Елементи багатомірної геометрії

2

Дипломна робота

Елементи багатомірної геометрії

ЗМІСТ

Введення

Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів

§1. Історична довідка

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля.

§3. Евклідовий векторний простір

§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору

Глава 2. Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах

§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження

§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

§7. K-Паралелепіпеди в просторі

§8. K-Симплекси в просторі

§9. K-Кулі в просторі

Глава 3. Застосування багатомірної геометрії

§10. Про необхідність введення багатомірного простору (на прикладах задач)

§11. Простір-Час класичної механіки

§ 12. Простір-Час спеціальної теорії відносності

§13. Простір-Час загальної теорії відносності

Висновок

Література

Введення

Багатомірна геометрія в наш час широко застосовується в математиці й фізиці для наочного подання рівнянь із декількома невідомими, функцій декількох змінних і систем з декількома ступенями волі.

Геометрична мова дозволяє застосувати до рішення складних задач геометричну інтуїцію, що зложилася в нашім звичайному просторі.

До множини задач, розв'язуваних за допомогою багатомірної геометрії, ставляться задачі про знаходження більше вигідних варіантів перевезень, задачі про найбільш вигідні способи розкрою матеріалу, найбільш ефективних режимах роботи підприємств, задачі про складання виробничих планів і т.п. Той факт, що ці задачі вирішуються геометрично за допомогою знаходження найбільших або найменших значень лінійних функцій на багатогранниках (причому, як правило, у просторах, що має розмірність, більшу трьох) був уперше помічений Л.В. Канторовичем. Необхідність розгляду n-мірних просторів при n > 3 диктується також математичними задачами фізики, хімії, біології й інших областей знання.

Таким чином, хоча просторові властивості навколишнього світу добре описуються геометричним тривимірним простором, потреби практичної діяльності людини приводить до необхідності розгляду просторів будь-якої розмірності n. Метою дипломної роботи є розгляд методів побудови багатомірних просторів і деяких геометричних образів у цих просторах; приведення прикладів застосування багатомірної геометрії.

Об'єктом дослідження є теорія багатомірних просторів і їхня практична значимість.

Робота складається із введення, трьох глав, розбитих на параграфи, списку літератури. У першому розділі розглядається історична довідка багатомірного простору, поняття n-мірного простору на основі аксіоматики Вейля, евклідовий векторний простір, також сповіщається про афінному n-мірний простір.

У другому розділі розповідається про багатомірні геометричні образи в n-мірному просторі.

Третій розділ роботи містить застосування багатомірної геометрії в різних теоріях.

Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів

§1. Історична довідка

Багатомірна геометрія - геометрія просторів розмірності, більше трьох. Термін «багатомірна геометрія» застосовується до тих просторам, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірів і тільки потім узагальнена на число вимірів n > 3, тобто, насамперед до евклідова простору, а також до просторів Лобачевского, Римана, проективному, афінномуу (загальні ж риманови й інші простори були визначені відразу для n-вимірів). Поділу трьох- і багатомірної геометрії має історичне й навчальне значення, тому що задачі ставляться і вирішуються для будь-якого числа вимірів, коли й оскільки це осмислено. Побудова геометрії зазначених просторів для n-вимірів проводиться за аналогією з випадком трьох вимірів. При цьому можна виходити з узагальнення безпосередньо геометричних підстав 3-мірні геометрії, з тієї або іншої системи її аксіом або з узагальнення її аналітичної геометрії, переносячи її основні висновки з випадку трьох координат на довільне n.

Саме так і починалася побудова n-мірної евклідової геометрії. У цей час воліють вихідні з поняття векторного простору.

Історично подання в більш ніж 3-мірному просторі зароджувалася поступово; спочатку - на ґрунті геометричного подання ступенів: а² - «квадрат», а³ - «куб», а⁴ - «біквадрат», а⁵ - «кубоквадрат» і т.д. (ще в Диофанта в 3 в. і далі в ряду середньовічних авторів). Думка в багатомірному просторі виражав И. Кант (1746), а про приєднання до простору в якості 4-й координати часу писав Ж. Д'аламбер (1764). Побудова ж евклідової геометрії було здійснено А. Кели (1843), Г. Грассманом (1844) і Л. Шлефли (1852). Первісні сумніви й містика, зв'язані зі змішанням цих узагальнень із фізичним простором, були переборені, і n-мірний простір як плідне формально-математичне поняття незабаром повністю зміцнилося в математику.

Багатомірні простори виникли шляхом узагальнення, аналогії з геометрією на площині й у тривимірному просторі. На площині кожна крапка задається в системі координат двома числами - координатами цієї крапки, а в просторі - трьома координатами. В n-мірному ж просторі, крапка задається n координатами, тобто записується у вигляді A(x₁, x₂, ..., x_n), де x₁, x₂, ..., x_n - довільні дійсні числа (координати крапки А). На площині система координат має дві осі, у просторі - три, а в n-мірному просторі система координат містить n осей, причому кожні дві із цих осей перпендикулярні один одному. Звичайно, такі простори існують лише в уяві математиків і тих фахівців з інших областей з інших областей знання, які застосовують ці математичні абстракції. Адже реальний простір, у якому ми живемо, математично добре описується тривимірним простором (евклідовим або римановим, але саме тривимірним). Побачити - у буквальному, фізичному змісті цього слова - фігури в чотирьохмірному просторі (а тим більше в просторах більшого числа вимірів) не в змозі ніхто, навіть самий геніальний математик; їх можна бачити тільки думкою.

Існують різні парадокси четвертого виміру. Якщо, наприклад, на площині є кільце (оболонка), а усередині - кружок, то як би ми не рухали цей кружок по площині, вийняти його із цієї оболонки, не розриваючи її, неможливо. Але варто тільки вийти в третій вимір, і кружок легко вийняти з кільця, піднявши його нагору, над площиною, те, не прориваючи оболонку, неможливо вийняти з її ця кулька. Але якби існував четвертий вимір, то можна було б «підняти» кульку над тривимірним простором у напрямку четвертого виміру, а потім покласти його знову в тривимірний простір, але вже поза оболонкою. І те, що це зробити нікому не вдається, приводять як довід проти існування четвертого виміру. Довід помилковий, тому що в ньому поплутані два питання.

Перше питання: чи є в реальному? Відповідь на це питання негативний.

