Определенный интеграл

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определенный интеграл

§1. Основная задача интегрального исчисления - нахождение площади криволинейной трапеции

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Постановка задачи: Найти площадь фигуры, ограниченной снизу замкнутым промежутком оси абсцисс I = [a,b] (y= 0), слева - вертикальной прямой x = a , справа - вертикальной прямой x= b и сверху - дугой графика функции y = f (x). Такая фигура называется криволинейной трапецией опирающейся на промежуток I .

Несколько слов о понятии площади. Студенты с большим трудом и невнятно формулируют понятие площади. И не мудрено. В программе школьного образования не формулируется понятие площади, и оно остается чисто интуитивным. На самом деле площадь это некоторая функция , заданная на геометрических объектах и такая, что 1) и 2) .

Теперь займемся решением поставленной задачи. Для этого поступим следующим образом:

А. Разобьём промежуток I на n частей, не обязательно равных по длине, точками

:Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

, и обозначим

- промежутки разбиения. Величину назовем диаметром промежутка разбиения, а величину - мерой промежутка разбиения.

При этом: и . Для интервала понятие меры и диаметра не отличаются. Для произвольного множества самое большое из расстояний между элементами множеств, конечно, не всегда не совпадает с суммарной длиной интервалов, его составляющих.

Пусть - внутренность промежутка разбиения: =() т.е. . При этом говорят: Задано разбиение Р = промежутка I = [a, b], а величина называется параметром разбиения Р.

Б. Теперь для каждого выберем точки т.е. .



Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Получаем разбиение с отмеченными точками.

В. Построим сумму площадей образовавшихся прямоугольников: , и перейдем к пределу при параметре разбиения, стремящемся к нулю. Если такой предел существует, то он называется определенным интегралом от функции по промежутку и для неотрицательной функции является площадью криволинейной трапеции.

.

Если функция является знакопеременной то определенный интеграл это, вообще говоря, не площадь а ориентированная площадь, когда считается, что фигуры лежащие выше оси абсцисс имеют положительную площадь, а фигуры лежащие ниже оси абсцисс имеют отрицательную площадь.

§2. Свойства разбиений

Говорят, что разбиение Р мельче чем разбиение (или крупнее Р), (или Р следует за ) и записывают , если все точки разбиения содержатся среди точек разбиения Р. Отметим три важных свойства отношения «крупнее - мельче» для разбиений:

а) существуют разбиения со сколь угодным малым параметром:

I = [a, b]. Выбирая ; k = 0,1,2,…,n. Тогда и выбирая достаточно большим, можно сделать параметр разбиения сколь угодно малым.

б) для двух любых разбиений существует третье разбиение, следующее за любым из них:

с) транзитивность отношения «крупнее - мельче»:

и, что то же самое P1 P2 P2 P3 P1 P3.

§3. Определение определённого интеграла на языке

Предел по базе

Def: Величина I (f ) называется определённым интегралом от функции f на промежутке [a, b] D(f ), если: .

Def: Если в множестве X задана система B подмножеств B множества X такая, что:

а) BB B ; б) B1, B2B B3B B3 B1?B2,

то говорят, что в множестве X задана база.

Примеры.

1?. Множество открытых окрестностей точки а образуют базу. Обозначим эту базу P.

2?. Множество открытых проколотых окрестностей точки а образуют базу (P).

3?. Множество открытых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P).

4?. Множество открытых проколотых окрестностей точки а на плоскости образуют базу(P).

5?. Множество всех разбиений промежутка [a, b] образуют базу (P)..

6?. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с параметром разбиения P < образуют базу.

7?. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками образуют базу.

6?. Множество всех разбиений промежутка [a, b] с отмеченными точками с параметром разбиения P < образуют базу. Последние три базы обозначают базу P или .

Def: . Пределом функции f (x) по базе B называется число А, такое, что:

. и тогда определение определенного интеграла может быть записано через предел по базе разбиений с отмеченными точками с параметром разбиения P < : .

