Решение задачи обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью в кватернионах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Цель работы

1. Теоретическая часть

1.1 Понятие кватернионов основные свойства

1.2 Определении

1.3 Замена кватернионов матрицами

1.4 Геометрическая интерпретация

1.6 Тригонометрическая форма записи кватерниона

1.7 Потенцирование

1.8 Логарифмирование

1.9 Замечательные «кватернионные совпадения»

1.10 Экспоненциальное представление

1.11 Уравнение неразрывности (сплошности)

2. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра

2.1 Класическое решение задачи

3. Практическая часть

3.1 Постановка задачи

3.2 Решение задачи

4. Результат работы программы

Выводы

Список использованной литературы



Введение

Задача потенциального обтекания кругового цилиндра, является классической задачей математики. Обтекание кругового цилиндра является одной из фундаментальных задач гидромеханики, математики, при ее решении мы получаем интересные результаты. Данная тема является идеализированной задачей, и имеет ряд отличий -- это отсутствие сопротивления на тело, так же известное как парадокс Даламбера.

При решении задачи был использован мало-популярный, интересный, но в то же время очень продуктивный аппарат математики, как теория кватернионов. Даная теория имела успех в начале 20-ого столетия, но интерес к ней угас так же быстро, как и был вызван. Решение данной задачи в кватернионной форме мне не встречался, но именно такое решение имеет ряд плюсов над решением в комплексной форме; главное, что он дает более точное решение при рассмотрение задачи в трехмерной форме. При решении нашей задачи результаты полностью сошлись с уже известными результатами, которые были получены другими способами, что показывает, что наша задача была решена верна.

Цель работы:

Изучение обтекания кругового цилиндра в идеальной жидкости, построение программного продукта для визуализации данной задачи.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- изучение литературы по данной тематике;

- изучение движения твердого тела в идеальной жидкости;

- решение задачи в комплексной форме;

- изучения аппарата кватернионов;

- решение поставленной задачи в кватернионах;

- проверка решение и сравнивание результатов с уже известными решениями;

- написание программного продукта;

- проведение расчетов и их анализ при решении поставленной задачи.



1. Теоретическая часть

1.1 Понятие кватернионов, основные свойства

Кватернионы были введены в математику Уильямом Роуэном Гамильтоном (William

Rowan Hamilton) 1]. Они являются хорошим инструментом для решения многих задач, связанных с трехмерным пространством, и учитывают его особенности, не наблюдающиеся в произвольных n-мерных пространствах. История о том, как Гамильтон изобрел кватернионы, приведена здесь по материалам книги [4].

В 1835 году, в возрасте 30 лет, Гамильтон научился работать с комплексными числами как с парами действительных. Вдохновленный связью между комплексными числами и двумерной геометрией, он в течение многих лет пытался изобрести похожую алгебру, которая играла бы аналогичную роль в трехмерной геометрии. То, что он искал, на современном языке называлось бы трехмерной нормированной алгеброй с делением. Причина его затруднений состояла в том, что трехмерной нормированной алгебры с делением не существует. Но его многолетние мучения были вознаграждены.

16 октября 1843 года, прогуливаясь с женой вдоль Королевского канала по дороге на заседании Королевской ирландской академии в Дублине, он совершил эпохальное открытие. Позже он вспоминал: «Можно сказать, я здесь и сейчас почувствовал, как электрическая цепь мысли замкнулась, а засверкавшие искры оказались фундаментальными соотношениями показанной в формуле 1.1 представленными именно в том виде, в каком я их с тех пор использовал».

, (1.1)



Одна из причин, по которой эта история столь хорошо известна, состоит в том, что с этого момента и до конца своей жизни Гамильтон был одержим идеей исследования кватернионов и применения их в геометрии. В течение некоторого времени кватернионы действительно были в моде. В Дублине они в обязательном порядке входили в программу экзаменов, а в некоторых американских университетах кватернионы были единственным излучавшимся разделом высшей математики. Многое из того, что мы сейчас делаем со скалярами и векторами трехмерного пространства, делалось тогда с помощью вещественных и мнимых кватернионов. Возникла целая школа «кватернионщиков», которую после смерти Гамильтона возглавляли Питер Тэйт из Эдинбурга и Бенджамин

Пирс из Гарварда. Тэйт написал о кватернионах восемь книг, в которых особое внимание Уильям Роуэн Гамильтон уделялось приложениям к физике. Когда Гиббс изобрел современные обозначения для скалярного и векторного произведений, Тэйт обозвал их «уродцами-гермафродитами» [2].

Развернулась горячая полемика, в ходе которой такие знаменитости, как Кельвин и

Хевисайд, разражались убийственными высказываниями в адрес кватернионов. В конце концов кватернионы были побеждены и приобрели несколько дурную репутацию, от которой они в полной мере так и не избавились.

Добавим, что хотя Гамильтон действительно был первым, кто построил кватернионы как алгебру, у кватернионов есть и более ранняя история, начинающаяся с открытия Эйлером в 1748 году тождества четырех квадратов. Кроме того, О. Родригес в своих исследованиях параметризовал общий поворот с помощью четырех чисел, являющихся фактически координатами соответствующего кватерниона. Это позволяет рассматривать его как предвестника идей Гамильтона, поскольку приводимое им правило умножения совпадает с формулой Гамильтона для произведения двух кватернионов.

1.2 Определения

Кватернионом называется гиперкомплексное число, имеющее 4 мнимых единицы. Компоненты при мнимых единицах выбираются из алгебр, являющихся полями. В нашем случае компонентами кватерниона будем считать действительные числа. [3] Общеупотребительной формой записи кватерниона является формула 3.2

, (1.2)

где - сам кватернион;

- компоненты кватерниона;

- кватернионные единицы.

Компонента называется действительной частью кватерниона ,а тройка мнимой частью кватерниона. Часто в силу свойств мнимых единиц кватерниона

действительную часть называю скалярной а мнимую- векторной.

В отличие от комплексных чисел, которые являются подмножеством кватернионов [4], мнимые единицы кватернионов не коммутативны по умножению.

Закон умножения мнимых единиц задан таблицей 1.3

(1.3)

Данный закон умножения задает правое произведение кватернионов. Также может быть определено левое произведение кватернионов. В дальнейшем будем полагать, что произведение кватернионов всегда выбирается правым.

Сложение и вычитание кватернионов выполняется по компонентно, как показано в формуле 1.4

, (1.4)

где и компоненты кватерниона и ;

- кватернионы единицы кватернионов и .

Для кватерниона определены нулевой и единичный кватернионы [5] которые задаются по формуле 3.5:

, (1.5)

К алгебраическим свойствам кватернионов относятся:

- Кватернионы коммутативны по сложению [6], формула 3.6

. (1.6)

- Кватернионы ассоциативны по сложению [6], показано на формуле 3.7

. (1.7)



- дистрибутивны формула 1.8

(1.8)

- Кватернионы не коммутативны по умножению, это показано в формуле 1.9

(1.9)

- Кватернионы ассоциативны по умножению как показано в формуле 1.10

(1.10)

Поскольку кватернионы не коммутативны по умножению, операция деления для них задается отлично от задания деления для коммутативных алгебр, как для действительных или комплексных чисел[3]. Для кватернионов операция деления задается как операция умножения на делитель. Соответственно различают левый и правый делители.

Кватернион обратный заданному , определяется формулой 3.11

(1.11)

Поскольку для кватернионов существуют два делителя - левый и правый, то для них также существуют два обратных [6] - левый обратный и правый обратный. В силу того, что кватернионы ассоциативны по умножению, их левые и правые обратные совпадают.

Как и для комплексных чисел, для кватернионов определена операция сопряжения. Сопряженный кватернион [2] образуется путем смены знаков у всех компонентов при мнимых единицах и имеет 1.12

(1.12)

Произведение кватерниона на сопряженный ему есть действительное число, равное квадрату модуля кватерниона , показанной на формуле 3.13

(1.13)

Для кватернионов векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. В предыдущем уравнении было использовано сопряжение в качестве алгебраического.

Несмотря на то, что для кватернионов алгебраическое и векторное сопряжения совпадают, их следует различать для гиперкомплексных чисел вообще.

Найдем кватернион, обратный заданному используя формулу 1.14:

(1.14)

Умножим левую и правую части на кватернион, сопряженный к q и получим выражение вида 3.15

(1.15)

В данном случае также использовалось алгебраическое сопряжение. Вообще говоря, данный способ нахождения обратного числа работает для любых гиперкомпексных чисел [7], но не для любых операция алгебраического сопряжения может быть определена также просто, как для кватернионов и комплексных чисел. Как и для других алгебр, для кватернионов сохраняется свойство мультипликативности модуля как показано в формуле 1.16

(1.16)

1.3 Замена кватернионов матрицами

Мнимые единицы кватернионов возможно заменить на набор четырех матриц, удовлетворяющих таблице (1.1.2). Таких наборов может быть найдено много.

