Главная База знаний "Allbest" Математика Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.

Рубрика	Математика
Вид	статья
Язык	русский
Дата добавления	11.01.2004
Размер файла	122,0 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, или f(t) = ma.

При прямолинейном движении a =d²s/dt², поэтому

f(t) = md*²s/dt².

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(щt + щ₀).

Решение. f(f) = m*d²s/dt², поэтому находим вторую производную функции:

s = А**sin*(щt + щ₀), ds/dt = А**cos(щt+щ₀) щ,

d²s/dt²=-- Аsin (щt + щ₀)* щ² = -- sщ² = -- щ²s; f(t) = -- mщ²s,

т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению s и направленной в противоположную сторону.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Сравнение бесконечно малых

1°. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к нулю, когда значения б = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;

значения в =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.

Отношение в/б =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.

значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,--величина переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не существовать.

2°. Определения: 1) в называется бесконечно малой высшего порядка малости, чем б, если предел отношения в/б равен нулю, т. е. если

limв/б =0;

2) в называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем б, если

limв/б = ?;

3) в и б называются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если

limв/б = k, где k ? 0 и k ? 8

4) в и б называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела их отношения не существует.

3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limв/б = 0, в высшего порядка малости, чем б, a limб/в = ? и б низшего порядка, чем в.

2. б =1--х и в=1-- x²--бесконечно малые, если х>1. Отношение в/б=(1- x²)/(1-x) = 1+x.

Значит, 1--х и 1--x² --бесконечно малые одинакового порядка малости при х>1.

3. Сравним 1 --cosx с х при x? 0.

т. е. 1--cos x при х > 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости, чем х.

Дифференциал функции

1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ?x аргумента х, т. е.

(I)

2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ?x.

Пример. Вычислить дифференциал функции у = x²при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.

Решение. dy=f '(х)* ?х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и ?x.

f '(x) = (x²)' =2x.

Поэтому

dy=2x*?x.

Начальное значение аргумента х=3, приращение его ?x = 3,1 -- 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:

dy =2*3*0,1=0,6.

Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ?х.

3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ?MPT следует, что

PT = MP*tgц = ?x*f '(x).

Но по определению f '(х) *?x = dy, поэтому PT = dy.

Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.

4°. Дифференциал dy и приращение ?у вообще не равны между собой. На черт. dy = PT менее ?y=PQ.

Очевидно, dy может быть и более ?y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.

5°. Пример. Для функции у=x²при изменении х от 3 до 3,1 приращение ?y = 2x*?x + + ?x² = 2*3*0,1 + 0, 1² = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *?x = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ?у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ?у--dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:

(?y--dy)/dy=00,1/0,60=1,7%

6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ?у--dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ?x.

Действительно, отношение ?y/?x отличается от своего предела f '(x) на бесконечно малую б, причем б > 0 при стремлении ?x к нулю,

?y/?x -- f '(x)= б.

Производя вычитание в левой части равенства, получаем:

(?y-f '(x)*?x)/?x = б, или (?у - dy) ?x= б,

7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.

8°. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:

1) dy пропорционален ?x (dy = k?x, где k=y');

2) отношение (?y--dy)/?x стремится к нулю при стремлении ?x к нулю.

Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:

1) z=k?x и 2) то z есть дифференциал функции у.

Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:

т. е. k = y',

а следовательно,

z = k?x = y'?x,

т. е. z есть дифференциал функции у.

Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.

Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов

1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ?x:

dx = ?х (II)

Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,

dy = (x)' ?x, или dy = ?x.

Но так как

dy = dx, то dx = ?x,

т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.

2°. Внеся в формулу (I) значение ?x=dx, получаем:

(III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента.

3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ?u, и dy надо вычислять по формуле;

dy = f '_u (x)* ?u.

Но

f '_u (x)= f'_x (x)* x'_u

Значит,

dy = f'(x)--x'_u * ?u.

Но так как, по определению,

x'_u?u = dx,

то, следовательно,

dy = f '(x)dx.

