Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

31

Гимназия №1 города Полярные Зори

Алгебра, геометрия, физика.

Научная работа

ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ”.

Руководители:

Полуэктова Наталья Павловна,

преподаватель алгебры, геометрии

Конкин Александр Николаевич,

преподаватель физики, астрономии

Автор:

Бирюков Павел Вячеславович.

Полярные Зори

Январь-май 2004 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Производная функция: ……………………………………………………………….3

Производная функция …………………………………………………………...3

Касательная к кривой ……………………………………………………………5

Геометрический смысл производной …………………………………………..6

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции …..7

Производные от элементарных функций: …………………………………………8

Производная постоянной ………………………………………………………...8

Таблица элементарных производных …………………………………………...8

Правила дифференцирования …………………………………………………...8

Изучение функций с помощью производной: …………………………………….9

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций ……………………9

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин ……….11

Максимум и минимум функции ……………………………………………….12

Признаки существования экстремума …………………………………………12

Правило нахождения экстремума ……………………………………………...14

Нахождение экстремума при помощи второй производной …………………14

Направление вогнутости кривой ………………………………………………16

Точки перегиба ………………………………………………………………….17

Механическое значение второй производной ………………………………...18

Дифференциал: ………………………………………………………………………19

Сравнение бесконечно малых ………………………………………………….19

Дифференциал функции ………………………………………………………..19

Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов ...21

Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям …….22

Примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике ……….23

Список литературы …………………………………………………………………..34

Рецензия на работу ………………………………………………………………….35

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с кото-рой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные слу-чаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на от-резке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ?x -- его приращением. Приращение ?x; ар-гумента обусловливает приращение ?у функции, причем:

?y=f(x+?x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ?у функции к прира-щению ?x аргумента:

?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+?x].

Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

(III)

С физической точки зрения этот предел есть значе-ние скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента. В анализе этот предел называют производной данной функ-ции в точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2°. Пусть каждому значению аргумента х соответст-вует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функ-ции f(x).

Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at² есть линейная функция Q' = b + 2at.

3°. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно поме-щается показатель степени, или 2) перед обозначением

данной функции ставится символ d/dx.

Если данная функция обозначена буквой у, то ее про-изводная может быть обозначена:

1) у', читать: «производная функции у»,

или

2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».

Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:

1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,

или же

2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

4°. Нахождение производной от данной функции на-зывается дифференцированием данной функции.

Общее правило дифференцирования (нахождения про-изводной) следующее:

1) найти приращение ?y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ?x и x;

2) найти отношение ?y/?x, для этого полученное выше равенство разделить на ?x;

3) найти предел отношения ?y/?x при ?x ?0.

Пример. Найти производную функции у = х³ + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ?y = (x + ?x)³ + 1 -- (х³ + 1).

По выполнении действий:

?y = Зx²*?x+Зx*?x ²+?x ³;

2) ?y/?x=3x² + Зx*?x+?x ²;

3) dy/dx = lim(3x²+3x*?x+?x ² = 3x²+3x*0+0 = 3x².

?x?0

5°. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.

Действительно, для линейной функции y = kx+b

?у = k*?x;

?y/?x=k;

6°. Производные часто встречаются в технике и есте-ствознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

х=ds/dt;

2) при вращательном дви-жении твердого тела (напри-мер, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его ц есть функция времени t:

ц=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

щ=dц/dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функ-ция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть про-изводная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

б=dl/dt

Касательная к кривой

1°. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и про-ведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Во-образим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол г между прямыми стремится к нулю. Непо-движная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной пря-мой СМ.

2°, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, се-кущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же пря-мая СТ -- предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или ка-сания.

3°. Следствие. Угол ц (черт.), образуемым ка-сательной СТ с осью Ох, есть предел угла б, обра-зуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Действительно, угол г между касательной СТ и секущей СМ равен разности б -- ц:

б -- ц = г.

По определению касательной, угол г -- бесконечно ма-лая величина, а поэтому

ц -- limб. (I)

4°. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Доказательство. Уг-ловой коэффициент касатель-ной:

tgц = tg(limб),

так как, по предыдущему, ц = limб.