Как и кватернионы, матрицы не коммутативны по умножению, но ассоциативны по умножению, для них также определены операции покомпонентного сложения, единичная и нулевая матрицы [4]. Приведем в качестве примера один из них 1.17.

(1.17)

Мнимые единицы в матрицах есть обычные мнимые единицы комплексных чисел. Производя замену мнимых единиц кватернионов матрицами, мы сохраним все свойства кватернионов. Отметим, что приведенное матричное представление есть комбинация единичной матрицы и матриц Кэли. Многим людям гораздо привычнее оперировать набором матриц, чем набором мнимых единиц, поскольку в XX веке традиционное образование тяготеет более к матрицам, чем к мнимым единицам [8]. При этом всегда возможен возврат к набору мнимых единиц, являющемуся более наглядным при оперировании с векторами. Для матриц же понятие вектора несколько иное, обычно это матрица-столбец, и легко смешать в кучу совершенно различные понятия.

1.4 Геометрическая интерпретация

Трехмерность мнимой (векторной) части кватерниона очень удачно подходит к наблюдаемому нами трехмерному пространству. При использовании кватернионов в задачах вращения радиус-вектор точки в пространстве сопоставляется с точкой в пространстве кватернионов по компонентно [9] и показанного в формуле 1.18:

, (1.18)

где - радиус вектор;

,, - радиус векторы на оси соответственно.

При этом действительную (скалярную) часть кватерниона полагают равной нулю. Как и в случае применения векторной алгебры, при применении кватернионов также можно использовать квадрат модуля вектора, скалярное и векторное произведение векторов использование данных операция [9] показано на формуле 1.19:

, (1.19)

где - действительная часть кватерниона;

- мнимая часть кватерниона;

- скалярная часть кватерниона;

- векторная часть кватерниона.

Вторым применением кватернионов в геометрической интерпретации является использование кватерниона в виде оператора преобразования и умножения кватернионов в качестве воздействия оператора преобразования на радиус- вектор точки [5]. При физическом моделировании кватерниону радиус-вектора и оператору преобразования приписывается размерность физической величины, метры и безразмерно соответственно. Также при оперировании пространственными преобразованиями будут использоваться величины, имеющие размерность плоского угла. Следует иметь в виду, что данная методика рассматривает только пространственную часть наблюдаемого пространства, и только в евклидовом приближении. [9] Так же возможна при решение задач использовать евклидова пространства, причем без применения дополнительных промежуточных проекций либо условных углов, с решением прямой и обратной задачи. Многие теоретики и просто любители математики с неудовольствием встречают отказ от применения изворотливых решений с остроумными промежуточными проекциями, но есть задачи, когда надо просто показать решение, а не находить интересные способы решения.

1.5 Модуль

Модуль кватерниона имеет вид 1.20:

, (1.20)

где - сопряженный кватернион.

В компонентах модуль кватерниона выражается формулой 1.21

(1.21)

Модуль кватерниона равен нулю только в том случае, если все компоненты кватерниона равны нулю [7]. Для модуля кватерниона верно равенство 1.22

(1.22)

Модуль сопряженного кватерниона равен его модулю, так как кватернион, дважды сопряженный, равен самому себе [6] и имеет вид 1.23

(1.23)

Для модуля кватерниона верно неравенство (1.24):

(1.24)

Для любого кватерниона любой его компонент по абсолютному значению меньше или равен модулю кватерниона [5].

1.6 Тригонометрическая форма записи кватерниона

Пусть q-нормированный кватернион. Вводя новые переменные с помощью равенств 1.25

, (3.25)



где - единичный вектор коллинеарный вектору .

получим тригонометрическую запись [10] кватерниона 1.26

. (1.26)

Для ненормированного кватерниона будем иметь формулу 1.27

. (1.27)

где - модуль кватерниона .

