Наприклад, ідеал Z₂ кільця Z буде головним, він породжений елементом 2 або -2.

2.1 Операції над ідеалами

Теорема 3. Добуток ab ідеалів а і b кільця К. також є ідеал кільця К.

Доведення.

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини аb є, очевидно, елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу ab, належить до ab. Крім того, для будь-яких

ab і xK ab й ab.

Цим теорему доведено.

Таким чином, у множині ідеалів кільця К здійсненні операції додавання й множення. Операція додавання ідеалів - асоціативна і комутативна, а операція множення - асоціативна. Якщо кільце К - комутативне, то операція множення ідеалів також комутативна.

Задачі

№1

Нехай K₁ - підкільце кільця K. Довести, що K₁I -ідеал кільця K₁.

Доведення.

Введемо позначення D=K₁I. Покажемо спочатку, що ідеал I, як і будь-який ідеал, містить нуль-елемент кільця K. Справді, оскільки I?O, то в I існує хоч один елемент а. Тоді згідно з першим пунктом означення ідеалу, елемент а-а, тобто 0, теж належить ідеалу I. Оскільки 0K₁, 0I, то 0D і тому D?O.

Якщо a, bD, то a, bK₁ і a, bI. Згідно з означенням ідеалу і критерієм підкільця, abI, abK₁, а тому abD.

Нехай aD, bK₁. Покажемо, що ab і ba належать D. Справді, оскільки DK₁, то a, bK₁ і за критерієм підкільця K₁ маємо, що

ab, ba K₁. (1)

Оскільки DI, а I - ідеал кільця K, то для будь-якого елемента aDI і будь-якого елемента bK₁K маємо, що

ab, baI. (2)

З включень (1) і (2) випливає, що

ab, baK₁I=D.

Отже, D=K₁I -ідеал кільця K₁.

Доведено.

№2

Чи є ідеалом (лівим або правим) така підмножина

в кільці M (2, Z).

Розв'язання

Перевіримо чи буде множина S лівим ідеалом

Перевіримо множення з ліва

Отже, дана підмножина лівим ідеалом кільця M (2, Z).

Перевіримо чи буде правим ідеалом

Отже правим ідеалом буде.

Відповідь: є правим ідеалом.

3. Факторіальні кільця

3.1 Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

3.1.1 Подільність в області цілісності

В теорії кілець особливої уваги заслуговують кільця, які за своїми властивостями досить близькі до кільця цілих чисел. Зокрема, для цих кілець можна розвинути теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел. Ці кільця дістали назву кілець головних ідеалів. Вивченням їх ми і будемо займатись. Але спочатку викладемо деякі загальні відомості, що стосуються подільності в області цілісності з одиницею.

Нехай R - область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності - комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:

Означення 1. Якщо для елементів а і b області цілісності R в R існує такий елемент с, що а == bс, то говорять, що а ділиться на b або b ділить а і пишуть відповідно а b; b/а або а == 0 (mod b).

Як бачимо, означення 1 є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.

1. (a, b, cR) [a bb ca c].

2. (a, b, cR) [a cb c(a+b) c (a-b) c].

3. (a, b, cR) [a b ac b].

4. (a1, b1, a2, b2,…, an, bn, c R) [a1 ca2 c … an c (a1b1 +a2 b2 + … + +an bn) c].

5. Кожен елемент а R ділиться на будь-який дільник ? одиниці е. Справді, а = ? (?^-1а) і, отже, ?/а.

6. Якщо а R ділиться на b R, то а ділиться і на b?, де ? - будь-який дільник одиниці.

Справді, з рівності а = bс випливає рівність а == b? (?^-1с) і, отже, b?/а.

7. Кожен з дільників одного з елементів а R і a? R де ? - будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Справді, з рівності а = сg випливає рівність a? == с (?g), а з рівності а? = сq - рівність а == с (?^-1q). Отже, якщо с/а, то с/а?, і навпаки.

