Порівняльна характеристика різних аксіоматик евклідової геометрії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Кіровоградський державний педагогічний університет

імені Володимира Винниченка

Кафедра прикладної математики, статистики та економіки

Порівняльна характеристика різних аксіоматик евклідової геометрії

Курсова робота:

Пономар Валентини Олександрівни

студентки 33 групи

фізико-математичного факультету

спеціальність:6.040201-математика

спеціалізація-основи економіки

Науковий керівник:

Євладенко Володимир Миколайович

кандидат фізико-математичних наук, доцент

2010 р.

ПЛАН

Вступ

РОЗДІЛ 1. Суть аксіоматичної побудови геометрії

1.1 “Начала” Евкліда

1.2 Аксіоматика Д.Гільберта евклідової геометрії

1.2.1 Аксіоми сполучення

1.2.2 Аксіоми порядку

1.2.3 Аксіоми конгруентності

1.2.4 Аксіоми неперервності

1.2.5 Аксіома паралельності

1.3 Векторна аксіоматика еклідової геометрії

1.4 Аксіоматика О.В. Погорєлова

РОЗДІЛ 2.Порівняльна характеристика різних аксіоматик евклідової геометрії

2.1 Гільберт - Погорєлов

2.2 Гільберт - Вейль

2.3 Аксіоми Колмогорова

Висновки

Використана література

ВСТУП

Актуальність. Нові погляди на об'єкти математики сприяли широкому застосуванню в ній аксіоматичного методу, а разом з ним і розвитку евклідової геометрії.

Розробляючи метаматематику, Гільберт наполягав на тому, що система аксіом має бути повною, незалежною й несуперечною. Особливого значення вчений надавав вимозі несуперечності аксіом, бо за нового розуміння математичної теорії як системи теорем, що виводяться дедуктивно з безлічі довільно вибраних аксіом, поняття несуперечності було єдино ефективною заміною інтуїтивно очевидних математичних істин. Але існує багато різних аксіоматик евклідової геометрії, тож буде дуже актуально розглянути їх, порівняти і встановити переваги та недоліки тієї чи іншої.

Мета. Оглядово розглянути аксіоматики Гільберта, Вейля, Погорєлова, дослідити їх та провести характеристику . Розглянути деякі доведення теорем у різних аксіоматиках.

Предмет. Різні аксіоматики евклідової геометрії.

Об'єкт. Характеристика аксіом сполучення, аксіом порядку, аксіом конгруентності та паралельних, аксіоматики О. В. Погорєлова та характеристика векторної аксіоматики евклідової геометрії.

Метод. Метод порівнянь, синтетичний та аналітичний методи.

Теоретична цінність. Порівняння різних аксіом дуже важливе, тому що може дати можливість вибрати ті чи інші способи для доведення конкретних теорем.

Практична цінність. Практичною цінністю є застосування різних аксіоматик евклідової геометрії для доведення теорем.

Короткий зміст матеріалу.

1. У вступі визначено актуальність, мету, предмет, об'єкт, метод, теоретичну та практичну цінність.

2. У першому розділі даної курсової роботи розглядається аксіоматична побудова евклідової геометрії за Д.Гільбертом, Г.Вейлем та О.В. Погорєловим.

3. У другому розділі розглядається порівняльна характеристика аксіоматики Гільбарта та Погорєлова, а також аксіоматики Вейля та Гільберта. Наведення коротких відомостей про інші аксіоматики.

РОЗДІЛ 1. Суть аксіоматичної побудови геометрії

1.1 “Начала” Евкліда

Ще на початку III століття до н. е. Арістотель чітко визначив і логічну схему систематичного викладання науки, і суть змістовної аксіоматичної теорії. У цьому ж столітті з'явились “Начала” Евкліда.

Про автора “Начал” відомостей мало. Відомо, що народився він в Афінах близько 325 до н. е., був учнем Платона. Більшу частину свого життя Евклід прожив в Александрії, де створив математичну школу. Основна його праця “Начала”. У ній Евклiд як послідовник Арістотеля виклав геометричні факти так, що кожний з них логічно випливає ,з попередніх.

Зрозуміло, що об'єднання численних розрізнених фактів, відшукання їх логічних доведень і, особливо, розміщення цих доведень у єдиному логічному ланцюгу було надзвичайно важким завданням. Евклід виконав його з виключною для того часу майстерністю.

За “Началами” протягом багатьох століть геометрію вивчали в усіх школах. З кінця XV століття ця книжка витримала більш як 1500 видань на багатьох мовах світу. Таким тривалим успіхом не користувалась жодна наукова книга. “Начала” Евкліда були зразком логічної строгості до XIX століття, аж поки не виявились докорінні недоліки в їх побудові.

“Начала” Евкліда складаються з 13 книжок: у перших шести викладається планіметрія, у сьомій, восьмій, дев'ятій книжках подаються елементи теорії чисел, десята книжка присвячена геометричній теорії ірраціональних чисел, у наступних трьох викладається стереометрія.

Кожна книжка “Начал” починається з означень тих термінів, які зустрічаються в ній, у першій книзі перелічено також аксіоми і постулати. Потім ідуть твердження -- так називає Евклід теореми і задачі.

На початку першої книжки “Начал” вміщено 23 означення, 5 постулатів і 9 аксіом.

Наведемо кілька означень.

1. Точка є те, що не має частин.

2. Лінія є довжина без ширини.

3. Кінці лінії -- точки.

4. Пряма лінія є та, яка однаково лежить відносно всіх своїх точок.

Ці означення незадовільні з логічного боку: вони не мають точного змісту і не придатні для логічних міркувань. Для повної строгості треба було б перелічити спочатку основні (родові) поняття, за допомогою яких означуються усі інші. Евклід цього не робить, вважаючи інтуїтивно очевидними поняття: “частина”, “довжина”, “ширина”.

Взагалі, з сучасної точки зору багато “означень” з першої книжки “Начал” нічого не означають і є зайвими.

Отже, не дивно, що при побудові геометрії Евклід фактично не користується своїми означеннями.

Розглянемо тепер основні припущення, на яких побудовано систему Евкліда - постулати і аксіоми.

Постулати.

Вимагається, щоб:

1. Від кожної точки до кожної іншої точки можна було провести пряму лінію.

2. Кожну обмежену пряму можна було продовжити по прямій, як завгодно далеко.

3. З довільного центра можна було описати коло будь-яким радіусом.

4. Всі прямі кути були рівні між собою.

5. Кожного разу, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менша від двох інших, ці прямі (продовжені як завгодно далеко) перетинались з того боку, з якого ця сума менша від двох прямих.

Нагадаємо, що сукупність тверджень геометрії, доведення яких на п'ятий постулат не спираються, називають абсолютною геометрією.

Аксіоми.

1. Рівні одному і тому самому рівні між собою.

2. Якщо до рівних додають рівні, то й цілі будуть рівними (тобто і суми будуть рівними).

3. І якщо від рівних відняти рівні, то остачі будуть рівними.

