Структура некоторых числовых множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

По теме

Структура некоторых числовых множеств

Введение

В 1870-х годах немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) создал теорию множеств -- исключительно мощное и важное математическое учение, оказавшее огромное влияние на развитие современной математики. Теория множеств не только явилась фундаментом целого ряда новых математических дисциплин, но и оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики. Помимо прочего в канторовской теории множеств впервые были развиты конструктивные подходы к анализу проблемы бесконечности, более двух тысяч лет являвшейся лишь предметом филологических упражнений философов.

Теория множеств изучает общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не поддается определению, ибо определить понятие -- значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество -- это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики.

Однако Кантор попытался определить данное понятие так: «Под множеством, - разъяснял Георг Кантор, - я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» ¹. Но эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела, и данная теория стала называться наивной теорией множеств.

Парадокс Рассела -- открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Эрнестом Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующая противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора. Антиномия Рассела формулируется следующим образом: Пусть K -- множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K самого себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K -- противоречие. Если нет -- то, по определению K, оно должно быть элементом множеств, включающихся в К -- вновь противоречие.

После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая ряду аксиом (так называемая аксиоматика Цермело - Френкеля).

Множества могут состоять из самых различных элементов. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания.

Для математики особо важную роль играют множества, составленные из математических объектов, в частности числовые множества, о которых и пойдет речь в данной работе.

При написании этой дипломной работы мы задавались целью - изучить исходные понятия и важнейшие теоремы теории множеств, а также на основании данного материала, решить ряд нестандартных задач по выявлению структуры некоторых числовых множеств.

Данная работа состоит из трех глав: «Мощности бесконечных множеств», «Точечные множества», «Решение некоторых задач».

В первой главе приводится краткое историческое описание становления теории множетсв, определяются основные понятия, такие как мощность, счетное множество, континуальное множество, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы. Устанавливаются связи между ними и доказываются основные теоремы о мощностях бесконечных множеств. В конце главы рассматривается важная теорема Шредера - Бернштейна, позволяющая проводить сравнения мощностей бесконечных множеств.

Во второй главе рассматриваются только числовые множества, т.е. множества точек числовой прямой. Вводятся основные понятия, такие как замкнутое множество, открытое множество, совершенное множество, рассматривается структура таких множеств, формулируются и доказываются основные теоремы, на основании которых, в итоге, делается важный вывод о мощности замкнутого множества.

Третья глава посвящена детальному и подробному решению ряда интересных задач (теорем) по определению структуры некоторых бесконечных числовых множеств. Также приведена задача, решение которой на первый взгляд может показаться верным, но при подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, в результате чего данное доказательство теряет свою силу. Строгое решение этой задачи также приведено в работе.

Глава 1. Мощности бесконечных множеств

§ 1. К истории становления теории множеств

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поисками истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Шаг за шагом древние греки, а вслед за ними и представители других цивилизаций открывали математические законы, полагая, что план, по которому построена вселенная, имеет математический характер. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено [4; 19]. Однако по мере развития математики связь с реальным миром становится все менее ощутимой, встает вопрос о логическом обосновании математики.

В конце 19 века на передний план выступает проблема доказательства непротиворечивости математики. Движение за аксиоматизацию математики в этот период заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждая аксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Новой теорией, которая привела к противоречиям и открыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областях математики, была теория бесконечных множеств. Первые шаги в изучении теории числовых множеств связаны с именем Георг Кантор (1845 - 1918). В 1873 г. Кантор поставил задачу классифицировать бесконечные множества. Введенные Кантором определения позволяли сравнивать два бесконечных множества по мощности. Основная идея Кантора сводилась к установлению взаимнооднозначного соответствия между множествами.

Идея взаимнооднозначного соответствия привела Кантора к неожиданному результату: он показал, что можно установить взаимнооднозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости. Следуя принципу взаимнооднозначного соответствия, Кантор установил для бесконечных множеств отношение эквивалентности, или равенства («равномощности» двух множеств). Множество натуральных чисел и множества, которые можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с этим множеством, содержат одинаковое число элементов, которое Кантор обозначил символом . Так как множество всех вещественных чисел больше по мощности множества натуральных чисел, Кантор обозначил его мощность новым символом - с. Возник вопрос - существует ли множество промежуточной мощности (утверждение о том, что такого множества не существует, носит название континуум гипотезы). В последствии было доказано, что в системе аксиом Цермело - Френкеля утверждение о существовании промежуточной мощности не может быть ни доказано, ни опровергнуто.

Когда Кантор в 70-х годах 19 века приступил к созданию теории бесконечных множеств и еще много лет спустя, эта теория находилась на периферии математической науки. Но к началу 20 века канторовская теория множеств нашла широкое применение во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел, для анализа понятий линии и размерности и даже для обоснований математики. Другие математики, в частности Эмиль Борель и Анри Леон Лебег, к тому времени уже работали над обобщением интеграла, в основу которого была положена канторовская теория множеств. Поэтому, когда сам Кантор обнаружил, что его теория множеств сопряжена с определенными трудностями, это было далеко немаловажным событием. Кантор дал несколько словесных определений множества, но эти определения не отличались строгостью, и теорию множеств в том виде, как ее изложил Кантор, нередко называют наивной. По мнению многих ученых, тщательный подбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств от многих проблем и противоречий [8; 135].

