Структура некоторых числовых множеств

.

Положим

,

Тогда

Доказательство

Допусти противное.

Пусть и . Тогда , , и найдутся точки и такие, что , , откуда , значит , что невозможно.

Лемма доказана

Теорема 3. (Свойство отделимости). Пусть и два взаимно не пересекающихся непустых замкнутых ограниченных множества. Существуют открытые множества и такие, что

, ,

Доказательство

По следствию 1 (стр. 36) имеем .

Положим и применим леммы 1 и 2 (стр. 37).

Теорема доказана

Замечание. Условие ограниченности множеств и можно снять без нарушения справедливости теоремы. А условие замкнутости обоих множеств существенно, что видно хотя бы из примера

§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств

Определение 1. Пусть открытое множество. Если интервал содержится в , но его концы этому множеству не принадлежат

то мы будем называть этот интервал составляющим интервалом множества .

Теорема 1. Если есть непустое ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его составляющему интервалу.

Доказательство

Пусть . Положим . Каждое из множеств и замкнуто, а поэтому множество также замкнуто.

Кроме того, поскольку ограничено, не пусто.

Наконец, ни одна точка множества не лежит левее точки , так что множество ограничено снизу. В таком случае в этом множестве есть самая левая точка , причем, . Но , значит , так что , то есть . Так как , значит .

Докажем, что

От противного, пусть это не так. Тогда существует такая точка , что . Но из этих соотношений вытекло бы, что , , а это противоречит самому определению точки , следовательно.

Итак, для точки установлено три свойства:

1) , 2) , 3)

Аналогично доказывается существование точки со свойствами:

1) , 2) , 3) .

Отсюда следует, что составляющий интервал множества , содержащий точку . Теорема доказана.

Замечание. Из доказанной теоремы следует существование составляющих интервалов у каждого непустого, ограниченного, открытого множества

Теорема 2. Если и два составляющий интервала одного и того же открытого множества G, то они или тождественны, или не пересекаются.

Доказательство.

Допустим противное

Пусть существует точка общая обоим интервалам и , , . Предположим, что . Тогда, очевидно, , но это невозможно, так как . Значит .

Но так как и совершенно равноправны, то по тем же соображениям , а тогда .

Аналогично устанавливается, что , откуда следует, что интервалы и тождественны.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество различных составляющий интервалов непустого ограниченного открытого множества конечно или счетно.

Доказательство

Если мы выберем в каждом из этих интервалов по рациональной точке, то множество составляющих интервалов окажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с ю множества всех рациональных чисел.

Следствие доказано.

Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое множество представимо в форме суммы конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов

,

концы которых не принадлежат множеству

, т.е. .

Верно и обратное: всякое множество, представимые в форме суммы интервалов, открыто.

Замечание. Условие ограниченности множества может быть опущено, при этом в качестве составляющий интервалов дополнительно следует рассмотреть интервалы вида , и .

Теорема 4. Пусть непустое ограниченное открытое множество и - интервал, содержащийся в . В таком случае среди составляющихся интервалов множества найдется такой, который содержит в себе интервал .

Доказательство

Пусть . Тогда , и среди интервалов, составляющих множество , найдется такой интервал , что .

Допустим, что , получим, что , а это невозможно, потому что . Значит . Аналогично можно убедится, что , а тогда .

Теорема доказана

Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество или является отрезком, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат множеству .

Доказательство

Пусть такое множество и наименьший отрезок, содержащий . Множество открыто. Если это множество не пусто, то к нему применима теорема 3 (стр. 40).

Теорема доказана.

Замечание. Верно также обратное утверждение: всякое множество, получаемое из отрезка удалением некоторого множества интервалов, - замкнуто.

Определение 2. Составляющие интервалы множества называются дополнительными интервалами множества .

Теорема 6. Пусть непустое ограниченное замкнутое множество и наименьший отрезок, содержащий . Тогда

1. Точка , являющаяся общим концом двух дополнительных интервалов , есть изолированная точка .