4. І якщо до нерівних додаються рівні, то цілі будуть нерівні.

5. І подвоєні одного і того самого рівні між собою.

6. І половини одного і того самого рівні між собою.

7. І ті, що суміщаються одне з одним, рівні між собою.

8. І ціле більше від своєї частини.

9. І дві прямі не містять простору.

Потім у першій книзі “Начал” ідуть твердження, тобто задачі на побудову і теореми.

Розглядаючи їх, Евклід допускає логічні помилки, пов'язані з неповнотою аксіоматики: - він користується, властивостями фігур, що логічно не випливають з прийнятих аксіом та постулатів.

Наприклад, у твердженні п е р ш о м у (на даній обмеженій прямій побудувати рівносторонній трикутник) Евклід використовує ідею неперервності, хоч у його системі нема аксіом, на які можна було б спиратися в даному випадку.

Система евклідових аксіом взагалі недосконала і не може бути основою для логічної побудови геометрії. Евклід дуже часто відступає від строгого аксіоматичного принципу: не перелічує без означень основних (вихідних) понять, не дає системи аксіом, достатньої для логічної побудови геометрії, використовує в доведеннях такі твердження, які не були доведені і не належать до аксіом.

1.2 Аксіоматична побудова евклідової геометрії в системі Гільберта

На прикінці XIX століття була вперше розв'язана задача строго аксіоматичного обгрунтування геометрії Евкліда. Розв'язали її одночасно кілька математиків, серед яких особливо слід відзначити: італійця Маріо Пієрі, професора Геттінгенського університету Д.Гільберта (1862-1943), приват-доцента Новоросійського університету В.Ф Кагана (1869-1953). Особливої популярності набула система аксіом, яку подав Д.Гільберт у своїй праці ”Основи геометрії” (1899). У 1904 році цей твір було відзначено міжнародною премією ім. М.І. Лобачевського.

Гільберт розглянув три різні множини основних об'єктів або елементів геометрїї, а також деякі основні відношення між ними.

Об'єкти першої множини (елементи першого роду) називають точками і позначають А, В, С, ... ; об'єкти другої множини (елементами другого роду) - прямими і позначають а,b,с, ... ; об'єкти третьої множини (елементи третього роду) - площинами і позначають ?, ?, ?, …. Множину всіх точок, прямих і площин називають простором.

Основні відношення позначають словами: “належати”, “лежати між”, “конгруентні”.

За Гільбертом, основні геометричні поняття мають задовольняти наведену нижче систему аксіом, що складається з п'яти груп.

Перша група аксіом містить 8 аксіом сполучення, друга - 4 аксіоми порядку, третя - 5 аксіом конгруентності, четверта одну аксіому про паралельні, п'ята - 2 аксіоми неперервності.

Через основні поняття логічно виражаються всі інші геометричні об'єкти і відношення. Властивості всіх геометричних об'єктів і відношень, які не перелічені в системі аксіом, є логічними наслідками цієї системи.

1.2.1 Перша група аксіом - аксіоми сполучення

У першій групі аксіом перелічуються основні властивості відношення “належати”, яке може пов'язувати точки, прямі й площини.[8,c 289]

Надалі говоритимемо про дві, три, ... точки (прямі, площини), маючи на увазі лише різні точки (прямі, площини). Вважатимемо, що коли елемент х належить елементу у, то й елемент у належить елементу х (у позначеннях (х)(у)>(у)(х)).

До першої групи Гільберт відніс вісім аксіом, третю й четверту з них ми розбиваємо на дві. Третю аксіому системи Гільберта у наведеному нижче переліку аксіом висловлено в аксіомах І3 і І4, четверту - в аксіомах І5 і І7. Таким чином, дістанемо десять аксіом сполучення.

І1 Для всяких двох точок існує пряма, що належить кожній з цих точок.

І2. Для всяких двох точок існує не більш ніж одна пряма, що належить кожній з цих точок.

І3. Для всякої прямої існує принаймні дві точки, кожна з яких належить цій прямій.

І4. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.

І5. Для всяких трьох точок, що не належать одній і тій самій прямій, існує площина, яка належить кожній з цих точок.

І6. Для всяких трьох точок, що не належать одній прямій, існує не більш як одна площина, яка належить кожній з цих точок.

І7. Для всякої площини існує принаймні одна точка, яка їй належить.

І8. Якщо кожна з двох точок, які належать прямій а, належать і площині ?, то всяка точка, що належить прямій а, належить і площині ?.

І9. Якщо існує точка, яка належить кожній з двох площин, то існує принаймні ще одна точка, що належить кожній з цих двох площин.

І10. Існують принаймні чотири точки, що не належать одній площині.

Спираючись на доведені вище аксіоми сполучення, можна тепер строго логічно довести ряд тверджень (теорем) - наслідків цих аксіом.

ТЕОРЕМА1. Дві прямі а і b можуть перетинатися не більш як в одній точці.

? Припустимо протилежне: прямі а і b перетинаються в двох точках А, В. Тоді кожна з них належить і прямій а, і прямій b, тобто пряма а та сама, що й пряма b, і навпаки (аксіома І2). Не суперечить умові теореми. Отже, прямі а і b можуть перетинатися не більш як в одній точці.?

Домовимося:

1) замість пряма а належить кожній з точок А, В говорити, пряма а належить точкам А і В; пряма а проходить через точки А і В; точки А і В належать прямій а;

2) прямy а, що належить точкам А і В, позначати через (АВ) або (ВА);

3) записувати А)(а, якщо точка А належить прямій а і А)(а, якщо ця точка не належить площині ?.

ТЕОРЕМА2. Якщо точка С не лежить на прямій АВ, то не існує прямої, яка належить усім трьом точкам А, В, С.

? Припустимо протилежне: існує пряма а, що належить точкам А, В, С. Тоді а)(А, В і (АВ))(А, В. Отже, пряма а та сама, що й (АВ) (аксіома І2). Таким чином, (АВ))(С, що суперечить умові. ?

ТЕОРЕМА3. Для всякої площини існують принаймні три точки, що їй належать.

Розглянемо, наприклад, довення такого твердження:

Для всякої точки К, що не належить прямій р, існують принаймні три прямі, які належать точці К і перетинають пряму р (рис. 1).

?.

Існують точки А, В, які належать прямій р (аксіома І3). Візьмемо на відрізку АВ якусь точку С. Тоді за аксіомою І1 існують пряма а, яка належить точкам К і А, пряма b, яка належить точкам К і В, пряма с, яка належить точкам К і С.

Доведемо, що прямі а, b, с - різні.

Для цього припустимо протилежне: прямі а, b, с - одна і та сама пряма. В такому разі точки К, А, В належать одній прямій - прямій р, що суперечить умові теореми.

Аналогічна суперечність виникне з умовою теореми, коли припустимо, що пряма збігається з однією з прямих а, b.?