Всюди далі будемо розглядати елементи області цілісності R, відмінні від нуля.

Означення 2. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого:

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а?0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b - асоційовані елементи, то b = а?, де ? - деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ?, елементи а і а? асоційовані між собою, оскільки а = (а?) ?^-1.

Означення 2'. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо b= а?, де ? - деякий дільник одиниці.

В кільці цілих чисел, наприклад, асоційованими є кожні два числа т і - т.

Якщо а і b - асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (а) (b) і (b) (а) і, отже, (а) = (b).

Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.

Нехай а і b - довільні елементи області цілісності R.

Означення 3. Елемент сR називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. За властивістю 5, всі дільники одиниці е області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники. Ми хочемо ввести поняття найбільшого спільного дільника цих елементів. Означення НСД двох цілих чисел, за яким найбільшим спільним дільником називають найбільший із спільних дільників, поширити на область цілісності не можна, оскільки в довільній області цілісності R немає відношення порядку. Проте ми знаємо й інше означення НСД двох чисел, а саме: НСД двох чисел називають такий спільний дільник цих чисел, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. Саме це означення ми й поширимо на область цілісності.

Означення 4. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть а=(а, b).

Якщо також d' = (а, b), то елементи d і d' діляться один на одного і, отже, вони асоційовані. З другого боку, якщо d = (а, b) і ? - будь-який дільник одиниці, то, очевидно, dе = (а, b). Як бачимо, найбільший спільний дільник елементів а і b визначається з точністю до множника ?, що є дільником одиниці.

Означення 5. Елементи а, bR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1.

Нехай ? - будь-який дільник одиниці і а - довільний елемент області цілісності R. Тоді а = а?* ?^-1. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ? дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від а? і ?, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними. Так, в кільці цілих чисел Z тривіальними дільниками числа 10 є числа ±1, ±10 і нетривіальними - числа ±2, ±5.

Означення 6. Елемент аR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники.

Інакше кажучи, елемент аR називається розкладним, якщо його можна записати у вигляді добутку а = bс двох нетривіальних множників b і с; він називається нерозкладним, якщо його не можна записати у вигляді добутку двох нетривіальних дільників, тобто якщо з а = bс завжди випливає, що один з множників b і с є дільник одиниці, а інший - асоційований з а. Так, у кільці цілих чисел Z нерозкладними є числа ±2, ±3, ±5,… (тобто числа прості й протилежні простим); всі інші числа, відмінні від ±1, - розкладні.

Наведемо такі дві властивості нерозкладних елементів.

1. Якщо елемент рR нерозкладний, то і будь-який асоційований з ним елемент р? також нерозкладний. Ця властивість випливає з властивості 7 подільності елементів області цілісності R.

2. Якщо а - будь-який, а р - нерозкладний елемент з R, то або а ділиться на р, або а і р - взаємно прості.

Справді, якщо (а, р) = d, то d, як дільник нерозкладного елемента р, або є деякий дільник ? одиниці, або елемент вигляду р?. У першому випадку а і р взаємно прості, в другому - а ділиться на р.

Задачі

№1

Довести, що (-8+3) (1+2) в кільці z [].

Доведення.

Поділимо ці гаусові числа, домноживши чисельник і знаменник частки на число спряжене із знаменником

.

Так як 2-Z[], то (-8+3) (1+2).

Доведено.

№2

Довести, що в області цілісності К елементи 25-17 і 7- асоційовані, якщо К=z[].

Доведення.

Асоційованість доводиться тим, що одне число ділиться на друге і навпаки.

Оскільки 3-2 Z[], то (25-17)(7-).

Бачимо, що і (7-)(25-17).

Отже, дані елементи асоційовані.

Доведено.

№3

Довести, що характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведення.

Нехай K - область цілісності, а е - одиниця кільця К. Якщо me?0 для жодного натурального числа m₁, то характеристика кільця K дорівнює нулю.

