Размещено на http://www.allbest.ru/

ПЛАН

ВСТУП

§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)

1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії

1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії

1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини

1.4 Незалежність аксіоми паралельних

§ 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії

2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3

2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля

2.3 Повнота системи аксіом Вейля

§ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського

3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна

3.2 Реалізація Пуанкаре

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ



ВСТУП

Одним з найважливіших питань, що виникають при аксіоматичному побудові науки, є питання про джерела, з яких черпаються її фундаментальні істини - аксіоми й основні поняття. Геометричні аксіоми й основні поняття мають виняткову достовірність. В той час, як в інших областях знань погляди, теорії весь час змінювалися, багато геометричних істин залишалися незмінними. Це ставило геометрію в особливе становище, викликало наполегливу роботу думки з питання про джерела геометричних знань [11,c.112].

Системою аксіом науки називається сукупність тверджень про її основні поняття, прийняті без доказу. Система аксіом даної науки не є однозначною. Наприклад, в системі аксіом евклідової геометрії, сформульованої Гільбертом, аксіому паралельну можна замінити еквівалентним їй п'ятим постулатом Евкліда, аксіому Дедекинда пропозиціями Архімеда і Кантора.

Як уже відзначалось, вибір системи аксіом, на якій будується геометрія, не є однозначним. Щоб вибрану сукупність аксіом можна було покласти в основу побудови геометрії (або іншої науки) необхідно і достатньо, щоб ця сукупність утворювала систему аксіом, тобто була несуперечливою, незалежною і повною [17,c.134].

Мета дослідження: ознайомитися з основними поняттями та класичними теоремами, вивчити та дослідити систему аксіом геометрії.

Завдання: Відповідно до поставленої мети визначимо наступні завдання.

Обґрунтування даної системи аксіом геометрії.

Довести її несуперечливість, повноту, незалежність кожної аксіоми системи від інших аксіом цієї ж системи.

Предмет дослідження: система аксіом геометрії.

Об'єкт дослідження: Основи геометрії як навчальна дисципліна.

§ 1. Декартова реалізація системи аксіом евклідової геометрії (за О.В. Погорєловим)

1.1 Несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії

Доведення несуперечливості системи аксіом зводиться до побудови ' хоча б однієї її реалізації (інтерпретації), в якій основні поняття і аксіоми набувають конкретного змісту. Якщо існує хоча б одна така сфера конкретних речей, відношення між якими задовольняють дану аксіоматику, то несуперечливість даної системи аксіом буде такою, якою є несуперечливість об'єктів теорії (науки), через які визначаються основні поняття даної системи аксіом. Отже, доведення несуперечливості даної системи аксіом є умовним.

Множина об'єктів в яких дана системо аксіом знаходить реальне втілення,називається моделлю або інтерпретацією досліджуваної, системи аксіом .

Для побудови реалізації системи аксіом евклідової геометрії, запропонованої О.В. Погорєловим, візьмемо об'єкти множини всих дійсних чисел, тобто основним поняттям і аксіомам цієї системи надамо арифметичний зміст. Така інтерпретація називається декартовою або арифметичною [4,c.100].

Надамо конкретного арифметичного змісту поняттям «точка»,

«пряма», «належати».

Означення 1. Точкою назвемо будь-яку пару дійсних чисел х і у, взятих у певному порядку: (х; у). Числа х і у називатимемо координатами точки.

Означення 2. Прямою назвемо сукупність всіх точок, координати яких задовольняють рівняння , де . Це рівняння називатимемо рівнянням прямої. Прямі х = 0 і у= 0 будемо називати осями координат, а точку (0; 0) - початком координат.

Означення 5.3. Будемо говорити, що точка належить прямій, якщо її координати задовольняють рівняння прямої.

Покажемо, що при такому конкретному розумінні основних понять «точка», «пряма», «належати» для них виконуються аксіоми належності.

1. Доведемо істинність аксіоми І1, яка стверджує, що через дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну. Нехай і дані точки. Тоді прямою, яка проходить через ці точки, буде пряма, що задається рівнянням , бо координати даних точок задовольняють це рівняння. Доведемо, що ця пряма єдина. Припустимо, що через і проходять дві прямі. Тоді система рівнянь має два розв'язки. Але в такому разі вона має безліч розв'язків і, отже, ці рівняння лінійно залежні тобто відрізняються лише сталим множником. А це означає, що прямі збігаються, тобто через дві точки не можуть проходити дві різні прямі.

2. Доведемо істинність аксіоми 2, яка стверджує, що на кожній прямій існують принаймні дві точки, і існують три точки які не лежать на прямій.

Нехай - рівняння прямої. Тоді один із коефіцієнтів a і b відмінний від нуля. Нехай, наприклад, . Візьмемо довільні числа і знайдемо числа за формулами

Точки і лежать на даній прямій.

Розглянемо точки (0; 0), (0; 1) і (1; 0). Ці три точки не лежать на одній прямій. Справді, припустимо, що вони лежать на деякій прямій . Підставляючи координати точок у це рівняння послідовно, одержимо с=0;b=0;c=0, що суперечить нашому означенню прямої [1,c.58].

Надамо конкретного арифметичного змісту поняттю «довжина відрізка».

Означення 4. Відстанню між точками (; ), () назвемо число

Означення 5. Довжиною відрізка назвемо відстань між його кінцями.