Форма кватерниона (1.27) аналогична тригонометрической записи комплексных чисел. Из нее следует, что любой кватернион однозначно определяется значением модуля , единичным вектором и углом [10]. Выбор же и для заданного является двузначным, так как одновременная замена знака при и на обратный не изменяет кватерниона . Заметим так же что если векторная часть кватерниона равна нулю, то , и тогда - любой единичный вектор из трехмерного пространства[6].

Используя тригонометрическую форму (1.27) получим формулу для произведения двух кватернионов с коллинеарными векторными частями. Пусть произведение имеет вид 1.28

. (1.28)

Где и - угол, используемый при записи кватерниона в тригонометрической форме;

Тогда будем иметь 1.29

(1.29)

Для -ой степени кватерниона на основании получим формулу 1.30

. (1.30)

Где - степень в которую возводиться кватернион;

которая аналогична формуле Муавра для комплексных чисел [4].

Последняя формула дает возможность легко находить решения степенных кватернионных уравнений вида 3.31

. (1.31)

Представляя и в тригонометрической форме 3.32

. (1.32)

Получим в качестве уравнения (3.31)уравнение 1.33

. (1.33)

Решение этого уравнения записывается в виде 1.34

,,. (1.34)

Полученные соотношения определяют k разных решений уравнения (1.31) в том случае, когда векторная часть кватерниона отлична от нуля [2].Если же , то каждому значению , для которого , будет соответствовать бесконечное множество решений и иметь вид 1.35

. (1.35)

где -произвольный единичный вектор из трехмерного пространства.

При решение уравнения можно записать в алгебраической форме, если представить кватернионы в виде 1.36

. (1.36)

Тогда получим уравнение 1.37

. (1.37)

которое с учетом равенства сводится к системе 1.38

,. (3.38)

Отсюда следует решение записанное формулой 1.39

, если . (1.39)

При , а это возможно только в случае решение имеет вид 1.40

, (1.40)

где -произвольный единичный вектор.

1.7 Потенцирование

Потенцированием называется операция возведения в степень. Мы будем рассматривать частный случай возведения в степень - основание натурального логарифма в степень кватернион.

Функция экспоненты определена как (1.41)

. (1.41)

При необходимости показать сходимость этого ряда можно использовать, например, неравенство для модуля кватерниона [8].

В данном случае в знаменателе стоит действительное число. Поскольку кватернион коммутативен по умножению с действительными числами, деление можно представить по компонентно и получим выражение вида 1.42

. (1.42)

Особенностью экспоненциального ряда, которую мы и используем, является соотношение 1.43

. (1.43)

если a и b коммутируют по умножению.

Таким образом, имеем выражение 1.44

(1.44)

Обозначим дополнительные переменные значениями 1.45

(1.45)

где - минус квадрат векторной части.

Здесь для краткости вывода введена величина - векторная часть кватерниона [5]

Разложим экспоненциальный ряд в условных сокращениях получим выражение 1.46:

. (1.46)

Интересной особенностью функций sin и cos является их периодичность при изменении аргумента на величину, кратную 2р [2]. В нашем случае результат взятия экспоненты так же не изменится, если к мнимой части прибавить вектор, со направленный ей и равный по абсолютной величине 2рn, где n - целое тогда

. (1.47)

Пусть

В данном случае величина по модулю равна единице и по направлению со направлена . И вектор , таким образом, имеет величину, кратную 2р [4].

Тогда получим 1.48:

. (1.48)

Таким образом, верно выражение 1.49

. (1.49)

1.8 Логарифмирование

Логарифмированием называют операцию, обратную потенцированию. Так, если верно равенство 1.50

, (1.50)

где - кватернион;

-экспоненциальная функция;

то верно равенство 1.51

. (1.51)

Как и в случае комплексных чисел, логарифм кватерниона неоднозначен и сферично - периодичен. Отбрасывая сферично-периодичную составляющую в ln (p), и зная покомпонентное представление , найдем ln (p) нахождение ln (p) показано в формуле 1.52

. (1.52)

. (1.53)

Несложно заметить, что кватернион является в некотором роде 3-х мерным комплексным числом [7]. Приведенные формулы (1.53) переходят в соответствующие формулы для комплексных чисел при сокращении базиса мнимых единиц до любой одной.



1.9 Замечательные «кватернионные совпадения»

Есть, по крайней мере, пять таких совпадений (все они приведены ниже), замеченных разными авторами в разное время.

1. Уравнения Максвелла как условия аналитичности функций кватернионного переменного [11].