§4. Необходимое условие интегрируемости

Т. Функция, интегрируемая на некотором промежутке, необходимо ограничена на нём.

Множество функций, интегрируемых на промежутке, обозначается: R(I) или R[a, b].

Напоминание: Критерий Коши существования предела по базе функции

.

? Докажем: ограничена на I. Так как функция интегрируема, то

От противного: Предположим, что не ограничена на I . Тогда не ограничена на некотором подпромежутке промежутка разбиения , т.е. при :

Это следует из интегрируемости функции .

Но, если выбрать разбиения и , отличающиеся только одной отмеченной точкой , для которых (это возможно, т.к. функция неограниченна) то получим: . Полученное противоречие доказывает теорему.

Но ограниченность - только необходимое условие интегрируемости, однако недостаточное. Например, функция Дирихле не интегрируема (хотя и ограниченна). В самом деле: , и, следовательно, предел интегральных сумм не существует.

§5. Суммы и интегралы Дарбу

Рассмотрим разбиение промежутка [a, b] - Р[a, b]. Для каждого промежутка разбиения выберем

;

и построим суммы: и , называемые нижней и верхней суммами Дарбу.

При этом: и , .

Нетрудно понять, что при измельчении разбиения не уменьшаются, а не увеличиваются: .

Таким образом, нижние суммы Дарбу при измельчении разбиении образуют монотонно возрастающую и ограниченную сверху, а верхние - монотонно убывающую и ограниченную снизу последовательности. По теореме Вейерштрасса каждая из этих последовательностей имеет предел при . Эти пределы называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

интеграл определенный интегрируемость

 ,

и, кроме того, .

§6. Критерий Дарбу интегрируемости функций по Риману

Т°. Функция f (x) интегрируема на промежутке [a, b], тогда и только тогда, когда её верхний и нижний интегралы Дарбу равны между собой.

.

?. а). Пусть функция интегрируема по Риману. Тогда

.

Следовательно: и, в силу того, что и верхняя и нижняя суммы Дарбу есть частные случаи сумм Римана, получим . Переходя к пределу при получаем, что , т.е.

.

б). Пусть верхний и нижний интегралы Дарбу совпадают. Принимая во внимание, что и используя теорему о двух милиционерах, переходим к пределу при : .

Другие формулировки того же критерия:

*). Если интегрируема на , то .

*). Если интегрируема на , то .

§7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Т°. Функция непрерывная на замкнутом промежутке интегрируема на нём.

.

Т°. Функция монотонная на замкнутом промежутке интегрируема на нём.

.

? а). Пусть т.е. непрерывна равномерно непрерывна на. Тогда , и получим:

и по критерию Дарбу , что и требовалось доказать.

б). Пусть f (x) монотонна на [a, b]. Например, монотонно возрастающая: .

Тогда: , что и требовалось доказать.

§8. Интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых функций

1°.

? Отметим, что f (x) и g(x) - ограничены на [a, b].

, .

Отсюда следует, что и, следовательно

что, по критерию Дарбу, означает интегрируемость суммы двух (а значит и любого конечного числа) интегрируемых функций.

2°. .

? Пусть f (x), g(x) - ограничены.

=

.

Значит , что, по критерию Дарбу, означает интегрируемость произведения двух (а значит и любого конечного числа) интегрируемых функций.

3°. и g(x) - отделена от нуля .

? Достаточно доказать интегрируемость функции :

.

Здесь мы воспользовались тем, что g(x) отделена от нуля, т.е. | g(x) | m > 0 и и, по критерию Дарбу, функция интегрируема.

Функция интегрируема, как произведение интегрируемых функций и .

§9. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману

T°. Функция f (x) интегрируема по Риману на [a, b] тогда и только тогда, когда она ограничена и непрерывна почти всюду на [a, b].(п.в. на [a, b]), т.е. множество её точек разрыва имеет лебегову меру ноль.

Def: Множество М имеет лебегову меру ноль ( (M) = 0 ) если существует не более чем счётная система промежутков, покрывающая множество М и имеющая сколь угодно малую суммарную меру т.е. > 0 {In}nN? .

Промежутки In - будем считать открытыми, хотя это всё равно.

При этом:

1). Точка и конечное множество точек имеет лебегову меру ноль.

2). Счётное число точек имеет лебегову меру ноль. .

3). Всякое подмножество множества лебеговой меры ноль имеет лебегову меру ноль.

4). Объединение не более чем счётного числа множеств лебеговой меры ноль имеет лебегову меру ноль.

5). Невырожденный промежуток не имеет лебеговой меры ноль и не может быть покрыт не более чем счётной системой промежутков с суммарной мерой меньшей его длины.

6). Множество лебеговой меры ноль не может иметь внутренних точек.

7). Существуют несчётные множества лебеговой меры 0.

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для построения такого множества рассмотрим отрезок .

На первом шаге разделим отрезок на три равные части и удалим из отрезка средний интервал длиной . После первого шага останется два отрезка и . На следующем шаге с каждым из двух отрезков и поступим так же, как на первом шаге поступили с исходным отрезком т.е. выбросим еще два интервала длиной по . После второго шага останется четыре отрезка , ,, . На рисунке изображены первые четыре шага построения искомого множества. Продолжим эту процедуру до бесконечности.

Множество точек, которые останутся после проведения описанной процедуры, называется канторовым множеством.

Мера построенного канторового множества С равна . Итак, канторово множество имеет лебегову меру ноль. Докажем, что это множество не счетно.

Для этого представим каждое число, входящее в множество, в виде двоичной дроби, у которой целая часть равна нулю, первой цифрой после запятой является 1 или 3, в зависимости от того находится точка на левом или правом из трех промежутков, на которые разбит промежуток на первом шаге проделанной процедуры, вторая цифра после запятой это вновь 1 или 3, в зависимости от того находится точка на левом или правом из трех промежутков, на которые разбиты соответствующие подпромежутки на втором шаге проделанной процедуры, и т.д.

Тогда каждому элементу канторового множества поставлено в соответствие число вида , где это 1 или 3. Покажем что множество таких дробей не счетно. Доказательство проведем от противного. Допустим множество счетно, т.е. все его элементы можно занумеровать. Пусть эти числа занумерованы

1). , 2). , 3). , 4). , …..

Здесь нижний индекс означает номер цифры после запятой, а верхний - номер, который получило число при данном способе нумерации. Тогда число , у которого , если и наоборот, не совпадает ни с одним из пронумерованных чисел, хотя и является числом того же типа. Противоречие доказывает что канторово множество не счетно. ^

§10. Основные свойства определённого интеграла

А. Условие нормировки. . ? .

В. Линейность. Множество функций интегрируемых по Риману на [a, b] - R[a, b] является линейным пространством относительно операции + и · (сложения и умножения на число).

На этом пространстве определённый интеграл есть линейный функционал f, gR[a, b]

, ? (f + g) R[a, b] и .

? =

= , и, переходя к пределу при, получим

.

С. Монотонность. Интеграл от неотрицательной интегрируемой функции неотрицателен

fR[a, b] и x[a, b] f(x) 0 . ? . ^

D. Интегрирование неравенств. Нестрогое неравенство между интегрируемыми функциями сохраняется при почленном интегрировании

f, gR[a, b] x[a, b] f(x) g(x) .

? . ^

*. Строгое неравенство между интегрируемыми функциями не сохраняется

f, gR[a, b] x[a, b] f(x) < g(x) .

Е. Интегрируемость по подпромежутку. Если функция интегрируема по промежутку, то она интегрируема по любому его подпромежутку.

? fR[a, b] [c, d] [a, b] f(x)R[c, d]. ^

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

F. Аддитивность определенного интеграла, как функции ориентированного промежутка.

a, b, c I f RI , причем равенство справедливо независимо от взаимного расположения точек a, b, c.

a) a < c < b: .

Устремляя P 0, получаем .

b) c = a .

c) Легко видеть, если записать, соответствующие интегральные суммы .

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

G. Условие положительности определённого интеграла от неотрицательной функции.

Интеграл от неотрицательной интегрируемой функции положителен, если на промежутке есть точка, в которой функция положительна и непрерывна. f(x)R[a, b] a < b x [a, b] f(x) 0 и x0[a, b] f(x0) > 0 и f непрерывна в x0.

Тогда .

? x0[a, b] 1) f(x0) непрерывна в x0 > 0 > 0 x |x - x0| < |f(x) - f(x0)| < ,

значит f(x) - < f(x0) < f(x0) + .

2) Выберем .Тогда xO(x0, ).

И построим функцию

.

x[a, b] f(x) g(x) . ^

H. Равенство нулю интеграла от интегрируемой функции, почти всюду равной нулю.

fR[a, b] и f(x) = 0 почти всюду (п.в.) на [a, b] .

? . ^

I. Условия обращения в нуль интеграла от неотрицательной функции. В случае существования интеграл равен нулю, если функция равна нулю почти всюду.

fR[a, b] x[a, b] f(x) 0 (п.в.) на [a, b]. ?^

J. Равенство интегралов от функций, которые равны п.в. Интегралы от функций, которые равны почти всюду, равны между собой

f,gR[a,b] f(x) = g(x) п.в. на [a, b] .

? F(x) = f(x) - g(x) R[a, b] и F(x) = 0 п.в. на [a, b] . ^

K. Возможность неопределённости подынтегральной функции на множестве лебеговой меры ноль. Под знаком интеграла может стоять функция, которая не определена на подмножестве промежутка интегрированная лебеговой меры ноль. Если доопределить или переопределить подынтегральную функцию на множестве лебеговой меры ноль, то интеграл не изменится. Любое такое доопределение, если оно, возможно, даёт одно и то же значения интеграла.

В частности, на конечном множестве точек ограничений на выбор частичных значений подынтегральной функции нет.

, где . ?^

L. Интегрируемость модуля интегрируемой функции и неравенство между соответствующими интегралами. Если функция интегрируема по промежутку, то её модуль по этому же промежутку также интегрируем. При этом: модуль интеграла от функции не превышает интеграла от модуля той же функции. f R[a, b] | f | R[a, b] .

? Т.к. - | f (x) | f (x) | f (x) | . ^

M. Первая теорема о среднем. Если функции f и g интегрируемы на [a, b], причём одна

из них не меняет знак на [a, b], а значение другой находится между значениями m и M, то найдётся число такое, что m M и интеграл от произведения этих функций равен произведению на интеграл от той функции, которая не меняет знак на [a, b].

f, g R[a,b] g(x) 0 x[a, b] (или g(x) 0 x[a, b]) и x[a, b] - < m f(x) M < +

[m, M] .

Если функция, среднее значение которой выносится из под знака интеграла, непрерывна на промежутке интегрирования, то указанное среднее значение является одним из значений этой функции внутри промежутка интегрирования.

fC[a, b] c (a, b) = f(c).

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

В частности . При этом называется средним значением функции на промежутке [a, b]. Смысл названия среднее значение иллюстрируется на рисунке справа.

m f(x) M; g(x) 0 m g(x) f(x) g(x) M g(x)

. И далее два варианта

а) m0 0 = 0.

б) .

N. Вторая теорема о среднем. Формулы Бонне.

Если и функция f (x) монотонна на , то , такое что

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Кроме того, известны две разновидности второй теоремы о среднем, называемые формулами Бонне

а). Если f (x) - неотрицательная и не убывающая .

б). Если f (x) - неотрицательная и не возрастающая

Рисунки иллюстрируют геометрический смысл второй теоремы о среднем и формул Бонне.

§11. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть fRI, aI, xI. Рассмотрим функцию: .

Прежде отметим два простых факта

а). Непрерывность интеграла, как функции верхнего предела:

.