Приступая к построению математики на основе теории множеств, можно выбрать ту или иную из возможных исходных позиций. Можно запретить использование гипотезы континуума, но это существенно ограничит круг теорем, доказываемых в рамках системы. Можно поступить иначе и включить в систему аксиом гипотезу континуума или ее отрицание. При этом неизвестно, к каким важным следствиям может привести отрицание гипотезы континуума. Сказанное означает, что существует не одна, а много математик. Теория множеств (рассматриваемая отдельно от остальных оснований математики) может развиваться во многих направлениях. Остановить свой выбор на одном из направлений нелегко, так как в любом случае принятие определенной редакции аксиом имеет свои положительные и отрицательные стороны.

§ 2. Счетные множества

Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило, которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент множества В, причем каждый элемент оказывается соотнесенным одному и только одному элементу , называется взаимнооднозначным соответствием между множествами А и В.

В этом случае множества А и В называются эквивалентными или же говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность. Обозначение

Определение 2. Пусть множество всех натуральных чисел. Всякое множество А, эквивалентное множеству , называется исчислимым, или счетным, или короче имеет мощность .

Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т.е. представить в форме последовательности

Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Следствие 1. Если из счетного множества А удалить конечное подмножество М, то оставшееся множество А - М будет счетным.

Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множества есть счетное множество.

Теорема 5. Сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 6. Сумма счетного множества конечных множеств есть счетное множество.

Теорема 7. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 8. Множество всех рациональных чисел счетно.

Доказательство

Множество дробей вида с зафиксированным знаменателем , т.е. множество

очевидно счетно

Но знаменатель может принимать также счетное множество натуральных значений. Значит, в силу теоремы 7, множество

М= - счетно

Удаляя из М все сократимые дроби и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности всех положительных рациональных чисел , а значит в счетности всех отрицательных рациональных чисел , т.к. множества

Отсюда множество все рациональных чисел счетно, поскольку

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество рациональных чисел любого отрезка счетно.

Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т.е.

Доказательство

Выделим, пользуясь теоремой 2, из М счетное подмножество и пусть , тогда , . Так как , , применяя теоремы 4 и 5 , получаем .

Теорема доказана.

Теорема 10. Если бесконечное множество несчетно, а А его конечное или счетное подмножество, то .

Доказательство

Множество не может быть конечным, иначе исходное множество было бы конечным или счетным. Но тогда по теореме 9, будет , а это и значит, что . Теорема доказана.

Теорема 11. Если элементы множества А определяются значками, каждый из которых, независимо от других, пробегает счетное множество значений

(, то множество А счетно.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если .

Допустим, что теорема справедлива для , покажем, что она справедлива и для .

Пусть

Обозначим через множество тех элементов А, для которых , где одно из возможных значений -го значка, т.е. положим

В силу сделанного допущения множество счетно, а так как

, то счетно и А

Теорема доказана

Следствие 1. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, счетно.

Следствие 2.Множество многочленов с целыми коэффициентами счетно.

Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно [6; 20].

§ 3. Мощность континуума

Теорема 1. Отрезок несчетен.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть отрезок - счетное множество. Тогда все его точки можно расположить в виде последовательности

(1)

Пусть это сделано, т.е. всякая точка находится в последовательности (1).

Разделим на три равные части точками и (рис. 1). Ясно, что точка не может принадлежать всем трем отрезкам , , и хотя бы один из них не содержит ее. Обозначим через тот отрезок, который не содержит (если таких отрезков два, то через называем любой из них).

Рис. 1

Теперь разделим на три равных отрезка отрезок и обозначим через тот из новых отрезков, который не содержит точки .

Затем делим на три равных отрезка отрезок и обозначаем через тот из них, который не содержит точки и т.д.

В результате мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков которые обладают тем свойством, что ,.

Так как длина отрезка с возрастанием стремиться к нулю, то по теореме Кантора о вложенных отрезках, существует точка , общая для всех отрезков , .

Так как , то точка должна входит в последовательность (1). Но это невозможно, ибо , . Отсюда получаем, что точка не может совпасть ни с одной из точек последовательности (1).

Теорема доказана

Определение 1. Если множество А эквивалентно отрезку то говорят, что А имеет мощность континуума, или короче, мощность с.

Теорема 2. Всякий отрезок , всякий интервал и всякий полуинтервал или имеет мощность с.

Доказательство

Пусть ,

Формула

устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множествами и , откуда и следует, что А имеет мощность континуума.

Так как удаление одного или двух элементов из бесконечного множества приводит к множеству, эквивалентному исходному, то промежутки , , имеет ту же мощность, что и отрезок , т.е. мощность с.

Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.

Доказательство

Пусть

,

где каждое из множеств имеет мощность с.

Возьмем полуинтервал и точками разложим его на полуинтервалов ,

Каждый из этих полуинтервалов имеет мощность с, так что мы можем связать множество и полуинтервал взаимнооднозначным соответствием. Легко видеть, что таким образом оказывается, установлено взаимнооднозначное соответствие между суммой и полуинтервалом

Теорема доказана.

Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.

Доказательство

Пусть

,

где каждое из множеств имеет мощность с.

Возьмем на полуинтервале монотонно возрастающую последовательность и точками для которой .

Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами и для всех , мы тем самым установим взаимнооднозначное соответствие между и .

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех действительных чисел имеет мощность с.

Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет мощность с.

Следствие 3. Существуют трансцендентные (неалгебраические) числа.

Теорема 5. Множество всех последовательности натуральных чисел

имеет мощность .

Доказательство

Докажем теорему двумя способами:

1) Основанное на теории непрерывных дробей.

Установим взаимнооднозначное соответствие между Р и множеством всех иррациональных чисел интервала (0, 1), считая взаимосоответствующими последовательность и иррациональное число , для которого разложение в непрерывную дробь имеет вид

.

Возможность соответствия и доказывает теорему.

2) Основанное на теории двоичных дробей.

Рассмотрим некоторые факты этой теории:

1. Двоичной дробью называется сумма ряда,

Указанная сумма обозначается символом

2. Всякое число допускает представление в форме

Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь вида Числа 0 и 1 разлагаются (единственным образом) в дроби ,

Если же , то допускает два разложения. В этих разложениях знаки … совпадают, а знак в одном из них равен 1, а в другом 0. Все остальные знаки у первого разложения нули (0 в периоде), а у второго единицы (1 в периоде).

Например

3. Всякая двоичная дробь равна некоторому числу .

Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то есть число вида , исключение составляют дроби и , и тогда, наряду с исходным, существует еще одно двоичное разложение .

Если же двоичная дробь не содержит цифру 0 или 1 в периоде, то и других двоичных разложений не имеет

Вернемся к доказательству теоремы.

Условимся не пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала будет иметь единственное представление в форме

(1)

причем, какое бы число ни взять, найдутся такие , что

Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из . Но задать дробь (1) можно, указав те , для которых

Эти образуют возрастающую последовательность натуральных чисел

(2)

и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит, множество последовательностей (2) имеет мощность . Но между множествами и легко установить взаимнооднозначное соответствие. Для этого достаточно соотнести последовательности (2) последовательность

из , для которой , , ,…

Теорема доказана.

Теорема 6. Если элементы множества А определяются значками, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью

, то множество А имеет мощность .

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер.

Пусть

Назовем через (соответственно, и ) множество значений значка (соответственно, и ), при этом каждый из значков изменяется независимо от прочих и каждое из множеств , имеет мощность .

Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств , и множеством всех последовательностей натуральных чисел. Это позволит установить такое же соотношение между и .

Пусть , где , , .

В соответствиях между , и элементам , , отвечают какие-то элементы из .

Пусть

элементу отвечает последовательность ,

элементу отвечает последовательность ,

элементу отвечает последовательность .

Соотнесем элементу последовательность , очевидно входящую в .

Этим мы действительно получили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеет мощность .

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощность .

Следствие 2. Множество всех точек трехмерного пространства имеет мощность .

Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с [6; 27].

Теорема 7. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков , каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью , то множество А имеет мощность с.

Доказательство

Пусть множество значений значка есть .

Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностей натуральных чисел.

Пусть это соответствие обозначено .

Сделав это, выберем произвольный элемент .

Тогда , где .

Пусть в соответствии значению значка отвечает последовательность

Тогда элементу отвечает бесконечная целочисленная матрица

(*)

Легко видеть, что полученное соответствие между А и множеством матриц (*) взаимнооднозначно. Стало быть, остается обнаружить, что множество имеет мощность с. Но это очевидно, так как, соотнеся матрице (*) последовательность

мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие между и .

Значит множество А имеет мощность .

Теорема доказана.

Теорема 8. Множество всех последовательностей вида , где , независимо друг от друга, принимают значения 0 и 1, имеет мощность с.

Доказательство

Пусть - множество тех последовательностей из , в которых, начиная с некоторого места, все равны 1.

Каждой последовательности , входящей в , можно соотнести число, имеющее двоичное разложение ; это число будет 1 или , причем полученное соответствие между и множеством чисел указанного вида, очевидно взаимнооднозначно, откуда следует, что множество счетное.

С другой стороны, если , входящей в соотнести число с двоичным разложением , то мы получим взаимнооднозначное соответствие между и полуинтервалом [0,1), откуда вытекает, что , а значит и Т, имеют мощность с. Теорема доказана.

Следствие 1. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков, каждый из которых, независимо от прочих, принимает два значения, то множество А имеет мощность с [6; 28].

§ 4. Сравнение мощностей

Мы определили выше смысл выражений «два множества имеют одинаковую мощность», «множество имеет мощность », «множество имеет мощность с». Таким образом, встретив слово «мощность» в одном из подобных выражений, мы знаем, что оно означает, но само по себе понятие «мощность множества» у нас не определено.

Еще Г. Кантор пытался дать определение данному понятию:

«Мощностью данного множества А называется та общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве, отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка» ².

В связи с этим Г. Кантор обозначал мощность множества А символом (две черты - «двойное» отвлечение).

В настоящее время канторовский способ определения понятия мощности не считается удовлетворительным (хотя обозначение оказалось очень удачным). Вместо этого принято такое формальное определение.