В 1937 году Фютер [20] заметил, что уравнения Коши-Римана , определяющие дифференцируемость функции комплексного переменного и физически моделирующие плоское движение жидкости без источников и вихрей, имеют следующий кватернионный аналог показанный формулой 1.53

. (1.53)

Удивительный факт состоит в том, что соответствующей физической моделью оказываются уравнения классической электродинамики Максвелла в вакууме [11] 1.54

,,,. (1.54)

2. Уравнения Паули

Если рассматривать квантовую частицу с электрическим зарядом e, массой m, и обобщенным импульсом рассмотрим уравнение Паули 1.55

, (1.55)

где -частица;

-электрический заряд;

В простейшем кватернионном пространстве [11] (все параметры постоянны, связность, кручение и кривизна равны нулю), то гамильтониан такой частицы, вычисляемый с помощью Q-метрики 1.56

. (1.56)

при этом спиновое слагаемое сразу же имеет в качестве коэффициента магнетон Бора.

3. Напряженность поля Янга-Миллса

Если в произвольном кватернионном пространстве из компонент связности (индексы a; b; c нумеруют координаты базового -пространства, индексы j; k; m; n нумеруют векторы касательных триад), построить некоторый "потенциальный" вектор 1.57

. (1.57)

а из компонент кватернионной кривизны 1.58

. (1.58)

аналогичным образом построить вектор "напряженности" 1.59

(1.59)

то эти два геометрических объекта оказываются связанными между собой точно так же, как напряженность и потенциал поля [11] Янга-Миллса 1.60

. (1.60)

Нужно отметить, что для Q-пространств с метрической (не аффинной) связностью кривизна, а с ней и "напряженность" тождественно равны нулю.

1.9 Экспоненциальное представление

Если , то распишем имеем равенство 1.61

. (1.61)

Таким образом, действительная часть аргумента экспоненты не играет никакой роли и может быть отброшена [7].

В аргументе экспоненциального представления оператора вращения направление векторной части задает направление оси поворота, а его величина величину угла [5] поворота, умноженную на и имеем формулу Эйлера для кватернионов 1.62 и краткая запись 1.63

. (1.62)

. (1.63)

цилиндр жидкость комплексный квартернион



1.10 Уравнение неразрывности (сплошности)

Уравнение неразрывности либо сплошности выражает один из фундаментальных законов природы - закон сохранения массы применительно к жидкой среде [12].

Рассмотрим объем V, ограниченный поверхностью S (рис. 1). Выделим элемент поверхности dS. Пусть - орт внешней нормали, а - вектор скорости. Через выделенный элемент dS в единицу времени внутрь объема проникает масса жидкости которое находиться по формуле 1.64

. (1.64)

где - орт внешней нормали;

- вектор скорости;

dS элемент поверхности;

V объем поверхности;

S контур ограниченной поверхности

Рисунок 1 - Объём V ограниченный круговым контуром S

(знак минус, т.к. направления и противоположны). Секундная масса проникающая в объем через всю поверхность которая вычисляется по формуле 1.65

. (1.65)

С другой стороны, приток жидкости в объем приводит к изменению ее массы. При этом, поскольку выделенный объем является постоянным, изменение массы может происходить только за счет изменения ее плотности [13]. Скорость изменения массы можно представить в виде 1.65

. (1.65)

либо с учетом того, что , можно записать как 1.67

. (1.67)

Очевидно, что изменение массы внутри объема должно быть равно массе, поступившей в него извне, т.е. имеет вид 1.68

. (1.68)

Применяя преобразование Гаусса-Остроградского, получим3.69

. (1.69)

либо упростив получим выражение 1.70

. (1.70)

Равенство нулю интеграла возможно лишь при условии 1.71

. (1.71)

Это и есть уравнение неразрывности. Поскольку при выводе его не делалось никаких ограничений, то оно справедливо как для установившегося, так и для неустановившегося движений сжимаемой и несжимаемой жидкости [14]. Уравнение (1.71) относится к числу фундаментальных уравнений механики жидкости.