На перший погляд наведене міркування здається правильним. Проте в ньому допущено дві помилки: а) використовувалося поняття “відрізок”, яке не належить до основних і не було означене; б) без доведення стверджувалося існування точки, що належить прямій р (за аксіомою І3 існує принаймні дві точки, кожна з яких належить прямій р); існування ж третьої точки С, що належить цій прямій, слід довести, причому, як буде показано далі, цього не можна зробити на основі лише аксіом сполучення.

1.2.2 Друга група аксіом - аксіоми порядку

Точка прямої може бути у відношенні “лежати між” з двома іншими точками цієї самої прямої. Відношення “лежати між” має влативості, перелічені в аксіомах порядку.[8, c 290]

II1. Якщо точка В лежить між точкою А і точкою С (у поначеннях АВС), то точки А, В, С - три різні точки однієї прямої.

ІІ2. Якщо АВС, то СВА.

ІІ3. Для всяких двох точок А і В існує принаймні одна така точка С, що АВС.

ІІ4.3 будь-яких трьох точок, що належать одній прямій, не більш як одна лежить між двома іншими.

Розглянемо тепер на прямій а дві точки А і В.

ОЗНАЧЕННЯ1. Множина точок А і В називається відрізком АВ або ВА. Точки А і В називаються кінцями відрізка. Точки, що лежать між точками А і В, називаються внутрішніми точками відрізка АВ. Усі інші точки прямої а називаються зовнішніми точками цього відрізка. Пряма перетинає відрізок, якщо вона проходить через одну і тільки одну його внутрішню точку.

Отже, для всякого відрізка існує принаймні одна зовнішня точка (аксіома ІІ3). З аксіоми ІІ3 випливає також, що для деяких відрізків існують внутрішні точки. Справді, нехай дано точки А і В. За аксіомою ІІ3 існує точка С, що АВС, тобто для відрізка АС існує внутрішня точка - точка В.

Зауважимо, проте, що серед аксіом ІІ1-ІІ4 немає твердження про існування внутрішньої точки для всякого відрізка. У перших виданнях “Основ геометрії” Д.Гільберта воно було серед аксіом порядку. Крім того за аксіому було прийняте таке твердження: з трьох точок, що належать одній прямій, одна лежить між двома іншими.

ОЗНАЧЕННЯ2. Множина точок. А, В, С, що не лежать на оній прямій, називається трикутником АВС (ВАС, СВА і т.д.). Точки А, В, С називаються вершинами цього трикутника, відрізки АВ, ВС, АС - його сторонами. Площина, що належить вершинам А, В, С називається площиною трикутника АВС.

Аксіоми порядку вперше докладно дослідив німецький математик М.Паш у своїх “Лекціях з нової геометрії” (1882). Зокрема, наступну аксіому запропонував Паш.

II5. (аксіома Паша). Пряма, яка лежить у площині трикутника, не проходить через жодну його вершину і перетинає одну з його сторін, перетинає принаймні ще одну з його сторін.

За допомогою аксіом перших двох груп можна довести багато важливих теорем геометрії, зокрема теореми про розбиття множини точок прямої на два промені, про впорядкованість множини точок прямої, про розбиття множини точок площини на дві півплощини, а множини точок простору, на два півпростори. За допомогою аксіом перших двох груп доводиться існування кута, ламаної, многокутника, теорема Жордана про розбиття площини простою ламаною на дві області та її просторовий аналог. Отже, на аксіомах сполученння і порядку грунтується багато важливих теорем про взаємне розміщення фігур. Проте ці аксіоми не дають можливості повністю з'ясувати навіть питання про взаємне розміщення прямих (з них не випливає існування у площині прямих, які не перетинаються) або досліджувати конгруентність фігур.

Розглянемо деякі наслідки з аксіом сполучення і порядку.

ТЕОРЕМА4. Серед трьох точок А, В, С, що належать одній і тій самій прямій, завжди існує одна, що лежить між двома іншими.

? Нехай А не лежить між В і С, а С не лежить між А і В(рис. 2). Проведемо через точку Е, що лежить поза прямою АС (точка Е існує за аксіомою І4), і точку В - пряму, вибравши на ній точку Н так, щоб ВЕН (аксіома ІІ3).

Точки В, С і Н не лежать на одній прямій (доведення від супротивного), причому трикутник ВСН і пряма АЕ задовольняють, аксіому Паша. За цією аксіомою пряма АЕ перетинає відрізок НС в деякій точці К.

Аналогічно застосовуючи аксіому Паша до ?АВН і прямої СЕ, до ?АКН і прямої СМ, а також до ?АСК і прямої НЕ, дістанемо, що пряма СЕ перетинає відрізок АН в деякій точці М, отже АЕК і АВС. ?

Наведемо без доведення кілька теорем, які випливають з аксіом перших двох груп.

1) Пряма, яка лежить у площині трикитника не проходить через жодну з його вершин і перетинає одну із сторін, перетинає ще не більш як одну з його сторін (доповнення до аксіоми Паша).

2) Якщо АВС і ВСЕ,то АВЕ і АСЕ.

3) Якщо АВС і АСЕ, то АВЕ і ВСЕ.

4) Якщо АВD і ВСD, то АВС і АСD.

5) Між будь-якими двома точками існує зчисленна множина точок (незчисленність такої множини з аксіом І-ІІ не випливає).

ОЗНАЧЕННЯ3. Нехай А, В, О - три точки прямої. Якщо О лежить між А і В, то говорять, що А і В лежать по різні боки від О, якщо О не лежить між А і В, то говорять, що А і В лежать з одного боку від О. Множина точок прямої, що лежать з одного боку від точки О цієї прямої (разом з точкою О), називається променем з вершиною в точці О. Відкритим променем називається множина точок промення без точки О.

ТЕОРЕМА5. Кожна точка О прямої розбиває множину інших точок цієї прямої на два відкритих промені.

ОЗНАЧЕННЯ4. Нехай у площині ? дано пряму а та дві точки А і В поза нею. Говоритимемо, що точки А, В лежать з одного боку від прямої а, коли відрізок АВ не перетинає її, і що точки А, В лежать по різні боки від а, коли відрізок АВ перетинає її. Множина, що складається з точки А і всіх точок площини, які лежать з точкою А з одного боку від прямої а, називається відкритою площиною з межею а.

За допомогою аксіом перших двох груп можна довести транзитивність співвідношення “дві точки лежать з одного боку від прямої”. Це дає можливість говорити, наприклад, що відкритий промінь ОА лежить з одного боку від прямої ОВ, якщо він не належить прямій ОВ.

ТЕОРЕМА6. Кожна пряма а, яка лежить у площині ?, розбиває множину точок площини ?, що не належать ?, на дві відкритих півплощини з межею а.

Аналогічні означення й теореми легко сформулювати і для простору.

1.2.3 Третя група - аксіоми конгруентності

Ці аксіоми визначають поняття конгруентності, а тим самим - поняття руху.[8,c 293]

ІІІ1. Якщо А, В - дві точки на прямій а і А' - точка на тій самій прямій або на іншій прямій а', то завжди на цій прямій можна знайти точку В', яка лежить із заданого боку від А', і таку, що відрізок АВ конгруентний відрізку А'B': [AВ] [A'B'].