Друге питання: чи можна розглядати чотирьохмірний простір абстрактно, математично? Відповідь стверджувальна.

Немає нічого нелогічного або суперечливого в тім, щоб розглядати четвірки чисел (x₁, x₂, x₃, x₄), досліджувати властивості цих «чотирьохмірних крапок», становити з них фігури, доводити теореми, постійно ладу таким чином, геометрію чотирьохмірного (або, взагалі n-мірного) простору. Але математична несуперечність n-мірної геометрії ще недостатня для судження про цінність цієї теорії.

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля

У векторній аксіоматиці поняття вектора є одним з основних (необхідних) понять. Поняття числа теж будемо вважати основним поняттям і виходити з того, що теорія дійсного числа відома. Властивості операцій додавання векторів і множення вектора на дійсні числа приймемо за аксіоми. Тоді можна дати аксіоматичне визначення векторного простору.

Нехай V - деяка непуста множина, елементи якого будемо називати векторами, і які можуть бути довільної природи, R - множина дійсних чисел. Уведемо для векторів операції додавання векторів і множення вектора на дійсні числа з R будь-яким двом векторам a і b поставлений у відповідність певний вектор, називана сумою й позначуваний a+b;б) будь-якому вектору a і будь-якому дійсному числу б поставлений у відповідність певний вектор, називана добутком вектора на число й позначуваний через ба. И нехай при цьому виконуються наступні властивості аксіоми:1. a+b=b+a для будь-яких векторів a і b з V ;2. (a+b)+з=a+(b+c), для будь-яких векторів a, b, c V.3. Існує такий вектор О V, що а+О=а;4. Для будь-якого вектора а V існує такий вектор - a V , що а+(- а)=O;5. для будь-яких чисел і V;6. для будь-якого числа R і будь-яких векторів a і b з V;7.1? а = а для будь-якого вектора а V.

Тоді множина V називається дійсним лінійним векторним простором або векторним простором. Уведене визначення не накладає ніяких обмежень на природу елементів множини V, тому можуть існувати різні векторні простори.

Приклади: Векторний простір V₁ - множина векторів на прямій; Векторний простір V₂ - множина векторів на площині; Векторний простір V₃ - множина векторів простору трьох вимірів; Множина різних багаточленів від один змінної також становить векторний простір. «Векторами» є багаточлени. Використовуючи твердження, що у звичайному просторі трьох вимірів існує три лінійно незалежних вектори, тобто виконується рівність:

, коли ;

Будь-яка система, що складається більш, ніж з 3-х векторів цього простору, лінійно залежна.

Продовжуючи будувати аксіоматичну теорію векторних просторів, уведемо наступне визначення.

Визначення: Векторний простір V називається n-мірним, якщо в ньому виконуються аксіоми:

9. У векторному просторі V існують n лінійно незалежних векторів.

10. Будь-яка система, що складається більш, ніж з n векторів простору V, лінійно залежна.

Число n називається розмірністю векторного простору й позначається символом dim V , а сам простір будемо позначати символом V_n. Базисом n-мірного векторного простору V_n називається будь-яка впорядкована система векторів, таких, що система лінійно незалежна; будь-який вектор простору V_n є лінійною комбінацією даної системи векторів. Базис не може мати більше трьох векторів і менш чим три вектори. Очевидно, що базис простору V₃ будемо називати 3-мірним і позначати В = (е₁, е₂, е₃), де вектори е₁, е₂, е₃ називаються базисними. З аксіом 9 і 10 треба, що в n-мірному векторному просторі V_n існує хоча б один базис, що складається з n векторів. Можна довести, що в V_n існує незліченна множина базисів і кожної з них складається з n векторів.N-Мірний базис будемо позначати В = (е₁, е₂,…,е_n), а вектори е₁, е₂,…,е_n називати базисними. Наслідок: Будь-яка система, що складається більш ніж із трьох векторів звичайного простору трьох вимірів, лінійно залежна.

§3. Евклідовий векторний простір

Ладу аксіоматичну теорію аналітичної геометрії на векторній основі, уведемо наступне визначення.

Визначення

1: Скалярним добутком на векторному просторі V називається операція, що будь-якій парі векторів a і b ставить у відповідність деяке дійсне число, позначаємо символом a b і з наступними властивостями:

11. Для будь-яких векторів a, b V і будь-якого вектора a b= b а;

12. Для будь-яких двох векторів a, b V і будь-якого числа .

13. Для будь-яких трьох векторів a, b, c V ;

14. Для будь-якого ненульового вектора а V aa>0.

Визначення 2: Векторний простір V_n, у якому уведена операція скалярного добутку векторів, що задовольняє аксіомам 11-14, називається евклідовим векторним простором. Будемо позначати його символом Е_n.

На основі визначення 1 можна ввести поняття довжини вектора й величини кута між векторами.

Число аа називається скалярним квадратом вектора а й позначається а². З аксіоми 14 треба, що а²>0, отже, - дійсне позитивне число. Воно називається довжиною або нормою вектора й позначається: . Якщо 1, то вектор а називається одиничним.

На основі аксіом 11-14 можна вказати наступні твердження: Для будь-яких векторів a, b₁, b₂,…,b_n виконується рівність

.

,

де а - довільний вектор;

Якщо

, те,

а якщо

, то ;

Якщо

, те

Можна показати, що якщо , те вектор є одиничним, його називають ортом вектора а. Він визначає той же напрямок, що й вектор а.

При рішенні метричних задач, тобто задач, пов'язаних з виміром довжин векторів і величин кутів, користуються ортонормированим базисом.

Визначення: Базис називається ортонормированним, якщо всі його вектори одиничні й попарно ортогональні, тобто якщо

й ( ) при .



Теорема. В евклідовому просторі Е_n існують базиси.

Дійсно, якщо (а₁, а₂,…,а_n) - ортогональний базис, то можна розглянути вектори

, ,…,...

Ясно, що базис (е₁, е₂,…,е_n) ортонормированний, тому що його вектори одиничні й попарно ортогональні.

Уведемо позначення: В=(i, j) або B=(i, j, k) - ортонормированні базиси евклідових векторних просторів Е₂ і Е₃ відповідно.

§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору

В §2 і §3 аксіоматично визначені різні векторні простори: лінійні векторні, n-мірні векторні, евклидови векторні. Але для побудови геометрії, тобто для розгляду різних геометричних фігур, одних векторів недостатньо, потрібні ще крапки.

Побудова вектора по двох крапках, уведемо наступне визначення.

Визначення. Афінним простором називають деяка множину А^* елементів довільної природи, називаних крапками, для якої задано

а) деякий векторний простір V;

б) відображення, що будь-яким двом крапкам А и В А^* ставить у відповідність деякий вектор з V, позначуваний АВ.

При цьому потрібне виконання наступних аксіом:

15. Для будь-якої крапки А А^* і будь-якого вектора А з V існує єдина крапка В А^* і будь-якого вектора а V існує єдина крапка В А^*, така що АВ=а.

16. Для будь-яких трьох крапок А, В, З A^* має місце рівність АВ+ВР=АС.

Аксіома 15 називається аксіомою відкладання вектора від крапки, а аксіома 16 - аксіомою трикутника, з якої треба правило трикутника й правило паралелограма додавання векторів.

Розмірність простору V називається розмірністю відповідного афінного простору А^* і позначається символом А^*_n.

Відзначимо деякі важливі наслідки з аксіом 15-16.

При будь-якому виборі крапки А вектор АА нульової.

Якщо АВ=0, то крапки А и В збігаються.

Для будь-яких крапок А и В АВ = - ВА.

Якщо АВ=СD, то АС=ВD.

Для довільних крапок А₁, А₂,…,А_n виконується рівність А₁А₂+ А₂А₃+ А_n-1А_n= А₁А_n (правило багатокутника додавання векторів).

Простір А^*_n містить незліченну множину крапок. На основі аксіом 1-10 і 15-16 афінної геометрії не можна ввести понять довжин відрізків і величин (мер) кутів. Ці поняття можна ввести, використовуючи скалярний добуток векторів.

Як відомо, введення в V_n скалярного добутку векторів приводить до евклідова векторного простору Е_n.

Визначення. Афінний простір А_n^*, у якому відповідне йому векторний простір V_n перетворене в евклідовий векторний простір Е_n, називається евклідовим n-мірним простором.

Для цього простору введемо позначення Е_n. Відповідно до визначення ясно, що всяке афінний простір А_n^* можна перетворити в евклідовий простір Е_n, задаючи на векторному просторі V_n скалярний добуток векторів, що задовольняє аксіомам 11-14 (§ 3).

Таким чином, в Е_n виконуються аксіоми 1-16.

На основі аксіом евклидова простору будується евклидова геометрія.

В евклідовій геометрії, мабуть, справедлива вся викладена вище теорія афінної геометрії. Але простір Е_n має метричні властивості, які випливають із аксіом скалярного добутку векторів і пов'язані з виміром довжин відрізків і мер кутів. Тому евклідова геометрію називають ще метричною геометрією.

Метричні аксіоми дозволяють установити метрику евклидова простору, тобто відстані між його крапками. Визначимо спочатку модуль |a| вектора а як ненегативний корінь із його квадрата, тобто

(4.1)

Вектори, модуль яких дорівнює 1, будемо називати одиничними векторами; одиничний вектор будемо позначати а⁰.

Будемо вважати відстанню між крапками А и В модуль вектора АВ; будемо позначати це відстанню АВ.

Таким чином, відстань АВ між крапками А(х) і В(y) визначається співвідношенням

(4.2)

З визначення відстані треба, що відстань симетрично, тобто

АВ=ВА (4.3)

Відстань позитивно, тобто (4.4) AB ? 0, причому знак дорівнює тільки при збігу крапок А и В.Покажемо, що для відстаней між крапками евклидова простору крім властивостей 1 і 2 виконується також «нерівність трикутника».відстань між усякими двома крапками не більше суми відстаней між цими крапками й третьою крапкою, тобто



АС ? АВ + ВР (4.5)

Множина крапок, для всяких двох крапок А и В якого визначене число АВ, що задовольняє умовам 1-3, називається метричним простором. Для доказу нерівності трикутника доведемо так звану нерівність Коші

(4.6)

Скалярний квадрат вектора a - tb ненегативний при будь-якому речовинному t

, тобто .

У випадку b = 0 обидві частини нерівності (4.6) рівні 0, тобто нерівність виконується автоматично.

Якщо , одержимо

Тоді нерівність прийме вид

, тобто ,

що рівносильне нерівності (4.6). Розглянемо три крапки А(х), В(у) і З(z).

Тоді



Мал. 1

Але в силу нерівності Коші

.

Тому

,

звідки одержуємо нерівність (4.5).

Глава 2. Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах

§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження

При побудові геометрії на прямій, на площині й у тривимірному просторі є дві можливості: або викладати матеріал за допомогою наочних подань (цей спосіб характерний для шкільного курсу, тому важко собі представити підручник геометрії без креслень), або - і цю можливість дає нам метод координат - викладати його чисто аналітично, назвавши, наприклад, крапкою площини в курсі планіметрії пари чисел (координати цієї крапки), а крапкою простору - трійку чисел. При введенні чотирьохмірного простору перша можливість у нас відсутній. Ми не можемо безпосередньо користуватися наочними геометричними поданнями - адже навколишнє нас простір має всього три виміри. Однак друга версія для нас не закрита. Справді, ми визначаємо крапку прямій як число, крапку площини як пари чисел, крапку тривимірного простору як трійку чисел. Тому зовсім природно побудувати геометрію чотирьохмірного простору, визначивши крапку цього уявлюваного простору як четвірку чисел. Під геометричними фігурами в такому просторі потрібно буде розуміти деякі множини крапок (як, втім, і у випадку звичайної геометрії). Перейдемо тепер до точних визначень.

Координатні осі й площини

Визначення. Крапкою чотирьохмірного простору називається впорядкована четвірка чисел (x, y, z, t).

Що вважати в просторі чотирьох вимірів координатними осями й скільки їх?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на час до площини й тривимірного простору.

На площині (тобто в просторі двох вимірів) координатні осі - це множини крапок, у яких одна з координат може мати одне числове значення, а друга дорівнює нулю. Так, вісь абсцис - це множина крапок виду (х, 0), де х - будь-яке число. Наприклад, на осі абсцис лежать крапки (1, 0), (-3, 0), а крапка (1/5, 2) не лежить на осі абсцис.