Рассмотрим некоторые частные случаи. При установившемся движении все производные по времени равны нулю [15], что следует из самого определения этого понятия, поэтому выражение имеем равенство 1.72

. (1.72)

Если движение установившееся и жидкость несжимаема, т.е. , то выражение получает следующий вид 3.73

(3.73)

Либо в проекциях на декартовы оси координат 1.73

. (1.74)

Установим физический смысл этого соотношения. Частные производные , характеризуют скорость относительного удлинения (укорочения) жидкой частицы [16]. Если этот процесс происходит одновременно вдоль всех координатных осей, то он приводит к объемному расширению либо сжатию частицы. Ясно, что если частица удлиняется вдоль осей x и y, то она должна укорачиваться относительно оси z. Другими словами, хотя бы одна из производных, входящих в (1.74), должна быть отрицательна, т.к. в противном случае соотношение не может быть равным нулю [17].

Поле, в котором , носит название соленоидального.



2. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра

2.1 Класическое решение задачи

Далее будем рассматривать задачу с наложение потоков, а именно плоскопараллельный поток и диполь, диполь [18] на первый взгляд носит достаточно абстрактный характер. Однако, как будет показано ниже, такая точка зрения не совсем справедлива. Используя понятие диполя, можно получить весьма интересные и полезные для практических приложений результаты. Для подтверждения этого проанализируем течение, возникающее при наложении прямолинейного поступательного потока на диполь с центром, расположенным в начале координат. Прямолинейный поток движется вдоль оси Ox со скоростью, равной единице, т.е. . Потенциал скорости выражаеться выражением 2.1

. (2.1)

и с точностью до произвольной постоянной.

Функция тока и [19]. Если, как принято в условии, , то и . Примем для упрощения выкладок момент диполя , тогда и . Складывая потенциалы и функции тока, получаем равенстьва 2.2 и 2.3

. (2.2)

И . (2.3)

Найдем линии тока, для чего приравняем функцию тока [19] постоянной:

,

откуда получаем 2.4

. (2.4)

Из чего следует, что линии тока течения представляют семейство кривых третьего порядка [20]. Найдем нулевую линию тока, т.е. линию, для которой . Это дает два уравнения 2.5 и 2.6:

. (2.5)

И . (2.6)

Рисунок 2 - линии тока представляют собой ось x окружность единичного радиуса

т.е. линия тока представляет собой ось x-ов и окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рисунок 2). Это позволяет рассматривать окружность как твердую границу и течение вне ее, что приводит к задаче обтекания бесконечно длинного цилиндра [15].

Покажем, что на достаточно большом удалении от цилиндра скорость направлена вдоль оси x и равна . Найдем проекции скоростей и .

Имеем равенство 2.7

. (2.7)

Откуда после упрощения получаем 2.8

. (2.8)

Аналогично получаем и выражение 2.9

. (2.9)

Для дальнейшего удобно перейти к полярным координатам, имея в виду, что и [21]. Подстановка этих значений в выражения для и дает два равенства 2.10 и 2.11:

. (2.10)

. (2.11)

Перейдем к пределу. При получаем и , т.е. то, что и требовалось доказать.

Точки B и A, смотреть (рисунок 2), являются так называемыми особыми либо критическими точками, т.к. скорость в них обращается в нуль [22]. Покажем, что это действительно так, для чего запишем выражение для потенциала скорости в полярных координатах 2.13

. (2.12)

. (2.13)

Найдем проекции скорости в произвольной точке на произвольной линии тока (3).

Имеем выражение 2.14 и 2.15

. (2.14)

. (2.15)

Рисунок 3 - находим проекцию скорости на любой точке

На поверхности цилиндра и , т.е. обтекание безотрывно. Компонента . В общем случае, когда имеем выражение 2.16

. (2.16)

Знак «минус» указывает на то, что направление скорости на верхней половине цилиндра противоположно положительному направлению отсчета угла . В точках B и A () скорости равны нулю, т.е. действительно эти точки являются критическими.



3. Практическая часть

3.1 Постановка задачи

Физическая постановка задачи.

Дано:

- Бесконечной длины цилиндр радиусом a.

- Идеальная жидкость, не имеющая границ во все рассматриваемой плоскости.

- Скорость потока на бесконечности равнаи направлена параллельно оси.

- Циркуляция отсутствует, т.е.