Ця аксіома говорить про можливість відкладання даного відрізка на заданому промені від його вершини А'.

ІІІ2. Якщо [A1B1] [AB] і [A2B2] [AB], то [A1B1] [A2B2].

ІІІ3. Якщо АВС, А'В'С, [АВ] [А'В'] і [ВС] [В'С'], то [AC] [А'C']

Ця аксіома дає можливість додавати відрізки.

ІІІ4. Будь-який кут конгруентний сам собі.

ІІІ5. Для будь-якого кута АОВ, що лежить у площині ?, і променя А'О' на площині ?' існує із заданого боку від прямої О'А' на площині ?' єдиний промінь О'В', такий, що кут АОВ конгруентний куту А'О'В' (у позначеннях <АОВ <А'О'В').

Інакше кажучи, кожний кут можна відкласти єдиним способом (у заданій площині) від заданого променя О'А' із заданого боку від прямої О'А'.

ІІІ6. Якщо у трикутнику АВС і А'В'С' має місце співвідношення: [AB] [A'B'], [ВС] [В'С'], <АВC <А'B'C, 'то <ВAC <B'A'C'.

Зауважимо, що в аксіомах конгруентності єдиність відкладання відрізка не вимагається, проте для кутів доводиться аксіоматизувати єдиність такого відкладання. Транзитивність конгруентності кутів, а також можливість їх додавання можна довести за допомогою аксіом. Те саме стосується властивостей конгруентності відрізків.

З аксіом І-ІІІ випливають теореми про конгруентність кутів при основі рівнобедреного трикутника, про конгруентність вертикальних кутів, про існування прямого кута і конгруентність усіх прямих кутів між собою, про існування і єдиність середини відрізка, про існування і єдиність бісектриси кута, про існування прямих і площин, що не перетинаються та інші теореми, повязані з конгруентнісю фігур.

Зокрема, з аксіом І-ІІІ випливає, що зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній, не суміжний з ним, теорема про трикутники з двома парами конгруентності відповідних сторін (проти більшого з кутів, що міститься між цими сторонами, лежить більша сторона і навпаки). Доводяться також деякі теореми про кола, зокрема про те, що пряма і коло можуть мати не більш як дві спільні точки.

Проте за допомогою аксіом I-III не можна довести незчисленність множини точок прямої та теореми про існування точок перетину двох кіл, прямої з колом, якщо пряма проходить через внутрішню точку круга. Не можна побудувати також теорію вимірювання відрізків і ввести систему координат на прямій.

Сформулюємо кілька наслідків з аксіом І-ІІІ і доведемо деякі з них.

ТЕОРЕМА7. Точка В', про існування якої сказано в аксіомі ІІІ1 - єдина.

?.Припустимо протилежне: на прямій а' існують дві точки В' і В*, що задовольняють аксіому ІІІ1 (рис. 3): [AB] [A'B'] і [AB] [A'B*]. Візьмемо точку С поза прямою АВ.

За аксіомою ІІІ5 у площині ?' із заданого боку від прямої а' (виберемо її довільно) існує такий промінь А'М', що <САВ < М'А'В'.

За аксіомою ІІІ1 на промені А'М' існує така точка С', що [АС] [А'С'].

АВС і А'В'С' -трикутники, у яких [СА] [С'А'], [АВ] [А'В'], <САВ <С'А'В'. (1)

Згідно з аксіомою ІІІ6 <АСВ< А'С'В' (2)

[СА] [С'А'], [АВ] [А'В'], <САВ < С'А'В'. (3)

Згідно з аксіомою ІІІ6 <АСВ < А'С'В' (4)

Очевидно, що співвідношення (2) і (4) суперечать аксіомі ІІІ3, що промені С'В' і С'В* різні та лежать з одного боку від прямої С'А'. ?

ТЕОРЕМА8. Відношення конгруентності відрізків має властивості рефлексивності, симетричності, транзитивності.

ТЕОРЕМА9. Якщо А і В- точки на різних сторонах кута, то всякий промінь, який проходить всередині кута з початком в його вершині перетинає відрізок АВ і навпаки.

ТЕОРЕМА10. Якщо АВС, А'В'С', [АВ] [А'В'] і [АС] [А'С'], то [ВС] [В'С'] (теорема про віднімання відрізків).

ОЗНАЧЕННЯ1. Трикутник називається конгруентним трикутнику А'В'С', якщо [АВ] [А'В'], [АС] [А'С'], [ВС] [В'С'], <А<А', <В<В', <С<С'.

1.2.4 Четверта група аксіом - аксіоми неперервності

Пряму і коло учні інтуїтивно уявляють неперервними. Протягом багатьох століть уявлення про неперервність прямої були лише інтуїтивними. І тільки в середині 19 століття виникло питання про означення цього поняття. У працях Дедекінда, Вейєрштраса, Кантора і Гільберта поняття неперервності дістало різнобічну логічну обробку.

Як аксіоми неперервності для обгрунтування евклідової геометрії можуть бути прийняті твердження Архімеда і Кантора.

ІV1. (Твердження Архімеда). Для будь-яких відрізків АВ і СD на прямій існує скінченне число точок А1, А2, ..., Аn, розміщенних так, що точка А1 лежить між А і А2, точка А2 між А1 і А3, і так далі, при чому відрізки АА1, А1А2, ..., Аn-1An контруентні відрізку СD і точка В лежить між точками А і Аn.

IV2. (Твердження Кантора). Якщо в нескінченній послідовності відрізків А1В1, А2В2, ... , з яких кожний наступний лежить усередині попереднього,для будь-якого наперед заданого відрізка СD знайдеться відрізок АnBn, менший за відрізок СD, то існує точка М, яка лежить усередині всіх відрізків А1В1, А2В2, ....

1.2.5 П'ята група - аксіома паралельних

Можна довести, що для будь-якої точки А, що лежить поза прямою ВС, існує пряма яка проходить через точку А і паралельна прямій ВС. Чи єдина ця пряма? Це, на перший погляд просте питання, виявилось дуже складним. Зазначимо лише, що аксіома паралельних у евклідовій геометрії відповідає на це позитивно.

V (аксіома паралельних). До кожної точки А, що не лежить на прямій ВС, у площині АВС існує не більш як одна пряма, яка належить точці А і не перетинає пряму ВС.

За допомогою цієї аксіоми відразу доводиться теорема про конгруентність внутрішніх відповідних кутів, утворених двома паралельними і січною, теорема про суму кутів трикутника в евклідовій геометрії.

ТЕОРЕМА11. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.

Інші теореми евклідової геометрії дістаємо як логічні наслідки аксіом І-V. Зокрема, аксіоми I-V обгрунтовують декартотову аналітичну геометрію. Отже, з аксіоматичної точки зору евклідова геометрія є множина аксіом І-V та їх логічних наслідків. Вона вивчає властивості будь-яких об'єктів і відношень, які задовольняють цю систему аксіом.