Тоді виконується аксіома існування відрізка даної довжини. Дійсно, яке б не було дійсне число d > 0. існує відрізок довжини d. Таким відрізком буде, наприклад, відрізок з кінцями в точках (0; 0) і (d; 0), оскільки

Перевіримо виконання аксіоми паралельних, а саме: покажемо, що в декартовій реалізації через точку (х0; y0) яка лежить зовні прямої можна провести не більше однієї прямої, паралельної їй. Припустимо, що існують дві прямі i які проходять через точку (х0; y0) і паралельні даній прямій. Тоді обидві системи рівнянь: i несумісні. Тому їх визначники дорівнюють нулю: .

Звідси випливає, що Оскільки ж система рівнянь

має розв'язок (х0; y0),то її рівняння лінійно залежні, тобто відрізняються лише множником. А це означає, що прямі збігаються, що суперечить умові. Аксіома паралельних, таким чином, у декартовій реалізації виконується.

Аналогічно можна показати, що в даній реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, сформульовані О. В. Погорєловим (розділ 4). Перевірку виконання ряду інших аксіом у цій реалізації можна знайти в посібнику [19,c.156].

Ми побудували арифметичну реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, надавши основним геометричним поняттям конкретного арифметичного змісту і показавши, що всі аксіоми евклідової геометрії в цій реалізації виконуються. Оскільки аксіоми геометрії у цій реалізації доводилися на основі аксіом арифметики, то питання про несуперечливість системи аксіом евклідової геометрії зводиться до питання про несуперечливість арифметики, тобто евклідова геометрія несуперечлива; якщо несуперечливою є арифметика дійсних чисел. А несуперечливість системи аксіом арифметики підтверджується багатовіковою практикою людства [19,c.157].

1.2 Повнота системи аксіом евклідової геометрії

Питання про повноту системи аксіом тісно пов'язане з питанням про ізоморфізм всіх її реалізацій.

Означення 6. Дві реалізації R і R ' деякої теорії Т називаються ізоморфними, якщо між елементами цих реалізацій (що відповідають основним поняттям теорії Т) можна встановити взаємно однозначну відповідність, яка зберігає відношення, встановлені аксіомами [14,c.94].

Теорема 1. Якщо всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, то ця система аксіом повна.

Доведення. Припустимо супротивне: нехай всі реалізації системи аксіом теорії Т ізоморфні, але система аксіом Т неповна. Це означає, що існує деяке твердження a, яке не може бути виведене з аксіом Т і не знаходиться з ними н суперечності. Тоді можна утворити дві несуперечливі системи аксіом і приєднуючи до аксіом Т аксіому або її заперечення .

Нехай і - реалізації систем аксіом і . Кожна з них є одночасно реалізацією Т. Оскільки в T має місце , має місце a , то ці реалізації не ізоморфні. Прийшли до суперечності, яка й доводить теорему.

Теорема 2. Система аксіом евклідової геометрії є повною, тобто не можна приєднати до неї жодних нових аксіом, які б не випливали з уже прийнятих аксіом і не суперечили їм.

Доведення. Згідно з теоремою 1 для доведення даної теореми досить установити ізоморфізм всіх реалізацій системи аксіом евклідової геометрії. Оскільки дві реалізації, ізоморфні третій, є ізоморфними між собою, то досить довести ізоморфізм всіх реалізацій декартовій реалізації. Встановимо такий ізоморфізм.

Нехай R - яка-небудь реалізація системи аксіом евклідової геометрії на площині. Побудуємо аналітичну геометрію, яка відповідає цій реалізації. Введемо на площині прямокутну декартову систему координат точно так, як це робиться в аналітичній геометрії. Тоді кожна пряма на площині буде задаватись лінійним рівнянням . Для відстані між точками виводиться формула

Поставимо тепер у відповідність точці (х; у) декартової реалізації точку реалізації R з координатами х, у; прямій декартової реалізації - пряму в реалізації R, яка задається таким самим рівнянням. Ця взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і точками і прямими реалізації R є ізоморфізмом.

Дійсно, якщо в декартовій реалізації точка А лежить на прямій а і - відповідні точка і пряма в реалізації R, то лежить на прямій а'.

Відповідні відрізки декартової реалізації і реалізації R мають однакові довжини, оскільки виражаються однією й тією ж формулою через координати кінців.

Отже, встановлена нами взаємно однозначна відповідність між точками і прямими декартової реалізації і довільної реалізації R -ізоморфізм. Звідси випливає, що всі реалізації системи аксіом евклідової геометрії ізоморфні і, отже, за теоремою 1 система аксіом евклідової геометрії повна [6,c.255].

1.3 Незалежність аксіоми існування відрізка заданої довжини

Щоб довести незалежність деякої аксіоми а від інших аксіом теорії T, досить побудувати таку реалізацію R системи аксіом теорії Т в якій аксіома а не виконується. Якщо таку реалізацію вдається побудувати, то аксіома а - незалежна. Дійсно, якби аксіома а була наслідком інших аксіом, то це було б і в реалізації R, тобто в R було б справедливе твердження a, що суперечить побудові R.

Цим способом ми й доведемо незалежність аксіоми існування відрізка даної довжини від інших аксіом евклідової геометрії. [3,c.420].