Найти:

· Давление на цилиндр и распределение скоростей

3.2 Решение задачи

Так как мы рассматриваем обтекание бесконечного кругового цилиндр плоским движением то, при решении задачи мы рассматриваем плоское движение. Под плоским движением понимается такое движение, перпендикулярных поверхности обтекания, движение частиц остается одинаковым. В этом случае достаточно рассмотреть задачу обтекания контура в одной плоскости, все прочие поверхности обтекания представляют собой непрерывную систему параллельных плоскостей, в которых течение является одинаковым. Поэтому можно, например, вместо пространственного обтекания цилиндра бесконечной длины можно рассматривать плоское обтекание кругового контура.

Здесь при решении задачи мы используем кватернионы к задаче плоского безвихревого обтекания тел несжимаемой жидкостью. При решение задачи используем двумерный кватернион так как рассматриваем двумерную задачу записанный в виде 3.1

. (3.1)

Решение задачи

Решение нашей задачи состоит из двух слагаемых одно из представлен в виде плоскопараллельного течение, а второй это диполь с центром в начале координат. Получаем потенциал состоящий из двух слагаемых потенциал представлен формулой 3.2

, (3.2)

где - скорость направленная параллельно оси абсцисс;

- кватернион;

- момент диполя.

Найдем потенциал в кватернионой форме вместо подставляем (3.1) двумерный кватернион и упрощаем выражение при этом используем аксиомы кватерниона которые дают отличие от комплексных чисел. Используем формулу (1.15) для деления единицы на кватеринион. Действия упрощение потенциала с кватернионами видим в формуле 3.3

. (3.3)

Выпишем конечный результат после упрощения и приведения подобных при этом при деление кватерниона используем формулу (1.15). При записи такого кватерниона в первом слагаемом собираем все переменные с кватернионой единицей а во втором слагаемом собираем все значения с кватернионой единицей и получим выражение 3.4

(3.4)

В нашем случае характеристическая функцию записываем заменяя выражения стоящие в скобках на и и получаем выражение 5.5

, (3.5)

где - действительная часть кватерниона;

- мнимая часть кватерниона;

Приведем аналогичные выражения и к выражениям из формулу (5.5). После чего получаем два выражения 3.6 и 3.7

. (3.6)

. (3.7)

Если приравнять к константе получим уравнение эквипотенциальной линии показано на формулой 3.8

. (3.8)

Значению соответствует линия тока, уравнение которой имеет вид 3.9

. (3.9)

При решении уравнения (3.9) получаем совокупность двух уравнений 5.10

. (3.10)

Решаем второе уравнение и получаем равенство 3.11

. (3.11)

Левая часть выражения представляет уравнение окружности, с радиусом

Из совокупности (3.10) имеем две линии тока первое из которого представляет прямую линию параллельную оси абсцисс. А второе представляет из себя окружность.

Для нахождения скоростей вблизи цилиндра при обтекания находим производную от потенциала 3.12

, (3.12)

где - радиус рассматриваемого кругового профиля.

При решение данного уравнения будем использовать тригонометрическую запись кватерниона. Которая будет выглядеть как показано на формуле 3.13

. (3.13)

Подставляем формулу (5.12) в выражение (5.13) и решаем уравнение.

. (3.14)

Вместо делаем замену на которую в свою очередь заменяем на . Упрощаем выражение (5.14) и получаем равенство 3.15

. (3.15)

Расписываем в формуле 5.15 и получим равенство 5.16

. (3.16)

Выписываем конечный результат, который показывает распределение скорости на поверхности цилиндра 3.17

. (3.17)

Отсюда следует, что при плоском безвихревом обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью скорость распределена по закону синуса. При достигается максимальная скорость. ;. То есть в точка A и B скорость равна нулю эти точки называются, а в точках С и D скорость равна , эти точки называются

Для определения распределения давления по поверхности воспользуемся уравнением Бернулли 3.18

, (3.18)

где - давление в точке;

- плотность жидкости;

- скорость потока.

Введем в рассмотрение коэффициент давления показывающий безразмерное избыточное давление на поверхности которое равно выражению 3.19

,

где коэффициент давления. (3.19)

На поверхности существует только окружная скорость, следовательно, для поверхности коэффициент давления будет равен 3.20 и 3.21 после упрощения.



. (3.20)

. (3.21)

Из полученной формулы следует, что давление на поверхности максимально в критических точках А и В () и минимально в точках С и Д ().

Таким образом, распределение давлений симметрично относительно осей х и у. Результирующая сил давления на цилиндр равна нулю. Цилиндр не сносится потоком, его R=0. Этот парадокс называется парадоксом Эйлера-Даламбера и присущ только для идеальной жидкости. Для реальных жидкостей обтекание цилиндра будет только при очень низких скоростях.