1.2.5 Аксіома паралельних та еквівалентні їй твердження

В аксіоматиках О.М.Колмогорова, О.В.Погорєлова і Л .С Атанасяна останньою по порядку аксіомою формулюється аксіома паралельних. Множину передуючих їй аксіом в кожній з цих аксіоматик називають системою аксіом абсолютної планіметрії. Взагалі, якщо маємо деяку систему аксіом геометрії Евкліда, то виключенням з цієї системи аксіоми паралельних або її еквівалента, отримаємо систему аксіом абсолютної геометрії. Значить, абсолютною геометрією називають ту частину геометрії Евкліда, в якій доведення теорем не спираються на аксіому паралельних.

В підручниках Л.С.Атанасяна та О.М.Колмогорова наведенні деякі доведення теорем, що відносяться до абсолютної геометрії. Перелічимо деякі з них.

ТЕОРЕМА12. Довжина простої ламаної більша відстані між її кінцями.

ТЕОРЕМА13. Два кола можуть не мати спільних точок, можуть мати одну або дві спільні точки.

ТЕОРЕМА14. Через довільну точку можна провести одну і тільки одну пряму, перпендикулярну даній прямій.

ТЕОРЕМА15. Множина точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є серединний перпендикуляр до цього відрізка.

ТЕОРЕМА16. Множина точок опуклого кута, рівновіддалених від його сторін є бісектриса цього кута.

ТЕОРЕМА17. Відстань від точки до її проекції на пряму менша за відстань від цієї точки до довільної іншої точки даної прямої (перпендикуляр коротший за похилу).

ТЕОРЕМА18. Коло і пряма можуть не мати спільних точок, мати одну або дві спільні точки.

ТЕОРЕМА19. Якщо пряма перпендикулярна до радіуса кола і проходить через його кінець, що лежить на колі, та вона дотикається до цього кола і навпаки.

Вкажемо ще декілька теорем абсолютної планіметрії, якими скористаємося надалі.

ТЕОРЕМА20. (Теорема про зовнішній кут трикутника). Зовнішній кут трикутника більший за кожний з внутрішніх, з ним не суміжних.

?. Нехай дано трикутник (рис. 4). Доведемо, що зовнішній кут при вершині С більший за внутрішній кут при вершиш В.

Позначимо літерою О середину відрізка ВС. На продовженні відрізка АО відкладемо відрізок ОD, рівний відрізку АО. Розглянемо ?АОВ і ?DОС. В них <АОВ=<DOC, АО=ВО, AO = DO, OB=OC. Oтже, ?АОВ=?DOC і <ABO=<DОС. Але <DОС є лише частиною зовнішнього кута ВСМ при вершині С. Значить, <DСО менший кута ВСМ. Oтже, <АВО також менший за <ВСМ. Аналогічно доводиться , що < ВСМ більший за внутрішній кут при вершині А.?

ТЕОРЕМА21. Два перпендикуляри до однієї й тієї ж прямої паралельні.



? Нехай прямі АВ і СD - перпендикуляри до прямої р (рис. 5).

Припустимо, що вони перетинаються в точці М. Тоді в ?АМС зовнішній кут при вершині С дорівнює внутрішньому куту при вершині A (обидва прямі), що протирічить теоремі про зовнішній кут трикутника.?

ТЕОРЕМА22. Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються рівні відповідні кути, то ці прямі паралельні.

Припущення

супротивного призводить до протиріччя з теоремою про зовнішній кут трикутника.

ТЕОРЕМА23. Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються внутрішні односторонні кути, що в сумі складають два прямих кути, то ці прямі паралельні.

ТЕОРЕМА24. Через точку С, що лежить поза прямою АВ можна завжди провести промінь СЕ, що перетинає пряму АВ в такій точці Р, що <АРС буде як завгодно малим.

Доведення цих теорем ми не приводимо, тільки підкреслюємо, що кожна з них доводиться без використання аксіоми паралельних.

В “Початках” Евкліда прийнято без доведення як аксіому наступне твердження (п'ятий постулат): кожний раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менша за два прямих кути, ці прямі перетинаються з того боку, з якого ця сума менша за два прямих кути (рис. 6).

ТЕОРЕМА25. П'ятий постулат еквівалентний відносно аксіом абсолютної геометрії твердженню Прокла-Плейфера: “через точку, що лежить поза прямою, проходить не більше однієї прямої, паралельної до цієї прямої”.

Еквівалентність цього твердження п'ятому постулату була відмічена грецьким вченим Гіроклом (410-485). У виданні “Початків”, що пристосовано для вивчення в школі, в такій формі аксіому паралельних сформулював англійський математик Плейфер в 1795 році. Надалі пропозицію Прокла-Плейфера будемо називати аксіомою паралельних, як це прийнято в сучасній літературі.

Але на жаль в аксіоматиці Гільберта є деякі недоліки. Головне - це те, що вона внутрішньо ніяк не зв'язана з поняття векторного простору, яке в наш час відіграє в математиці надзвичайно важливу роль.

Можна сказати, що при визначенні структури простору Е3 Гільберт бере ту ж базу Е, F, G, яка була у Евкліда, виділяє основні відношення (що не було зроблено Евклідом та й не могло бути зроблене ним при такому стані математики, який вона мала в епоху Евкліда), і дає список аксіом, які описують властивості цих відношень. Таким чином, аксіоматика Гільберта призвичаєна до побудови геометрії простору Е3 “в дусі самого Евкліда”.

1.3 Векторна аксіоматика еклідової геометрії

У математиці та її застосуваннях широко використовується поняття векторного простору. У 1918 р. німецький математик Герман Вейль запропонував схему побудови евклідової геометрії на векторній основі.[1,c 102]

За вихідні поняття геометрії в аксіоматиці Г. Вейля приймаються: “вектор”, “точка”, “сума векторів”, “добуток вектора на дійсне число”, “скалярний добуток векторів”, “відкладання вектора від точки”.

Значна роль векторних просторів у багатьох застосуваннях математики і простота використання координатного методу у векторних просторах довільного числа вимірів сприяють використанню аксіоматики Г. Вейля у викладанні геометрії.

Наведемо один з варіантів векторної аксіоматики.

І. Аксіоми додавання векторів.

Основне відношення: кожним двом векторам а і b відповідає один певний вектор, що називається їх сумою і позначається а + b.

І1. Для будь-яких двох векторів а і b

а + b = b + а

І2. Для будь-яких трьох векторів а, b і c

(a + b) +c = a + (b + c)

I3. Існує такий вектор 0, що для довільного вектора а:

а + 0 + а (вектор 0 називається нульовим вектором).

I4. Для будь-якого вектора а існує такий вектор а', що а + а' = 0 (вектор а називається протилежним до вектора а і позначається через -а).

II. Аксіоми множення вектора на число.

Основне відношення: кожному вектору а і кожному дійсному числу k відповідає один певний вектор, що називається добутком вектора а на число k i позначається - через ka.

ІІ1. 1а = а для будь-якого вектора а.

ІІ2. k(lа) = (kl)а для довільного вектора а і будь-яких дійсних чисел k і l.

II3. (к + l)а = kа + lа для будь-якого вектора а і до вільних дійсних чисел k i l.

ІІ4. к(а + b) = ka + kb для довільних векторів а і b і будь-якого дійсного числа k.

З перших двох груп аксіом випливає, що добуток будь-якого вектора на число 0 і добуток нульового вектора на довільне число є нульовий вектор.

IIІ. Аксіоми розмірності.

Означення. Вектори а1, а2, … , аn називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа k1, k2, …, kn з яких принаймні одне не дорівнює нулеві, що

k1a1 + k2a2 + …+ knan = 0

Якщо вектори не є лінійно залежними, то вони називаються лінійно незалежними.

III1. Існує n лінійно незалежних векторів.

III2. Будь-які n + 1 векторів лінійно залежні.

IV. Аксіоми відкладання вектора.

Основне відношення: кожній парі точок А і В відповідає один певний вектор, що позначається через АВ.

IV1. Для довільної, точки А і будь-якого вектора а існує така єдина точка В, що АВ = а (у цьому разі говорять, що точку В дістали в результаті відкладання вектора а від точки А).

IV2. АВ + ВС = АС для будь-яких трьох точок А, В, С.

З аксіом І-IV випливає, що АА = 0 і що АВ = -ВА.

V. Метричні аксіоми.

Основне відношення: кожним двом векторам а і b відповідає одне певне дійсне число, яке називається їх скалярним добутком і позначається через аb.

V1. аb = bа для будь-яких векторів а і b.

V2. (а + b)с = ac + bc для будь-яких векторів а, b, с.

V3. (kа) b = k (аb) для будь-яких векторів а, b і довільного дійсного числа k.

V4. аа > 0 для будь-якого вектора а.

Число аа називається скалярним квадратом вектора а і позначається також через а2. Число позначається через |а| і називається довжиною вектора а.

V5. a = 0 тільки в тому випадку, коли а = 0.

Тепер розглянемо деяке представлення евклідової геометрії в просторі Еn. Простір Еn володіє усіма властивостями простору Аn, тому вся теорія простору Аn відноситься і до простору Еn. Але Еn володіє рядом так званих метричних властивостей, які слідують з аксіом скалярного множення векторів. Для вивчення цих властивостей частіше всього використовують прямокутну систему координат. Система координат {О,,,….,} в Еn називається прямокутною-декартовой (або просто прямокутною), якщо базис ,,…., ортонормований.[6, c.262]

Відстанню (А,В) між точками А і В називається довжина вектора :

(А,В) = || (1)

Виведемо формулу для знаходження відстанні між точками, заданими своїми координатами.

Теорема1. Для будь-яких точок А, В і С простору Еn

(А,С) (А,В) + (В,С). (2)

. За аксіомою трикутника = + , тому = + 2 + . Звідси слідує:

|| = || + 2 + || (3)

Отже ||||. Таким чином || = || + 2 + || або ||(|| + ||). Звідси спираючись на рівність (1), отримуємо рівність (2).

Довжиною відрізка називається відстань між його кінцями. Так як довжина будь-якого ненульового вектора більша за нуль, з формули (1) слідує, що довжина будь-якого відрізка виражається додатнім числом. Два відрізки називаються рівними, якщо їх довжини рівні.

Теорема2. Якщо А, В і С три точки простору Еn, то рівність АВ+ВС=АС має місце тоді і тільки тоді, коли точка В лежить між точками А і С.

. Нехай точка В лежить між точками А і С, тобто =t, де t>0. =||||, тому з рівністі (3) маємо: || = || + 2 + ||, або || = (|| + ||), || = || + ||, тобто АВ+ВС=АС.

Навпаки, нехай АВ+ВС=АС. Тоді = + 2 + , або || = || + 2|||| + ||. Порівнюючи цю рівність з рівністю (3), ми приходимо до висновку , що =||||. Якщо t>, то =t, таким чином точка В лежить між точками А і С.

Наслідок1. Якщо точки А, В і С не лежать на одній прямій, то АВ+ВС>АС.

Наслідок2. Фігура, яка складається з точки О і двох променів ОА і ОВ, які виходять з цієї точки, називається кутом і позначається так: АОВ або О. нехай і - орти векторів , тобто =, =. Кут між векторами і називається мірою кута АОВ.

Отже можемо записати, що міра кута АОВ знаходиться за формулою:

cos= (6)

Кут АОВ називається прямим, якщо його міра кута рівна . З формули (6) слідує, що АОВ прямий тоді і тільки тоді, коли =0.

1.4 Аксіоматика О.В. Погорєлова

У передмові до книги “Основи геометрії” О. В. Погорєлов зазначає, що з метою покращення професійної підготовки вчителя математики у курсі основ геометрії для університетів та педагогічних інститутів доцільно в аксіомах Гільберта замінити групи аксіом порядку і конгруентності еквівалентними їм групами аксіом -- замість аксіом порядку ввести систему аксіом, що грунтується на відношенні слідування для пар точок, а замість аксіом конгруентності -- аксіоми руху.[1,c. 89]

Вихідними поняттями геометрії у системі аксіом Погорєлова є: “точка”, “пряма”, “площина”, “належність”, “напрям”, “передувати”, “рух”.

Аксіоми порядку означають поняття: “напрям” і “передувати”.

Вважається, що на прямій є два взаємно протилежних напрями і щодо кожного з них будь-яка пара точок перебуває у відношенні “передувати”. Вираз “A передує В” записують так: A < В.

II. Аксіоми порядку.

ІІ1. Якщо А < В в одному напрямі, то В < А у протилежному напрямі.

ІІ2. В одному з двох напрямів А < В виключає В < А.

ІІ3. В одному з двох напрямів, якщо А < В, а В < С, то А < С.

ІІ4. В одному з двох напрямів для кожної точки В знайдуться такі точки А і С, що А < В < С.

Якщо для точок А, В і С виконується умова А < В < С або С <В < А, то точка В лежить між точками А і С.

Множина точок А і В і всіх точок, які лежать між А і В, називається відрізком АВ, або ВА, а точки А і В - кінцями відрізка.

ІІ5. Пряма а, що лежить у площині ?, розбиває цю площину на дві частини (півплощини) так, що коли X і Y -- дві точки однієї півплощини, то відрізок XY не перетинається з прямою а, якщо ж X і Y належать різним півплощинам, то відрізок ХY перетинається з прямою а.

А от аксіоми руху, по суті, збігаються з аксіомами III1*--III3*, які наводить Ф. Шура. Тобто:

ІІІ1*. Рух є перетворенням простору, при якому точка відображається на точку, пряма -- на пряму, площина -- на площину.

III2*. Множина всіх рухів є групою.

ІІІ3*. Рух зберігає відношення “належність” і “лежати між».