Теорема 3. Аксіома існування відрізка заданої довжини незалежна, тобто не може бути одержана як наслідок з інших аксіом евклідової геометрії.

Доведення. Позначимо через G сукупність дійсних чисел, яка містить всі раціональні числа, а також всі числа, які одержуються з раціональних чисел за допомогою скінченного числа дій додавання, віднімання, множення, ділення і добування квадратного кореня. Числами із G не вичерпуються всі дійсні числа.

Побудуємо тепер декартову реалізацію системи аксіом тим самим способом, що й раніше, але будемо користуватись при цьому лише числами із G. Наприклад, точкою назвемо пару чиселіз G, прямою - сукупність точок, які задовольняють рівняння з коефіцієнтами а, b, с із G і т.д. Перевіряючи виконання аксіом, ми слово в слово повторимо всі проведені нами раніше доведення. При цьому встановимо виконання всіх аксіом, крім аксіоми існування відрізка даної довжини. Ця аксіома в даній реалізації не буде виконуватися. Дійсно, довжина відрізка з кінцями в даній реалізації визначається за формулою



Через те що числа G, то й d G. Оскільки ж числа G не вичерпують всіх дійсних чисел, то знайдеться таке дійсне число d, яке в даній реалізації не може бути довжиною жодного відрізка. Наприклад, у даній реалізації не існує відрізка довжиною .

Таким чином, аксіома існування відрізка даної довжини залежить від інших аксіом евклідової геометрії [13,c.311].

1.4 Незалежність аксіоми паралельних

У такий же спосіб доведемо незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом евклідової геометрії.

Рис. 1

Теорема 4. Аксіома паралельних евклідової геометрії незалежна, тобто не може бути виведена як наслідок з інших аксіом.

Доведення. Згідно із загальним способом доведення незалежності аксіом нам досить побудувати таку реалізацію системи аксіом евклідової геометрії, в якій би виконувались всі аксіоми, крім аксіоми паралельних. Побудуємо таку реалізацію.

Під точкою будемо розуміти довільну точку евклідової площини всередині одиничного круга під прямою - довільну хорду цього круга (рис. 1) Відношення належності будемо розуміти так, як і в евклідовій площині. Довжину відрізка АВ з кінцями визначимо так. Нехай пряма АВ перетинає х2 + у2=1 в точках Тоді довжиною відрізка АВ назвемо число

якщо аналогічний вираз із заміною х та у, якщо. У цій реалізації виконуються всі аксіоми евклідової геометрії, крім аксіоми паралельних. Дійсно, через дану точку круга можна провести безліч хорд, які не перетинають дану хорду. Побудова цієї реалізації і доводить незалежність аксіоми паралельних від інших аксіом [17,c.63].



§ 2. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії

2.1 Несуперечливість системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії для простору ТЕ3

Основним поняттям системи аксіом Вейля надамо конкретний зміст за допомогою дійсних чисел, тому така реалізація називається арифметичною.

1. Вектором назвемо будь-яку матрицю стовпець вигляду де - довільні дійсні числи. При цьому два вектори збігаються тоді і тільки тоді, коли відповідні елементи двох матриць рівні. Збігання векторів позначатимемо знаком рівності.

2. Точкою назвемо будь-яку матрицю-рядок вигляду де - довільні дійсні числа. При цьому дві точки і збігаються тоді і тільки тоді, коли .

3. Сумою векторів i назвемо вектор

4. Добутком числа k на вектор назвемо вектор

5. Скалярним добутком векторів і , встановленим ненульовим вектором називається число.

6. Належність упорядкованої пари точок і вектору визначається умовою

Можна переконатись, що при таких означеннях основних об'єктів і основних відношень всі аксіоми Вейля тривимірного евклідового простору виконуються. Перевірка аксіом першої, другої, третьої і четвертої груп майже тривіальна, якщо взяти за нульовий вектор матрицю-стовпчик (аксіома 1.3)б а за три лінійно незалежні вектори (аксіома 4.1) матриці стовпці Перевіримо реалізацію аксіом 1 і 2 [15,c.303].

Аксіома 1. Нехай А = - довільна точка і -довільний вектор.

Треба довести, що існує одна і тільки одна точка - така, що вектор =. За означенням належності (6) при цьому має виконуватись умова: З цієї умови випливає, щ о існує одна і тільки одна трійка чисел, яка задовольняє ці числові рівності.

Аксіома 2. Нехай маємо три довільні точки , , .

За домовленістю (6) знаходимо вектори :



Тоді

Аксіома 2 доведена.

Отже система аксіом Вейля. а тому і геометрія Евкліда, несуперечлива настільки, наскільки несуперечливою, є арифметика дійсних чисел [9,c.180].

2.2 Незалежність системи аксіом Г. Вейля

Як уже зазначалось, несуперечлива система аксіом називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

Нехай - дана система аксіом геометрії. Для доведення, наприклад, незалежності аксіом від аксіом треба побудувати нову систему аксіом де -заперечення аксіоми , і довести її несуперечливість. Якщо аксіома є наслідком аксіом то вона буде наслідком із системи , тобто в цій новій аксіоматиці аксіому можна довести як теорему. Отже, у новій аксіоматиці матимуть місце два суперечливих між собою твердження i , але тоді ця аксіоматика не буде несуперечливою [17,c.157].

Розглянемо декілька прикладів доведення незалежності окремих аксіом Вейля.