4°. Пример. Найти дифференциал функции:

_____________________

у = v (e²^x--1).

Решение. По формуле (III)

dy = у'*dx.

Находим у': ________ ________

y' = e^2x*2/( 2v (e^2x--1)) = e^2x/ v (e^2x--1).

Значит _______

dy = e²^x*dx/ v (e²^x--1)

5°. Из формулы (III) следует;

f'(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tgц=f '(x)

для произвольного значения dx = MP.

Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям

1°. Разность ?y--dy--бесконечно малая высшего порядка малости, чем ?x, поэтому при достаточно малом ?x

(IV)

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.

Так как ?у = f(х + ?x)--f (x), то, заменяя в формуле (IV) ?у его выражением, имеем: f(x+?x) - f(x) f '(x)* ?x

(V)

В математике производную применяют для:

Исследования функции на монотонность, экстремумы.

Нахождения касательной к графику.

Нахождения наибольших, наименьших значений функций.

Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.

Для доказательства неравенств.

Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.

Задача 1. Найти сумму 1+21/3+3(1/3)²+…+100(1/3)*⁹⁹;

Решение.

Найду сумму g(x)=1+2x+3x²+…+100x⁹⁹ и подставлю в нее x=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x²+…+x¹⁰⁰.

Ясно, что f '(x)=g(x).

f(x) -- сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f(x)=(x--x¹⁰¹)/(1--x). Значит,

g(x) = f '(x) = ((1--101x¹⁰⁰)(1--x)--(x--x¹⁰⁰)(-1))/(1--x)²=(1--102x¹⁰⁰+101x¹⁰¹)(1--x)².

Подставлю x = 1/3.

Ответ: 0,25(9--205*3^-99)

Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*3²+…+100*3⁹⁹;

Решение.

Найду сумму g(x)=1+2x+3x²+…+100x⁹⁹ и подставлю в нее x=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x²+…+x¹⁰⁰.

Ясно, что f '(x)=g(x).

f(x) -- сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f(x)=(x--x¹⁰¹)/(1--x). Значит,

g(x) = f '(x) = ((1--101x¹⁰⁰)(1--x)--(x--x¹⁰⁰)(-1))/(1--x)²=(1--102x¹⁰⁰+101x¹⁰¹)(1--x)².

Подставлю x = 3.

Ответ:  2,078176333426855507665737416578*10⁵⁰.

Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B -- точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9--x²)/6 из точки M(4;3).

Решение.

т. A = у_кас1nOX Решение:

т. B = у_кас2nOX у_кас =y(x₀)+у'(x₀)(x--x₀);

y = (9--x²)/6 y'(x₀) = -2x*1/6 = -x/3;

M(4;3)________ т.к. у_кас проходит через M(4;3), то

S_AMB --? 3 = (9--x₀²) -- (4--x₀)* x₀/3 | *3

18 = 9--x₀²--2x₀(4--x₀);

x₀²--8 x₀--9 = 0;

Д/4 = 16 + 9;

x₀= 4+5 = 9;

x₀= 4--5 = -1

у_кас1= -12 -- (x--9)*9/3 = -3x+15;

у_кас1= 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;

A(5;0); B(-5;0);

AM = v10 (ед.);

AB = 10 (ед.);

BM = 3v10 (ед.);

p -- полупериметр; __

p = (4v10 + 10)/2 = 2v10 + 5;

__ __ __ __ __ __

S = v(2v10 + 5) (2v10 + 5--v10) (2v10 + 5--3v10) (2v10 + 5--10) =

= v(2v10 + 5)(v10 + 5)(5--3v10)(2v10--5) =

= v(40--25)(25--10) = 15 (ед²);

Ответ: 15 (ед²).

Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|--x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1).

Решение:

-x, x<0

y =

0, x>0

A(a;-a); B(b;0);_

AO = |a|v2 = -av2 (т.к. a<0);

BO = b;

Для т. B:

у₁= kx +z;

т.к. у₁--график линейной пропорциональности, проходящий через т M(0;1), то z = 1.