2. Если точка (или ) есть конец одного из дополнительных интервалов , то она изолированная точка .

3. Никаких других, кроме отмеченных в 1 и 2, изолированных точек не имеет.

Доказательство

Утверждение 1 и 2 очевидны. Докажем 3.

Пусть есть изолированная точка . Допустим сначала, что . По определению изолированной точки, существует содержащий эту точку интервал , в котором нет отличных от точек множества , причем, очевидно, . Но тогда интервал .

Согласно теореме 4 (стр. 40), существует дополнительный интервал множества , содержащий интервал . Если бы было , то точка не принадлежала бы множеству , поэтому необходимо, чтобы . Но неравенство противоречило бы тому, что . Значит , то есть является левым концом одного из дополнительных интервалов множество .

Совершенно также устанавливается, что служит и правым концом какого-то дополнительного интервала , откуда и следует 3.

Случай и исчерпывается таким же образом.

Теорема доказана

Теорема 7. Всякое непустое ограниченное совершенное множество есть отрезок, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, которые не имеют общих концов ни друг с другом, ни с исходным отрезком. Обратно, всякое множество, полученное этим способом, совершенно.

Пример совершенного множества

Канторовы множества и . Разделим отрезок на три части точками и и удалим из него интервал . Каждый из двух оставшихся отрезков и разделим на три части и удалим средние интервалы , . Далее делим на три равные части каждый из оставшихся четырех отрезков и удаляем из них средние интервалы. Этот процесс мы продолжаем неограниченно.

В результате из окажется удаленным открытое множество , являющееся суммой счетного множества интервалов.

Оставшееся множество в силу теоремы 7 (стр. 42) оказывается совершенным. Множества и носят название канторовых множеств.

Нетрудно дать арифметическую характеристику этих множеств. Рассмотрим разложение в троичную дробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов. При разложении каждой из этих точек в троичную дробь , необходимо окажется .

Концы же этого интервала допускают каждый по два представления:

;

Все остальные точки отрезка при разложении в троичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой единицу.

Итак, на первом шагу процесса построения множества из отрезка удаляются те и только те точки, первый троичный знак которых единица.

Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй троичный знак которых единица, и т.д.

Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены троичной дробью , в которой ни одно из не равно единице. Таким образом, множество состоит из точек, троичное разложение которых невозможно без помощи единицы, а - из точек, для которых такое разложение возможно.Следствие 1. Канторово совершенное множество имеет мощность

Замечание. Полученный результат показывает, что, кроме концов удаленных интервалов (которых есть только счетное множество), канторово множество содержит и другие точки. Примером такой «не концевой» точки служит дробь , не содержащая 0 или 2 в периоде.

§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества.

Теорема 1. Всякое непустое совершенное множество имеет мощность .

Доказательство

Пусть непустое совершенное множество. Возьмем точку и интервал , содержащий эту точку. Так как точка x не изолированная точка , то множество бесконечно.

Выберем в две различные точки и и построим такие интервалы и , чтобы при было:

1) , 2) , 3) , 4)

где замыкание интервала , длина .

Так как есть предельная точка множества , то интервал бесконечное множество точек . Выберем среди них две различные точки и и построим такие интервалы и такие, чтобы при было

1) , 2) , 3) , 4) .

Аналогичное построение будет выполнено, исходя из точки .

В результате у нас будут построены точки и интервалы такие, что:

1) , 2) , 3) , если , 4) .

Продолжаем процесс построения дальше. После ого шага у нас будут построены точки и интервалы такие, что

1) ,

2) ,

3) (если ).

4) .

Так как каждая точка есть предельная точка множества , то можно найти в множестве две различные точки и и построить интервалы и такие, что (при )

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Предположим, что этот процесс проведен для всех натуральных . Соотнесем каждой бесконечной последовательности точку , являющуюся единственной точкой пересечения последовательности вложенных отрезков

Легко видеть, что точки и , отвечающие двум различным последовательностям и различны.