1. Доведення незалежності аксіоми 4.1 від аксіом простору.

Треба довести несуперечливість системи аксіом

(1.1-1.4,2.1-2.4, 3.1-3.5, 4.2. 5.1, 5.2}, (1)

де - заперечення аксіоми 4.1.

Для цього використаємо арифметичну реалізацію, побудовану для доведення несуперечливості системи аксіом Вейля простору але внесемо до неї деякі зміни: вектором назвемо будь-яку матрицю-стовпчик , де і - довільні дійсні числа, скалярним добутком векторів i встановленим ненульовим вектором назвемо число

При таких домовленостях всі аксіоми системи (1) виконуються, зокрема аксіома виконується тому, що в даній реалізації не виконується аксіома 4.1, оскільки будь-які три вектори лінійно залежні.

Аналогічно доводиться незалежність аксіоми 4.2.

2. Доведення незалежності аксіоми 1 від аксіом Вейля простору ТЕ3.

Треба довести несуперечливість системи аксіом

{1.1 - 1.4,2.1 - 2.4, 3.1 - 3.5, 4.1 - 4.2, ,5.2} (2)

де - заперечення аксіоми 1.

Використаємо арифметичну реалізацію, побудовану для доведення несуперечливості системи аксіом Вейля простору , але внесемо такі зміни:

1. Точкою назвемо матрицю виду де довільні дійсні числа. При цьому точки i збігаються тоді і тільки тоді, коли ,

2. належність упорядкованих пар точок i вектор визначається умовами У видозміненій у такий спосіб інтерпретації будуть виконуватись всі аксіоми Вейля, крім аксіоми 1. Аксіома 1 не виконується тому, що визначення належності впорядкованої пари точок і вектора числа і не фігурують, вони можуть вибиратись довільно.

3. Доведення незалежності аксіоми 2.

Для доведення належності аксіоми 2 в арифметичній інтерпретації п. 5.3.1 умову належності упорядкованої пари точок і вектора сформулюємо так :

Тоді в такій інтерпретації всі аксіоми Вейля виконуються, крім аксіоми 2, у чому легко переконатися.

Аналогічно можна пересвідчитися у незалежності інших аксіом Вейля. [18,c.140].

евклідовий геометрія аксіома лобачевський

2.3 Повнота системи аксіом Вейля

Як уже зазначалося, для доведення повноти системи аксіом треба показати, що будь-які дві її реалізації ізоморфні між собою.

Для доведення повноти системи аксіом Вейля використаємо декартову реалізацію, оскільки в наслідках з аксіом Вейля зазначалось, що в просторі можна ввести прямокутну декартову систему координат. [19,c.106].

У системі координат координатами точки М простору назвемо координати вектора . При цьому кожній точці М простору ставиться у відповідність упорядкована трійка чисел, причому ця відповідність буде взаємно однозначною.

Якщо точки А і В мають відповідно координати і то вектор матиме своїми координатами числа .

Тепер можна довести, що будь-яка реалізація аксіоматики простору ізоморфна декартовій (арифметичній) реалізації системи аксіом Вейля евклідової геометрії (п. 5.3.1).

Справді, нехай М - деяка довільна реалізація даної аксіоматики. Введемо в цій реалізації прямокутну декартову систему координат і кожній точці, кожному вектору поставимо у відповідність їх координати. Ці ж самі основні об'єкти (вектори і точки) в арифметичній реалізації визначені за допомогою дійсних чисел. З правил операцій над векторами і правил визначення координат вектора за координатами його кінцевих точок випливає, що основні відношення між точками і векторами в обох реалізаціях мають однаковий зміст, тобто довільна реалізація М аксіоматики Вейля ізоморфна арифметичній реалізації. Оскільки поняття ізоморфізму має властивість транзитивності, то звідси також випливає, що будь-які дві інтерпретації аксіом Вейля евклідової геометрії ізоморфні між собою.

Отже, система аксіом Вейля евклідової геометрії є повною [4,c.54].



$ 3. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського

Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.

Так як, всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні, тому твердження доведене в одній моделі геометрії Лобачевського , буде вірно в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.

У розділі 2 викладено основні факти планіметрії Лобачевського. Хоча значна кількість цих фактів суперечить нашим звичайним уявленням про властивості прямих, трикутників, чотирикутників, але всі вони виводились правильними логічними міркуваннями. Несуперечливість геометрії, системи аксіом, на якій вона побудована, містить гарантію, що при подальшому розвитку геометрії на основі даної аксіоматики не виникнуть суперечливі твердження. [16,c.239].

При створенні нової геометрії Лобачевський користувався відомими фактами геометрії Евкліда, які не є наслідками п'ятого постулату Евкліда, тобто всі твердження, які не залежать від змісту п'ятого постулату, є спільною частиною геометрії Евкліда і Лобачевського. Користуючись аксіоматикою Гільберта, якої не було за життя Лобачевського, можна сказати, що спільною частиною обох геометрій є сукупність всіх тверджень, які можна вивести з аксіом перших чотирьох груп системи аксіом Гільберта. Цю спільну частину називають абсолютною геометрією.

Для доведення несуперечливості геометрії Лобачевського, як і інших геометрій, треба побудувати реалізацію системи аксіом, яка складається з аксіом абсолютної геометрії і аксіоми паралельності Лобачевського.

