Морфізми алгебраїчних структур

- порядок 1,

- порядок 15,

- порядок 15,

- порядок 5,

- порядок 15,

- порядок 3,

- порядок 5,

- порядок 15,

- порядок 15,

- порядок 5,

- порядок 3,

- порядок 15,

- порядок 5,

- порядок 15,

- порядок 15.

Одержали два елементи, у яких порядок дорівнює три: . Знайдемо підгрупи, породжені ними.

,

, тобто . І ,

тому всі елементи з будуть прообразами лише цих трьох елементів. А прообрази елемента - це ядро . Для твірного елемента а у цій групі можливі два гомоморфні відображення: або . Будемо мати:

а),

,

,

^,

,

,

,

.

б) ,

,

,

,

,

,

,

.

Для обох цих відображень ядро однакове. Цим ми вичерпали всі можливі гомоморфізми.

Відповідь. Існує три гомоморфізми циклічної групи 12-го порядку у циклічну групу 15-го порядку, і вони такі:

1) тривіальний, тобто для довільного елемента і тут ;

2) з ядром задається так:

,

,

.

3) з ядром задається так:

,

,

.

Приклад 2. Знайти всі гомоморфізми циклічної групи 6-го порядку в себе.

Розв'язання.

Нехай для означеності G - мультиплікативна група

- підгрупа групи G. Знайдемо порядок цієї підгрупи , де і - дільник числа .

Скористаємось основною теоремою про гомоморфізм груп.

1) Нехай . Тоді обов'язково і . Отже, це - тривіальний гомоморфізм.

2) Розглянемо випадок, коли . Знайдемо порядок ядра, використовуючи рівності і, з яких випливає , отже, .

Але - нормальна підгрупа групи , а - циклічна, тому теж циклічна. І якщо вона містить 3 елементи, то це означає, що вона породжується певним елементом з групи , у якого порядок 3. Отже, знайдемо всі елементи у групі , які мають порядок 3.

е - порядок 1,

- порядок 6,

-порядок 3,

-порядок 2,

-порядок 3,

-порядок 6.

Отже, нам потрібні елементи , які мають порядок три. Знайдемо породжені ними циклічні підгрупи.

,

, тобто .

Отже, існує єдина підгрупа 3-го порядку . Це означає, що .

Знайдемо, чому дорівнює в цілому. Ми розглядаємо випадок, коли . - це підгрупа групи , і вона теж циклічна, бо - циклічна. Тому потрібно знайти елементи групи , порядок яких дорівнює 2. Порядок елемента дорівнює 2.

.

Тому всі елементи із групи будуть мати своїми образами лише два ці елементи. Значить, матимемо:

3)

G - циклічна, то з цього випливає, що будь-яка її підгрупа теж циклічна.

Знайдемо елементи порядок яких дорівнює 2. Вище ми показали, що лише елемент має порядок 2.

.

.

- циклічна підгрупа групи , причому порядок дорівнює 3. Вище ми показали, що твірними елементами цієї підгрупи можуть бути лише елементи та , оскільки лише ці елементи мають порядок 3, а порядок циклічної підгрупи дорівнює порядку твірного її елемента.

Знайдемо породжені ними циклічні підгрупи

Отже, .

Тому всі елементи будуть мати своїми образами лише ці три елементи.

Для твірного елемента можливі два гомоморфізми: ; або .

а) ,

,

,

,

, ,

б) ,

,

,

.

4) , тобто .

. Тоді , отже,

- множина, яка складається лише з нейтрального елемента;

,

Образ твірного елемента а групи G є твірним елементом у підгрупі .

Тут , тобто . Тут , тобто . У групі твірних є лише два елементи: це а та . Отже, для твірного елемента а можливі два випадки: або .

а) ;

;

;

;

.

б) ,

,

,

,

.

Отже, ми вичерпали всі можливі гомоморфізми.

Відповідь. Існує всього шість різних гомоморфізмів групи G в себе.

1) , для будь-якого , тривіальний гомоморфізм з ядром

2) з ядром задається так:

,

3) з ядром задається так:

,

,

,

4) з ядром задається так:

,

,

.

5) з ядром задається так:

,

,

,

,

,

;

6) з ядром задається так:

,

,

,

,

,

.

Останні два гомоморфізми з ядром є ізоморфізмами.

1.5 Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм груп

Вправа 1. Нехай Z - адитивна група цілих чисел і - комплексне число , де t - дійсне ірраціональне число, 0<t<1; нехай G - мультиплікативна група, що складається з цілих степенів числа :

Довести, що групи Z і G ізоморфні.

Розв'язання. Задамо відображення групи Z на групу G таким правилом .

Відображення ін'єктивне, тобто переводить різні елементи однієї множини в різні елементи іншої множини. Дійсно, якби для деяких мала б місце рівність , то , то мали б , де було б числом раціональним. Але t - ірраціональне число, тому Отже, - ін'єктивне і кожен довільний елемент з множини Z має свій прообраз в множині G. Покажемо, що воно зберігає операцію. Для довільних

. Отже, випливає, що

. Тому - ізоморфізм.

Вправа 2. Нехай - симетрична група п-го степеня і G - група за множенням, що складається з чисел 1 і -1.

Розглянемо відображення групи на групу G, що задається таким способом: для кожної підстановки

Чи є гомоморфізмом?

Розв'язання. Очевидно, що - відображення всієї групи на групу G. Доведемо, що виконується умова .

З точністю до позначень можливі три випадки: 1) і - парні; 2) і - непарні; 3) - парне і - непарне. Розглянемо кожен з них.