б) Дифференцируемость интеграла, как функции верхнего предела: fRI , f непрерывна в x0I, то дифференцируема в точке x0, причём производная по верхнему пределу совпадает со значением подынтегральной функции в точке x0: .

= = =

=

=

.

т.е. .

Далее

в) Существование первообразной у непрерывной функции. Если f (x) непрерывна на промежутке, то у неё существует первообразная, которая с точностью до постоянного слагаемого является определённым интегралом от этой функции с переменным верхним пределом

F (x) = f(x) xI, где f (x) непрерывна по условию.

г) Обобщённая первообразная. Функция F(x) называется обобщённой первообразной для

f (x) на I, если F (x) = f (x) всюду на I, кроме может быть не более чем счётного множества точек. Пример т.е. | x | - обобщённая первообразная для sgn x.

Обобщённые первообразные отличаются не более, чем на постоянное слагаемое:

.

Т. Всякая непрерывная на некотором промежутке функция, производная которой существует и равна нулю всюду кроме, не более чем счётного числа точек является константой. ^

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

«канторова-лестница»

F (x) = 0 xС С - множество точек разрыва т.к. (С) = 0, то F (x) = 0 п.в. на [0, 1] по F(x) не константа (т.е. не более чем счётное число точек и множество лебеговой меры нуль не одно и тоже).

д). Если функция f (x) на I имеет обобщённую первообразную,то [a, b] I

.

Записанная выше формула и есть формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегральное исчисление с дифференциальным и, позволяющая вычислять определенные интегралы с помощью первообразных.

В равенстве положим x = a C = - (a)

или, что тоже самое .^

§12. Дифференцирование определённого интеграла, пределы которого дифференцируемые функции

Вспоминая цепное правило дифференцирования сложной функции, можно написать следующую формулу . ^.

§13. Замена переменных в определённом интеграле

Размещено на http://www.allbest.ru/

27

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть fR[a, b] и на промежутке x[a, b] рассматривается . Кроме того, пусть задана функция x = (t) t[, ], причем () = a, () = b

и функция строго монотонна и непрерывно дифференцируема на промежутке . Тогда справедлива формула, именуемая формулой замены переменной в определенном интеграле

. ^.

На иллюстрации сделана попытка пояснить необходимость монотонности функции x = (t).

Примеры.

1. Найти .

а). Формальное применение формулы Ньютона-Лейбница дает

, что само по себе удивительно, ибо интеграл от неотрицательной функции оказался отрицательным.

б). Давайте более аккуратно подойдем к нахождению первообразной функции. Для этого найдем первообразную отдельно для x больших и для x меньших нуля.

Получим для , и для . Чтобы найти первообразную на всем промежутке надо потребовать чтобы найденная первообразная была непрерывна, т.е. чтобы . Значит первообразная подынтегральной функции на промежутке имеет вид и теперь применение формулы Ньютона- Лейбница дает правильный результат .

2. . Формально выполняя замену переменной получим что , что очевидно неверно. Для получения правильного результата необходимо учесть, что функция разрывна при и следовало бы написать

, однако на этом пути нас ожидает еще одна неприятность принципиального порядка. Идея определенного интеграла не может быть реализована для бесконечных промежутков интегрирования. Здесь мы вторгаемся в область несобственных интегралов, которые будут рассмотрены несколько позже.

Приведенные два примера показывают что, и при применении формулы Ньютона -Лейбница и при замене переменной в определенном интеграле следует быть очень осторожным.

Формула интегрирования по частям

§14. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

И, наконец, получим формулу для остаточного члена ряда Тейлора в интегральной форме. Рассмотрим , и преобразуем его с помощью формулы интегрирования по частям.

 = =

= = =

= =

.

Находя, из этого соотношения получим

.

Последнее слагаемое это и есть остаточный член ряда Тейлора в интегральной форме. Применяя к нему первую теорему о среднем, получим остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа, что еще раз подтверждает связь между дифференциальным и интегральным исчислением.

.

Размещено на Allbest.ru