Функции и их производные
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.09.2010 |
| Размер файла | 75,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
б)
Применяем правило нахождения производной произведения функций
в)
№ 2
Дана функция
Найти:
а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)
По определению:
б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}
По определению:
Величины найдены в п.а)
Найдем cosб, cosв, cosг.
По формуле получаем:
№ 3.
Дана функция .
Найти y”. Вычислить y”(-1).
№ 4.
Доказать, что функция удовлетворяет уравнению
подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.
№5
Найти если
Вычислить если .
Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически
№ 6.
Функции задана неявно уравнением
Вычислить:
а)
Вычисления проводим по формуле
б)
№ 7.
На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.
Из геометрического смысла производной имеем
№ 8.
Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если
Для имеем
№ 9.
Дана функция и точки и
Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно
Дифференциал функции dz равен
№ 10.
Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем
Приравниваем числитель к нулю при условии
Решение отбрасываем.
совпадает с граничным значением.
Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.
Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.
№ 11
Дана функция .
Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .
Найдем стационарные точки из системы уравнений
Решаем систему уравнений
Сделаем чертеж
На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.
На участке у=-1 получаем
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда .
Находим
На участке границы у=1-х получаем функцию
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].
На границах отрезка
Сравниваем все найденные значения функции
видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции и начертить ее график.
1. Найдем область определения функции .
Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет.
3. Определим «поведение функции в бесконечности»
4. Точка разрыва х=-2
5. найдем пересечение кривой с осями координат
т.А (0;2)
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума
в точке производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.
При первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.
7. Найдем точки перегиба
, точек перегиба нет. При вогнутость вверх, при , вогнутость вниз.
8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где
Получили асимптоту у=х.
Найдем пересечение кривой с асимптотой
Точек пересечения нет.
Строим график
Подобные документы
Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.
статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Производные от функций, заданных параметрически. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Теоремы Коши, Лагранжа и Ролля о дифференцируемых функциях, их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя.
презентация [334,8 K], добавлен 14.11.2014Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Изучение способов нахождения пределов функций и их производных. Правило дифференцирования сложных функций. Исследование поведения функции на концах заданных промежутков. Вычисление площади фигуры при помощи интегралов. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [75,6 K], добавлен 23.10.2010Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.
презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Теоремы дифференциального исчисления, как основа для правила Лопиталя и формулы Тейлора. Правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Вывод формулы Тейлора и ее применение для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.
курсовая работа [261,6 K], добавлен 05.09.2009