1) Якщо і - парні, то Оскільки - парні, то . Отже, ;

2) Якщо і - непарні, то , . Оскільки - парна, то . Тоді ;

3) Якщо - парне і - непарне, то і . Тоді . Оскільки - парне, то і тому . Якщо - непарне, а - парне, то доведення аналогічне.

Отже, - гомоморфне відображення групи на групу G.

Вправа 3. Нехай - повна лінійна група степеня п над полем дійсних чисел R, а - мультиплікативна група відмінних від нуля дійсних чисел. Розглянемо відображення групи в групу , яке кожній матриці А ставить у відповідність її визначник det. Визначити, чи є відображення гомоморфним та ізоморфним.

Розв'язання. Для будь-якого числа існує така матриця, що det=. Отже - відображення групи на групу . Оскільки ,то маємо, що , тобто - гомоморфізм групи на групу (епіморфізм). Але він не є ізоморфізмом, бо існують не рівні матриці, а їх детермінанти (образи) рівні.

Наприклад,

, , , . , але .

Вправа 4. Нехай Z - адитивна група цілих чисел і - довільне натуральне число з дільником .

Множина всіх цілих чисел, кратних числу п, є підгрупою групи Z . Позначимо цю підгрупу символом . Підгрупу всіх цілих чисел, кратних d, позначимо символом , а підгрупу чисел, кратних т,- символом . Оскільки група Z абелева, то всі її підгрупи також абелеві і є нормальними в Z . Очевидно, що , бо якщо число ділиться на п, а , то це число ділиться на d. Розглянемо відображення , групи Z на фактор-групу . Не важко довести, що це відображення є епіморфізмом:

.

Ядром цього епіморфізму є підгрупа .

За основною теоремою про гомоморфізм груп,

Вправа 5. Доведемо, що відображення мультиплікативної групи К коренів 12-го степеня з одиниці на мультиплікативну групу L коренів 3-го степеня є гомоморфізмом.

Розв'язання. Нехай , де і , де . Задамо відображення групи К на групу L так: , де r - остача від ділення l на 3, . Тоді елементи перейдуть в елементи а Зрозуміло, що - однозначне відображення К на L. Покажемо, що тоді для всіх s i t таких, що . Справді,

,

Де і - остачі від ділення відповідно чисел s i t на 3. Проте , тобто в обох випадках . Отже, - гомоморфне відображення групи К на групу L .

Розділ 2. Гомоморфізм та ізоморфізм кілець і полів

2.1 Поняття кільця, поля їх властивості

Другою досить важливою алгебраїчною структурою, поряд з групою, є кільце.

Нехай на непорожній множині К визначені дві бінарні алгебраїчні операції - додавання і множення.

Означення. Непоржня множина К, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1. множина К є абельовою групою відносно додавання;

2. операція множення асоціативна, тобто ;

3. операція множення дистрибутивна відносно операції додавання, тобто .

Умови 1 - 3 називають аксіомами, що визначають кільце, або, для скорочення, аксіомами кільця. Якщо операція множення на кільці К комутативна, то кільце називають комутативним. Кільце називається скінченним, якщо множина його елементів скінченна, воно називається нескінченним, якщо множина його елементів нескінченна.

Прикладами комутативних кілець є множина цілих чисел Z, множина цілих чисел кратних деякому відмінному від одиниці натуральному числу т (зокрема множина парних чисел), множина раціональних чисел Q, множина дійсних чисел R, множина комплексних чисел С, множина всіх чисел вигляду , де а і - будь-які раціональні числа. Не комутативним кільцем є кільце квадратних матриць п-го порядку над полем раціональних чисел Q, кільце матриць п-го порядку над полем дійсних чисел R.

Множина натуральних чисел, множина цілих непарних чисел, а також множина додатних раціональних чисел не є кільцем, оскільки вони не є адитивними групами, в кожній з них нездійснена операція віднімання. У всіх наведених прикладах елементами кільця є числа. Кільце, елементами якого є числа, називають числовим кільцем.

Наведемо ще один приклад кільця, причому скінченного, елементами якого є не числа, а об'єкти іншої природи.

Нехай т - довільне відмінне від одиниці натуральне число.

Означення. Числа а і в називаються конгруентними за модулем т, якщо остачі при діленні їх на число т рівні між собою, тобто а=тg+r, в=mg+r i 0r<m. Якщо числа а та в конгруентні за модулем т, то записують

(тоd т) (1)

Відношення конгруентності ділить кільце К на класи чисел, конгруентних між собою за даним модулем - класи лишків. Лишком класу за модулем т називають будь-яке число цього класу. Кільце цілих чисел Z за модулем т розпадається на т класів лишків, кожний з яких породжується будь-яким числом цього класу. До класу лишків, який містить число а, належать усі цілі числа х виду , де - будь-яке ціле число. Цей клас ми позначимо символом . Очевидно, що його можна позначити і символом , бо число . Іншими словами, справедлива така рівність , при будь-якому цілому значенні t.

Легко бачити, що відношення конгруентності є відношення еквівалентності. Різні класи лишків за модулем т не мають спільних елементів. Тим самим можна стверджувати, що два класи лишків збігаються, якщо вони мають хоч один спільний елемент. Оскільки при діленні на т існує т різних остач, то існує т класів лишків:

(2)

На множині всіх класів лишків введемо дві операції: додавання та множення класів лишків за таким правилом

(3)

Введені нами операції задають результати цих дій однозначно, бо якщо , то

(4)

Тобто, якщо в лівій стороні рівності (3) класи лишків та позначити по-іншому, то в правій стороні вийде все одно той самий клас:

, і .

Розглянемо деякі властивості кілець, що випливають безпосередньо з означення кільця.