Обычно обтекание цилиндра происходит с отрывами в задней части цилиндра, в результате, давление в лобовой зоне всегда больше, чем в кормовой



4. Результат работы программы

Рисунок 4 - Изображение векторов скорости при решении задачи в классическом виде

Рисунок 5 - График распределения давления на поверхности цилиндра при решении в классическом виде

Рисунок 6 - Изображение линии тока при решении задачи в классическом виде

Рисунок 7 - изображение векторов скорости при решении задачи в кватернионах

Рисунок 8 - график распределения давления на поверхности цилиндра при решении в кватернионах



Выводы

Была изучена задача обтекания кругового цилиндра в комплексной форме, и было произведено решение в кватернионой форме.

При решении нашей задачи был изучен аппарат кватернионов. Который был использован при решении задачи, данный аппарат дает точное аналитическое решение, по сравнению с комплексной формой решения в кватернионах шире, и имеет свои преимущества.

В данный момент аппарат кватернионов мало используем при решении задач, но в будущем при решении задач квантовой механики этот аппарат будет востребован, а решение в комплексной форме будет рассматриваться как частное решение кватернионов.



Список использованной литературы

1. Конвей Дж.Х, Смит Д.А. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. Москва, МЦНМО, 2009.- 184 с.

2. Конвей Дж., Смит Д.О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. - М.: Наука. 1964. - 541 с.

3. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е изд. -- М.: Физматлит, 2001. -- 33 с.

4. Конвей Дж.Х, Смит Д.А. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. Москва, МЦНМО, 2009.- 184 с.

5. Ефремов А.П. (1985) Q-поле, переменный кватернионный базис. Физика, Известия вузов, 12, 14-18 с. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1981. 448 с.

6. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Кватернионы и интегральные уравнения теории упругости// Сборник докладов межд. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 90-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, 22, 23 января 2001 года) / под. ред. проф. И.А. Кийко, проф. М.Ш. Исраилова, проф. Г.Л. Бровко. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001, с. 303-305.

7. Вебер Г., Якобсталь В. Энциклопедия элементарной математики. Том II. Энциклопедия элементарной геометрии. Книги II и III. Тригонометрия, аналитическая геометрия, стереометрия. "Матезис" Одесса, 1910. 334 с. Свешников А.Г. Теория функции комплексной переменой. М.: Наука, 2004. 200с.

8. Bisht P.S, Negi O.P., Rajput B.S., (1991) Quaternionic Gauge Theory of Dyonic

Fields, Progr. Theor. Phys., 85, №1, 157-168.

9. .Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. (1989) Кватернионы в релятивистской физике. Минск, Наука. 153 с.

10. Кутрунов В.Н., Курята З.С. Кватернионы и интегральные уравнения теории упругости// Сборник докладов межд. науч. симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 90-летию со дня рождения А. А. Ильюшина (Москва, 22 23 января 2001 года)/ под ред. проф. И.А. Кийко, проф. М.Ш. Исраилова, проф. Г.Л. Бровко. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001, с. 303-305.

11. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука,1984. 560 с.

12. Ткаченко Я.Е. Аэродинамические коэффициенты крыла: Учеб. пособие. - X.: ХАИ. 1958. - 25 с.

13. Фефелов М.А. Определение распределения давления по поверхности тела: Метод, указания к лаб. работе. - X.: ХАИ. 1983. - 26 с.

14. Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз. 1956. - 483 с.

15. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1987. 840 с.

16. Ткаченко Я.Е. Аэродинамические коэффициенты крыла: Учеб. пособие. - X.: ХАИ. 1958. - 25 с.

17. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. -- М.: Наука, 1974. -- 320 с.

18. Загузов И.С. Аэрогидромеханика разрывных течений идеального газа: Учебное пособие. Самара: Изд-во СамГУ, 1992. 76 с.

19. Федявский К.К. Войткунский Я.И., Фадеев Ю.И. Гидромеханика. Ламинарного Течения - Л.: 1968. - 568 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехтеоретиздат, 1954. 795 с.

21. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1981. 448с.

22. Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз. 1956. - 483 с.

23. MatLab. Руководство [Электронный ресурс]

24. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1987. 840 с.

Размещено на Allbest.ru