0=kx+1;

k=-1/b;

Для т. A:

у₁=kx+1;

-a=kx+1;

k=(-1-1a)/a;

у_1A= у_1B

(-a--a)/a = -1/b;

b+ab=a;

a(1--b)=b;

a = b/(1-b);

S_?AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB

AOB =180^o--45^o = 135^o

S_?AOB=0,5*(v2/2)* (-a)bv2 = -ab/2;

S_?AOB= -b²/(2(1--b)) = b²/(2(1--b)); D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует ?AOB.);

т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную:

S' = (4b(b--1)--b²)/(4(b--1)²) = (4b²--4b--2b²)/(4(b--1)²) = 2b(b--2)/(4(b--1)²) =

= b(b--2)/(2(b--1)²);

S' = 0;

точки экстремума:

b=0;

b=1;

b=2;

но b>1, значит

S_наим=S(2) = 4/(2(2--1))=2(ед²);

Ответ: 2 ед².

Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD₁ =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A₁B₁C₁D₁ , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО АA₁C₁С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC₁ в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD₁C₁C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. S_сеч = S_AMNP = SK*AP/2 , потому что SK/2-- высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения.

В ДASC ОC₁ - средняя линия (значит SC₁ = 4), в ДPSC также средняя линия МC₁, а плоскость A₁B₁C₁D₁ делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ДCLP подобен ДDAP,

LC/AD = x/(24--x), LC = 6x/(24--x);_____________ ____________

Из ДCLP: KC = (6x*x/(24--x))/(v(36x²/(24--x)²)+x²) = 6x/(v(36+ (24--x)²);

________ ___________________ __________________

Из ДSCK: SK = vSC²+ KC² = v64+36x²/(36+(24--x)²) = 2v16+9x²/(36+(24--x)²) ;

Из ДADP: AP = v36+(24--x)²;_____ _________________ __________________

S_сеч = AP*SK/2 = 0,5*(v36+(24--x)²) 2v16+9x²/(36+(24--x)²) = v16(36+(24--x)²)+9x²;

Если S'(x) = 0, то 18x+16*2(24--x)(-1) = 0;

50x--32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);

S_сеч = 312;

DP = 24--16*24/25 = 216/25;

Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.

Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если AB=BC=AC=TC=2.

Решение. HF=FC=1/2;

S_?BME = BM*EK*1/2;___ _

Из ?TCH => TH = v4--1=v3;

EF = TH/2=v3/2;

Пусть MC = x.

Из ?BMC по теореме косинусов MB²= x²+4--2*2*x*1/2;

MB = vx²--2x+4; _ _

S_?BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2v3 /2 = xv3/2;

S_?BMC = 0,5*BM*PC, _ ________

PC = (2S_?BMC)/BM, PC = xv3/vx²--2x+4 ;

?KMF подобен ?PMC(по двум углам):

KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________

KF = xv3(x--1/2)/(xvx²--2x+4) = v3(x--1/2)/(vx²--2x+4);

________ ______________________

Из ?KEF => KE = v KF²+EF² = v3(x--1/2)²/(x²--2x+4)+3/4; _

S_?_BME = 0,5vx²--2x+4 *v3(x--1/2)²/(x²--2x+4)+3/4 = 0,5v3(x--1/2)²+(x²--2x+4)*3/4;

Если S'(x) = 0, то

6(x--1/2)+(2x--2)*3/4 = 0;

15x--9 = 0;

x = 3/5; __

S(3/5) = v15/5 кв.ед.

Ответ: v15/5 кв.ед.

Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60^o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на апофеме пирамиды, а BK -- высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?

Решение. TP = 2R, ATO = 60^o.

Пусть AB = BC = CA = a(рис.)

Тогда AO = av3/3,

AD = BK = av3/2, _ _

TO = AO*ctg60^o= av3/3*1/v3 = a/3,

OD = av3 /6,

AO²= TO*OP = TO(2R - TO),

a²/3 = a(2R - a/3)/3, a = 3R/2.