Всяке кільце К є абелевою групою відносно додавання. Її називають адитивною групою кільця К. Tому всі означення, введені нами для абелевих груп за додаванням, і всі твердження, доведені для цих груп, поширюються й на кільце.

1. У кожному кільці К сума п елементів кільця не залежить від способу розставлення дужок, тобто всі суми, які дістаємо при різних розставляннях дужок, рівні між собою. У кожному кільці К сума будь-яких його елементів не залежить від порядку доданків.

2. У кожному кільці К рівні доданки в обох частинах рівності можна відкидати: якщо а+в=а+в, то в=в.

3. У кожному кільці К існує єдиний нульовий елемент и відносно операції додавання, який називають нулем кільця.

4. У кожному кільці К для будь-якого його елемента а існує протилежний елемент - а.

5. У кожному кільці К для будь-яких його елементів а, а,….а виконується рівність

6. У кожному кільці К для будь-якого його елемента а і довільного натурального числа п виконується рівність п(-а)=-(па).

7. У кожному кільці К міститься кратні на (п - довільне ціле число) будь-якого елемента а. Для будь-яких елементів а і в кільце К і довільних цілих чисел т і п справджуються рівності (т+п)а=та+па, (а+в)=па+пв, т(па)=(тп)а.

8. У кожному кільці К добуток будь-яких п його елементів не залежить від способу розставляння дужок, тобто всі добутки, які дістаємо при різних розставляннях дужок, рівні між собою.

9. Кожне кільце К містить цілі додатні степені а будь-якого його елемента а, причому при довільних цілих додатних т і п виконуються такі рівності .

Єдиною умовою в означенні кільця, що пов'язує операції додавання і множення, є дистрибутивність множення відносно додавання. З дистрибутивності множення відносно додавання безпосередньо випливає справедливість таких тверджень.

Теорема 1. У кожному кільці К дистрибутивні закони справедливі для довільного скінченного числа доданків, тобто

для будь-якого натурального числа п.

Теорема 2. У кожному кільці К справедливе звичайне правило множення суми на суму (але без зміни порядку множників), тобто

Теорема 3. У кожному кільці К операція множення дистрибутивна відносно операції віднімання, тобто

.

Теорема 4. У кожному кільці К добуток будь-якого елемента а на і на елемент а дорівнює , тобто .

Доведення. Справді, . Отже, . Тому

.

Теорему доведено.

Теорема 5. У кожному кільці К для будь-яких його елементів а і в справедливі рівності

, тобто справедливі звичайні «правила знаків».

Доведення.

Справді, . Таким чином, є елемент, протилежний елементу і, отже, . Аналогічно можна довести, що . Звідси, в свою чергу, випливає, що , оскільки протилежними для є елемент .

З означення кільця не випливає наявність чи відсутність у даному кільці К нейтрального елемента відносно множення, тобто одиниці е. Але якщо в кільці К одиничний елемент існує, то тільки один. Його називають одиницею цього кільця. У нульовому кільці, тобто в кільці, що складається тільки з одного нуля, елемент є одночасно й одиницею, оскільки .

Означення. Ненульове кільце К, в якому є одиничний елемент е, називають кільцем з одиницею.

Якщо для елемента в кільці К існує обернений , то , і, отже, а є дільником одиниці е.

Означення. Елемент а, для якого в кільці К існує обернений елемент , називають оборотним, або дільником одиниці.

Для чисел правильне таке твердження: якщо добуток двох чисел дорівнює нулю, то, принаймні, один з множників дорівнює нулю. Проте це твердження не буде правильним для будь-якого кільця. У деяких кільцях є такі пари відмінних від нуля елементів а і в, добуток яких дорівнює нулю, тобто а .

Нехай К- довільне кільце. Для будь-якого елемента справджується рівність . Отже, в звичайному розумінні кожен елемент а є дільником нуля. У теорії кілець приймають таке означення дільників нуля.

Означення. Елементи а і в кільця К називають дільниками нуля, якщо а (а - називають лівим, в - правим дільником нуля.)

У комутативних кільцях поняття лівого і правого дільників нуля збігаються.

Означення. Комутативне кільце К з одиницею, в якому немає дільників нуля, називається областю цілісності.

Кожне числове кільце з одиницею є областю цілісності.

Теорема 6. Комутативне кільце К з одиницею тоді і тільки тоді є областю цілісності, коли в ньому справджується закон скорочення: якщо і , то .

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що К - область цілісності. Нехай а, в, с - довільні елементи кільця К, і . Тоді з рівності випливає рівність , тобто рівність . Звідси, оскільки і в кільці К немає дільників нуля, , тобто .

Достатність. Нехай у кільці К стверджується закон скорочення. Тоді з і випливає, що . Після скорочення на а одержимо, . Отже, в кільці К дільників нуля немає і К є областю цілісності. Теорема доведена.

Означення. Підмножина кільця К називається підкільцем К, якщо є кільцем відносно операції додавання і множення, визначених на кільці К.

У кожному кільці К є такі підкільця: саме кільце К і нульове підкільце, яке складається з лише з елемента . Ці підкільця називаються тривіальними.. всі інші підкільця називаються істинними або власними.

Для того щоб з'ясувати, чи є дана непорожня підмножина кільця К його підкільцем, зручно користуватися такою теоремою.

Теорема 7. Для того щоб непорожня підмножина кільця К була його підкільцем, необхідно і достатньо, щоб різниця й добуток будь-яких двох елементів підмножини належали до .

Ніяке кільце, відмінне від нульового, не може бути групою за множенням, оскільки в ньому немає елемента, оберненого до його нуля . Проте може бути так, що всі відмінні від нуля елементи кільця утворюють групу за множенням. Комутативні кільця, що мають таку властивість, називаються полями. Вони відіграють важливу роль у математиці.

Означення. Комутативне кільце Р називається полем, якщо виконує такі умови:

1) у кільці Р міститься, принаймні, два елементи;

2) у кільці Р є одиниця;

3) для кожного елемента , відмінного від нуля, в кільці є обернений елемент.

Інакше, поле Р - це комутативне кільце з одиницею, в якому кожен елемент є дільником одиниці. Вимоги, що входять в означення поля, називається аксіомами поля. Поле називається скінченним, якщо множина його елементів скінченна, і нескінченним, якщо множина його елементів нескінченна.

Оскільки кожне поле є комутативним кільцем, то всі розглянуті нами властивості кілець і твердження, що стосуються кілець, правильні також і для будь-якого поля Р. Розглянемо деякі властивості полів, що випливають з наявності у полі обернених елементів.

Теорема 8. Жодне поле Р не має дільників нуля.

Доведення. Нехай а і в - деякі елементи поля Р і . Припустимо, що . Помножимо зліва обидві частини рівності на . Дістанемо , тобто . Звідси . Отже, в полі Р немає відмінних від нуля елементів а і в, добуток яких дорівнює нулю. Теорема доведена.

З доведеної теореми та означення області цілісності й поля випливає, що кожне поле Р є областю цілісності. Зокрема, у кожному полі Р можна виконувати скорочення на множник, відмінний від нуля : якщо і , то .

У кожному полі Р зберігаються звичайні правила операцій над степенями з цілими показниками, тобто при будь-яких цілих показниках m i n і будь-якого елемента а поля Р справедливі такі рівності:

1) У полі всі елементи крім оборотні.

Доведення. Наприклад, розглянемо рівняння . Візьмемо b=e, тобто ax=e. Розв'язок цього рівняння існує, але саме цей розв'язок і буде оберненим до а, бо , з означення оберненого елемента. Отже, існує, а це означає що а обернений елемент.

2)У всякому полі Р рівняння , де і , має єдиний розв'язок.

Доведення. З означення поля маємо, що цей розв'язок існує. Із того, що в полі всі елементи крім обернені, будемо бачити, що цей розв'язок має вигляд . Але єдиний обернений елемент для а і композиція елементів і теж єдина, тому х - єдиний.

Теорема 9. У будь-якому полі зберігаються звичайні правила операцій над частками (відношеннями, дробами), а саме:

1. якщо і , то тоді і тільки тоді, коли ;

2. де і ;

3. де і ;

4. де і ;

5. де .

Нехай Р деяке поле. Припустимо, що будь-яке ціле додатне кратне одиниці е поля Р відмінне від нуля. Тоді всяке ціле від'ємне кратне е також відмінне від нуля, бо якщо елемент поля дорівнює нулю, то й протилежний йому елемент пе також дорівнює нулю. Отже, тільки нульове кратне одиниці е дорівнює нулю, тобто тільки при п=0 справджується рівність . В цьому разі вважають, що поле Р має характеристику нуль, або Р є полем характеристики нуль.

Означення. Характеристикою поля Р називається число нуль, якщо лише при п=0 ; характеристикою поля Р називають натуральне число р, якщо , і немає такого натурального числа k, меншого ніж P, що .

Наведемо декілька тверджень стосовно характеристики поля Р.

Теорема 10. Якщо поле Р має характеристику n, то число р- просте.

Теорема 11. Якщо Р є поле характеристики 0, а - будь-який відмінний від нуля елемент цього поля і п - довільне відмінне від нуля ціле число, то .

Теорема 12. Якщо Р - поле характеристики р, то для будь-якого елемента а цього поля справджується рівність .

Теорема 13. Якщо Р - поле характеристики р, то для будь-яких елементів а, в цього поля справджується рівність .

Аналогічно означенню підкільця означають і поняття підполя.

Означення. Підмножину поля Р називають підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно бінарних алгебраїчних операцій, визначених у полі Р. Поле Р називають розширенням поля .

Теорема 14. Підмножина поля Р, яка містить, принаймні, один відмінний від нуля елемент, тоді і тільки тоді є підполем поля Р, коли виконуються умови:

1. якщо , то ;

2. якщо і , то .

Доведення. Необхідність умов очевидна. Доведемо їхню достатність. Нехай - деяка підмножина поля Р, що задовольняє умови теореми. За теоремою 1.п 1.1, є підгрупою адитивної групи поля Р . Операція множення на дистрибутивна відносно операції додавання на , оскільки операція множення на полі Р дистрибутивна відносно операції додавання на цьому полі. Отже, є підполем поля Р. Теорема доведена.

З цієї теореми випливає, що нуль і одиниця поля Р міститься в будь-якому підполі поля Р і, отже, є нулем і одиницею у підполі .

Для підполів будь-якого поля Р правильне таке твердження, яке випливає з теореми 14.

Теорема 15. Перетин будь-якої множини підполів поля Р також є підполем поля Р.

Кожне поле Р є підполем самого себе. Це підполе називають тривіальним. Всяке підполе F поля Р, відмінне від самого поля Р, називають істинним, або власним, підполем.

Приклад 1. - кільця, причому комутативні із одиницею.

Приклад 2. Множина - кільце, причому комутативне, але без одиниці, бо одиниця відносно звичайного множення - це число 1 і воно не належить К.

Приклад 3. Z не є полем, бо рівняння 2х=3 у ньому розв'язку немає.

Приклад 4. - не поле, бо у ньому не кожне рівняння має розв'язок, наприклад: (перевірка зведеться до розв'язання конгруенції , яка не має розв'язку).

