Двойное векторное произведение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними

1.1 Векторные величины

1.2 Единичный вектор

Глава 2. Векторное произведение и его свойства

2.1 Определение векторного произведения

Глава 3. Двойное векторное произведение

Заключения

Список используемой литературы



Введение

При изучении двойного векторного произведения необходимо знание вектора и основные линейные операции над ними.

Вектором называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скалярном, называется величинами, не обладающая направлением. Над векторми производяться действия, называемые сложением, вычитанием и умножением векторов. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями сложения, вычитания и умножения. Поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.

Двойным векторным произведением называеться выражение вида:

Двойное векторное произведение есть вектор, комплонарный с векторами b и c; оно выражаеться через векторы b и c следующим образом:



Глава 1. Векторы и основные линейные операции над ними

1.1 Векторные величины

В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название - «скалярная») - площадь, объём, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).

Итак, мы можем сказать, что вектор - это величина, которая характеризуется числом, совпадающим с длиной отрезка , и направлением, совпадающим с направлением луча (рис. 1).

При этом длину вектора обозначают , или ещё . Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторы и называют равными, если совпадают их длины и направления.

Векторы и называют противоположными, если их длины равны, а направления противоположны. Заметим, что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие векторы называют свободными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (). Направление нулевого вектора не определено.



Умножение вектора на скаляр

Определение 1. Произведением вектора на число называется такой вектор , что , а направление его совпадает с направлением вектора , если >0, и ему противоположно, если <0; если или , то .

Ясно, что векторы и (если ) можно поместить на одной прямой (рис.2). Вектор , очевидно, является противоположным вектору .

Определение 2. Два ненулевых вектора и , лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

1.2 Единичный вектор

Определение 3. Вектор , длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом. Если задан некоторый вектор (), то всегда можно подобрать множитель , такой, чтобы после умножения на него длина вектора была бы равна единице. Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять . Тогда , и при этом называется единичным вектором, соответствующим вектору , или ортом вектора . Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора . Ясно также, что .

Точно так же единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси , называется ортом оси , или её единичным вектором.

Сложение векторов

Определение 4. Суммой векторов и , расположенных так, что начало вектора совпадает с концом вектора , называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора . (правило треугольника - рис. 2 а).

При этом пишут: . Аналогично определяется сумма n векторов

.

А именно: суммой называют вектор , проведённый из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора , начало вектора совпадает с концом вектора и т.д. (правило многоугольника - рис. 3.б).

Замечание. Если на векторах и построить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то сумма будет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторов и (правило параллелограмма - рис. 2 , в).

1) - поглощение нулевого вектора

2) - перестановочное, или коммутативное

3) - сочетательное, или ассоциативное.

Для всякого ненулевого вектора существует противоположный вектор -, такой, что .

Вычитание векторов

Определение 5. Вектор называется разностью векторов и , т.е. , если . Отсюда следует, что т.е. вычитание векторов сведено к сложению (рис. 4). Нетрудно заметить, что разность век-торов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , проведённой из конца вектора - в конец вектора .



Глава 2. Векторное произведение и его свойства

2.1 Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор , который удовлетворяет трём условиям:

1. , т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

3. Тройка , , - правая (рис.5)

Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов и обозначается символом .

Свойства векторного произведения

1. .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

.

(без доказательства)

3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :

.

.

Следствие. .

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).

2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, => . Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение . Так как , , то значит , т.е. или , а это означает, что векторы и b коллинеарны.

Замечание. Заметим, что если два вектора и коллинеарны, то существует такое число , при котором , т.е.



=> .

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Заметим, что . Далее очевидно, что

, , , , , .

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы

и

.

4. Механический смысл векторного произведения

Если сила поворачивает тело вокруг оси , то момент силы , как известно, равен (рис.5).



Пример 1.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(-1,1,2), B(2,3,3) и C(1,2,-1);

2. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A,B и C.

Решение.

1. ,

=

=

.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , следовательно .

2. В силу определения векторного произведения вектора , два вектора



удовлетворяют поставленной задаче (рис. 7).



Глава 3. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов , и называется ; если хотя бы один из векторов , или равен нулю, то .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа часто встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е.

вектор скаляр произведение тождество

, , .

Вычислим .

Обозначим , .

Очевидно, что нас интересует вектор . Известно, что вектор выражается через координаты векторов и так:

,

, , .

В свою очередь, аналогично

.



Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для , и и, кроме того, выполним искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения , , . Получим:

Итак, получили: .

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов и , через которые выражается двойное векторное произведение . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора и , т.е. векторы , и компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения , которое, вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами и . Очевидно также, что .

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Доказать тождество Лагранжа

.

Решение

;

;

3. Доказать формулу

Решение



Следовательно:

.

Что и требовалось доказать.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Показать, что точки А (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости.

Решение. Найдем координаты векторов , и .

(2,1,2), (3,-1,1), (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.



Действительно,

(, ,) = = 0,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2. Доказать, что векторы , и линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

(,,)==0,

следовательно, векторы , и компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы , и такие, что ++=0, т.е. (+ +)+(3+ 4 +) + (+2-3)=, откуда следует: (+ 3 + )+ (+ 4 + 2) + (2+ -3)=, т.к. , , - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения , и :



Здесь выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим , в указанную выше линейную комбинацию: . Сократим на . Получим искомую линейную зависимость .



Заключение

Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.



Список использованной литературы

1. Александров П.С., Лекции по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1968-912 с.

2. Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1971 - 328 с.

3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. - М.: ТетраСистемс, 1999- 640 с.

4. Мусхелишвили Н.И., Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967- 655 с.

Размещено на Allbest.ru