Мал. 2

Вісь ординат площини - це множина крапок виду (0, у), де в - будь-яке число. У тривимірному просторі є три осі: вісь х - це множина крапок виду (х, 0, 0), де х - будь-яке число; вісь в - множина крапок виду (0, в, 0), де в - будь-яке число; вісь z - множина крапок виду (0, 0, z), де z - будь-яке число. У чотирьохмірному просторі, що складається із всіх крапок виду (x, y, z, t), де x, y, z, t - будь-які числа, природно вважати координатними осями такі множини крапок, у яких одна з координат приймає будь-які числові значення, а інші дорівнюють нулю. Тоді ясно, що в чотирьохмірному просторі є чотири координатні осі: вісь х - це множина крапок виду (х, 0, 0, 0), де х - будь-яке число; вісь в - множина крапок виду (0, в, 0, 0), де в - будь-яке число; вісь z - множина крапок виду (0, 0, z, 0), де z - будь-яке число, де в - будь-яке число; вісь t - множина крапок виду (0, 0, 0, t), де t - будь-яке число. У тривимірному просторі, крім координатних осей, є ще координатні площини. Це - площини, що проходять через дві які-небудь дві координатні осі. Наприклад, площина yz - це площина, що проходить через вісь y і вісь z.

Усього в тривимірному просторі є три координатні площини:

площина xy - множина крапок виду (х, в, 0), де х и в - будь-які числа;

площина yz - множина крапок виду (х, 0, z), де х и z - будь-які числа;

площина yz - множина крапок виду (0, в, z), де y і z - будь-які числа.

Природно, і в чотирьохмірному просторі називати координатними площинами множина крапок, у яких які-небудь дві із чотирьох координат приймають будь-які числові значення, а інші дві дорівнюють нулю. Наприклад, множина крапок виду (x, 0, z, 0) ми будемо називати координатною площиною xz чотирьохмірного простору. Скільки ж усього таких площин?

Випишемо їх:

площина ху - множина крапок, виду (х, в, 0, 0),

площина хz - множина крапок, виду (х, 0, z, 0),

площина хt - множина крапок, виду (х, 0, 0, t),

площина уz - множина крапок, виду (0, в, z, 0),

площина уt - множина крапок, виду (0, в, 0, t),

площина zt - множина крапок, виду (0, 0, z, t).

Для кожної із цих площин змінні координати можуть приймати будь-які числові значення, у тому числі й нульове. Наприклад, крапка (5, 0, 0, 0) належить площині xy і площини xt. Тоді легко бачити, що, наприклад, площина yz «проходить» через вісь в у тому розумінні, що кожна крапка цієї осі належить цій площині. Дійсно, будь-яка крапка на осі в, тобто крапка виду (0, в, 0, 0), належить множині крапок виду (0, y, z, 0), тобто площини yz.

Отже, у чотирьохмірному просторі існують множини крапок, аналогічні координатним площинам тривимірного простору. Їх шість. Кожне з них складається із крапок, у яких, як і в крапок координатних площин тривимірного простору, дві які-небудь координати можуть приймати будь-які числові значення, а інші дві дорівнюють нулю. Кожна із цих координатних площин «проходить» через дві координатні осі: наприклад, площина yz проходить через вісь в і вісь z. З іншого боку, через кожну вісь проходять три координатні площини. Так, через вісь х проходять площини xy, xz, xt. Будемо говорити, що вісь х є перетинанням цих площин. Всі шість координатних площин містять одну загальну крапку. Це крапка (0, 0, 0, 0) - початок координат.

Одержуємо аналогічну тому, що є в тривимірному просторі. Представимо схематичний малюнок, що допоможе створити деякий наочний образ розташування координатних площин і осей чотирьохмірного простору.

Мал. 3

На малюнку осі координат зображені прямими, показані координатні площини, все точно також, як і для тривимірного простору.

Однак, у чотирьохмірному просторі є ще множини крапок, які можна називати координатними площинами. На прямій є тільки початок координат, на площині є й початок координат, і осі в тривимірному просторі, крім початку й осей, з'являються ще й координатні площини. Природно, що в чотирьохмірному просторі з'являються нові множини, які будемо називати тривимірними координатними площинами.

Це - множини, що складаються із всіх крапок, у яких які-небудь три із чотирьох координат приймають усілякі числові значення, а четверта дорівнює нулю.

Таке, наприклад, множина, що має вид (х, 0, z, t), де x, z, t приймають усілякі значення. Ця множина будемо називати тривимірною координатною площиною xzt. Легко зрозуміти, що в чотирьохмірному просторі існує чотири координатні тривимірні площини:

площина xyz - множина крапок виду (x, y, z, 0),

площина xyt - множина крапок виду (x, y, 0, t),

площина xzt - множина крапок виду (x, 0, z, t),

площина yzt - множина крапок виду (0, y, z, t).

Кожна із тривимірних координатних площин «проходить» через початок координат і що кожна із цих площин «проходить» через три координатні осі (слово «проходить» ми тут уживаємо в тому розумінні, що початок координат і кожна із крапок осей належать площині). Наприклад, тривимірна площина xyt проходить через осі x, y, t.

Аналогічно, можна сказати, що кожна із двовимірних площин є перетинанням двох тривимірних площин.

Наприклад, площина ху є перетинанням тривимірних площин xyz і xyt, тобто складається із всіх крапок, що належать одночасно й тій і іншій множині.

Чотирьохмірний куб

Визначення сфери й куба

Перейдемо тепер до розгляду геометричних фігур у чотирьохмірному просторі. Під геометричною фігурою (як і у випадку звичайної геометрії) будемо розуміти деяку множину крапок.

Візьмемо, наприклад, визначення сфери: сфера є множину крапок, вилучених від деякої крапки на те саме відстань.

Це визначення вже можна використовувати, щоб за аналогією визначити сферу в чотирьохмірному просторі: що таке крапка, ми знаємо; що така відстань між крапками, теж знаємо.

Ми й приймемо визначення, перевівши його на мову чисел (для простоти, як і у випадку тривимірного простору, візьмемо сферу із центром на початку координат).



Мал. 4. 2-мірна куля (коло) 3-мірна куля

Визначення. Множина крапок (x, y, z, t), що задовольняють співвідношенню

(5.1)

називається чотирьохмірною сферою із центром на початку координат і радіусом R.

Якщо розглядати не сферу, а куля, то зазначена рівність треба замінити нерівністю

(5.2)

Це зауваження ставиться також до двовимірного й до тривимірного випадкам.