Исключая случай ц = р/2,

в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limб) = lim tgб.

Поэтому tgц = lim tgб.

По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:

tgб=(f(x+Дx) -f (x))/Дx

Переходя к пределу при Дx>0 (точка М при Дx> 0 неограниченно приближается к С, а угол б?ц), имеем:

Следовательно, (IV)

Геометрический смысл производной

1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой точке имеется касательная к графику функции,

2) угловой коэффициент ее равен значению производ-ной f '(x) в точке х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отно-шения Дy/Дx. Но отношение Ду/Дx есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

Дy/Дx=tgx (1)

Значит, согласно условию, существует

Из равенства (1) следует:

б=arctg(Дy/Дx).

Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому

Полагая arctg f '(x)=ц, получаем:

Следовательно, существует предел б. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой

коэффициент tgц = f '(x).

2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. На-клоном кривой y=f(x) в точке (х₁, у₁) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgц = f '(х₁).

2. Если касательная в точке (х₁, y₁) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол ц, то производная f '(x)>0, так как tgц >0 (черт.); б) тупой угол ц, то производная f '(х₁)<0, так как tgц<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то угол ц=0, tgц=0 и f '(х₁) = 0.

Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стрем-ление б к р/2 может дать один и тот же бесконечный пре-дел как «справа», так и «слева»: tgц= + 8 (черт.) пли tgц=- 8(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgц = +8, а «справа» tgц= - 8). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производ-ную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.

Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f(x).

3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее про-изводная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.

4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.

4°. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x₁).

Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

1°. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точ-ке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Дy=(Дy/Дx)*Дx

так как всегда считаем Дx ? 0. При стремлении Дx к нулю отношение Дy/Дx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Дx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Дy/Дx)*Дx есть бес-конечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.

2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y = |х|

(черт.) в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непре-рывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Производная постоянной

Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

Дано: y=c (черт.).

Требуется доказать: с'=0.

Доказательство: Для любого значения x и для всякого приращения Дx приращение функции Дy равно нулю, также равно нулю и отношение Дx/Дy.

Отсюда

Таблица элементарных производных

Функция	Ее производная
xp	px p-1, pR
c (c-const)	0
1/x	-1/x2
____ vx	____ 1/2vx
ex	ex
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2x
ctg x	-1/sin2x
y = up	pu'up-1
ln x	1/x
ax	ax lna, a>0
log a x	1/(x lna), a>0, a0
arcsinx	___________ 1/1-x2
arccosx	____________ -1/1-x2
arctg x	1/(1+x2)
arcctg x	-1/(1+x2)

Правила дифференцирования

Пусть c - постоянная, f(x) и g(x) - дифференцируемые функции, тогда

c = 0;

(c * f(x))' = c * (f(x))';

(f(x) ⁺ g(x))' = f `(x) <sup>+</sup> g `(x);

(f(x) * g(x))' = f `(x) * g(x) + f(x) * g `(x);

(f(x)/g(x))' = (f `(x) * g(x) - f(x) * g `(x))/g²(x);

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a = x = b.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ? х ? b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).

2°. Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Дx и Ду положительны, отношение Дy/Дx положительно и при стремлении Дx к нулю принимает только

положительные значения. Вследствие этого его предел -- производная f '(х) -- положительна или равна нулю

f '(x) = 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Дx положительно, приращение Дy отрицательно, отношение Дy/Дx принимает только отрицательные значения и при стремлении Дx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

f '(x) = 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgц,

и у возрастающей функции f '(x) = tgц = 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgц = 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ? х ? b₁ (a<a₁<b₁<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a₁ ? х = b₁ то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р₁.

3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:

1) производная f '(х) не отрицательна (или не поло-жительна) в промежутке а<х<b,

f '(x) ? 0 (или f '(x) = 0)

и

2) в этом промежутке не существует отрезка a₁ = x = b₁ (а<а₁<b₁<b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.

4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х³ -- х² -- 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх² -- 2х -- 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.

Корни трехчлена:

Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).