Определение 1. Пусть все множества разбиты по классам, так что два множества попадают в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Соотнесем каждому такому классу множеств какой-либо символ и будем его называть мощностью любого множества данного класса. При этом, если мощность некоторого множества А есть , то пишут

При таком способе определения ясно, что эквивалентные множества действительно имеют одинаковую мощность, а также что, соотнеся классу, содержащему множество всех натуральных чисел, символ , можно сказать, что счетное множество имеет мощность .

Далее, буква с есть символ, соотнесенный классу, содержащему множество и поэтому про все множества, эквивалентные , мы говорим, что они имеют мощность с.

Пусть классу, содержащему множество , соотнесен символ «3». Тогда можно сказать, что любое множество, эквивалентное множеству А, имеет мощность 3. Мы видим, что понятие количества элементов конечного множества есть частный вид более общего понятия мощности.

Наконец, 0 есть мощность пустого множества, а 1 - мощность любого «одноэлементного» множества.

Имея, таким образом, определение понятия мощности, естественно поставить вопрос о сравнении мощностей.

Определение 2. Пусть и множества, имеющие соответственно мощности

и Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(, )

Если: 1) множества и не эквивалентны, но 2) в множестве В есть подмножество , эквивалентная множеству А, то говорят, что множество В имеет большую, а множество А - меньшую мощность, и пишут , .

Например

Пусть , ,

, ,

тогда не , но , где .

Поэтому .

Теорема 1. Множество всех действительных функций, заданных на отрезке , имеет мощность, большую с.

Доказательство

Покажем сначала, что не , где .

Допустим противное. Пусть , и пусть - некоторое взаимнооднозначное соответствие между и .

Условимся обозначать через ту функцию из , которая отвечает в соответствии числу .

Положим . Это некоторая совершенно определенная функция двух переменных, заданная в области , .

Положим теперь . Эта функция задана для , т.е. . Но тогда в соответствии функция отвечает некоторому числу , т.е. , или .

Таким образом, получаем , . А это невозможно, например для .

Итак, действительно не .

Рассмотрим множество функций , где . При этом и . Значит множество всех действительных функций, заданных на отрезке , имеет мощность, большую с.

Теорема доказана.

Определение 3. Мощность множества всех функций, заданных на отрезке , обозначается символом .

Возникает вопрос: существуют ли мощности, большие чем ? Оказывается, что да, существуют. Больше того, исходя из множества любой мощности, можно построить множества большей мощности [6; 29].

Теорема 2. Пусть М какое-либо множество. Если Т множество всех подмножеств множества М, то .

Доказательство

Отметим, что элементами множества Т являются все подмножества М, в частности само М, пустое множество 0 и все одноэлементные подмножества М.

Покажем сначала, что Т не .

Допустим противное. Пусть , и пусть - какое-либо взаимнооднозначное соответствие между этими множествами.

Каждому в соответствии отвечает определенный элемент Т, который мы обозначим через , и каждый элемент Т есть для одного и только одного .

Назовем элемент «хорошим», если , и «плохим» в противном случае. Элемент, который в соответствии отвечает самому множеству М, наверное «хороший», а элемент, отвечающий пустому множеству, наверное «плохой».

Пусть множество всех «плохих» (и только «плохих») элементов М. Так как , то в соответствии множеству отвечает элемент , .

Каков же этот элемент - «хороший» или «плохой»? Допустим, что «хороший» элемент. Это значит, что , а так как состоит только из «плохих» элементов, то элемент «плохой», что противоречит сделанному допущению.

Итак, «плохой» элемент. Но тогда , а это означает, что «хороший» элемент.

Стало быть, элемент ни «хороший», ни «плохой», а так как всякий элемент или «хороший» или «плохой», то получается абсурдная ситуация, которая и обнаруживает, что Т не .

Если - множество всех одноэлементных подмножеств М, то, очевидно, , а так как , то теорема доказана.

Замечание. Пусть М конечное множество, состоящее из элементов.

Тогда множество Т содержит элементов.

В самом деле, Т содержит одно пустое множество, одноэлементных множеств, двухэлементных множеств, и т.д., а всего в Т будет входить 1 + + + … + = элементов.

Отметим, что этот результат верен и для случаев, когда М пустое, или одноэлементное множество.

Определение 4. Если множество М имеет мощность , а множество всех его подмножеств Т имеет мощность , то говорят, что .

Теорема 3. Справедлива формула .

Доказательство

Пусть Т - множество всех подмножеств натуральных чисел , а множество всех последовательностей вида

 .

Тогда ,

Возьмем произвольный элемент некоторое множество натуральных чисел. Соотнесем последовательность по такому правилу: если , то , а если , то . Очевидно, мы получаем при этом взаимнооднозначное соответствие между и , что и доказывает теорему [6; 32].

Теорема 4.

Пусть . Если , то и

Доказательство

Пусть есть некоторое взаимнооднозначное соответствие между и . Каждому элементу множества А в этом соответствии отвечает некоторый элемент множества .

В частности те элементы , которые отвечают элементам , образуют определенное множество .

Таким образом, связано взаимнооднозначным соответствием с . Но , значит те элементы , которые при этом отвечают элементам , образуют определенное множество .

Теперь, поскольку , а и связаны взаимнооднозначным соответствием , можно образовать множество и состоящее из тех элементов , которые отвечают элементам .

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность множеств

такую что

,

,

,

,

. . .

Отметим при этом, что справедливы и такие соотношения:

(*)

вытекающие из самого определения множеств .