У теорії кілець особливу роль, аналогічну ролі нормальних підгруп у теорії груп, відіграють підкільця, що дістали назву ідеалів.

Означення. Непорожня підмножина кільця К називається ідеалом цього кільця, якщо є підгрупою адитивної групи кільця К і якщо для будь-яких елементів і добутки ха і ах містяться в К.

З цього означення випливає, що кожен ідеал кільця К є підкільцем цього кільця. Оскільки ідеал кільця К - це деяка підмножина цього кільця, то можна говорити про відношення включення на множині ідеалів даного кільця.

В теорії кілець особливої уваги заслуговують кільця, які за своїми властивостями досить близькі до кільця цілих чисел. Зокрема, для цих кілець можна розвинути теорію подільності. Викладемо деякі загальні відомості, що стосуються подільності в області цілісності з одиницею.

Нехай R - область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності - комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:

Означення. Якщо для елементів а і в області цілісності R в R існує такий елемент с, що а=вс, то говорять, що а ділиться на в або в ділить а і пишуть відповідно; або .

Як бачимо, це означення є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.

З означення випливають такі властивості подільності в області цілісності:

1. для

2. для

3. для

4.для.

Ці властивості є поширенням на область цілісності відповідних властивостей подільності в кільці цілих чисел.

5. кожен елемент ділиться на будь-який дільник одиниці е. Справді, і, отже, (або ).

6. якщо ділиться на , то а ділиться і на , - будь-який дільник одиниці.

Справді, з рівності випливає рівність і, отже, .

7. кожен з дільників одного з елементів і , де - будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Справді, з рівності випливає рівність , а з рівності - рівність . Отже, якщо , то , і навпаки.

Означення. Елементи а і в області цілісності називаються асоціативними, якщо , де - деякий дільник одиниці.

В кільці цілих чисел, наприклад, асоціативними є кожні два числа т і -т, бо дільники одиниці - це числа 1 та -1.

Ідеали є в найпростішому з кілець - кільці цілих чисел. Кожне ціле число n породжує головний ідеал (n)=Zn. Такими ідеалами вичерпується множина всіх ідеалів кільця Z, оскільки справедлива така теорема.

Теорема 16. Кожен ідеал кільця цілих чисел є головним ідеалом.

Якщо а і в - асоціативні елементи, тобто і , то і і, отже, .Таким чином, два асоціативні елементи а і в породжують той самий головний ідеал.

Означення. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності, в якій кожний ідеал є головним.

Найпростішими прикладами кілець головних ідеалів є кільце цілих чисел Z і кільце многочленів .

2.2 Означення і властивості гомоморфного та ізоморфного відображення кілець, полів

Подібно до означення гомоморфізму груп визначають й гомоморфізм кілець.

Нехай і - два кільця.

З викладеного у § 3, розділу І, знаємо, що між фактор-групами групи та її гоморфізмами існує тісний зв'язок. Виявляється, що аналогічний зв'язок є й між фактор-кільцями даного кільця та його гоморфізмами. Нехай К і Кґ - деякі кільця.

Означення. Відображення кільця К в кільце Кґ називається гомоморфним відображенням К в Кґ, або гомоморфізмом К в Кґ , якщо виконуються такі умови:

1) ;

2) , для будь-яких елементів а і в із кільця К.

Якщо гомоморфне відображення є відображенням кільця К на кільце Кґ , то його називають гомоморфізмом кільця К на кільце Кґ , або епіморфізмом . У цьому разі говорять, що кільце Кґ є гомоморфним образом кільця К, і записують . Щоб зазначити, що є гоморфізмом кільця К на кільце Кґ, записують .

Для гомоморфізмів кілець справедливі такі твердження.

Теорема 1. При всякому гомоморфному відображенні кільця К в кільце :

1. , де та - нулі цих кілець К і відповідно;

2. ;

3. - півкільце кільця ;

4. якщо в кільці К є одиничний елемент е, то є одиничним елементом кільця , і якщо для елемента а маємо, що його образом є , то є оберненим для елемента кільця .

Доведення. Справедливість тверджень 1 і 2 випливає з теореми 1.1.2, пункту 3, застосованої до адитивної групи кільця К, є підгрупою адитивної групи кільця К.

Покажемо, що добуток будь-яких двох елементів і множини міститься в цій множині. Якщо і , то , , де а і в деякі елементи з кільця К. Тому . Отже, за теоремою 7.2.1, - підкільце кільця . Справедливість твердження 4 доводиться аналогічно міркуванням, наведених при доведенні тверджень 1 і 2 теореми 1.1.2. Теорему доведено.

Доведемо кілька теорем, що характеризують властивості гомоморфних відображень кілець.

Нехай є гомоморфізмом кільця К у кільце Кґ. Множину І всіх елементів кільця К, які гоморфізмом відображаються у нульовий елемент кільця Кґ, називають ядром гоморфізму і записують .

Теорема 2. Ядро будь якого гомоморфізму кільця К у кільце Кґ є ідеалом кільця К.

Доведення. Справді, за теоремою, що ядро будь-якого гомоморфізму групи є нормальною підгрупою групи , застосованою до адитивної групи кільця К, є підгрупою адитивної групи кільця К. Крім того, для будь-якого елемента і , оскільки для кожного і . Отже, - ідеал кільця К. Теорему доведено.

Означення. Ізоморфним відображенням, або ізоморфізмом кільця К в кільце , називається всяке відображення , що задовольняє такі вимоги:

1. відображення - ін'єктивне, тобто , де ;

2. , де .

Якщо ізоморфне відображення сур'єктивне, то його називають ізоморфізмом кільця К на кільце .