Перша спроба побудови реалізації фактів площини Лобачевського належить італійському геометру Є. Бельгіїрамі (1868), який показав, що в евклідовому просторі є такі поверхні сталої від'ємної кривини -- псевдосфери, внутрішня геометрія яких збігається з геометрією на площині Лобачевського (локально).

Німецький математик Ф. Клейн удосконалив реалізацію Бельтрамі (1870), і в математиці вона відома під назвою реалізація Бельтрамі -- Клейна [10,c.157].

3.1 Реалізація Бельтрамі - Клейна

В евклідовій геометрії рівняння прямої в декартових прямокутних координатах виражається лінійно відносно змінних х і у:

або (3)

де -- довжина перпендикуляра ОР з початку координат на дану пряму, б -- кут між віссю абсцис і перпендикуляром ОР, х, у -- координати довільної точки М на прямій (рис. 1.93).

У площині Лобачевського пряма зображується відносно декарто-вої прямокутної системи координат трансцендентним рівнянням

(4)

де П(), П() , П() - функції Лобачевського відрізків х, у.

Рис. 2

Щоб пряма Лобачевського зображувалась відносно х і у також лінійним рівнянням, Бельтрамі ввів нові і такі, що

де k - довільна стала.

Координати і називають бельтрамієвими координатами.

Тоді в бельтрамієвих координатах рівняння прямої Лобачевського має лінійну форму відносно і :

(6)

Рис. 2

Координати х і у точок прямої (5.3) в декартовых координатах змінюються від -? до ?. Легко переконатись, що в бельтрамієвих координатах і змінюються у цілком певних межах, які можна взяти від -1 до +1.

Отже, при переході від декартових координат х, у до бельтрамієвих і вся площина Евкліда відображається на частину площини Евкліда у вигляді круга, радіус якого можна взяти рівним одиниці. Цей круг назвали абсолютним кругом, а коло, що його обмежує, -- абсолютом площини.

Тоді в цій реалізації основні поняття площини Лобачевського можна означити через поняття евклідової площини. Введемо позначення: Л-точка (точка площини Лобачевського), Л-пряма (пряма площини Лобачевського), Л-площина (площина Лобачевського). Дамо означення основних понять геометрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки відкритого абсолютного круга. Точки абсолюта до Л-точок не належать, їх називають невласними точками, а точки, що лежать зовні абсолюта, - ідеальними. [5,c.74].

Л-прямими називають відкриті хорди абсолюта (без їх кінців); Л-площиною - відкритий абсолютний круг.

Відношення «належати», «лежати між» для Л-точок і Л-прямих означаються як відповідні евклідові відношення для точок і хорд, що лежать у середині абсолютного круга. Наприклад, Л-точка А належить Л-прямій ВС, якщо точка А є внутрішньою точкою хорди ВС абсолюта (рис. 3).

Л-фігура Ф конгруентна Л-фігурі Ф', якщо існує колінеарне автоморфне відносно абсолюта і абсолютного круга перетворення площини, при якому образом Л-фігури Ф є Л-фігура Ф' [19,c.94].

При означенні основних понять геометрії Лобачевського через основні поняття геометрії Евкліда легко переконатись у виконанні всіх аксіом геометрії Лобачевського.

Аксіома 1.1 вимагає, щоб кожні дві точки визначали пряму. Ця вимога на абсолютному крузі виконується, бо через будь-які дві внутрішні точки А і D круга можна провести хорду АD, яка є Л-прямою АD.

Аксіома 1.2 стверджує, що кожні дві різні точки визначають одну і тільки одну пряму. У даній реалізації ця аксіома виконується, оскільки через дві різні внутрішні точки (А і D) абсолютного круга можна провести одну і тільки одну хорду (АD), яка є єдиною Л-прямою АD, що проходить через Л-точки А і D.

За аксіомою 1.3 на кожній прямій існує принаймні дві точки і існують три точки, які н е лежать на одній прямій. В евклідовому розумінні на відкритій хорді абсолюта лежить скільки завгодно внутрішніх точок абсолютного круга і існують три точки всередині абсолютного круга, які не лежать на одній прямій.

У розумінні понять геометрії Лобачевського це означає, що на кожній Л-прямій існують принаймні дві Латочки і існують три Л-точки, які не належать одній Л-прямій.

Оскільки відношення «лежати між» для точок прямої таке ж, як і для точок хорди абсолютного круга, а це відношення має такий самий зміст і в розумінні Лобачевського, то вимоги аксіом порядку виконуються в даній реалізації для Л-точок і Л-прямих. [14,c.136].

У розширеній евклідовій площині завжди можна вибрати таку автоморфну колінеацію, що абсолют (коло) переходить в абсолют, внутрішні точки даного круга (абсолютного круга) переходять у внутрішні точки цього ж круга.

Аксіому 3.1 конгруентності, наприклад, у даній реалізації можна сформулювати так:

Якщо А, В -- дві внутрішні точки абсолютного круга на хорді б і А' - внутрішня точка абсолютного круга на тій самій або на іншій хорді б', то на хорді б' з даного боку від точки А" існує і тільки одна така точка В', що відрізок А'В' є образом відрізка АВ у колінеарному перетворенні, автоморфному відносно абсолюта та абсолютного круга.