Пусть

Легко видеть, что

Причем отдельные слагаемые каждой из строк не пересекаются.

В силу (*) одинаково подчеркнутые слагаемые этих сумм эквивалентные друг другу. Но прочие слагаемые этих слагаемых попарно тождественно, откуда и вытекает эквивалентность А и .

Теорема доказана

Теорема 5. (Э. Шрёдер - Ф. Бернштейн). Пусть А и В два множества. Если каждое из них эквивалентно некоторому подмножеству другого, то они эквивалентны между собой.

Доказательство

Пусть , ,

, .

Установим взаимнооднозначное соответствие между и , при этом те элементы , которые окажутся соответствующими элементам множества , образуют некоторое множество . Очевидно и (так как и ). Отсюда, по теореме 4 (стр.20), а так как , то .

Теорема доказана

Следствие 1. Если и две мощности, то соотношения , , несовместимы.

Доказательство

Действительно, тот факт, что соотношение исключает оба прочих, вполне очевиден.

Допустим теперь, что одновременно выполняются соотношения и . Пусть А и В два множества мощностей и соответственно:

,

Так как , то

1) А и В не эквивалентны;

2) , где .

Но из того, что , следует, что

3) , где .

Из 2) и 3) вытекает, что , а это противоречит 1).

Следствие доказано.

Следствие 2. Если , , три мощности и , , то , т.е. отношение транзитивно.

Доказательство

Действительно, если А, В, С три множества мощностей , , , соответственно, то , , откуда следует, что , где - множество тех элементов , которые в соответствии между В и отвечают элементам .

Остается доказать, что А не .

Но если бы было , то оказалось бы, что , а тогда по теореме 4 (стр. 20), мы имели бы, что , откуда и , что невозможно.

Следствие доказано.

Теорема 6. Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке имеет мощность с.

Доказательство

Пусть , . Очевидно, и , откуда следует, что

(1)

Остается показать, что

(2)

Назовем через Н множество всех последовательностей вида

где , независимо друг от друга, принимают все вещественные значения. В силу теоремы 7 (стр. 14) .

Перенумеруем все рациональные числа отрезка : и каждой функции соотнесем последовательность .

Очевидно, . При этом, если непрерывные функции и не тождественны, то .

Действительно, если бы было , то равенство выполнялось бы для любого рационального значения из , откуда, в силу непрерывности обеих функций, следовал бы, что это равенство верно для всякого из , и функции и были бы тождественны.

Значит, множество эквивалентно множеству .

Так как и , то доказано соотношение (2), а с ним и теорема.

Глава 2. Точечные множества

§ 1. Предельная точка

В этом разделе будут рассмотрены множества точек числовой прямой и все основные понятия и теоремы связанные с ними.

Определение 1. Точка х₀ называется предельной точкой (или точкой сгущения) точечного множества Е, если всякий интервал, содержащий эту точку, содержит хоть одну точку Е, отличную от точки х_0.

Сама точка х₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Е.

Если точка х₀ принадлежит множеству Е, но не является его предельной точкой, то она называется изолированной точкой множества Е.

Теорема 1. (свойство предельной точки). Если х₀ есть предельная точка множества Е, то всякий интервал (а, b), содержащий эту точку, содержит бесконечное множество точек Е.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть интервал (а, b), содержащий точку х₀, содержит только конечное число точек множества Е. Пусть отличные от х₀ точки множества Е • (а, b) это у₁, у₂,…, у_n, и пусть к = min{¦ х₀ - у_i ¦, i = 1,2,…,n}.

Рассмотрим интервал (х₀ - к, х₀ + к). Ни одна из точек у₁, у₂,…, у_n в него не попадает, а так как (х₀ - к, х₀ + к) (а, b), то интервал (х₀ - к, х₀ + к) вообще не содержит точек Е, отличных от х₀, а это противоречит тому, что х₀ предельная точка множества Е.

Теорема доказана.

Понятие предельной точки можно рассмотреть с другой точки зрения.

Теорема 2. Для того, чтобы точка х₀ была предельной точкой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этого множества можно было выделить последовательности различных точек х₁, х₂,…, х_n…, такую, что

Доказательство

Достаточность очевидна. Докажем необходимость.

Пусть х₀ есть предельная точка множества Е.

Выберем в интервале (х₀ - 1, х₀ +1) точку х₁ Е, отличную от х₀. Затем в интервале (х₀ - , х₀ +) выберем точку х₂ Е, отличную от х₀ и от х₁ и т.д.

На n-м шагу процесса выбираем в интервале (х₀ - , х₀ +) точку х_n Е, отличную от х₀, х₁, …, х_n-1. В результате из множества Е выделена последовательность {х_n}, для которой

Теорема доказана

Доказанная теорема позволяет рассмотреть эквивалентное определение предельной точки.

Определение 2. Точка называется предельной точкой множества Е, если из этого множества можно выделить последовательность различных точек х₁, х₂,…, х_n…, такую, что

Теорема 3. (Б. Больцано - К. Вейерштрасса о множествах). Всякое бесконечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну предельную точку (которая может и не принадлежать Е).