S_?MBK = BK*LM*1/2, BK = const,

S_?MBK = f(LM),__

LM = vMN²+NL²

Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _

cos NMD = TO/TD = a/(3va²/9+a²/12 = 2/v7, MN = 2x/v7 .

Из ?ONL: LN = ON cos30^o (ONL = 30^o);

ON = OD - ND, _ _ _ _ _

ND = x sin NMD = x v3/v7, ON = av3/6 - xv3/v7,

LN = (av3/6 - xv3/7)v3/2 = (a/4 - 3x/(2v7)),

LM = v4x²/7+(a/4 - 3x/(2v7))². _ _

Если LM'(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 - 3x/(2v7))(-3/2v7) = 0,

8x/7 - 3a/4v7 + 9x/14 = 0,

25x/14 = 3a/4v7,

x = 21a/50v7. __ __

MN = (21a/50v7)*(2/v7) = 3a/25,

LN = a/4 - (3/2v7)*(21a/50v7) = 4a/25,

LM = va²/625 + 9a²/625 = av10/25. _

S_?MBK = av3/2*a/5*1/2 = av3/20 = 9v3 R²/80.

Ответ: 9v3 R²/80.

Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Решение. SABC - правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,

SO*1,5 = AD,

LMN - правильная четырехугольная призма.

Найти. V_пр = f(LM).

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;

SO₁ = R - радиус сферы; LM = x -высота призмы.

?SKO₁ подобен ?SOD => O₁K/OD = SO₁/SD => OK₁= OD*SO₁/SD.

Из ?AO₁O: R²= AO² + O₁O² = (2AD/3)² + (AD*2/3 - R)²,

R² = 4AD²/9 + 4AD²/9 -AD*R*4/3,

8AD²/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD = R/2;

AO₁= R и SO₁= R; _

SD = vR² + R²/4 = Rv5/2, _

OK₁ = 2*R*R/(2Rv5) = Rv5/5;

O₁K = Rv5/5.

Из ?O₁FN => R²= (O₁K + x)² + NF²,

NF = vR² - R²/5 - 2x(v5)²/5 - x²,

S_осн = 2NF². _

V_пр = S_осн*x = 2(R² - R²/5 - 2xv5 R/5 - x²)*x;

V_пр = 2(4R²x/5 - 2x²v5 R/5 - x³);

V'_пр(x) = 2(4R²/5 - 2xv5 R/5 - 3x²) = 0; _

x_1,2 = (2Rv5/5 ⁺ v4R²/5 + 12R²/5)/(-3) = (2Rv5/5 ⁺ 4R/v5)/(-3);

x = 2v5 R/15 _ _

V_пр_._ma_x = 2(4R²*2v5R/(5*15) - 2v5R*4R²/(45*5) - _ 40v5R³/(225*15)) = 16R³v5(1 - 1/3 - 5/45)/75 = 16v5R³/135.

Ответ: 16v5R³/135 м³ при H = 2v5R/15.

Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса - H и радиус основания - R.

Дано. ASO - конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобы V_пр = max

Решение. BN = x, CM = h, V_пр = S_осн CM = CL²h/2.

?CSD подобен ?ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H - x - h)/H;

CD = R(H - x -h)/H.

?BSE подобен ?ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H - h)/H;

BE = R(H - h)/H.

Находим отношение CD/BE = (H - x - h)/(H - x).

Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,

что CD/BE = h/x, т. е. (H - x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx - x²)/H

Тогда CD = R(H - x - (Hx - x²)/H)/H = R(H² - Hx - Hx +x²)/H² = R(H - x)²/H²,

CL = 2CD = 2R(H - x)²/H².

V = 4R²(H - x)⁴(H - x)x/(2H*H⁴) = 2R²(H - x)⁵x/H⁵;

V'(x) = 2R²((H - x)⁵ - 5(H - x)⁴x)/H⁵ = 0,

(H - x) - 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR²(5H/6)⁵/(6H⁵) = 2R²H*5⁵/6⁶.

Ответ: при H/6, V_max = 2R²H*5⁵/6⁶.

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r² - b/r, где a и b -- положительные постоянные, r -- расстояние между частицами.

Найти:

а) значение r₀ соответствующее равновесному положению частицы;

б) выяснить устойчиво ли это положение;

в) F_max значение силы притяжения;

г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

U = a/r² - b/r; Решение:

a и b -- counts; Для определения r₀соответствующего равновесному

r₀ -- ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

F_max -- ? Используя связь между потенциальной энергией поля

U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r³+b/r²) = 0;

при этом r = r₀; 2a/r³ = b/r² => r₀= 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d²U/dr₀²= dF/dr₀=-6a/r₀⁴+ 2b/r₀³= -6a/(2a/b)⁴+2b/(2a/b)³=(-b⁴/8a³)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения F_max притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r³-- b/r²;

dF/dr = -6a/r⁴+ 2b/ r³ = 0;

при r = r₁= 3a/b;

подставляя, получу F_max = 2a/r³₁ -- b/r³₁ = - b³/27a²;

U(r) = 0; при r = a/b; U(r)_min при r = 2, a/b = r₀;

F = 0; F(r)_max при r = r₁= 3a/b;

Задача 2. Три резистора сопротивлениями R₁, R₂, R₃ соединены параллельно. Сопротивление R₁в 9 раз больше сопротивления R₂. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

R₁ = 9 R₂ Решение:

При параллельном соединении резисторов эквивалентное

R₁, R₂, R₃ сопротивление по формуле:

1/R_экв = 1/R₁+1/R₂+1/R₃;

R_экв_max-- ? выражу R₃через R₂:

R₃= R-- R₁--R₂=R--10R₂;

тогда 1/R_экв = (10R--91R₂)/(9R₂(R--10R₂));

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную от f(1/R_экв) по R₂и преобразуем ее:

(1/R_экв)' = -910(R₂--R/7)(R₂--R/13)/(9R₂² (R-10R₂)²);

В интересующем нас интервале только одна точка R₂= R/13 в которой эта производная меняет знак с “--” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R₂= R/13 достигается минимум функции 1/R_экв и максимум функции R_экв, при этом

R₁= 9R/13; R₂= 1R/13; R₃= 3R/13;

R_экв_max= 9R/169;

Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B₀(1 + бH), где б = const (черт.).

Решение. Пусть n - нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,

Ф = BS = B₀(1 + бH)S, где S = рd²/4 - площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая в кольце,

E = - Ф'(t) = - (B₀(1 + бH)S)' = - B₀SбH'(t).

Производная H'(t) = н_н - это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,

E_i = - B₀Sб( - н_н).

Так как скорость кольца направлена против оси H, то н_н = - н, где н - модуль скорости кольца и E_i = B₀Sбн.

По кольцу протекает индукционный ток

J = E_i/R = B₀Sбн/R.

В результате в кольце за промежуток времени Дt выделяется количество теплоты

Q = J²RДt.

На высоте H₁ кольцо обладает механической энергией

W₁= mgH₁+ mн²/2,

на высоте H₂

W₂ = mgH₂ = mgH₂ + mн²/2

(н = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W₁ = W₂ + Q => mgH₁ = mgH₂ + J²RДt => mg(H₁ - H₂) = (B₀Sбн/R)²RДt =>

mg(H₁ - H₂) = (B₀Sбн)²Дt/R (*)

Разность (H₁ - H₂) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H₁ - H₂ = нДt, и уравнение (*) примет вид:

mgнДt = (B₀Sбн)²Дt/R => mg = (B₀Sб)²н/R =>

н = mgR/(B₀Sб)² = 16mgR/(B₀рd²б)².

Ответ: н = mgR/(B₀Sб)² = 16mgR/(B₀рd²б)².

Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r₀= 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов E_гр= m*E; r_гр= r₀*m;

а при параллельном соединении одинаковых r_бат = r₀m/n; E_бат= m*E,

По закону Ома J = mE/(R+ r₀m/n) = mEn/(nR + r₀m)

Т.к. k - общее число аккумуляторов, то k = mn;

J = kE/(nR + r₀m) = kE/(nR + kr₀/n);

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J'_n-(kE(R--kr₀/n²))/ (nR + kr₀/n)² = 0;

n² = kr/R; .

n = vkr/R = v3,6*0,4/0,9 = 4;

m = k/n = 36/4 = 9;

при этом J_max = kE/(nR + mr₀) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а₁ платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью кг/с.

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:

dP/dt = F

P - импульс системы платформа-песок, F - сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени t:

p = (M+(t+t))(u+u) - (M+t)u =Ft

где u - скорость платформы

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

p = ut + Mu+ut+ ut =Ft

Разделим на t и перейдем к пределу t 0

Mdu/dt+tdu/dt+u=F

или

d[(M+t)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:

(M+t)u = Ft

Следовательно:

u = Ft/(M+t)

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+t)-Ft)/(M+t)² = FM / (M+t)²

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

p = (M-(t+t))(u+u) +tu - (M-t)u = Ft

Слагаемое tu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время t

Тогда:

p = Mu - tu - tu = Ft

Разделим на t и перейдем к пределу t 0

(M-t)du/dt = F

или

a₁=du/dt= F/(M-t)

Ответ: a = FM / (M+t)² , a₁= F/(M-t)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.

М 71 В. В. Ткачук “Математика--абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.

P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” - “Светоч”, 1998.

P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” - “Светоч”, 2000.

Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.

М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.

С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.

В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки - и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.

Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.

Страница:

статья "Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике" скачать

Подобные документы

Производная функции
Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.

презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014
Функции и их производные
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.

контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010
Основные правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.

лекция [191,4 K], добавлен 05.03.2009
Производные функции
Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014
Производная и ее применение для решения прикладных задач
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.

контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010
Производные элементарных функций
Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.

презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013
Определение производной
Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.

презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013
Производные функций
Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.

контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014
Производная функции
Производные от функций, заданных параметрически. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Теоремы Коши, Лагранжа и Ролля о дифференцируемых функциях, их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя.

презентация [334,8 K], добавлен 14.11.2014
Некоторые приложения дифференциального исчисления
Основные признаки возрастания и убывания функции. Максимум и минимум функций. План решения текстовых задач на экстремум. Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена. Применение дифференциалов при оценке погрешностей. Длина плоской кривой.

курсовая работа [1,0 M], добавлен 25.11.2010

Другие документы, подобные "Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, или f(t) = ma.

При прямолинейном движении a =d2s/dt2, поэтому

f(t) = m*d2s/dt2.

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(щt + щ0).

Решение. f(f) = m*d2s/dt2, поэтому находим вторую производную функции:

s = А*sin(щt + щ0), ds/dt = А*cos(щt+щ0)* щ,

d2s/dt2=-- А*sin (щt + щ0)* щ2 = -- s*щ2 = -- щ2s; f(t) = -- mщ2s,

т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению s и направленной в противоположную сторону.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Сравнение бесконечно малых

значения в =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.

Отношение в/б =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.

2°. Определения: 1) в называется бесконечно малой высшего порядка малости, чем б, если предел отношения в/б равен нулю, т. е. если

limв/б =0;

Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.

Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;

Подобные документы

При прямолинейном движении a =d²s/dt², поэтому

f(t) = md*²s/dt².

s = А*sin(щt + щ₀).

Решение. f(f) = m*d²s/dt², поэтому находим вторую производную функции:

s = А**sin*(щt + щ₀), ds/dt = А**cos(щt+щ₀) щ,

d²s/dt²=-- Аsin (щt + щ₀)* щ² = -- sщ² = -- щ²s; f(t) = -- mщ²s,

Задача 1. Найти сумму 1+21/3+3(1/3)²+…+100(1/3)*⁹⁹;