В самом деле, если есть наименьшая из тех , для которых , то

, , …, , и отрезки и не пересекаются, откуда и следует, что

Пусть , тогда по теореме 8 (стр. 15). Но легко видеть, что , откуда следует, что . Но с другой стороны, ясно, что , откуда .

Теорема доказана

Следствие 1. В любой окрестности точки, принадлежащей непустому совершенному множеству , содержится несчетное множество точек, принадлежащих множеству .

Определение 1. Точка называется точкой конденсации множества , если всякий интервал , содержащий эту точку, содержит несчетное множество точек Е.

Замечание. Очевидно, что всякая точка конденсации какого-либо множества является его предельной точкой.

Теорема 2. (Э. Линделёф). Если ни одна из точек множества Е не является его точкой конденсации, то множество Е разве лишь счетно.

Доказательство

Назовем интервал «правильным», если 1) его концы и рациональны; 2) в этом интервале содержится разве лишь счетное множество точек множества Е. Очевидно, что «правильных» интервалов существует разве лишь счетное множество, так как вообще существует только счетное множество пар рациональных чисел.

Докажем, что каждая точка множества Е (предполагаем, что множество Е непустое) содержится в некотором «правильном» интервале.

Действительно, пусть . Так как не точка конденсации множества Е, то существует интервал , содержащий эту точку, и такой, что в нем имеется разве лишь счетное множество точек Е.

Если взять такие рациональные числа и , что , то интервал и будет «правильным» интервалом, содержащим точку х. (Отсюда и вытекает существование «правильных» интервалов).

Перенумеруем все «правильные» интервалы . Из доказанного выше предложения следует, что

В сумме, стоящей в правой части этого равенства, есть счетное множество слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, разве лишь счетно. Отсюда следует, что множество разве лишь счетно.

Теорема доказана.

Следствие 1. Если множество Е несчетно, то существует хоть одна точка конденсации этого множества, принадлежащая ему.

Замечание. Сопоставим это следствие с теоремой Больцано-Вейерштрасса. В то время как теорема Больцано-Вейерштрасса относится ко всякому бесконечному множеству, в данном следствии речь идет только о несчетных множествах. Но здесь, в отличие от теоремы Больцано-Вейерштрасса, нет надобности требовать ограниченности множества Е и, кроме факта существования точек конденсации, можно гарантировать существование таких точек конденсации, которые входят в множество Е

Следствие 2. Пусть Е точечное множество и Р множество всех точек конденсации множества Е. Тогда множество разве лишь счетно.

Доказательство

Действительно, ни одна точка множества , не будучи точкой конденсации Е, и подавно не является точкой конденсации самого множества .

Следствие доказано.

Следствие 3. Пусть множество Е несчетно и Р множество всех его точек конденсации. Тогда множество ЕР несчетно.

Замечание. Следствие 3 покрывает собой следствие 1.

Теорема 3. Пусть множество Е несчетно. Тогда множество Р всех точек конденсации множества Е есть множество совершенное.

Доказательство

Докажем сначала замкнутость множества Р.

Пусть предельная точка этого множества. Возьмем произвольный интервал , содержащий точку . В нем имеется хоть одна точка множества Р. Но тогда интервал , как интервал, содержащий точку конденсации множества Е, содержит несчетное множество точек Е. Так как произвольный интервал, содержащий , то оказывается точкой конденсации Е и, стало быть, принадлежит Р. Итак, множество Р замкнуто.

Остается доказать, что Р не имеет изолированных точек. Пусть и есть интервал, содержащий точку . Тогда множество несчетно, а значит по следствию 3 (стр. 46) в содержится несчетное множество точек конденсации множества . Но , а потому все точки конденсации множества и подавно являются точками конденсации Е, так что в (а следовательно и в ) содержится несчетное множество точек Р. Итак, любой интервал, содержащий точку , содержит несчетное множество точек Р, откуда следует, что .

Теорема доказана.

Теорема 4. (Г. Кантор - И. Бендиксон). Каждое несчетно замкнутое множество представимо в форме , где Р - совершенное, а - разве лишь счетное множество точек.

Доказательство

Если Р есть множество точек конденсации множества , то и разве лишь счетно.

Теорема доказана.

Следствие 1. Несчетное замкнутое множество имеет мощность с

Глава 3. Решение некоторых задач

Задача №1

Если непрерывная функция, заданная на , то множество точек, в которых , при любом c замкнуто.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть такое, что - незамкнуто. Значит - предельная точка множества и , т.е. .

- непрерывная функция на , значит

Рис. 3

Рассмотрим

тогда , т.е. (рис. 3). (*)

Т.к. - предельная точка , то любой интервал, содержащий точку , содержит хоть одну точку множества , отличную от , т.е.

, . (**)

Из (*) и (**) получаем противоречие.

Значит , множества - замкнуты.

Утверждение доказано.

Замечание. Аналогичным образом можно доказать, что, если непрерывная функция, заданная на , то множество точек, в которых , при любом замкнуто.

Задача №2

Если функция , заданная на , такова, что множества и при любом замкнуты, то - непрерывна.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть - разрывная функция на , т.е. , т.е. .

Рассмотрим множество

=

.

- замкнуты

по условию задачи,

следовательно - замкнуто.

Пусть , выберем последовательность точек следующим образом

, ;

, ;

, ;

…

, (рис. 4).

(Если , то рассматриваем окрестности , )



Рис. 4

Предположим, что этот процесс проведен для всех натуральных , тогда получаем последовательность точек множества : ,,…,…, при этом . Значит - предельная точка множества .

Множество - замкнуто, значит , следовательно , что невозможно. Значит непрерывная функция.

Утверждение доказано.

Задача №3

Доказать, что множество внутренних точек любого множества открыто.

Доказательство

Пусть - некоторое множество, - множество всех внутренних точек А.

Выберем произвольно точку , тогда I - интервал, .

Так как любая точка интервала содержится в А вместе с данным интервалом, то каждая точка интервала I является внутренней точкой множества А, т.е. , , следовательно .

Получаем , I - интервал, , следовательно множество В - открыто.

Утверждение доказано.

Задача №4

Доказать, что множество точек , десятичное разложение которых возможно без помощи цифры 7, совершенно.

Доказательство

Разделим отрезок на 10 равных частей точками , , , , , , , и . И удалим из него «восьмой по счету» интервал .

Каждый из 9 оставшихся отрезков , , , , , , , и разделим на 10 равных частей и удалим «восьмые по счету» интервалы , , , , , , ,

и так далее, продолжаем это процесс неограниченно (рис. 5).

множество теорема мощность счетный



0 1

0 1

Рис. 5

В результате из окажется удаленным открытое множество , являющееся суммой счетного множества интервалов

+++++

+ ++…

Оставшееся множество оказывается совершенным по теореме 7 (стр. 42). Рассмотрим разложение в десятичную дробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов . При разложении каждой из этих точек в десятичную дробь , необходимо окажется .

Концы же этого интервала допускают каждый по два представления

; .

Все остальные точки отрезка при разложении в десятичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой цифру семь.

Итак, на первом шагу процесса построения множества из отрезка удаляются те и только те точки, первый десятичный знак которых семь.

Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй десятичный знак которых семь, и т.д.

Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены десятичной дробью , в которой ни одно из не равно семи. Таким образом, множество состоит из точек, троичное разложение которых невозможно без помощи семи, а - из точек, для которых такое разложение возможно.

Задача №5

Найти ошибку в следующем доказательстве теоремы:

Каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.

Доказательство

Пусть - некоторое замкнутое множество. Рассмотрим дополнение множества . Множество - открыто, следовательно, представимо в форме суммы конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых не принадлежат , при этом, если - неограниченно, то среди этих интервалов возможно есть интервал (или интервалы), одним концом которого является бесконечность (т.е. интервалы вида или () (рис. 6).

Рис. 6

Обозначим полученные интервалы через , где , тогда

Пусть

где . Заметим, что концами и данных интервалов возможно являются не только действительные числа, но и .

В каждом интервале , где произвольно выберем две точки

(),

В каждом интервале вида или произвольно выберем только одну точку

или

.

И рассмотрим отрезки , которые могут иметь один бесконечный конец (рис. 7).

Рис. 7

- замкнуто, значит, дополнение - открыто (рис. 8).

Рис. 8

Теперь в каждом интервале выберем другие точки следующим образом:

в интервале

где выберем две точки

():

,

(рис. 9);

в каждом интервале вида или выберем только одну точку

или

.

Рис. 9

И рассмотрим отрезки , которые могут иметь один бесконечный конец (рис. 10).



Рис. 10

- замкнуто, значит, дополнение - открыто (рис. 11).

Рис. 11

В каждом интервале выберем еще точки следующим образом:

в интервале , где выберем две точки

()

,

;

в каждом интервале вида или выберем только одну точку

или

.

Рассмотрим отрезки

которые могут иметь один бесконечный конец.

- замкнуто, значит, дополнение - открыто.

Продолжим этот процесс не ограниченно.

В результате в каждом интервале получим последовательности точек и (или) , причем , (рис. 12).

Рис. 12

Т.о. получаем .

Рассмотрим

- открытые множества, значит множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.

Т.к. - произвольное замкнутое множество, то утверждение доказано.

Решение

При подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, а именно, что множества

замкнуты

В результате чего данное доказательство теряет свою силу.

Задача №6

Доказать, что каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.

Доказательство

Пусть - некоторое замкнутое множество.

Рассмотрим множества

где

Тогда , - открытое множество и по лемме 1 (стр. 37), а значит

Возьмем произвольную точку , тогда по следствие 3 (стр. 36).

А значит можно найти такое, что (например: ).

Тогда ясно, что , а значит

Так как - произвольная точка, не принадлежащая множеству , значит

Отсюда получаем, что , т.е. - пересечение счетного множества открытых множеств.

Утверждение доказано.

Заключение

Основной целью данной работы являлось изучение основных понятий и теорем теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Для достижения этой цели в работе были рассмотрены все исходные понятия и теоремы теории множеств, при этом доказательства наиболее важных теорем и следствий были детально разобраны. Основное внимание было уделено числовым множествам и изучению их структуры, которым была посвящена вся вторая глава.

Важной ю дипломной работы явилось решение ряда интересных задач, которые дают некоторые представление о характере проблем, решаемых в самой теории множеств и ее приложениях.

Теория множеств, хотя и является одной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние на развитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математических дисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.

Библиография

1. Бурбаки, Н. Теория множеств [Текст] / Н. Бурбаки.- М.: Мир, 1965.- 272 с.: ил.

2. Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах [Текст] / Н.Я. Виленкин.- М.: Наука, 1969.- 160 с.: ил.

3. Кантор, Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор; Под ред. А.Н. Колмогров, А.П. Юшкевич.- М.: Наука, 1985.- 387 с.

4. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.- 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 544 с.

5. Мирошниченко, П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? [Текст] / П.Н. Мирошниченко.- СПб., 2000.- 514 с.

6. Натансон, И.П., Теория функций вещественной переменной [Текст] / И.П. Натансон.-

М.: Гостехиздат, 1974.- 480 с.

7. Столл, Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории [Текст] / Р.Р. Столл.- М.: Просвещение, 1968.- 232 с.

8. Френкель, А. Основание теории множеств [Текст] / А. Френкель, И. Бар-Хиллел - М.: Мир, 1966.- 416 с.

9. Хаусдорф, Ф. Теория множеств [Текст] / Ф. Хаусдорф; под ред. А.Н. Колмогоров, П. С. Александров. - М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1937. - 287 с.

Размещено на Allbest.ru