Вибравши таке колінеарне перетворення, що образом точки В хорди б буде точка В' хорди б' по заданий бік від точки та врахувавши означення конгруентності в даній реалізації, переконуємося, що аксіома 3.1 виконується.

Аналогічно переконуємося, що інші аксіоми конгруентності також виконуються на абсолютному крузі для Л-точок, Л-відрізків та Л-кутів.

Для перевірки аксіом неперервності в реалізації Бельтрамі - Клейна розглядається принцип Дедекінда, еквівалентний аксіомам Архімеда і Кантора відносно аксіом перших трьох груп. Справедливість принципу Дедекінда у даній реалізації випливає з того, що він для евклідового відкритого відрізка (хорди абсолюта) справджується.

Отже, у реалізації Бельтрамі - Клейна справджується абсолютна геометрія. Залишається перевірити, чи виконується аксіома паралельності Лобачевського. [9,c.200].

Візьмемо на абсолютному крузі довільну хорду ВС і не належну їй довільну точку D (рис. 1.94). У розумінні евклідових понять через точку D можна провести безліч хорд, які перетинають хорду ВС = б (наприклад, хорда АD), і безліч хорд, які не перетинають хорду а (наприклад, хорди) [16,c.181].

У розумінні Лобачевського звідси маємо, що через Л-точку D можна провести скільки завгодно Л-прямих, які перетинають Л-пряму б, і не менше двох Л-прямих, які не перетинають Л-пряму б =ВС. Хорди DВ = i DC= які проходять через точки В і С абсолюта, що не належать до Л-точок, є граничними серед Л-прямих, які проходять через Л-точку D і не перетинають Л-пряму б = ВС. Отже, Л-прямі відіграють роль паралельних прямій б.

Таким чином, у реалізації Бельтрамі - Клейна виконуються всі аксіоми планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевсько¬го несуперечлива настільки, наскільки несуперечлива планіметрія Евкліда.
Відзначимо, що в реалізації Бельтрамі - Клейна одночасно з дове¬денням несуперечливості геометрії Лобачевського доведено і незалежність п'ятого постулату Евкліда [12,c.460].



3.2 Реалізація Пуанкаре

Ідея реалізації геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множинах різних об'єктів, особливо після завершення аксіоматичної побудови евклідової геометрії, набула широкого розвитку. Наприкінці XIX ст. і на початку XX ст. було створено цілий ряд різноманітних реалізацій аксіомики як евклідової, так і неевклідової геометрії. [11,c.66].

Декілька реалізацій аксіоматики планіметрії Лобачевського запропонував відомий французький математик і філософ А. Пуанкаре (1854-1912). Розглянемо одну з них, об'єктами якої є об'єкти евклідової півплощини.

Рис. 4

Нехай довільна горизонтальна пряма т розбиває площину Евкліда на дві півплощини. Одну з них назвемо верхньою (над прямою m).

Введемо означення основних понять планіметрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки верхньої півплощини. Точки прямої m не належать до Л-точок (рис. 4).

Л-прямими назвемо евклідові півкола, що лежать у верхній півплощині і ортогональні до прямої m (тобто мають центр на прямій m),а також евклідові півпрямі верхньої півплощини, перпендикулярні до прямої m. На рис. 3, наприклад, це Л-пряма б і Л-пряма n.

Відношення належності і порядку для Л-точок і Л-прямих такі ж, як в евклідовому розумінні для точок, півкіл і променів верхньої півплощини.

Переконаємось, що в даній реалізації виконуються аксіоми абсолютної геометрії (за Гільбертом).

Нехай а - півколо у верхній півплощині, точка А належить півколу а. Тоді будемо говорити, що Л-точка А лежить на Л-прямій а. При такій домовленості легко перевірити виконання планіметричних аксіом першої групи - аксіом належності 1.1-1.3.

Справді, аксіома 1.1 виконується, оскільки через дві різні точки верхньої півплощини завжди можна провести півколо а, ортогональне з прямою т.Оскільки через дві точки верхньої півплощини можна провести не більше одного півкола, ортогонального прямій /п, то аксіома 1.2 справедлива. Виконання аксіоми 1.3 випливає з того, що на евклідовому півколі а верхньої півплощини існує скільки завгодно точок, як і скільки завгодно точок, які не лежать на півколі а.

Виконання аксіом порядку 2.1-2.3 випливає з того, що порядок точок на Л-прямій а збігається з порядком точок на евклідовому півколі а, яке зображує «Л-пряму у верхній півплощині (рис. 4).

Перевірка справедливості аксіоми 2.4 (Паша) проілюстрована на рис. 4: Л-пряма б, перетинаючи Л-сторону АВ в Л-точці М, перетинає ще одну Л-сторону ВС в Л-точці N Л-трикутника ABC і не може мати спільних точок з Л-стороною ВС (доведення цього Факту для евклідового прямолінійного трикутника ABC опускаємо).

Виконання аксіом неперервності випливає з того, що при введеному в такий спосіб порядку точок на Л-прямій (як і на евклідовому півколі) на ній виконується принцип неперервності Дедекінда, еквівалентний аксіомам Архімеда і Кантора. [15,c.390].

Дещо складнішим видається доведення аксіом конгруентності. Дамо означення Л-відрізків і Л-кутів через об'єкти евклідової площини.



Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Л-відрізком АВ назвемо дугу евкдідового півкола з кінцями АіВ. Л-півпряма з початком у точці О зображується дугою ОМ, кінець М якої лежить на прямій т, точка М не належить до Л-точок (рис. 6). Л-кутом з вершиною О будемо називати сукупність двох Л-півпрямих, що виходять з точки О (рис. 7).

Поняття конгруентності відрізків і кутів введемо за допомогою перетворення інверсії відносно кіл, ортогональних з прямою D, при цьому вважатимемо, що поняття інверсії та її властивості відомі. Інверсія відносно таких кіл відображає точки верхньої евклідової півплощини в точки цієї ж півплощини. [8,c.318].

Означення 6. Л-відрізок АВ конгруентний Л-відрізку А'В' якщо існує така скінченна послідовність інверсій, що їх композиція відображає евклідову кругову дугу АВ на кругову дугу А'В'.

При такому означенні конгруентності Л-відрізків аксіома 3.1 справджується. Дійсно, нехай дані два півкола а і b із центрами на прямій m, на півколі а дана дуга АВ, а на півколі b дана точка С (рис. 8).Виберемо інверсію з центром на прямій т так, щоб півколо б відобразилось на півколо b. При цьому точки А і В півкола б перейдуть у деякі точки А' і B' на півколі b. Тоді за властивостями інверсії існує інверсія з центром на прямій т, яка відображає півколо b саме в себе так, що або точка А' переходить у точку С, або точка В' переходить у точку С. У першому випадку точка В' перейде в деяку точку півкола b, а в другому випадку точка А'перейде в деяку точку D" півкола b. Точки D ' і D" розміщені по різні боки від точки С.

Відповідно до означення конгруентності Л-відрізків маємо

i

Звідси випливає справедливість аксіоми 3.1 в даній реалізації. Аналогічно доводиться виконання аксіом 3.2, 3.3, 3.5 [7,c.175].

Означення7.Л-кути (h; k) і (h'; k') називаються конгруентними, якщо існує така послідовність інверсій з центрами на прямій т, що їх композиція дуги півкіл, які зображують сторони Л-кута ( h; k) відображає на дуги півкіл, що зображують сторони Л-кута (h'; k')

Перевіримо виконання аксіоми 3.4.

Нехай дано Л-кути (h; k) з вершиною А і Л-промінь h' з початком (рис. 9). За властивостями інверсії з центром на прямій т існує послідовність інверсій, у результаті яких Л-пряма а перейде в Л-пряму б' так, що точка А перейде в точку а Л-промінь h -- у Л-промінь k'. При цьому Л-пряма b перейде в якусь Л-пряму b' що проходить через точку А', і Л-промінь k перейде в Л-промінь k ' Л-прямої b'. За означенням конгруентності кутів Л-кут (h; k) буде конгруентний Л-куту (h'; k') [2,c.400].

Рис. 9

Рис. 10

Якщо взяти за коло інверсії коло а, то Л-промінь k відобразиться в Л-промінь k", розміщений по другий бік від Л-променя h. Тоді за означенням 7 Л-кут (h; k) буде конгруентний Л-куту (h'; k").

Далі можна відобразити Л-промінь h в k і навпаки.Отже, Л-кут (h; k) конгруентний Л-куту (k; h)Повторюючи ще раз цю ж послідовність інверсій, переконаємось, що Л-кут (h; k) конгруентний сам собі.Таким чином, усі вимоги аксіоми 3.4виконуються в даній реалізації, а разом з нею і всі аксіоми конгруентності, і всі аксіоми абсолютної геометрії. Залишається з'ясувати, яка ж аксіома паралельності справджується в даній реалізації.Рис. 10

Візьмемо у верхній евклідовій півплощині з межею т півколо а з центром на прямій m і точку А, що не належить півколу б.Зрозуміло, що через точку А можна провести безліч півкіл з центрами на прямій m, які перетинають півколо б і які не перетинають його [14,c.130].

Серед множини таких півкіл буде два півкола b і с, які дотикаються півкола б в точках М і N на прямій m (рис. 10).

Оскільки точки М і N не належать до Л-точок, то півкола biс належать множині Л-прямих, які не перетинають Л-прямої б.

Отже, у пучку Л-прямих, що проходять через Латочку А, існує нескінченна множина Л-прямих, які не перетинають Л-прямої а, і нескінченна множина Л-прямих, які перетинають Л-пряму б.

Звідси випливає, що в реалізації Пуанкаре на евклідовій площині справджується аксіома паралельності Лобачевського. Роль граничних Л-прямих, тобто паралельних за Лобачевським Л-прямій а, відіграють евклідові півкола b і с, які в пучку Л-прямих, що проходять через точку А, відділяють одну від іншої множини Л-прямих, що перетинають Л-пряму б і що не перетинають її.

Отже, запропонована А. Пуанкаре реалізація аксіом геометрії в образах планіметрії Евкліда є моделлю планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевського несуперечлива настільки, наскільки несуперчливою є планіметрія Евкліда.

Звідси також випливає, що аксіома паралельності Евкліда (п'ятий постулат) і аксіома паралельності Лобачевського не є наслідками аксіом абсолютної геометрії, вони незалежні від аксіом абсолютної геометрії.

Примітка. Відома також реалізація Пуанкаре аксіом планіметрії Лобачевського на евклідовому крузі - абсолютному крузі. Ця інтерпретація аналогічна інтерпретації Бельтрамі - Клейна, але роль Л-прямих відіграють дуги евклідових кіл, ортогональних з абсолютом. [14,c.133].