Нехай тепер me=0 і m найменше натуральне число, що має цю властивість, тобто m - характеристика кільця K. Тоді m?1, оскільки е?0. Якщо m просте число, то твердження задачі доведено.

Нехай m складене число. Тоді існують натуральні числа s і t такі, що 1<s, t<m і m=st. Внаслідок комутативності кільця K маємо

0=me=(st) e=(se) (te).

Крім того, оскільки m - характеристика кільця K і s<m, t<m, то se?0, te?0 і тому (se) (te)=me?0, бо K, як область цілісності, є кільцем без дільників нуля. Отже, ми прийшли до суперечності.

Тому характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведено.

3.1.2 Кільце головних ідеалів

Перейдемо тепер до вивчення кілець головних ідеалів.

Означення. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний.

Найпростішим прикладом кілець головних ідеалів є кільце цілих чисел Z: кільце Z, як відомо, є область цілісності з 1 і, за теоремою, кожен його ідеал головний.

Кожне поле Р є кільце головних ідеалів. Справді, поле Р є областю цілісності з одиницею; якщо U є ненульовий ідеал поля Р, то разом з будь-яким своїм елементом а ? 0 він містить і елемент аa^-1 = 1 і, отже, U = (1). Кільцем головних ідеалів є також кільце многочленів від змінної х з коефіцієнтами з поля Р.

Звичайно, не кожна область цілісності з одиницею є кільцем головних ідеалів. Нижче ми наведемо приклади таких областей цілісності. А тепер займемося вивченням властивостей кілець головних ідеалів. Всюди далі вважатимемо, що R - кільце головних ідеалів.

Теорема 1. Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s - деякі елементи кільця R.

Доведення.

Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна. Нехай а і b - будь-які відмінні від нуля елементи кільця R. Вони породжують ідеал (а, b), який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у - будь-які елементи кільця R. Оскільки R - кільце головних ідеалів, то ідеал (а, b) є головний, тобто породжується деяким елементом dR: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sR), (2)

а = gd, b = hd (g, hR). (3)

З рівностей (3) випливає, що d є спільний дільник елементів а і b;

з рівності ж (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а і b. Отже, а = (а, b).

Доведено.

Спираючись на теорему 1, доведемо твердження, яке є критерієм взаємної простоти двох елементів кільця головних ідеалів.

Теорема 2. Елементи а і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що rа +sb = 1.

Доведення.

Необхідність умови очевидна: якщо а і b - взаємно прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 1, в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1. Доведемо достатність умови. Припустимо, що в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості.

Доведено.

Теорема 3. Якщо елемент аR взаємно простий з кожним із елементів bR і сК, то він взаємно простий і з добутком цих елементів.

Доведення.

Оскільки а і b - взаємно прості, то, за теоремою 2, існують такі r, sR, що

rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с. З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними дільниками елементів а і с є лише дільники одиниці, тому і спільними дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці й, отже, а і bс взаємно прості.

Теорема 4. Якщо добуток елементів aR і bR ділиться на елемент с R, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с.

Доведення.

Оскільки а і с - взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що

rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5. Якщо елемент а R ділиться на кожен з елементів bR і сR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.^: b, тобто а = bg. Оскільки а с, то bg с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g: с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аbс.

Доведено.

Теорема 6. Якщо R - кільце головних ідеалів і р - простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р) є поле.

Доведення.

Одиничний елемент = 1 + (р) кільця R/(р) відмінний від = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р) є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р) здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів = a + (р) ? 0 і = + (р) кільця R/(р) рівняння * = має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ?, то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р - взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb b (тоd p),

і, отже, * = . Таким чином, = є розв'язком рівняння =.

Доведено.

Наслідок. Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R ділиться на простий елемент рR, то принаймні один із співмножників ділиться на р.

Доведення.

Припустимо, що добуток a₁ * а₂ *… * a_s (a_iR) ділиться на нерозкладний елемент р R, тобто що a₁а_2… а_s (р).