Теорема 3. Якщо - ізоморфне відображення кільця К на кільце , то обернене йому відображення існує і є ізоморфним відображенням кільця на кільце К.

Якщо існує ізоморфне відображення кільця К на кільце , то кільця К і називають ізоморфними і записують . Щоб зазначити, що - ізоморфне відображення кільця К на кільце , записують .

Нехай К - деяке кільце й - множина, на якій визначено операції додавання й множення. Припустимо, що існує таке бієктивне відображення , що для будь-яких справджуються рівності і . Тоді вважають, що кільце К ізоморфно відображується на множину , або що множина ізоморфна кільцю К.

Теорема 4. Якщо множина , на якій визначено операції додавання і множення, ізоморфна деякому кільцю К, то множина є кільцем відносно заданих на ній операцій. Інакше кажучи, множина, яка ізоморфна кільцю, сама є кільцем. Якщо кільце К - комутативне, то і кільце також комутативне.

Доведення. Справді, коли множина , в якій визначена бінарна алгебраїчна операція, ізоморфна деякій групі G, то множина також є група відносно визначеної в ній операції.

Оскільки кільце К є група відносно додавання, то і множина є група відносно додавання. Доведемо тепер, що операція додавання в множині комутативна, а операція множення - асоціативна і дистрибутивна відносно додавання. Нехай - довільні елементи множини . Згідно з ізоморфною відповідністю між К і , в кільці К існують прообрази цих елементів. Для елементів кільця К виконуються рівності:

Тому внаслідок ізоморфізму

які означають, що в множині операція додавання комутативна, а операція множення - асоціативна і дистрибутивна відносно операції додавання. Цим теорему доведено.

Розглянемо ізоморфізм полів.

Поля Р і називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як кільця.

Теорема 5. Кільце, яке ізоморфне полю, є полем.

Доведення. Нехай К - кільце, ізоморфне полю Р, і - ізоморфізм, який відображує поле Р на кільце К. З комутативності операції множення, визначеної на полі Р, випливає комутативність кільця К.

Нехай і - довільно вибрані елементи кільця К. У полі Р існують елементи а і в такі, що і . З рівності випливає, що , тобто і, отже, . А це й означає, що кільце К - комутативне.

За теоремою 2, при ізоморфному відображенні нуль поля Р відображується в нуль кільця К, одиниця е поля Р - в одиницю кільця К і будь-яка пара взаємно обернених елементів а і поля Р - в пару взаємно обернених елементів а і кільця К.

Отже, в комутативному кільці К міститься, принаймні, два елементи, одиничний елемент і для кожного елемента , відмінного від нуля, в К є обернений елемент , тобто кільце К є полем. Теорему доведено.

Теорема 6. Нехай F - множина, на якій визначено операції додавання і множення. Якщо поле Р ізоморфно відображується на множину F, то множина F також є полем.

Інакше кажучи, ізоморфний образ поля є полем.

Означення. Поле Р називається простим, якщо воно не має власних підполів.

Введемо поняття розширення поля.

Означення. Поле Р* називається розширенням поля Р у двох випадках:

1) коли Р - підполе поля Р*

2) коли Р* містить підполе , яке ізоморфне полю Р, тобто .

Теорема 7. Будь-яке поле завжди є розширенням деякого і лише одного простого поля.

Іншими словами цю теорему можна сформулювати так:

Теорема 8. У будь-якому полі міститься єдине просте підполе.

Доведення.

Якщо Р - вже просте поле, то воно є розширенням самого себе і теорема в цьому випадку справедлива.

Нехай Р не є простим. Тоді в ньому існують підполя, які відмінні від нього самого. Позначимо перетин усіх цих підполів буквою , - підполе поля Р. Доведемо, що якраз і буде простим (методом від супротивного). Припустимо, що не є простим, тоді в ньому знайдеться відмінне від самого підполе . Але також буде підполем поля Р. Тоді звідси випливало б, що не є перетином всіх підполів поля Р, що суперечить позначенню поля . Отже, припущення, що не є просте, неправильне. Це означає, що існування простого підполя поля Р доведене. Доведемо єдиність поля . Припустимо, що в полі Р існує два простих підполя та . Тоді їх перетин - це теж підполе поля Р. Якби , то перетин їх відрізнявся б чи від чи від . Цей перетин був би підполем як так . Але оскільки вони прості, то вони не повинні містити підполів, що не співпадають з ними самими. Отже, прийшли до суперечності. Значить, припущення, що і - невірне. Теорему доведено.

Можна довести, що поле раціональних чисел є простим, поле R дійсних чисел не є простим, а також, що всі поля класів лишків за простими модулями є простими полями.

2.3 Поняття фактор-кільця. Основна теорема про гомоморфізм кілець

Нехай К - деяке кільце, а - довільний ідеал цього кільця. Ми знаємо, що К є адитивною абелевою групою, а ідеал - підгрупою цієї групи. Оскільки в абелевій групі всі її підгрупи є нормальними дільниками, то ідеал є нормальним дільником групи К. Отже, існує фактор-група групи К за нормальним дільником . Вона складається з суміжних класів групи К за нормальним дільником. Операція додавання тут задається так: .

Нагадаємо, що елементи належать до одного того самого суміжного класу адитивної групи К за підгрупою тоді і тільки тоді, коли . Оскільки група К - абелева, то й адитивна абелева група. Покажемо, що в групі можна так означити операцію множення, що ця множина стане кільцем відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

Введемо досить важливе поняття:

Означення. Вважають, що елемент конгруентний елементу за ідеалом або за модулем , якщо , тобто х і у належать до того самого суміжного класу адитивної групи К за підгрупою J.