В сучасних підручниках з геометрії для середньої школи в основу побудови курсу покладені системи аксіом, які відрізняються від системи ?н і від системи ?w.[3,c.300]

Розглянемо тепер систему аксіом, яка запропонована в навчальному курсі з геометрії для IV-X класів середньої школи Погорєлова. Для спрощення викладу обмежимося розглядом системи аксіом планіметрії. Тут база структури евклідової площини Е2 складається з трьох множин Е, F R. Елементи з E називаються точками, а елементи з F - прямими, R - множина дійсних чисел. Множини E і F виступають як основні, а множина R - допоміжна.

Основними відношеннями виступають наступні чотири відношення: “належність точки і прямої”, “лежати між трьох точок однієї прямої”, “довжина відрізка”, “градусна міра кута”.

Ця система аксіом, яку ми позначимо через ?р, складається з дев'яти аксіом, які розбиті на шість груп.

І. Аксіоми належності.

І1. Для будь-яких двох точок, існує пряма, яка проходить через ці точки і до того ж тільки одна.

І2. На кожній прямій лежать принаймні дві точки. Існує три точки, які не лежать на одній прямій.

ІІ. Аксіоми порядку.

ІІ1. Із трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. На основі цієї аксіоми виводиться поняття відрізку. Відрізком АВ називається множина точок прямої, які лежать між точками А і В.

ІІ2. Пряма розбиває множину точок площини, які їй не належать, на дві підмножини (півплощини) так, що відрізок, який з'єднує точки однієї півплощини, не перетинається прямою, а відрізок, який з'єднує точки різних півплощин перетинається з прямою.

Потім виведемо поняття промення і трикутника. Променем АВ з початком А називається множина точок, які складаються з точки В і будь-якої точки М прямої АВ, такої, що точка А не лежить між точками В і М.

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які по-парно їх з'єднують. Використовуючи аксіому І2, можна переконатись в тому що в теорії Г(?w) має місце теорема, яка в аксіоматиці Гільберта приймається за аксіому Паша.

ІІІ. Аксіоми міри для відрізків і кутів.

Позначимо через L множину всіх відрізків, а через - множину всіх додатних чисел.

ІІІ1. Якщо вибраний деякий відрізок EF, то існує відображення l : L, таке що, виконуються дві умови: а) якщо точка С лежить між точками А і В, то l(AC)+l(CB)=l(AB); б) l(EF)=1.

Якщо l': L відображення при іншому виборі відрізка E'F', то з рівності l(AB)=l(CD) випливає: l'(AB)=l'(CD).

Число l(AB) називається довжиною відрізка АВ, а відрізок EF - одиничним відрізком.

Позначимо через ? множину всіх кутів.

ІІІ2. Існує відображення таке, що виконуються дві умови: а) якщо промінь l проходить між сторонами кута hk, то (hl) + (lk)= (hk); б) якщо hk - розгорнутий кут, то (hk) = 180.

Число (hk) називається градусною мірою кута hk.

IV. Аксіома існування трикутника рівного даному.

Два відрізки називаються рівними, якщо при будь-якому виборі одиничного відрізка їх довжини рівні. Два кута називаються рівними, якщо вони мають одну і ту ж градусну міру. Трикутники АВС і А1В1С1 називаються рівними, якщо виконуються рівності : А=В, В=С, С=А, АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1.

За допомогою цієї аксіоми можна довести два твердження:

1. На даному промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному відрізку і тільки один.

2. Від даного промення в задану півплощину з межею, яку містить цей промінь, можна відкласти кут, рівний даному куту, і до того ж тільки один.

V. Аксіома існування відрізка даної довжини.

Якщо вибраний одиничний відрізок, то яким би не було дійсне число d>0, існує відрізок довжини d.

Використовуючи цю аксіому і твердження 1 і 2, можна довести наступні два твердження, які з методичних міркувань в підручнику для середньої школи прийняті за аксіоми (IV1 і IV2 ).

3. На даному промені можна відкласти відрізок заданої довжини, і до того ж тільки один.

4. Від даного промення в дану півплощину з межею, яка містить даний промінь, можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180, і до того ж тільки один.

IV. Аксіома паралельних.

Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

VI. Через точку, яка не належить даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, яка паралельна даній.

Теорема. Система аксіом ?р несуперечна, якщо несуперечна арифметика фійсних чисел.

РОЗДІЛ 2. Порівняльна характеристика різник аксіоматик евклідової геометрії

2.1 Характеристика - Гільберт - Погорєлов

Перше, що потрібно сказати, це те, що аксіоми порядку Гільберта повністю еквівалентні аксіомам Погорєлова, що грунтуються на відношенні слідування для пар точок, а аксіоми конгруентності - аксіомам руху.

Тепер порівняємо вихідні поняття у Гільберта та Погорєлова.

По-перше вони розглядають для вихідних понять такі множини як: множину точок (елементи першого роду), прямих (елементи другого роду) та множину площин (елементи третього роду).

Також бачимо схожість і у виборі основних понять. Адже Гільберт розглядає властивості відношення “належати”, яке може пов'язувати точки, прямі і площини, а токож розглядає те, що точка може бути у відношенні “лежати між” двома іншими точками цієї самої прямої. А Погорєлов вибрав такі основні поняття як “належність точки і прямої” та “розташування точки між трьох точок однієї прямої”.

Всі дев'ять аксіом системи ?р, можуть бути доведенні в теорії Г(?w) як теореми. Наведемо декілька цих доведень.[3,c.302]

IV. Нехай АВС - трикутник, h - промінь, який виходить з точки А , а ? - півплощина, межею якої є промінь h. Розглянемо два флага (А, , ) і (А1, h, ?), де - промінь АВ, а - півплощина з межею АВ, яка містить точку С. Ми знаємо, що теорема про задання руху за допомогою двох флагів має місце в теорії Г(?w), тому існує рух f , який переводить флаг (А, , ) у флаг (А1, h, ?). Якщо В1 = f(В) і С1= f(С), то ?А1В1С1 шуканий, так як В1 h, С1 і ?АВС= ?А1В1С1.

V. Нехай PQ - вибраний одиничний відрізок, а d - будь-яке дійсне число. Розглянемо білінійну форму q(x,y), яка відповідає відрізку PQ. Якщо А будь-яка точка площини, то існує точка В, така, що =, де (аксіома І системи ?w).Тоді ||====d.?

2.2 Характеристика - Гільберт - Вейль

евклідовий геометрія векторний аксіома

Порівнюючи такі дві аксіоматики як: аксіоматика за Д.Гільбертом та аксіоматика Вейля, можна сказати, що оскільки перша - побудована в просторі, то тут за вихідні поняття беруться такі як “належати”, “лежати між” та “конгруентні”, хоч щоб побудувати цей простір, звичайно Гільберт використовує поняття точки, прямої та площини. А Вейль запропонував схему побудови евклідової геометрії на векторній основі, тож у нього за вихідні поняття приймаються: “вектор”, “точка”, “сума векторів”, “добуток вектора на дійсне число”, “скалярний добуток векторів”, “відкладання вектора від точки”.