Розповімо тепер небагато про чотирьохмірному куб. Судячи з назви, його фігура, аналогічна звичайному, добре знайомому тривимірному кубу.



Мал. 5. 3-мірний куб

На площині теж є фігура, аналогічна кубу, - це квадрат.

Мал. 6. 2-мірний куб (квадрат)

Кубом називається множина крапок (x, y, z), що задовольняють співвідношенням:

(5.3)

Це «арифметичне» визначення куба не має потреби ні в якому кресленні. Однак воно повністю відповідає геометричному визначенню куба.

У просторі є й інші куби. Наприклад, множина крапок, обумовлених співвідношеннями теж є кубом. Цей куб добре розташований щодо координатних осей: початок координат є його центром, координатні осі й координатні площини - осями й площинами симетрії. Однак для наших цілей зручний саме куб, обумовлений співвідношеннями (5.3). Такий куб ми будемо іноді називати одиничним, щоб відрізнити його від інших кубів.

Мал. 7. Одномірний куб (відрізок)

Для квадрата теж можна дати арифметичне визначення: квадратом називається множина крапок (х, у), що задовольняють співвідношенням:

Порівнюючи ці два визначення, легко зрозуміти, що квадрат дійсно є, як говорять, двовимірним аналогом куба. Будемо називати іноді квадрат «двовимірним кубом».

Можна також розглянути аналог цих фігур і в просторі одного виміру - на прямій. Одержимо множину крапок х прямій, що задовольняють співвідношенням:

Ясно, що таким «одномірним кубом» є відрізок.

Визначення. Чотирьохмірним кубом називається множина крапок (x, y, z, t), що задовольняють співвідношенням

Пристрій чотирьохмірного куба

Розглянемо один по одному «куби» різних мір, тобто відрізок, квадрат і звичайний куб.

Відрізок, обумовлений співвідношеннями є дуже простою фігурою. Про нього можна сказати, що його границя складається із двох крапок: 0 і 1. Інші крапки відрізка будемо називати внутрішніми.

Границя квадрата складається із чотирьох крапок (вершин) і чотирьох відрізків. Таким чином, квадрат має на границі елементи двох типів: крапки й відрізки. Границя тривимірного куба містить елементи трьох типів: вершини - їх 8, ребра (відрізки) - їх 12 і границь (квадрати) - їх 6.

Запишемо ці дані у вигляді таблиці:

Склад границі Фігура	Крапок (вершин)	Відрізок (сторін, ребер)	Квадратів (граней)
Відрізок	2	-	-
Квадрат	4	4	-
Куб	8	12	6

Цю таблицю можна переписати коротше, якщо вмовитися писати замість назви фігури число n, рівне її розмірності: для відрізка n = 1; для квадрата n = 2; для куба n = 3.

Замість назви елемента границі теж можна писати розмірність цього елемента: для грані n = 2, для ребра n = 1.

При цьому крапку (вершину) зручно вважати елементом нульової розмірності (n = 0). Тоді попередня таблиця прикмет наступний вид:



Розмірність границі Розмірність куба	0	1	2
1	2	-	-
2	4	4	-
3	8	12	6
4	16	32	24

Ціль - заповнити четвертий рядок цієї таблиці.

Границя відрізка складається із двох крапок: х = 0 і х =1. Границя квадрата містить 4 вершини:

х = 0, в = 0; х = 0, в = 1; х = 0, в = 1; х = 1, в = 1, тобто крапки (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Куб , , містить вісім вершин. Кожна із цих вершин є крапка (x, y, z), у якій x, y, z заміняються або нулем, або одиницею. Одержуємо наступних 8 крапок:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

Вершинами чотирьохмірного куба:

, ,

називаються крапки (x, y, z, t), у яких x, y, z, t заміняються або нулем, або одиницею. Таких вершин 16.



Мал. 8

Тоді ребрами (тривимірного) куба є сторони.

Мал. 9

х = 0, в = 0, (ребро АА₁)

, в = 0, z = 1 (ребро АB₁)

х = 1, , z = 1 (ребро B₁А₁) і т.д.

Визначення. Ребрами чотирьохмірного куба називається множина крапок, для яких всі координати, крім однієї, постійні (рівні 0, або 1), а четверта приймає всі можливі значення від 0 до 1.

Насамперед будемо розрізняти чотири групи ребер: для першою нехай змінною координатою є х ( ), а y, z, t приймають постійні значення 0 і 1 у всіх комбінаціях. Тому що існує 8 різних трійок з нуля й одиниці. Тому ребер першої групи - 8. Ребер другої групи, для яких змінної є не х, а в, теж 8. Таким чином, ясно, що всього в чотирьохмірного куба 32 ребра. Крім ребер у куба є грані, які, у свою чергу розділяються на двовимірні й тривимірні грані чотирьохмірного куба. У чотирьохмірного куба 24 двовимірної грані й 8 - тривимірних (вони зображені паралелепіпедами (мал. 10)).

4 - мірний куб Мал. 10

§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

Визначення k-площини

Нехай в n-мірному афінному просторі U_n зафіксовані довільна крапка А, і у відповідному лінійному просторі L_n зафіксований довільне k-мірний підпростір L_k.

Визначення. Множина всіх крапок М афінного простору, для яких АМ L_k, називають k-мірною площиною, що проходить через крапку А в напрямку підпростором L_k.

Говорять також, що L_k є напрямний підпростір цієї площини. Очевидно, що кожна площина визначає однозначно свій напрямний простір.

Крапку М називають поточною крапкою площини. На малюнку показані три положення М₁, М₂, М₃ поточні крапки М.

Мал. 11, де k = 2



Окремі випадки k-площин

Якщо k = 0, то площина складається з однієї крапки А. Тому кожну крапку афінного простору можна розглядати як нуль-мірну площину.

Одномірна площина називається прямою лінією.

Площина розмірності n - 1 називається гіперплощиною.

При k = n площина збігається з усім простором U_n.

У визначенні площини виділена крапка А. Доведемо, що в дійсності всі крапки площини рівноправні.

Позначимо площину через П_k і зафіксуємо довільну крапку В. Треба довести, що крапка М належить площини П_k тоді й тільки тоді, коли (тобто що будь-яка крапка М може відігравати роль А).

Нехай . По визначенню площини . Звідси й по визначенню підпростору

,

тому . Обернено, якщо , те отже,

.

Мал. 12

Теорема. Усяка k-мірна площина в афінному просторі сама є k-мірним афінним простором.

Доказ. Нехай дане афінний простір U, якому відповідає лінійний простір L, нехай П_k - площина, що проходить через крапку А в напрямку підпростору L_k. Візьмемо в площині П_k дві довільні крапки M, N . По визначенню афінного простору їм відповідає вектор . По визначенню площини вектори АМ і АN належать підпростору L_k.

Отже,

Таким чином, кожній упорядкованій парі крапок М, N площини П_k, поставимо у відповідність вектор MN з k-мірного простору L_k. При цьому дотримуються для П_k аксіоми, що випливають із визначення k-мірної площини й для всього афінного простору U. Теорема доведена.

Зауваження. Якщо площина проходить через початок афінної системи координат у напрямку підпростору L_k, то сукупність радіус-векторів її крапок утворить підпростір, по визначенню співпадаюче з підпростором L_k.

Нехай в афінному просторі U дані крапки А₀, А₁,…,А_k (у числі k + 1). Ці крапки перебувають у загальному положенні, якщо вони не належать ні однієї (k -1)-мірної площини .

Перевіримо, що крапки А₀, А₁,…,А_k перебувають у загальному положенні тоді й тільки тоді, коли вектори А₀А₁,…,А₀А_k лінійно незалежні (мал. 13), причому байдуже, яку із крапок брати в якості А₀ (тобто за початок векторів, що йдуть із її в інші крапки).

Мал. 13



Зі сказаного в цьому пункті й з визначення площини треба, що через систему крапок А₀, А₁,…,А_k, що перебувають у загальному положенні, проходить k-мірна площина й притім тільки одна.

Припустимо, що в просторі U_n зафіксована яка-небудь афінна система координат з початком О и базисом е₁, е₂, …, е_n. Розглянемо площину П_k, що проходить через крапку А в напрямку підпростору L_k.

Будемо вважати, що крапка А має координати р₁, р₂, …, р_n і що L_k задається як незалежна система векторів q₁, q₂, …, q_k... Тоді радіус-вектор ОМ поточної крапки площини можна записати у вигляді

(6.1)

де параметри ф₁, ф₂, …, ф_k незалежно друг від друга пробігають усілякі числові значення, а вектор

(мал. 14)

Мал. 14

Розкладемо вектор q₁, q₂, …, q_k по базисі е₁, е₂, …, е_n:

Координати поточної крапки М позначимо, як звичайно, через (x₁, x₂, …, x_n) і запишемо векторну рівність у координатах. У результаті одержимо n числових рівностей.

(6.2)

Ці рівності називаються параметричними рівняннями площини П_k.

Приклад. Простір, досліджуваний у стереометрії, є тривимірним афінним простором. У ньому одномірні й двовимірні площини збігаються відповідно із прямими лініями й площинами, що розуміються в елементарно-геометричному змісті. На відміну від простору, досліджуваного в елементарній геометрії, в афінному просторі не визначені метричні поняття: відстані між крапками й довжини ліній, площі й об'єми фігур, кути й перпендикулярність. При дослідженні фігур в афінному просторі вивчаються лише ті геометричні властивості, які не залежать від метричних понять.

2. Рівняння k-площини по k+1 крапкам

Якщо задані k+1 крапок А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n) і вектори А₀А_{а =} х_а - х₀ незалежні, те ці крапки визначають єдину k - площина, що проходить через них: у цьому випадку за напрямні вектори цієї площини можна прийняти вектори А₀А_а й векторне рівняння k-площини можна записати у вигляді

(6.3)

Будемо називати k-площину, обумовлену крапками А₀(х₀), А₁(х₁), …, А_n(х_n), k-площиною А₀, А₁, …, А_k.

Випадок k = n-1

Надалі будемо часто мати справа з k-поверхнями й k-площинами при k = n - 1. Говорячи, «поверхня n-простору» і «площина n-простору», але мати на увазі (n - 1)-поверхня й (n - 1)-площина цього простору. Часто поверхня й площина називається відповідно гіперповерхнею й гіперплощиною.

Поверхня можна задати одним координатним рівнянням

(6.4)

якщо координати xⁱ, що задовольняють цьому рівнянню, можна представити як функції n - 1 параметрів t₁, t₂, …, t_n-1, те одержимо

F(x) = 0. (6.5)

3. Взаємне розташування площин

3.1 Пересічні площини

У всім цьому пункті розмірності площин і підпросторів позначені індексами знизу. Нехай дві площини П_k і П_l перетинаються, то їхнім перетинанням є деяка площина П_m.

k = l = 2, m = 1

Мал. 15

Зауваження 1. Не виключена можливість, що П_m складається з однієї крапки (m = 0). Це видно на прикладі двох пересічних прямих або прямій і площині (мал. 16).



Мал. 16

У загальному випадку по одній крапці можуть перетинатися дві площини, сума різниць яких не перевищує розмірності простору, наприклад, двовимірні площини в чотирьохмірному просторі.

Зауваження 2. Не виключене й інше, коли одна із двох площин цілком належить інший. Наприклад, , тоді (мал. 17)

k = m = 1, l = 2

Мал. 17

2) Якщо площини П_k і П_l перетинаються по площині П_m, те існує єдина площина П_r, розмірності r = k + l - m, що містить П_k і П_l, причому ні в якій площині меншої розмірності П_k і П_l не можуть одночасно поміститися. Напрямний підпростір L_r площини П_r є сумою напрямних підпросторів L_k і L_l. Ця сума є прямою сумою тоді й тільки тоді, коли П_k і П_l перетинаються по одній крапці (m = 0, див. мал. 18).

Мал. 18



В окремому випадку, коли n = k + l - m, роль площини П_r виконує весь простір U_n (при r = n = 3 див. мал. 15).

3) Якщо пересічні площини П_k і П_l утримуються в якій-небудь площині П_r, те розмірність їхнього перетинання . Зокрема, для будь-яких двох непересічних площин з U_n.

4) Якщо площини П_k і П_l проходять через крапку А в напрямку підпросторів L_k і L_l відповідно і якщо L_k утримується в L_l, те площина П_k утримується в площині П_l. Якщо при цьому k = l, то П_k збігається з П_l (також і L_k збігається з L_l).

Паралельні площини

Нехай тепер площина П_k визначається крапкою А и підпростором L_k, а площина П_l - крапкою В и підпростором L_l. Будемо вважати, що .

Визначення: Площина П_k паралельна площини П_l, якщо .

У цьому випадку площина П_l паралельна площини П_k.

Зауваження 1. Відповідно до цього визначення включення є часткою случаємо паралельності.

Зауваження 2. Якщо П_k паралельна П_l, причому k = l, то L_k збігається з L_l.

Зауваження 3. Переконаємося, що при n = 3 частки випадки k = l = 1,

k = l = 2 і k =1, l = 2 погодяться з поняттям паралельності прямих і площин, відомим з елементарної геометрії (мал. 19)

Нехай у довільної афінної системі координат дві площини П и П^l однакової розмірності задані системами лінійних рівнянь. Користуючись визначенням паралельності, неважко встановити наступне твердження.



Мал. 19. а) б) в)

Твердження. Для того, щоб П и П' були паралельними, необхідно й досить, щоб відповідні однорідні системи рівнянь були еквівалентні.

Зокрема, дві гіперплощини паралельні тоді й тільки тоді, коли в тих самих координатах вони задаються рівняннями

і (6.6)

(6.7)

с пропорційними коефіцієнтами при змінних:

.

Теорема 1. Нехай в афінному просторі U_n дані площина П_k і крапка В. Тоді існує єдина площина розмірності k, що проходить через крапку В паралельно П_k. Якщо , то збігається з П_k; якщо крапка В розташована поза П_k, те площини П_k і не перетинаються.

Перехресні площини

Визначення. Дві площини називаються перехресними, якщо вони не перетинаються й не паралельні.

Відомо, що в тривимірному просторі U₃ дві прямі лінії, тобто одномірні площини, можуть схрещуватися, тоді як пряма лінія й двовимірна площина в U₃ схрещуватися не можуть. З підвищенням розмірності простору воно стає більше просторим, у результаті чого з'являється можливість будувати в ньому перехресні площини різних мір, а не тільки одномірні. Нижче сформульована теорема 2, зміст якої можна розглядати як загальний прийом побудови перехресних площин. Саме, нехай в афінному просторі U_n дана площина П_l (l < n). Візьмемо довільну площину П_k так, щоб П_k і П_l не були паралельні й перетиналися; площина, по якій вони перетинаються, позначимо через П_m. Нехай П_r - площина найменшої розмірності, що містить П_k і П_l. Ми знаємо, що r = k + l - m.

Теорема 2. Якщо , то всяка k-мірна площина, що паралельна П_k і не лежить у П_r, схрещується з П_l.

Наслідок. Якщо цілі числа k, l, m, n задовольняють нерівностям

, , ,

те в U_n найдуться перехресні площини П_k і П_l з напрямними підпросторами L_k і L_l, перетинання яких має розмірність m.

Доказ теореми 2. Тому що

,

те площина П_r не вичерпує собою всього простору U_n. Це дозволяє взяти (з більшою сваволею) крапку З, що не лежить у П_r. Позначимо через площину розмірності k, що проходить через крапку З, паралельно П_k. Ясно, що не втримується в П_r і що, вибираючи по-різному крапку З, ми можемо одержати будь-яку k-мірну площину, що задовольняє умові теореми. (Див. мал. 14, на якому k = l = 2, r = 2, n = 4, і тривимірні площини умовно зображені у вигляді паралелепіпеда).



Мал. 20

Доведемо, що площини П_l і схрещуються. Помітимо, що площина не паралельна П_l, тому що в противному випадку або , або , що суперечить умові розташування площин П_k і П_l.

Тепер доведемо, що й П_l не перетинаються. Проведемо через крапку З допоміжну r-мірну площину , паралельну П_r. Тоді й тому П_k не може перетнути П_l тому що в противному випадку крапка їхнього перетинання належала б паралельним площинам П_r і . Отже, схрещується з П_l. Теорема 2 доведена.

Нехай в n-мірному афінному просторі U_n дані перехресні площини П_k і П_l з напрямними підпросторами L_k і L_l, причому

, .

Теорема 3. Існує єдина площина П_r+1 розмірності , що містить площини П_k і П_l.

Доказ. Візьмемо довільну крапку й зафіксуємо довільну крапку ; позначимо через лінійну оболонку вектора (мал. 16). Допустимо, що існує якась площина , що містить П_k і П_l; нехай - її напрямний підпростір. Очевидно, що повинне містити L_k, L_l і , а отже, і суму цих підпросторів. Позначимо цю суму через L_r+1:

Обернено, якщо - будь-який підпростір, що включає L_r+1, те, що проходить через крапку А в напрямку , буде містити П_k і П_l. Справді, тому що й , те ; тому що , те, тому що

й , те .

Мал. 21

Одержимо серед всіх площин шукану площину П_r+1 мінімальної розмірності r + 1 у тім єдиному випадку, коли в якості береться L_r+1. Підрахуємо r + 1. Із цією метою розглянемо

й позначимо розмірність через р. По теоремі 3 (в n-мірному просторі L є підпростори L_k і L_l, розмірності яких відповідно рівні k і l. Якщо їхнє перетинання має розмірність m, то розмірність їхньої суми L_k + L_l дорівнює r = k + l - m) маємо р = k + l - m.

Покажемо, що

є пряма сума, тому розмірність L_r+1 дорівнює р + 1, тобто

(r + 1) = (k + l - m) +1

Для цього досить показати, що вектор не належить простору . Припустимо противне. Нехай . Тоді по визначенню суми підпросторів існують вектори х и в такі, що

, , . (v)

По першій аксіомі афінного простору найдеться крапка З така, що , причому . По другій аксіомі афінного простору

. (vv)

З огляду на (v), (vv), знаходимо, що , так що . Виходить, що площини П_k і П_l мають загальну крапку З, але це неможливо, оскільки площини П_k і П_l схрещуються. Теорема 3 доведена.

Зауваження. Малюнок 20 лише частково ілюструє теорему 3. Наприклад, якщо розмірності П_k і П_l більше m і різні між собою,

, те, як,

Проведені вище міркування показують, що площини П_k і П_l, про які мова йде в теоремі 3, не втримуються ні в якій площині меншої розмірності, чим r + 1.

Зберігаючи позначення попереднього підпункту, сформулюємо достатню умову перетинання двох площин.

Теорема 4. Якщо в U_n дані площини П_k і П_l, такі, що

,

де m - розмірність перетинання L_m напрямних підпросторів L_k і L_l, то П_k і П_l перетинаються.

Доказ. Крім тривіального випадку, коли яка-небудь із даних площин збігається з усім простором, має

У розташуванні двох даних площин можуть бути лише три можливості:

або П_k паралельна П_l;

або площини П_k і П_l схрещуються;

або вони перетинаються.

Якщо П_k паралельна П_l, то для розмірності m перетинання відповідних їм просторів L_k і L_l маємо m = min (k, l). Теорема доведена.

2. Розмірність різноманіття k-площин

Знайдемо розмірність Р_n,k, різноманіття всіх k-площин n-простору.

Насамперед помітимо, що число параметрів, від яких залежать k+1 крапок M₀, M₁, …, M_k n - простору з лінійно незалежними векторами , через які проходить єдина k-площина, дорівнює числу координат, цих крапок, тобто (k +1)n. Далі помітимо, що число параметрів, від яких залежать ті ж крапки на k-площині, дорівнює числу параметрів цих крапок, тобто (k +1)k.

Тому що в n-просторі, число параметрів, від яких залежать крапки дорівнює сумі числа Р_n,k і числа параметрів, від яких залежать крапки на k-площині, то одержимо, що

, тобто

. (6.7)

§7.K-Паралелепіпеди в просторі

1. Напівплощини й паралелепіпеди

Якщо в рівнянні

(7.1)

k-площини надавати одному з параметрів t^b тільки ненегативні значення , а іншим параметрам - довільні дійсні значення, ми одержимо k-напівплощину, що обмежується (k-1)-площиною,

(7.2)

Якщо в тім же рівнянні (7.1) додати всім параметрам тільки значення , ми одержимо k-паралелепіпед з вершинами

;

2-паралелепіпеди називаються паралелограмами.

Умовимося називати k-паралелепіпед з вершинами А₀, А₁, А₂, …, А_12…k паралелепіпедом А₀ А₁ А₂ … А_12…k...

На малюнку 22 зображений 3-паралелепіпед А₀ А₁ А₂ А₃ А₁₂ А₁₃ А₁₂₃ і паралелограм А₀ А₁ А₂ А_12.

а) б)

Мал. 22

2. Грані паралелепіпеда

Надаючи в рівнянні (7.1) значення всім параметрам при , а параметру - значення або , ми одержимо (k - 1)-паралелепіпеди, що є гранями k-паралелепіпеда. Грані цих (k- 1)-паралелепіпедів називаються (k - 2)-гранями k-паралелепіпеда, грані цих (k-3)-гранями k-паралелепіпеда й т. буд. Таким чином, k-паралелепіпед володіє р - гранями, де р - пробігає значення від 0 до k - 1, 0-грануй паралелепіпеда збігаються з його вершинами, 1-грані називаються ребрами (при m= 2 - сторонами). На малюнку 22 (а) сторони паралелограма - чотири відрізки А₀ А₁, А₀ А₂, А₀ А₃, А₀ А₁₂, А₁ А₁₃, А₂ А₁₂, А₂ А₂₃, А₃ А₁₃, А₁₂ А₁₂₃, А₁₃ А₁₂₃, А₂₃ А₁₂₃; 2-грані - шість паралелограмів А₀ А₁ А₁ А₁₂, А₀ А₁ А₃ А₁₃, А₀ А₂ А₃ А₂₃, А₁ А₁₂ А₁₃ А₁₂₃, А₂ А₁₂ А₂₃ А₁₂₃, А₃ А₁₃ А₂₃ А₁₂₃.

Число р-граней k-паралелепіпеда дорівнює

, де

число сполучень із k по р.

3. Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Визначимо об'єм прямокутного k-паралелепіпеда, тобто такого k-паралелепіпеда, у якого всі вектори р_а попарно перпендикулярні. Довжина будь-якого відрізка прямокутного k - паралелепіпеда називається його виміром.

Об'єм прямокутного k-паралелепіпеда називається його виміром.

Об'єм прямокутного k-паралелепіпеда тільки постійним множником відрізняється від добутку його вимірів, тобто функція відрізняється від добутку вимірів прямокутного паралелепіпеда тільки постійним множником .

Надалі будемо вважати цей постійний множник рівним 1, тобто будемо вважати, що об'єм V_k прямокутного k -паралелепіпеда дорівнює добутку його вимірів.

(7.4)

4. Об'єм довільного паралелепіпеда

Порівнюючи прямокутні k-паралелепіпед і (k-1)-паралелепіпед з об'ємами, рівному даному k-паралелепіпеду й однієї з його граней ми одержимо, що об'єм V_{k k-}паралелепіпеда дорівнює добутку об'єму V_k-1 однієї з його (k-1)-граней на відстань h_k між цією гранню й паралельної їй (k-1)-гранню.

(7.5)

Якщо назвати виділену (k-1)-грань k-паралелепіпеда його підставою, а відстань h_k його висотою, то формула (7.5) показує, що об'єм k-паралелепіпеда дорівнює добутку об'єму його підстави на висоту.



Об'єм V_{k k-}паралелепіпеда, обумовленого рівнянням

при , визначається співвідношенням

,

т. е. квадрат об'єму цього паралелепіпеда дорівнює визначнику Грама, складеному з k векторів р_а.

Твердження очевидно при k =1, коли паралелепіпед збігається з відрізком, обумовленим вектором р₁, і об'єм цього паралелепіпеда збігається з довжиною цього відрізка , тобто .

Розглянемо тепер k-паралелепіпед і припустимо, що наше твердження справедливо для його (k - 1)-граней. Розглянемо його (k - 1)-грань, обумовлену рівнянням , при й . Тоді скалярний квадрат векторного добутку в k-площині k-паралелепіпеда, дорівнює визначнику Грама, складеному з k-1 векторів (а < k), дорівнює об'єму цієї (k - 1)-грані. Тому що об'єм V_{k k-}паралелепіпеда дорівнює добутку об'єму V_k-1 цієї (k-1)-грані на відповідну висоту h_k , те об'єм V_k дорівнює

, (7.7)

де - кут між вектором р_k і перпендикуляром до (k-1)-грані в k-площині k-паралелепіпеда.