Висловлення «х конгруентне у за модулем » скорочено записують так: . Отже, .

Розглянемо деякі властивості конгруенцій:

1. Обидві частини конгруенції можна помножити на будь-яке ціле число п: .

2. До обох частин конгруенції можна додати будь-який елемент : .

3. Обидві частини конгруенції можна помножити на будь-який елемент : і .

4. Конгруенції можна почленно додавати і віднімати: і або .

5. Конгруенції можна почленно перемножити: і .

Це відношення конгруентності елементів за ідеалом J є відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності відношення конгруентності в кільці К є таким чином, суміжними класами групи К за підгрупою J, їх називають класами лишків кільця К за ідеалом J, або за модулем J. Ми позначимо їх символами Кожний клас визначається будь-яким з своїх елементів: якщо , то ; тому будь-який з елементів класу можна вважати представником цього класу.

Додавання класів лишків (суміжних класів), як відомо, означається так: якщо і , то - це той клас лишків, який містить елемент . Інакше кажучи,

Означимо на операцію множення. Нехай а - будь-який елемент класу , в - класу . Вважатимемо, що - це клас, який містить елемент ав, тобто що .

Покажемо, що визначений так добуток класів не залежить від вибору цих класів, тобто, що добуток класів буде визначатися однозначно. Справді, якщо - елементи з класу і - елементи з класу , то , і, за п'ятою властивістю конгруенцій, , тобто ав і належать тому самому класу. Тому і, отже, добуток не залежить від вибору представників у класах і .

Теорема 1. Множина класів лишків кільця К за ідеалом J з означеними на ній операціями додавання і множення є кільцем. Це кільце називають фактор-кільцем кільця К за ідеалом J або за модулем J.

Доведення. Множина є адитивною абелевою групою. Означена на цій групі операція множення є асоціативною і пов'язана дистрибутивними законами з операцією додавання. Справді, для будь-яких елементів , , множини :

тобто ;

тобто .

Аналогічно доводиться рівність .Отже, - кільце. Теорема доведена.

В наступній теоремі символ означатиме фактор-кільце К за модулем J.

Нехай К - деяке кільце, і J - довільний ідеал цього кільця. Розглянемо відображення кільця К у фактор-кільце , яке задається так: кожному елементу відповідає той клас лишків за модулем J, до якого належить елемент а, тобто клас а+J. Очевидно, що є відображенням кільця К на кільце . Покажемо, що задовольняє вимоги означення гомоморфізму. Справді, для будь-яких

Тобто ,

,

тобто .

Отже, є гомоморфне відображення кільця К на фактор-кільце .

Для кілець виконується також твердження, аналогічне до основної теореми про епіморфізм груп.

Теорема 2. (основна теорема про гомоморфізм кілець). Якщо є гоморфізмом кільця К на кільце і , то кільце ізоморфне фактор-кільцю , причому існує такий ізоморфізм кільця на кільце , що добуток ізоморфізму на природний гомоморфізм є гомоморфізмом .

Доведення. Задамо відповідність із фактор-кільця у кільце , вважаючи, що для всякого .

Як показано при доведенні теорем, є ізоморфним відображенням адитивної групи кільця на адитивну групу .

Для будь-яких і із маємо:

.

Отже, є ізоморфізмом фактор-кільця на кільце .

Розглянемо відображення . Оскільки - природний гомоморфізм кільця К на фактор-кільце, а - ізоморфізм кільця на кільце , то є відображенням кільця К на кільце . Доведемо, що . Нехай х - довільний елемент кільця К. За означенням природного гоморфізму , і за означенням ізоморфізму , . Отже, , тобто . Таким чином, . Це й означає, що . Теорему доведено.

Основна теорема про гомоморфізм кілець показує, що природними гомоморфізмами кільця К на його фактор-кільця, по суті, вичерпуються всі його гомоморфізми.

Теорема 3. Кожне просте поле ізоморфне або полю раціональних чисел, або полю класів лишків за деяким простим модулем Р.

Доведення. Нехай - довільне просте поле. В полі разом з одиничним елементом е міститься всі його кратні . З загальних властивостей операції додавання і множення елементів поля випливає, що для будь-яких цілих чисел s і t справджуються рівності:

і .

Тому відображення кільця цілих чисел t у поле , що задається правилом: для будь-якого є гомоморфізмом кільця Z у поле (кільце) .

Образ кільця Z є підкільцем поля . Ядро гомоморфізму , і є ідеалом кільця. Оскільки в кільці цілих чисел Z кожний ідеал головний, то , де р - деяке ціле число. Можливі два випадки:

1. , тобто підкільце ізоморфне кільцю цілих чисел Z. Поле містить , а отже, і його поле часток .

Кожному елементу поля поставимо у відповідність раціональне число . Цим буде задано ізоморфне відображення поля на поле раціональних чисел .

Отже, . Оскільки поле не має власних підполів, то і тому .

2. . Число р не може дорівнювати 1, оскільки не дорівнює нульовому елементу поля . Отже, . В цьому разі . Оскільки є підкільцем поля , то в ньому немає дільників нуля. Це можливо тоді, коли р - просте число. Однак, якщо р - просте число, то є полем. Отже, ізоморфне полю і тому, за теоремою 3, також є полем - підполем поля . Теорему доведено.

Очевидно, що поле Р має характеристику нуль, якщо його просте підполе ізоморфне полю раціональних чисел Q; P є полем скінченної (простої) характеристики р, якщо його просте підполе ізоморфне полю класів лишків за деяким простим модулем р.