Розглянемо елементи a_i = а_i+(р) (і =1, 2,…. s) і = a₁ a₂ …a_s+(р). За означенням операції множення в кільці R/(р) = Оскільки a₁ a₂ …a_s(р), то = і, отже, = Звідси, оскільки, за теоремою 6, R/(р) є поле, випливає, що для деякого m (1 < т < s) =. Але =означає, що a_m(p), тобто що a_m р.

Цим справедливість наслідку доведено.

Нашою метою буде тепер доведення твердження про можливість розкладу кожного елемента кільця головних ідеалів у добуток простих (нерозкладних) множників. Воно ґрунтується на такій лемі.

Лема. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U0 U1 U2 …UN …. (4)

Доведення.

Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R. Справді, якщо aєb і bєb, то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b - деякого ідеалу U_l. Тому а і b є елементи ідеалу U_m, де m - більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_mb, (а - b)єU_mb і для будь-якого rєR arєU_mb. Оскільки R - кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k, а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ?k

Тому (b) = U_k=U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню.

Доведено.

Теорема 7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення.

Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника. Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁a₂, де a₁ і a₂ - нетривіальні дільники елемента а.

Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Не втрачаючи загальності міркувань, припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁=a₁₁a_12, де a₁₁ та a₁₂-нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁. Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Цей процес послідовного розкладу, очевидно, не може обірватися. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів

а, a₁, a₁₁, a₁₁₁,…, (5)

у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i, то (a_i+1)(a_i), оскільки a_i=a_i+1r, де r - деякий елемент R. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)(a1)(a11)(a111)…,

Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема 8. Якщо

a =p1p2…pr =q1q2…qs

є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності qi=?i pi (і == 1, 2,…, r), де ?i - деякий дільник одиниці кільця R.

Доведення.

Доводитимемо індукцією по r. При r = І справедливість твердження очевидна.

Справді, оскільки елемент а = р1 простий, то добуток q1q2…qs

може містити лише один множник q₁₌p₁.

Припустимо, що теорема правильна для r - 1 (2 r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки

a =p₁p₂…p_r і a = q₁q₂…q_s то

p1p2…pr =q1q2…qs (6)

З рівності (6) випливає, що q₁q₂…q_s ділиться на p₁. Тому, за наслідком з теореми 6, принаймні один із співмножників q_1,q_2,…, q_s ділиться на p_i. Ми вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1,q_2,…, q_s. Оскільки q₁ - простий елемент і ділиться на простий елемент p₁, то q₁=₁p₁, де ₁ - деякий дільник одиниці кільця R. Підставивши в рівність (6) ₁p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁, дістанемо:

p2p3…pr =(1q2) q3…qs.

Але, за індуктивним припущенням, r- 1 == s- 1 і при відповідній нумерації множників q_1,q_2,…, q_r:

q₂=₁q₂=₂p_2, q₃=₃p₃, …, q_r=_rp_r,

де _i - деякі дільники одиниці кільця R. Тому r = s і при відповідній нумерації множників q₁, q₂, …, q_r:

q₁=₁p₁, q₂=₁-¹₂p₂ =₂p_2, q₃=₃p₃, …, q_r=_rp_r

Доведено.

Зауважимо, що теореми 7 і 8 справедливі, зокрема, для кільця цілих чисел, яке є кільцем головних ідеалів.

Постає запитання: чи не можна теореми 7 і 8 поширити на клас областей цілісності більш широкий, ніж кільце головних ідеалів? Відповідь на це запитання в загальному випадку негативна. Є області цілісності, в яких не справджується теорема про розклад елементів області цілісності в добутки простих множників, а також області цілісності, в яких розклад елементів на прості множники хоч і можливий, але не однозначний. Наведемо приклади таких областей цілісності, не вивчаючи її докладно.