ВИСНОВКИ

У даній курсовій роботі було розглянуто питання про систему дослідження аксіом геометрії. В роботі були сформульовані основні аксіоми, а також показані приклади їх графічного зображення.

Було проведено дослідження системи аксіом Пуанкаре і Г. Вейля, покладених в основу евклідової геометрії, і аксіоматики геометрії М.І. Лобачевського.

Ідея реалізації геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множинах різних об'єктів, особливо після завершення аксіоматичної побудови евклідової геометрії, набула широкого розвитку. Наприкінці XIX ст. і на початку XX ст. було створено цілий ряд різноманітних реалізацій аксіомики як евклідової, так і неевклідової геометрії. Декілька реалізацій аксіоматики планіметрії Лобачевського запропонував відомий французький математик і філософ А. Пуанкаре.

Пуанкаре доводить реалізацію на евклідовій площині аксіом паралельності Лобачевського. Роль граничних Л-прямих, тобто паралельних за Лобачевським Л-прямій а, відіграють евклідові півкола b і с, які в пучку Л-прямих, що проходять через точку А, відділяють одну від іншої множини Л-прямих, що перетинають Л-пряму б і що не перетинають її [5,c.138].

Основним поняттям системи аксіом Вейля надамо конкретний зміст за допомогою дійсних чисел, тому така реалізація називається арифметичною.

Говорячи про несуперечливість системи аксіом, то вона називається незалежною (мінімальною), якщо кожна аксіома даної системи не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

Геометрія Лобачевського будується на основі тих же аксіом, що і евклідова, за винятком лише одній аксіоми про паралельних. Саме, згідно з аксіомою про паралельних евклідової геометрії, через крапку, не лежачу на даній прямій а, проходить лише одна пряма, яка лежить в одній плоскості з прямою а і не пересікає цю пряму; у геометрії Лобачевського приймається, що таких прямих декілька (потім доводиться, що їх нескінченно багато) [15,c.263].

При розгляді даної теми курсової роботи теоретичні відомості підтвердились практичним доказом та математичним обгрантуванням.



СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Александров А. Д. Геометрія для 8-9 класів / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.І. Рижик М.: Просвіта, 1991. - 464 ст.

2. Александров А. Д. Основи геометрії / А.Д. Александров - М.: Наука, 1987.-288 ст.

3. Александров А.Д. Геометрія для 10-11 класів з поглибленим вивченням математики. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рижик - М.: Просвіта, 1992.- 464 ст.

4. Атанасян Л. С. Геометрія: Підручник для-7-9 класів средньої школи / Л.С. Атанасян В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Є. Г. Лозняк, І. І. Юдина. - М.: Просвіта, 1990. - 336 ст.

5. Боровик В.Н. Зображення просторових фігур та їх застосування до розв'язування задач на комбінацію тіл / В. Н. Боровик - Чернігів: ЧДПУ, 2002. - 192 ст.

6. Боровик В.Н. Основи геометрії / В. Н. Боровик, В. Л Яковець. - Ніжин: НДПУ, 2003. - 186 ст.

7. Боровик ВЛ. Математика: Посібник для факультативних занять у 8 класі / ВЛ. Боровик, ЛМ. Вивалънюк, М.М. Мурач і ін. - К.: Рад. школа, 1981. - 208 ст.

8. Гільберт Д. Основи геометрії. / Д. Гільберт - М.: ГИТТЛ, 1947.-207ст.

9. Глаголєв Н. Л. Нарисна геометрія. - 3-є вид. - М.: Гостехіздат, 1953. - 220 ст.

10. Глаголєв Н. Л. Проективна геометрія. / Н. Л. Глаголєв - М.: Вища школа, 1963. -- 344 ст.

11. Гордон В. Курс нарисної геометрії. /В. Гордон, М. Семенцев-Огієвський -М.: ГИТТЛ, 1957. - 404 ст.

12. Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. / Г.Б. Гуревич - М.: Гостехіздат, 1960. - 320 ст.

13. Ефілов Н.В. Вища геометрія: / Н. В. Ефілов - М.: Физмагиз, 1961. -528 ст.

14. Каган В.Ф. Основи геометрії / В.Ф. Каган .- М.: ГИТТЛ., 1956. - 344 ст.

15. Кісєльов А.П. Геометрія. 4.1. Планіметрія. Підручник для 6-8 кл. / А.П. Кісєльов - К.: Рад. шк., 1954. - 184 ст.

16. Кованцов M.І. Проективна геометрія. / M.І. Кованцов - К.: Вища школа, 1969. - 411 ст.

17. Колмогоров А.Н. Геометрія / А.Н. Колмогоров, А.Ф.Семенович , P.C. Черкасов - М.: Просвіта, 1979. --383 ст.

18. Костін В.І. Основи геометрії. / В.І. Костін - М.: Учпедгіз, 1946. - 304 ст.

19. Кутузов БЛ. Геометрыя / Б.Л Кутузов. - М.: Учпедгіз, 1955. - 296 с.

20. Нікулін М.А. Проективна геометрія / М.А. Нікулін. О.Т. Чуб, В.І. Коба - М.: «Радянська школа», 1962, -.357ст.

Размещено на Allbest.ru