Доказательство

Так как множество Е ограничено, то можно указать содержащий его отрезок

[a, b]. Пусть с = и рассмотрим отрезки [a, c] и [с, b]. Не может оказаться, чтобы каждый из этих отрезков содержал только конечное число точек Е, так как в этом случае и все множество Е было бы конечным. Значит, хотя бы один из этих отрезков содержит бесконечное множество точек Е. Обозначим его через [a₁, b₁] (если оба отрезка содержат бесконечное множество точек Е, то в качестве отрезка [a₁, b₁] выбираем любой из них).

Пусть с₁ = и обозначим через [a₂, b₂] тот из отрезков [a₁, с₁] и [b₁, a₁], на котором лежит бесконечное множество точек Е (существование его устанавливается также как и выше).

Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную последовательность вложенных отрезков [a, b] [a₁, b₁] [a₂, b₂] …, каждый из которых содержит бесконечное множество точек Е.

Так как , то длина отрезка [a_n, b_n] стремится к нулю при . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках, сущесвтует точка х₀, общая для всех отрезков [a_n, b_n], n = 1,2,…, причем lim a_n = lim b_n = х₀.

Покажем, что х₀ предельная точка множества Е. Для этого возьмем произвольный интервал , содержащий х₀. Очевидно, если n достаточно велико, то [a_n, b_n] , так что в находится бесконечное множество точек Е. Значит х₀ предельная точка множества. Теорема доказана.

Замечание. Условие ограниченности множества Е не может быть опущено. Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно хотя и бесконечно, но не имеет ни одной предельной точки.

Часто оказывается полезной другая форма теоремы Больцано -- Вейерштрасса, в которой речь идет не о множествах, а о числовых последовательностях.

Определение 3. Последовательность х₁,х₂,…,х_n… называется ограниченной, если существует такое число k, что при всех n выполняется условие .

Теорема 4. (Больцано -- Вейерштрасса о последовательностях). Из всякой ограниченной последовательности х₁, х₂, х₃,… можно выделить сходящуюся последовательность

, ,,… (<<<…)

Доказательство

Рассмотрим множество Е членов последовательности х₁, х₂, х₃, …. Если это множество конечно, то одна из его точек встречается в этой последовательности бесконечно много раз.

Пусть эта точка у и пусть

===…= у, тогда последовательность искомая.

Если же указанное множество бесконечно, то к нему применима теорема Больцано - Вейерштрасса о множествах.

Пусть х₀ есть предельная точка множества Е, тогда из Е можно выелить последовательность , , ,…, сходящуюся к точке х₀, причем все ее члены, а тем более их индексы , различны.

Положим, = , и обозначим через первое из чисел , которое окажется больше, чем , затем обозначим через , первое из этих чисел, которое больше, чем , и т. д. В результате мы получим последовательность ,,,…, где <<<…. Поскольку эта последовательность есть частичная для последовательности , то ясно, что lim = х₀.

Теорема доказана

§ 2. Замкнутые множества.

Рассмотрим определения ряда понятий, тесно связанных с понятием предельной точки.

Определения 1. Пусть Е точечное множество.

1. Множество всех предельных точек Е называется производным множеством для множества Е и обозначается через Е'.

2. Если Е' Е, то множество Е называется замкнутым.

3. Если Е Е', то множество Е называется плотным в себе.

4. Если Е = Е', то множество Е называется совершенным.

5. Множество Е + Е' называется замыканием множества Е и обозначается через .

Таким образом, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Плотное в себе множество лишено изолированных точек.

Совершенное множество замкнуто к плотно в себе [4; 60].

Теорема 1. Производное множество Е' любого точечного множества Е замкнуто.

Доказательство

Теорема очевидна, если Е' пусто.

Пусть Е' не пусто и х₀ - предельная точка Е'.

Возьмем произвольный интервал , содержащий точку х₀ (рис. 2). По определению предельной точки, в этом интервале найдется точка Е'. Значит, интервал есть интервал, охватывающий предельную точку исходного множества Е, а потому он содержит бесконечное множество точек Е.

( )

Рис. 2

Итак, всякий интервал, содержащий точку х₀ содержит бесконечное множество точек Е, так что точка х₀ есть предельная точка Е. Иначе говоря, Е'. Таким образом, множество Е' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.

Теорема доказана

Теорема 2. Если то .

Теорема 3. Справедлива формула

Доказательство

1) Так как и , то .

2) Докажем

Пусть . Тогда из + выделяется последовательность различных точек , такая, что .

Если в этой последовательности найдется бесконечное множество точек, входящих в , то будет предельной точкой множества и . Если же среди точек лишь конечное число принадлежит , то .

Таким образом, всегда .

Итак, и , значит .

Теорема доказана

Следствие 1. Замыкание любого множества замкнуто.

Доказательство

Действительно

Следствие доказано.

Следствие 2. Для того чтобы множество Е было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием .

Доказательство

Достаточность этого условия вытекает из предыдущего следствия.

Обратно, пусть множество замкнуто, тогда , откуда и следует, что .

Следствие доказано.

Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Доказательство

Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств . В силу теоремы 3 (стр. 28), имеем , но, так как то , откуда и следует теорема.

Общий случай исчерпывается способом математической индукции.

Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством. Рассмотрим множества

.

Все - замкнуты, но их сумма

не замкнута.

Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Доказательство

Пусть - замкнутые множества (отмечены знаком для отличия друг от друга) и - их пересечение. Тогда , откуда следует и тем более. Так как это верно при любом , то , то есть .

Теорема доказана

Лемма 1. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и (), тогда ().

Доказательство

Если , то и подавно

Допустим же, что . Так как при каждом е>0 существует такая точка , что , то любой интервал, содержащий точку , содержит и точки множества , которые, очевидно, отличны от , так как . Значит, это предельная точка множества , стало быть, .

Итак, всегда .

Лемма доказана.

Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом множестве F есть самая правая (самая левая) точка.

Доказательство

Действительно, пусть . Тогда по лемме .

Теорема доказана.

Определение 2. Пусть - точечное множество, а - некоторая система интервалов. Если для каждого существует интервал такой, что , то говорят, что множество покрыто системой интервалов .

Теорема 7. (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное множество покрыто бесконечной системой интервалов , то из последней можно извлечь конечную систему , также покрывающую множество .

Доказательство

Допустим противное.

Пусть из нельзя извлечь никакой конечной системы интервалов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим, вытекает, что множество бесконечно).

Заключим F в некоторый отрезок , поскольку F ограничено, и положим

Не может оказаться, чтобы каждое из множеств и могло быть покрыто конечный числом интервалов системы , потому что в этом случае и все множество покрывалось бы конечным числом этих интервалов. Значит, хотя бы одни из отрезков и содержит подмножество , которое не может быть покрыто конечным подмножеством . Обозначим через тот из отрезков, который содержит такое подмножество . При этом, если оба отрезка и содержат такие подмножества , которые не могут быть покрыты конечными подмножествами , то через обозначим только одни из них, какой - безразлично. Ясно, что множество бесконечно.

Положим теперь и обозначим через тот из отрезков и , который содержит подмножество множества , которое не может быть покрытым конечным числом интервалов системы .

В том, что хотя бы один из отрезков и этим свойством обладает, мы убеждаемся так же, как и выше (если они оба им обладают, то через мы обозначим только одни из них).

Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вложенных отрезков , обладающих тем свойством, что ни одно из множеств () не может быть покрыто конечным числом интервалов системы (и, стало быть, каждое из этих множеств бесконечно).

Так как длина отрезка , равная , с возрастанием стремится к нулю, то тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существтует точка х₀, общая для всех отрезков , причем .

Покажем, что точка принадлежит нашему множеству . С этой целью выберем в множестве точку , затем в (бесконечном) множестве выберем точку , отличную от , затем в множестве выберем точку , отличную от , ни от , и так далее.

В результате мы получим последовательность , различных точек множества , причем . Но тогда, очевидно, , так что есть предельная точка множества . Но так как множество замкнуто, значит, действительно .

Так как множество покрыто системой , то в системе существует интервал такой, что . Если достаточно велико, то очевидно и тем более , то есть множество покрывается одним интервалом из , а это противоречит самому определению отрезка .

Теорема доказана

Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить условие ограниченности или условие замкнутости множества . Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно замкнуто (так как N'=0), но неограниченно. Рассмотрим систему всех интервалов вида , (n=1,2,3,…) покрывающую множество N. Так как каждый из интервалов системы содержит только одну точку множества N, то ясно, что никакая конечная система этих интервалов не в состоянии покрыть бесконечного множества N. Итак, условие ограниченности существенно.

Рассмотрим другое множество Е всех чисел вида

:

Это множество ограничено, но не замкнуто. Построим около каждой точки интервал , содержащий эту точку, но настолько малый, чтобы он не содержал никакой другой точки множества , и обозначим через систему всех интервалов . Ясно, что система покрывает множество Е, но те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают, что не покрывается никаким подмножеством . Значит, условие замкнутости также существенно.

Теорема 8. Пусть Р замкнутое множество и последовательность точек

Если , то

Доказательство

Если последовательность содержит бесконечное множество различных точек, то есть предельная точка Р и , если же в последовательности лишь конечное число различных точек, то, как легко понять, все члены последовательности, начиная с некоторого, совпадают с и

§ 3. Внутренние точки и открытые множества

Определение 1. Точка , называется внутренней точкой множества E, если существует содержащий эту точку интервал , целиком содержащийся в множестве

E

Замечание. Из самого определения ясно, что внутренняя точка множества Е принадлежит этому множеству.

Определение 2. Множество Е называется открытым, если все его точки есть внутренние точки.

Примеры:

1) Всякий интервал есть открытое множество;

2) Множество всех действительных чисел открыто;

3) пустое множество 0 открыто;

4) Отрезок не является открытым множеством, так как его концы не являются внутренними точками.

Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств есть множество открытое.

Доказательство

Пусть

где все множества открыты. Пусть , тогда , при некотором . Так как открытое множество, то существует такой интервал , что , но тогда , следовательно - внутренняя точка . Так как произвольная точка множества , то теорема доказана.

Следствие 1. Любое множество, представимое в форме сумме интервалов, открыто.

Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Доказательство

Пусть

где все открыты.

Если пусто, теорема доказана.

Допустим, что не пусто, и пусть . Тогда 1, 2, …, и для каждого 1, 2, …, найдется интервал такой, что . Пусть и . Тогда очевидно , то есть внутренняя точка .

Теорема доказана

Замечание. Пересечение бесконечного множества открытых множеств не может открытым множеством. В самом деле, если , 1,2,3,…, то открыты, но пересечение их не открытое множество.