Множитель x + 4/3 отрицателен при х < - 4/3 и положителен при х > - 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) -- 8 <x<-4/3, 2) -4/3<x<2, 3)2<x< + 8.

Чтобы определить знак производной в каждом из промежутков, составим таблицу:

№ про-межутка	Характеристика промежутка	Знак x+4/3	Знак x-2	Знак f '(x)	Данная функция
1	- 8 < x< - 4/3	--	--	+	возрастает
2	-4/3 < x < 2	+	--	--	убывает
3	2 < х < + ?	+	+	+	возрастает

Следовательно, данная функция возрастает в промежутках

- 8 <x < -4/3 и 2 <x < + 8 и убывает в промежутке -- 4/3 < х <2.

График данной функции представлен на черт.

5°.Функция у = х³ (черт.) имеет производную у = 3х², которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0. Функция у = х³ возрастает в промежутке -- 8<x<+8; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х³ = 0, а при х < 0 х³ < 0 и при х > 0 х³ > 0.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка x м, а площадь у м², тогда:

y = (60-2x)x = 60x - 2х²

Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0<x<30.

Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:

y' = 60 - 4x.

y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.

Если ширина х =	0	5	10	15	20	25	30
то площадь y =	0	250	400	450	400	250	0

Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 -- 2x = 60 -- 30=30 (м)

2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x², чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:

0<x<+8

Определим промежутки ее возрастания и убы-вания:

y'=2-72/x²=2(x²-36)/x²=2(x-6)(x+6)/x².

Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке

0<x<6 y'<0, а в промежутке 6<x<+8 y'>0.

Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+8. График (черт.) построим по таблице:

Если х =	?0	3	4	5	6	7	8	?8
То у =	?8	30	26	24,4	24	24,3	25	?8

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x-- 2х² (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х³-- -- х² -- 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х³, y = ctgx, y = a^x не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от -- ? до +? первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с₁М₁ и с₃М₂, а в точке с₀ значение, меньшее минимума c₂m₁, и c₄m₂, минимум c₄m₂ больше максимума с₁М₁. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.

Признаки существования экстремума

1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2д точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с -- Дx:, а правой в виде с+ Дx, где 0< Дx < д. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с -- Дx), а в правой f(c + Дx). Значения f(x) в окрестности 2д точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Дx, причем значение х = с ^-/₊ Дx неограниченно приближается к числу с, если Дx стремится к нулю.

По определению максимума функции:

f(c- Дx)<f(c) и f(c + Дx)<f(c).

Отсюда:

f(c-Дx)-f(c)<0 и f(c + Дx)-f(с)<0.

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на -- Дx и + Дx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

(f(c --Дx)--f(с))/(-Дx))>0 (1); (f(с + Дx)--f(с)/(+Дx))<0 (2) Оба отношения (1) и (2) имеют один и тот же предел при Дx > 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную произвольную:

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показы-вает, что f '(с) не может быть положительной. Следовательно,

f`(c) = 0,

что и требовалось доказать.

2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2д точки x = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с по-ложительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий пре-дел для f(c -- Дx) и f(c+Дx) при Дx > 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 < Дx< д):

Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с -- возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности -- убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f(c --Дx) и f(c+Дx)

возрастают при стремлении Дx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x₁>x₂ f(x₁)<f(x₂)).

Другими словами, как f(c -- Дx), так и f(c+Дx) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения Дx ? 0:

f(c - Дx) < f(c) и f(c + Дx) < f(c).

Но в таком случае f(c) есть максимум функции f(x) в точке х = с.

3°. Так же можно доказать, что если в окрестности 2д точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f '(x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).

4°. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х³ имеет в точке x =0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х³ при всех значениях х, в том числе и при x = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

5°. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарными точками.

Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная состав-ляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).

Правило нахождения экстремума

1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

Нахождение экстремума при помощи второй производной

1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.

Доказательство от противного. Пусть для определенности f '(c)>0, т. е.

Предположим, что при стремлении ?x к нулю приращения ?y и ?x имеют разные знаки. Тогда отношение ?y/?x отрицательно и его предел

f '(c) = 0,

что противоречит условию.