Перші три групи аксіом Вейля означають поняття n-вимірного векторного(або лінійного) простору Vn. Коли n=2 або n=3, дістаємо, відповідно, двовимірний оба тривимірний векторний простір. Тоді структура Е3 визначається лише трьома аксіомами Вейля 1-3. Позначимо цю систему через ?w. [5,c.288]

Тепер впевнимось в тому, що деякі аксіоми групи І Гільберта можуть бути доведені в теорії Г(?w) як теореми.

Виконання аксіом І1-І10 очевидно. Дійсно, нехай {О} система координат простору Е3. З першої аксіоми Вейля існують точки А, В і С, такі що, =, =,=. Зрозуміло, що точки не лежать на одній прямій, а точки О, А, В і С не лежать в одній площині.

І. Через будь-які дві точки А і В проходить одна і тільки одна пряма (аксіоми І1 і І2).

? Дійсно пряма d, яка проходить через точку А і паралельна вектору і проходить через точку В.

Якщо припустити, що через точки А і В проходить ще одна пряма d' з направляючим підпростором L1', то АВL1'. Звідси слідує, що направляючі підпростори прямих d і d' співпадають, а отже співпадають і самі прямі d і d'.?

ІІІ. Якщо дві точки А і В прямої d лежать в площині ? , то будь-яка точка прямої d лежить в площині ? (аксіома І7).

?. Нехай (А, L1 ) - пряма d, а (А, L2) - площина ?. Так як Вd, то L1, тому L1 - підпростір, натягнутий на вектор . По умові ВL1 - отже L2. Таким чином L1 L2, якщо М довільна точка прямої d, то L1, отже L2, тобто М?.?

ІV. Якщо дві площини ? і ?' мають спільну точку А, то вони мають спільну пряму, якій належать всі спільні точки площини ? і ?'.

?. Нехай (А, L) - площина ?, а (А', L') - площина ?'. Підпростір L і L' не співпадають і належать векторному простору V, тому LL' = W, де W - одновимірний векторний підпростір. Так як WL і WL', то всі точки прямої d = (A, W) лежать в площинах ? і ?'. Розглянемо тепер довільну точку М, яка належить площинам ? і ?'. Очевидно, L і L', отже W. Звідси слідує, що Мd. ?

Із властивості ІV випливає, що в теорії Г(?w) має місце аксіома І7 Гільберта.

Також можна взяти одну з теорем, представлену Вейлем і також довести, що між цими двома аксіоматиками можна провести деякі паралелі.

Теорема. Через дану точку А, яка не належить даній прямій d, проходить одна і тільки одна пряма, паралельна прямій d.

?. Нехай L - направляючий простір прямої d. Використавши теорему, про те що, дві різні прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли вони мють спільний направляючий простір, можемо сказати, що пряма (А, L), яка проходить через точку А, паралельна прямій d. Доведемо, що (А, L) - єдина пряма, яка задовольняє цю умову. Дійсно, нехай (А, L') - будь-яка пряма, яка проходить через точку А і паралельна прямій d. За теоремою, яку ми тільки що уже використовували, підпростори L' і L співпадають, тому прямі (А, L) і (А, L') також співпадають.?

Наслідок. В теорії Г(?w) має місце аксіома паралельності (аксіома паралельних Гільберта).

В наш час, коли теорія векторних просторів проникла у всі розділи математики, виявляється зручним при визначенні структури евклідового простору вважати структуру векторного простору уже відомою. Тоді аксіоматику Вейля можна прийняти в такій формі, в якій вона подана в цій роботі і використовувати при доведенні різних теорем.

2.3 Аксіоми Колмогорова

Розглянемо тепер систему аксіом запропоновану академіком А. М. Колмогоровим.[6,c.235]

Вихідними поняттями планіметрії в його системі вважаються три: „точка”, „пряма” і „відстань від однієї точки до іншої”. Множина всіх розглядуваних точок називається площиною.

Крім основних понять планіметрії, ми користуємося поняттями числа, множини і величини. Зауважимо також, що при побудові планіметрії будемо вважати відомими правила логіки і загальні властивості чисел, множин і величин. Аксіоми планіметрії розбиваються на п'ять груп.

І. Аксіоми належності.

І1. Кожна пряма є множина точок.

І2. Для будь-яких двох відмінних одна від одної точок існує одна і тільки одна пряма, що їх містить.

І3. Існує принаймні одна пряма і кожній прямій належить хоча б одна точка.

ІІ. Аксіоми відстані.

ІІ1. Для будь-яких двох точок А і В існує невід'ємна величина, яка називається відстанню від А до В. Відстань дорівнює нулеві тоді і тільки тоді, якщо точки А і В збігаються. Відстань від А до В позначається |АВ|.

II2. Для будь-яких точок А і В відстань від А до В дорівнює відстані від В до А.

ІІ3. Для довільних трьох точок А, В, С відстань від А до С не більша за суму відстаней від А до В і від В до С: |АС| < |АВ| + |ВС|.

ІІІ. Аксіоми порядку.

ІІІ1. Будь-яка точка О прямої р розбиває множину всіх відмінних від О точок прямої р на дві непорожні множини так, що: а) для будь-яких двох точок А і В, що належать різним множинам, точка О лежить між А і В; б) коли точки А і В належать одній і тій самій множині, то одна з них лежить між другою точкою і точкою О.

Кожна з двох множин, про які йдеться в аксіомі ІІІ1 називається відкритим променем з початком О.

ІІІ2. Для будь-якої відстані а на заданому промені з початком О існує одна і тільки одна точка А, відстань якої від точки О дорівнює а.

ІІІ3. Якщо точка С лежить між точками А і В, то точки А, В, С належать одній прямій.

ІІІ4. Будь-яка пряма р розбиває множину точок площини, які не належать їй, на дві непорожні множини так, що: а) будь-які дві точки, що належать різним множинам, розділені прямою р; б) будь-які дві точки, що належать одній і тій самій множині, не розділені прямою р.

Кожна з двох множин, про які йдеться в аксіомі ІІІ4, називається відкритою півплощиною з межею р.

Коротко говоритимемо, що аксіома ІІІ4 є аксіома про розбиття множини точок, які не належать одній прямій, на дві півплощини.

IV. Аксіома рухомості площини (аксіома переміщення).

OЗНАЧЕННЯ2. Переміщенням називається відображення площини на себе, що зберігає відстані.

IV. Якщо відстань |АВ| додатна і дорівнює відстані |А1В1|, то існує два і тільки два переміщення, кожне з яких відображає точку А на точку А1, а точку В -- на точку В1. Якщо а -- півплощина з межею АВ, то вона цими переміщеннями відображається на дві різні півплощини ? і ? з межею А1В1.

V. Аксіома паралельних.

V. Через точку А проходить не більш як одна пряма, паралельна даній прямій.