2.4 Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм кілець і полів

Вправа 1. Нехай С - кільце комплексних чисел і - кільце матриць 2-го порядку над полем комплексних чисел. Розглянемо відображення , яке визначають так: для всякого а+ві

.

Очевидно, що є відображенням кільця С в кільце . Відображення задовільняє умови 1 і 2 означення гомоморфізму. Справді, для будь-яких а+ві і c+di із С:

,

тобто .

тобто .

Отже, є гомоморфізмом кільця С в кільце . Цей гомоморфізм є взаємно однозначним відображенням кільця С в кільце , а отже ізоморфізмом кільця С в кільце .

Вправа 2. Нехай К - множина всіх матриць виду , де а і b - деякі дійсні числа.

Не важко довести, що відносно операцій додавання і множення матриць множина К є кільцем. Задамо відображення таким способом: для довільних .

Очевидно, що є відображенням кільця К в кільце дійсних чисел R. Покажемо, що відображення задовольняє вимоги означення гомоморфізму. Справді, для будь-яких

,

тобто

,

Тобто .

Таким чином, є гомоморфізмом кільця К в кільце R. Цей гомоморфізм є взаємно однозначним відображенням кільця К в кільце R, а отже ізоморфізмом кільця К в кільце R.

Вправа 3. Нехай - відображення кільця на кільце цілих чисел Z, яке задається такою рівністю: . Довести, що - гомоморфізм, і знайти його ядро.

Розв'язання.

Треба довести дві рівності:

1) ,

2) , де, А та В - довільні матриці з кільця К.

Нехай

Обчислимо ліву частину рівності 1)

Обчислимо праву частину рівності 1)

З останніх двох рівностей бачимо, що , тобто операція додавання зберігається.

Обчислимо ліву частину рівності 2)

Обчислимо праву частину рівності 2)

З останніх двох рівностей бачимо, що , тобто операція множення зберігається.

Отже, - гомоморфне відображення.

У кільці Z нейтральним є число нуль. Тому , для яких . Але . Отже, . Звідси . Тому ядро має вигляд:

Висновки

Дана дипломна робота присвячена дослідженню і вивченню морфізмів алгебраїчних структур.

У першому розділі висвітлюється морфізми груп. В першому параграфі введено основне поняття такої алгебраїчної структури як група. Розглянуто її властивості, підгрупу деякої групи, нормальну підгупу, фактор-групу і групу підстановок. В другому параграфі цього ж розділу розглянуто поняття гомоморфізму та ізоморфізму груп, їх найпростіші властивості, означення ядра гомоморфізму, а також теореми, які стосуються гомоморфізмів та ізоморфізмів груп. Наведено приклади, а саме, адитивну групу цілих чисел, адитивну групу дійсних чисел і приклад тривіального гомоморфізму. В третьому параграфі досліджено циклічні групи і підгрупи, ізоморфізм цих груп. Наведені основні теореми, розглянуті приклади циклічних груп і групу обертань правильного п-кутника. В наступному параграфі доведено основну теорему про епіморфізм груп і розглянуто приклади на побудову всіх гомоморфізмів для циклічних груп. Основна теорема про гомоморфізм показує, що всі групи, на які може гомоморфно відображатися група G, вичерпуються з точністю до ізоморфізму її фактор-групами, а всі гомоморфізми групи G вичерпуються природними гомоморфізмами групи G на її фактор-групи.

Другий розділ присвячений морфізмам кілець і полів. В першому параграфі цього розділу введено основні поняття таких алгебраїчних структур як кілець і поля. Розглянуто їх найпростіші властивості, теореми, означення підкільця, підполя, характеристики поля, означення ідеалу кільця, головного ідеалу і області цілісності, а також приклади комутативного кільця з одиницею і без одиниць, і що адитивна група цілих чисел не є полем. В другому параграфі розглянуто означення і властивості гомоморфного та ізоморфного відображення кілець, полів. Наведено означення ядра гомоморфізму кільця.

Доведено основні теореми про гомоморфні та ізоморфні відображення кілець і полів. В передостанньому параграфі введено поняття фактор-кільця і доведено основну теорему про епіморфізми кілець. Вона показує, що природними гоморфізмами кільця К на його фактор-кільце, по-суті вичерпуються всі його гомоморфізми.

Список використаної літератури

1. Алгебра і теорія чисел: Практикум: Ч. 2. / С. Т. Завало, С.С.Левіщенко, В. В.Пилаєв, І. О. Рокицький - К.: Вища шк.. Головне вид-во, 1986. - 264 с.

2. Александров П.С. Введение в теорию груп. - М.:Наука, 1980. - 144 с.

3. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Мир, 1977. - 623 с.

4. Ганюшкін О.Г., Безущак О.О. Теорія груп. - К.: «Київський університет», 2005. - 126 с.

5. Завала С. Т., Костарук В. М., Хацет Б. І. Алгебра і теорія чисел. - К.: Вища школа, 1974. - Ч. І, ІІ. - 156 с., 112 с.

6. Калужнин Л. А. Введения в общую алгебру. - М.: Наука, 1973. - 428 с.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1977. - 240 с.

8. Кострикин А. И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977. - 496с.

9. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высш. шк., 1979. - 559 с.

10. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971. - 432 с.

11. Кустерчук В. М., Хацет Б. І. Курс вищої алгебри. Вид. 3. - К.: Вища шк., 1969. - 398 с.

12. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теорія чисел. - М.: Просвещение, 1974. - Ч. 2. - 383 с.

13. Окунев Л. Я. Высшая алгебра. - М.: Просвищение, 1966. - 336 с.

14. Холл М. Теория групп. - М.:ИЛ, 1962. - 457 с.

Размещено на Allbest.ru