Порівняльна характеристика різних аксіоматик евклідової геометрії

Щоб обгрунтувати тривимірну евклідову геометрію, до вихідних понять слід віднести ще одне -- площину і додати чотири аксіоми належності.

І4. Кожна площина є множина точок.

І5 Для будь-яких трьох точок, що не належать одній прямій, існує єдина площина, яка містить ці точки.

І6. Яка б не була площина, існують точки, що їй належать, і точки, що їй не належать.

І7. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то їх перерізом є пряма.

Доведемо, що прийнята аксіоматика планіметрії визначає ту саму теорію, що і система площинних аксіом Гільберта.

Для цього доведемо еквівалентність двох згаданих систем аксіом.

З площинних аксіом системи Д. Гільберта випливають усі аксіоми планіметрії системи А. М. Колмогорова. Доведемо протилежне.

Насамперед зауважимо, що з аксіом І-III системи Колмогорова випливає можливість взаємно однозначного відображення множини дійсних чисел на множину точок прямої. Отже, відразу доводиться теорема, яка в системі Гільберта є наслідком аксіом неперервності.

Площинні аксіоми першої групи системи Гільберта виконуються і в системі аксіом Колмогорова (аксіоми І1-І3 системи Гільберта містяться в аксіомах І2, І3 Колмогорова і в згаданому твердженні про відображення множини дійсних чисел на множину точок прямої). З аксіоми ІІІ4 системи Колмогорова випливає аксіома І4 системи Гільберта.

3 аксіоми ІІІ3 системи Колмогорова і означення відношення “лежати між” випливає, що коли точка X лежить між точками А і В, то А, В, X -- різні точки однієї прямої і X лежить також між точками В і А, тобто випливають перші дві аксіоми порядку системи Гільберта.

Доведемо аксіому ІІ3 системи Гільберта.

Нехай дано точки А і В. На промені ВО, доповняльному до променя ВА, візьмемо довільну точку С. Тоді за аксіомою III1 системи Колмогорова точка В і лежатиме між точками А і С. Аксіому ІІ3 системи Гільберта доведено.

ВИСНОВОК

Отже, можна сказати, що аксіоматичний метод побудови наукової теорії полягає в наступному: виділяються основні поняття, формулюються аксіоми теорії, а всі інші твердження виводяться логічним шляхом, спираючись на них.

Ми встановили, що видатний німецький математик Давид Гільберт, стверджував, що пряма, точка й площина, за означеннями Евкліда, не мають жорстко закріпленого за ними змісту, а свого строгого аксіоматичного змісту вони набувають лише у зв'язку з тими аксіомами, які вибираються для них. Він пояснив, що навіть назви основних понять математичної теорії можна обирати довільно.

Напрям, який обґрунтовує Погорєлов, має за вихідне поняття “рух”, як відображення простору на себе, що має властивості, перелічені в аксіомах. Отже, поняття множини і відображення є найважливішими для такої побудови геометрії. Конгруентність фігур означується через “рух”. Поняття відстані є другорядним. Арифметика не використовується як апарат для побудови геометрії.

Німецький математик Герман Вейль запропонував свою аксіоматику простору засновану на широкому застосуванні векторного простору. В наш час, коли теорія векторних просторів проникла у всі розділи математики, виявляється зручним при визначенні структури евклідового простору вважати структуру веторного простору відомою. Тоді аксіоматику Вейля можна подати у даній формі.

А також, встановили, що з площинних аксіом системи Д. Гільберта випливають усі аксіоми планіметрії системи А. М. Колмогорова та побачили протилежне.

Використана література

1. Семенович О.Ф. Геометрія. Аксіоматичний метод. - Київ: Радянська школа, 1976. - 165 с.

2. Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 288 с.

3. Атанасян Л.С. Геометрия: учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. - М. : Просвещение, Ч. 1., 1973. - 256 с.

4. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства - М.: Наука, 1966. - 647 с.

5. Атанасян Л.С. Геометрия : учебное пособие для физико-математических факультетов педагогических институтов : в 2 ч. / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. - М. : Просвещение, Ч. 2., 1976. - 447 с.

6. Атанасян Л.С. Геометрия. Учеб. пособие физ.-мат. фак. пед. ин-тов: В 2-х ч. /Левон Сергеевич Атанасян, Вячеслав Тимофеевич Базылев Ч.1 /Ч.1, 1986. - с. 335

7. Атанасян Л.С. Геометрия. Учеб. пособие физ.-мат. фак. пед. ин-тов: В 2-х ч. /Левон Сергеевич Атанасян, Вячеслав Тимофеевич Базылев Ч.2 /Ч.2 - 1987, с. 351

8. Базылев В.Т. и др. Геометрия. Ч.1. Учеб. пособие для студентов І курса физ.-мат. фак-тов пед. ин.-тов. - М.: Просвещение, 1974. - 351 с.

9. Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнародний збірник наукових робіт. - Вип. 30. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2008. - 248 с.

10. Трайнин Я.Л. Основания геометрии. - Учпедгиз, 1961. - 326 с.

Размещено на Allbest.ru