Нехай К - множина всіх дійсних чисел виду

де n - будь-яке натуральне число, a1,a2,…, an - будь-які цілі числа й r1, r2,…, rn - будь-які числа виду (m, k - цілі невід'ємні числа). Сума, різниця й добуток чисел такого виду - числа такого самого виду. Отже, К - кільце. При п = 1 і r1=0 дістанемо с = а1; тому К містить усі цілі числа, зокрема 1. Легко бачити, що кільце К є область цілісності. У цій області цілісності число 2 розкладається на множники так:

Можна довести, що числа виду , де k - ціле невід'ємне число, не є дільниками одиниці в кільці К. Таким чином, число 2 не можна розкласти на прості множники в кільці К.

Нехай тепер Q - множина всіх комплексних чисел виду , де а і b - будь-які цілі числа. Сума, різниця й добуток чисел такого виду є, очевидно, числа такого самого виду. Отже, Q - кільце. При b = 0, z = а, а тому в Q містяться всі цілі числа. Отже, кільце Q є область цілісності. Можна довести, що в цій області цілісності кожне число розкладається на прості множники. Проте не можна стверджувати, що для цього кільця характерна однозначність розкладу на прості множники. Для числа 6, наприклад, у цьому кільці

існують такі два розклади: 6=2?3 і 6 = () ().

Поряд з цим існують області цілісності, які не є кільцями головних ідеалів, проте в них справджуються теореми 7 і 8.

3.1.3 Факторіальність кільця головних ідеалів

Нашою метою являється узагальнення на кільці головних ідеалів теореми про існування й одиничність розкладу елементів кільця цілих чисел Z на прості множники.

Означення Говорять, що елемент а області цілісності K має однозначний розклад на прості множники, якщо виконуються умови:

(1) існують у K такі прості елементи р_i, що

;

(2) якщо - інший розклад, у якому qi - прості елементи K, то m=n і при відповідній нумерації р_i ~ q_i для i=1,…, m.

Означення Кільце називається факторіальним, якщо воно є областю цілісності і всякий відмінний від нуля необоротний елемент кільця має однозначний розклад на прості множники.

Відзначимо, що будь-яке поле є факторіальним кільцем, тому що не має відмінних від нуля необоротних елементів.

Теорема Кільце головних ідеалів факторіальне.

Доведення.

Нехай K - кільце головних ідеалів. Нам треба довести, що усякий відмінний від нуля необоротний елемент кільця має розкладання на прості множники. Припустимо, що існує в K необоротний ненульовий елемент а, що нерозкладний на прості множники в Ж. Тоді елемент а є складеним. Отже, його можна подати у вигляді добутку двох власних дільників а=а_ib_i і (a)(a_i)

Принаймні один із множників а_i, b_i, наприклад a₁, не має розкладу на прості множники. Отже, a₁ можна подати у вигляді добутку двох власних множників:

a₁=a₂b₂, (a₁)=(a₂)

і т.д. Таким чином, існує нескінченний зростаючий ланцюжок

(a)(a1)(a2)…

ідеалів кільця K, що неможливо, бо за твердженням зростаючий ланцюжок не може бути нескінченним. Отже, усякий необоротний відмінний від нуля елемент кільця K має розклад на прості множники.

Доведемо однозначність розкладу на прості множники. Якщо a - простий елемент, то теорема вірна. Припустимо, що теорема вірна для елементів, представлених у вигляді добутку n простих множників, і доведемо, що тоді вона вірна для елементів, представлених у вигляді добутку n+1 простих множників. Нехай дані будь-які два розклади елемента a на прості множники:

a=p1…pnpn+1=q1…qsqs+1 (1)

Простий елемент р_n+1 ділить добуток q₁…q_sq_s+1. Отже, він ділить хоча б один із множників q₁…q_sq_s+1, наприклад q_s+1. Так як р_n+1 і q_s+1 - прості, тo q_s+1=up_n+1, де u - оборотний елемент кільця. Скорочуючи обидві частини рівності (1) на р_n+1, маємо

p₁…p_n=q₁… (uq_s).

Отже, по індуктивному припущенню, n=s і при відповідній нумерації р_i ~ q_i для i=1,…, n. Крім того, р_n+1 ~ п_n+1.

Доведено.

Задачі

№1

Довести, що число 4 в кільці Z[] неоднозначно розкладається в добуток простих множників.

Доведення.

Знайдемо спочатку дільники одиниці в Z[]. Нехай a+b, c+d - дільники одиниці, a, b, c, d Z. Тоді

(a+b) (c+d)=1.

Знайдемо норму обох частин цієї рівності:

Nr (a+b)=(a²+3b²).

Маємо

(a²+3b²) (c²+3d²)=1. (1)

Рівність (1) виконується, якщо

a²+3b²=c²+3d²=1. (2)

Рівність (2), в свою чергу, виконується при a=±1, b=0, c=±1, d=0. Отже, в кільці Z[] лише 2 дільники одиниці: 1, -1.

Доведемо, що для числа 4 в кільці Z[] є два різних розклади в добуток простих множників:

4=2·2=(1+) (1-).

Для цього покажемо, що 2, 1+, 1- є прості числа в Z[], а пари чисел 2, 1+ та 2, 1- не є асоційованими.

Оскільки в кільці Z[] асоційовані числа відрізняються лише знаком, то покажемо, що 2, 1+, 1- є прості числа в Z[].

Якщо 2=(a+b) (c+d), то знайшовши норми від обох частин, дістанемо 4= (a²+3b²) (c²+3d²).

Число 4 розкладається в добуток натуральних чисел двома способами:

4=2·2=1·4.

Якщо a²+3b²=2, то b²<1, тобто b=0. Тоді a²=2, що неможливо для цілого числа a. Отже, a²+3b²=1 або a²+3b²=4. Якщо a²+3b²=1, то a+b- дільник одиниці. Якщо a²+3b²=4, то c²+3d²=1 і c+d- дільник одиниці.

Отже, 2 є просте число в кільці Z[]. Оскільки Nr (1±)=4, то аналогічно доводять, що числа 1± є простими.

Отже, число 4 в кільці Z[] розкладається на прості множники двома різними способами.

Доведено.

3.1.4 Евклідові кільця, їх факторіальність

Порівняно з кільцями головних ідеалів більш близькими до кільця цілих чисел за своїми властивостями є кільця, в яких справедлива теорема, що є аналогом теореми про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Ці кільця називають евклідовими. Вони означаються так:

Означення. Область цілісності R з одиницею називається евклідовим кільцем, якщо існує відображення ? множини відмінних від 0 елементів цієї області цілісності в множину цілих невід'ємних чисел N₀, тобто ?:R\{0}>N₀, яке задовольняє таку вимогу: для будь-яких елементів a, bR, b0 в R існують такі елементи q і r, що а =bq+r, причому або r= 0, або ?(r)<?(b).

Кільце цілих чисел Z - евклідове; відображення ?, про яке йде мова в означенні, задається так:

Евклідовим також є кільце многочленів від невідомого х з коефіцієнтами з поля Р.

Теорема 9. Кожне евклідове кільце R є кільцем головних ідеалів.

Доведення.

Нехай U - довільний ідеал евклідового кільця R. Якщо U - нульовий ідеал, то U= (0). Припустимо, що ідеал U - відмінний від нульового. Тоді в U є елементи, відмінні від нуля. Серед відмінних від нуля елементів ідеалу U, очевидно, є такий елемент a₀, що ?(a₀)?(a) для будь-якого ненульового елемента аU. За означенням евклідового кільця, для будь-якого елемента аU в кільці R існують такі елементи q і r, що a=a₀q+r, причому, якщо r 0, то ?(r)<?(a₀). Але оскільки r=a-a₀qU, то можливість r0 виключається і тому r=0. Таким чином, a=a₀q і, отже, U є головний ідеал, породжений елементом а₀.

Доведено.

Наслідок Будь-яке евклідове кільце факторіальне.

Наслідок Кільце Z цілих чисел є кільцем головних ідеалів і, значить, факторіальне.