Определение 3. Пусть и два точечных множества. Если , то множество называется дополнением множества до множества и обозначается так: . В частности, множество , где - множество действительных чисел, называется просто дополнением множества и обозначается через .

Теорема 3. Если множество открыто, то его дополнение замкнуто.

Доказательство

Пусть , тогда существует такой интервал , что . Этот интервал вовсе не содержит точек множества , стало быть, не предельная точка множества , а поэтому точка, являющаяся предельной точкой множества , не может входить в . Отсюда следует, что содержит все свои предельные точки.

Теорема доказана.

Теорема 4. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто.

Доказательство

Пусть

Тогда не является предельной точкой множества и, следовательно, существует интервал , содержащий точку и не содержащий ни одной, отличной от , точки . Но так как и не входит в , то в вообще нет точек , так что и - внутренняя точка.

Теорема доказана

Замечание. Каждое из взаимно дополнительных множеств 0 и R одновременно и замкнуто и открыто.

Следствие 1. 1) если открытое множество, а - содержащий его отрезок, то множество замкнуто;

2) если замкнутое множество, а - содержащий его интервал, то множество открыто.

Доказательство

Эти утверждения следуют из очевидных тождеств

где и - замкнутые множества, следовательно, их пересечение также замкнуто.

где и - открытые множества, следовательно, их пересечение также открыто.

Следствие доказано.

Замечание. Если замкнуто и , то множество , не является, вообще говоря, открытым. Пусть, например, и , тогда - неоткрытое множество.

Определение 4. Пусть непустое ограниченное множество и , . Отрезок называется наименьшим отрезком, содержащим Е.

Теорема 5. Если есть наименьший отрезок, содержащий ограниченное замкнутое множество , то множество открыто.

Доказательство

Очевидно, достаточно убедиться в справедливости тождества

Пусть , это значит, что , . Но если , то и , так как и входят в по теореме 6 (стр. 29) . Значит . Кроме того, , очевидно, входит в , так что . Обратное включение очевидно.

Теорема доказана

§ 4. Расстояния и отделимость.

Определение 1. Пусть и две точки числовой прямой. Число называется расстоянием между точками и и обозначается через .

Замечание. Очевидно, что = , и что .

Определение 2. Пусть некоторая точка и непустое точечное множество. Точная нижняя граница расстояний между и точками множества называется расстоянием между точкой и множеством и обозначается через или .

Замечание. Очевидно, всегда существует и не отрицательно. Если , то , но обратное утверждение было бы неверно. Например, если , а , то , но .

Определение 3. Пусть и два непустых точечных множества. Точная нижняя граница расстояний между точками множества и точками множества называется расстоянием между множествами и и обозначается через

Замечание. Очевидно, что существует всегда и что . Если множества и пересекаются, то , но обратное утверждение неверно. Например, если , , то , но .

Замечание. Расстояние между точкой и множеством Е есть не что иное, как расстояние между множеством Е и множеством , единственной точкой которого является

Теорема 1. Пусть и два непустых замкнутых множества, причем хоть одно из них ограничено. Тогда существуют такие точки , , что .

Доказательство

По определению точной нижней границы, для каждого натурального существуют две точки

, такие, что

По условию одно из множеств и ограничено. Допустим, например, что это А. Тогда ограничена последовательность и по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее выделяется сходящаяся подпоследовательность , . В силу замкнутости множества А, точка должна принадлежать этому множеству, .

Рассмотрим последовательность

Если , то

Отсюда видно, что последовательность тоже ограничена и значит из нее выделяется подпоследовательность , имеющая предел, . При этом, благодаря замкнутости множества В, будет . Нетрудно видеть, что

Теорема доказана.

Замечание. Данная теорема становится неверной, если оба множества А и В не ограничены. Например, пусть и (). Оба эти множества замкнуты и , но так как , то двух точек , , для которых было бы , не существуют. Ясно также, что если хоть одно из множеств и не замкнуто, то теорема также неверна, что видно хотя бы из примера где

Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно из них ограничено и , то А и В пересекаются.

Следствие 2. Пусть произвольная точка и непустое замкнутое множество. Тогда в есть точка , для которой .

Следствие 3. Если точка и замкнутое множество таковы, что , то .

Теорема 2. Если замкнутое множество А непустое и отлично от всей числовой прямой R, то оно не может оказаться открытым.

Доказательство

Допустим противное

Пусть , А замкнуто и А открыто. Тогда таково же и его дополнение . Пусть отрезок, содержащий точки обоих множеств А и В. Обозначим через и точки, для которых , и положим . Тогда и одно из соотношений выполняется. Пусть хотя бы . Тогда , что неверно, так как .

Теорема доказана

Для доказательства одной из важных теорем «отделимости» понадобиться несколько лемм.

Лемма 1. Пусть А непустое точечное множество и . Положим

Тогда и В есть открытое множество.

Доказательство

Включение очевидно.

Докажем, что множество В открыто. Пусть . Тогда и в А найдется такая точка , что . Положим и покажем, что интервал содержится в В. Отсюда будет следовать, что внутренняя точка В, а, стало быть В открыто.

Возьмем произвольную точку . Тогда , и так как , то . Значит, , и тем более , значит . Таким образом, действительно .

Лемма доказана

Лемма 2

Пусть и два непустых множества, причем