Так же доказывается и вторая часть леммы.

2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f '(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум;

если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х = с функция f(x) имеет максимум.

Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.

Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2д точки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

f '(c -- ?x)--f(c)<0, (0 < ?x < д).

Отсюда:

f '(c-?x)<f '(c) = 0. (1).

Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.

f '(c +?x)-f '(c)>0.

Отсюда:

f '(c + ?x)>f '(c) = 0. (2)

Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.

Так же доказывается теорема и в случае f "(с)<0.

3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:

Если знак числа f "(с),	то при х = с f(x) имеет
плюс минус	минимум максимум

Если f '(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.

4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию: у = 5 -- х² -- х³ -- x⁴/4.

Решение. 1. Находим первую производную:

y ' = - 2х - Зx² -- x³

2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:

-- 2x -- Зx² -- x³ = 0, или x(x²+3х+2) = 0,

отсюда x = 0 или x²+ 3х + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение x² + 3х + 2 = 0, получаем:

x = (-3 ⁺ 1)/2.

Стационарных точек три: x₁ = -- 2, x₂ = -- 1 и х₃ = 0.

3. Находим вторую производную:

у" = -- 2 - бx -- Зx².

4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем во второй и потом в третьей стационарной

точке:

при х = -- 2 у'' = -- 2 -- 6(-- 2) -- 3(-- 2)² = -- 2, при х = -- 1 у" = -- 2 -- 6(-- 1) -- 3(-- l)² = + 1, при x = 0 у" = -- 2.

Следовательно, данная функция имеет минимум при х = --1 и максимум при х = -- 2 и при х =0,

Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х⁴.

Решение: 1) y' = 4x³;

2) 4х³ = 0; х = 0;

3) y" = 12x²;

4) при х = 0 y" = 0.

Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем первым способом: при х < 0 у' = 4x³ < 0, а при х > 0 у' = 4x³ > 0. Следовательно, функция у = х⁴ имеет минимум в точке x = 0.

5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к цели.

Направление вогнутости кривой

Пусть две точки M₁ и M₂ имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом ордината точки M₁ более (менее) ординаты точки M₂, то говорят, что точка M₁ лежит выше (ниже) точки M₂. Говорят также, что в промежутке а<х<b линия y = f(x) лежит выше (ниже) линии у=ц(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше (ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если

f(x)> ц(x) [или f(x)< ц(x)].

Определение. В промежутке а < х < b кривая-- график дифференцируемой функции y=f(x) -- называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а < х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.

2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f '(х) -- возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х < b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)

произвольно ряд точек и проведем через каждую из них

прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к неко-торой кривой линии [tgц = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.

3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).

Действительно, если в промежутке а<х<b вторая производная f "(x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то первая производная f '(х)--возрастающая функция, а кривая y = f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.

Если f "(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в этом промежутке f '(x) -- постоянная функция, a f(x) -- линейная функция, график ее -- прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.

Точки перегиба

1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая --график дифференцируемой функции y = f(x) -- имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.

2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f "(x) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.

f(c) = 0.

3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить проме-жутки вогнутости вверх и вниз кривых:

1) у = lп х.

Р е ш е н и е. Находим вторую производную:

y '=1/x; y ''= -1/x².

При всяком значении x = (0 < х <+8) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.

2) у = sin x.

Решение. Находим вторую производную:

y' =cos x, y'' = -sin x.

Полагая - sin x = 0, находим, что x = kр, где k - целое число.

Если 0 < x< р, то sin x положителен и y '' отрицательна, если же р < x< 2р, то sin x отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, р, 2р,...

В первом промежутке 0 < x< р она обращена вогнутостью вниз, во втором - вогнутостью вверх и т. д.

Механическое значение второй производной

Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s = f(t), где t время. Скорость v в момент времени t есть производная от пути по времени, т. е.

v=ds/dt.

Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d²s/dt²).

Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:

s = (t³ -- 2) м.

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение а = d²s/dt².

Дифференцируя функцию s=t³ -- 2, находим d²s/dt² =6t

Следовательно,

a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек².