Теория множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Понятие множества. Обозначения множества и его элементов. Конечные и бесконечные множества

2. Подмножество

3. Пустое и универсальное множества

4. Способы задания множеств

5. Операции над множествами

6. Отношения на множествах

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Тема моего реферата - теория множеств. Мое знакомство с множествами началось еще в начальной школе на уроках математики. Тогда мы изучали множества птиц, учеников в классе, четных и нечетных чисел. Уже в средней школе были изучены свойства, действия над множествами, бесконечные множества, область определения функции как один из примеров множеств и т.д. Тема эта была мною исследована достаточно подробно, поэтому я бы хотела обобщить весь изученный материал в данной работе.

На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем трудно определимым понятием, которое выражается словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данной комнате, о совокупности гусей, плавающих в пруду, о совокупности чисел-делителей числа 30 и т.д. В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова «совокупность» употребить слово «множество».

В математике постоянно приходится иметь дело с различными множествами: множество вершин или диагоналей какого-либо многоугольника, точек на прямой и т.д. Роль, которую понятие множества играет в современной математике, определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в 70-х годах XIX века, оказывала и оказывает на всю математику в целом.

Теория множеств или учение о множествах было создано в 1870 году немецким математиком Георгом Кантором. Он разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» -- который, в свою очередь, сам представляет собой множество. Крупные математики -- в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт -- поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла, топологии и функционального анализа. В начале XX века были выявлены крупные недостатки в теории Кантора, и на ее основе создана аксиоматическая (т.е. на основе аксиом, исходя из которых выводятся все дальнейшие теоремы) теория множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом.

Теперь перейдем к детальному рассмотрению основных понятий и определений теории множеств.

1. Понятие множества. Обозначение множества и его элементов. Конечные и бесконечные множества

Математическое понятие множества постепенно выделилось из привычных представлений о совокупности, собрании, классе и т.д. Один из создателей теории множеств - Георг Кантор представлял множество как "совокупность или набор определенных и различимых между собой объектов, мыслимых как единое целое". К сожалению, этому термину нельзя дать более строгого определения. Для того, чтобы определить какое-либо понятие, нужно прежде всего указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для множества сделать это невозможно, т.к. более общего понятия, чем множество, в математике нет.

С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества

Множества обычно обозначают большими латинскими буквами: A ,B , C , N , ..., а элементы этих множеств ? аналогичными маленькими буквами: a, b , c , n , ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

N - множество всех натуральных чисел;

Z - множество всех целых чисел;

Q - множество всех рациональных чисел;

R - множество всех действительных чисел;

C - множество всех комплексных чисел;

Z₀ - множество всех неотрицательных целых чисел.

Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.

Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a А если же данный элемент a не принадлежит множеству А, то пишут а П?А.

В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов. Число элементов конечного множества A называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Наряду с конечными множествами в математике рассматривают и бесконечные множества, то есть такие, которые содержат бесконечно много элементов. Так, например, бесконечно множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q , множество действительных чисел R.

2. Подмножество

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B , и пишут: A М B. Например, множество всех натуральных чисел N является подмножеством всех действительных чисел R: N М R. Из определения непосредственно следует, что A М A , то есть всякое множество является подмножеством самого себя.

Если A М B , а B М A , то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

Во многих случаях, чтобы выделить в данном множестве некоторое подмножество, добавляют к его характеристическому признаку (см. гл. 4) то или иное дополнительное условие. Например, подмножество натуральных чисел выделяется в множестве целых чисел добавлением условия n>0, а подмножество равносторонних треугольников в множестве всех треугольников - добавлением условия a=b=c (где a,b,c - длины сторон треугольника).

В математике часто встречаются теоремы, в которых речь идет о том, что одно множество является частью другого. К примеру, в теореме « Диагонали четырехугольника с равными сторонами взаимно перпендикулярны» речь идет о двух множествах: А - множество всех ромбов, В - множество всех четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями. И теорема состоит в том, что АМ В.

множество математика бесконечный

3. Пустое и универсальное множества

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом . Если A есть пустое множество, то пишут: A = . Зачем же его вообще вводят? Стоит отметить, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество А состоит из всех четырехугольников таких, что

a) все их углы прямые,

b) диагонали имеют различную длину.

Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пустыми являются также множества треугольников, сумма углов которых отлична от 180, множество квадратных трехчленов, имеющих больше двух корней и т.д.

В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Его принято называть универсальным. Оно обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E. Например, при сборке некоторого изделия универсальным множеством естественно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит. Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.

Свойства универсального множества:

- Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества

- В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов

- Любое множество является подмножеством универсального множества

- В частности, само универсальное множество является своим подмножеством

- Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству

- В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству



- Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству

- В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству

- Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству

- В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству

- Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

- Дополнение универсального множества есть пустое множество.

4. Способы задания множеств

Возможны различные способы задания множеств:

· перечисление всех его элементов или список

В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: А = {1, 2, a, x} или B = {река Нил, город Москва, планета Уран}. Но этот способ применим только к конечным множеством, да и то далеко не ко всем

· указание характеристического свойства его элементов

Характеристическое свойство - свойство, которым обладают все, принадлежащие данному множеству элементы, а не принадлежащие - не обладают. Чаще всего при этом используют запись A = { x|P( x ) }, которую читают следующим образом: "A есть множество элементов x таких, что для них выполняется свойство P( x )".

В геометрии часто приходится иметь дело с множествами точек, заданными теми или иными характеристическими свойствами. Такие множества точек называют геометрическими местами точек. Например, говорят так: «Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от этой плоскости». Это означает, что множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости совпадает с множеством точек некоторой окружности.

Задание множеств их характеристическими свойствами иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных характеристических свойства задают одно и то же множество, т.е. всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Например, в арифметике свойство «целое число делится на 2» задает то же множество, что и свойство «последняя цифра числа делится на 2».

· с помощью порождающей процедуры например:

E = { x| x = 3^k, k - любое натуральное число.}

Наряду с порождающей процедурой существует распознающая или разрешающая процедура, которая позволяет определить, принадлежит данный объект множеству или нет. Для множества E распознающая процедура заключается в разложении числа на простые множители.

5. Операции над множествами

· Из двух множеств А и В можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества А и все элементы множества. Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или в множество В.

Объединение множеств А и В обозначают AB:

AB=.

*Для иллюстрации соотношения между множествами пользуются схемами, называемыми диаграммами Эйлера - Венна, на которых множества изображаются овалами, в частности кругами:

· Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств. Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В.

Пересечение множеств А и В обозначают AB:

AB={x |x}.

· Разностью множеств A и B называется множество всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B.

Разность множеств A и B обозначают A\B:

A\B = {x |x A и x ? B}.

· Симметрической разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов исходных множеств, за исключением общих элементов.

Симметрическую разность множеств A и B обозначают AB:

AB= (A\B ) ( B\A ).

· Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество

A = U\A,

где U - универсальное множество.

Свойства операций

Для любых множеств A,B,C выполняются следующие тождества:

1. A B = B A, A B = B A

(коммутативность объединения и пересечения);

2. A( B C ) = ( A B ) C, A ( B C ) = ( A B ) C

(ассоциативность объединения и пересечения);

3. A ( B C ) = ( A B ) ( AC ),

A ( B C ) = ( A B ) ( AC )

(дистрибутивность);

4. A A = A, A A = A

(идемпотентность);

5. A U = U, A U = A, A = A, A = ,

5. A A = U, A A=

(свойства универсального и пустого множеств);

6. A = A

(закон двойного дополнения);

7. ____ ____

A B = A B, A B = AB

(законы де Моргана).

6. Отношения на множествах

Прежде чем приступить к раскрытию темы отношений на множествах, введем понятие прямого произведения множеств.

Упорядоченной парой называют пару элементов (x,y) такую, что равенство двух пар (x,y)=(a,b) возможно тогда и только тогда, когда x = a и y = b.

Прямым (декартовым) произведением 2-х множеств A и B называется множество

AB= {(x, y) |x A, y B}

Например, если A= {a,b,c,d,e,f,g,h}, B= {1,2,3,4,5,6,7,8}, то AB= {(a,1),(a,2),…(h,7),(h,8)}- множество, содержащее обозначения всех 64-х клеток шахматной доски.

Свойства прямого произведения:

1) По определению полагают, что

A=

AB C)= (A)(AC)

AB C)= (AB)(AC)

*Прямое произведение множеств не является коммутативным, т.е AB ?BA.

Наконец, отметим, что число элементов прямого произведения = .

Отношения служат одним из способов задания взаимосвязи между элементами множеств. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения. Для обозначения отношений будем использовать малые буквы греческого алфавита ?, ?, ? и т.д.

Унарное (одноместное) отношение соответствует наличию какого-то определенного признака (свойства) у элементов множества Х (например, признак «быть отрицательным» на множестве Z целых чисел). Все элементы, обладающие выделенным признаком, образуют некоторое подмножество ? М Х. Это подмножество ? и называют унарным отношением на множестве Х.

Бинарные (двуместные) отношения используют как характеристику некоторой взаимосвязи между элементами множества X. Элементами бинарного отношения являются упорядоченные пары прямого произведения XX, и, следовательно, само бинарное отношение может быть задано как некоторое подмножество прямого произведения ? М?XX.

Так, например, на множестве M всех студентов университета можно ввести следующее отношение «принадлежности к одному факультету»: ? М?M M и упорядоченная пара (a,b)тогда и только тогда, когда студенты a и b обучаются на одном факультете.

В общем случае можно рассматривать n-местное отношение как любое фиксированное подмножество ? прямого произведения ? ??Xⁿ. При этом говорят, что элементы x_1, x_2,… x_n множества X находятся в отношении ?, если упорядоченный набор (x_1, x_2,… x_n ) ?.

Тождественным (единичным) отношением на множестве X называется отношение e_x (иногда просто символ e), которое содержит только пары вида (x,x) для любого элемента xX.

Полным (универсальным) отношением на множестве является отношение U=XX.

Пусть на множестве задано отношение ? М?XX, тогда обратным к данному отношению называют отношение ?^-1 такое, что пара (x,y) принадлежит ?^-1 тогда и только тогда, когда пара (y,x) принадлежит ?.

Поскольку каждое отношение на X является подмножеством полного отношения, для отношений определены все операции над множествами. Так, например, мы можем рассматривать объединение, пересечение, разность двух отношений ?, ? XX. Определено и дополнение ? = U\ ? отношения ? до полного отношения.

Теперь приведем пример описания практической задачи с использованием элементов теории множеств.

Пример 1. Пусть на предприятии существует 2 вида затрат на производство: постоянные и переменные. К постоянным затратам относятся:

1) затраты на аренду помещения (r)

2) затраты на электроэнергию (e)

3) затраты на оплату повременного труда (h)

К переменным затратам относятся:

1) затраты на оплату сдельного труда (s)

2) затраты на сырье и материалы (m)

Обозначим множество постоянных затрат A, а переменных - B. Таким образом, A={r, e, h}

B ={s, m}.Множества r, e, h являются подмножествами множества A, а множества s, m - подмножествами множества B. Множество общих затрат P в таком случае можно представить как объединение множеств A и B: P = A

P

Заключение

В процессе работы мы узнали о самых основных положениях теории множеств таких как определение множества, конечные и бесконечные множества, обозначения множеств, способы их задания, подмножество. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия. В настоящее время теория множеств является одной из основ таких областей математики как функциональный анализ, топология, общая алгебра и т.д. Ведутся глубокие исследования и в самой теории множеств. Эти исследования связаны с самыми основами математики.

Элементами теории множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, атомы, числа, функции, точки, углы и т.д. Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике). Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника-теории множеств.

Список используемой литературы

Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. - М.: Наука, 1969.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1974.

Математическая энциклопедия (в 5 томах) /Под ред. И.М. Виноградова. - М.: Сов. энциклопедия, 1977.

Яглом И.М. Булева структура и ее модели. - М.: Советское радио, 1980.

Размещено на Allbest.ru