru