Лобачевський М.І. – великий математик

Микола Іванович Лобачевський як відомий російський математик, творець неевклідової геометрії. Його дослідження у галузі геометрії. Походження неевклідової геометрії. Три моделі геометрії Лобачевського: Пуанкаре, Клейна та інтерпретація Бельтрамі.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык украинский
Дата добавления 31.03.2013
Размер файла 229,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лобачевський М.І. - великий математик

1. Дослідження у галузі геометрії

Але світову славу вченого йому принесли геніальні дослідження в галузі геометрії. Він упевнено і наполегливо шукав розв'язання проблеми, яка протягом більш як дві тисячі років вважалася недоступною. Наслідком цих досліджень була праця, яку він 23 лютого 1826 р. подав на засідання фізико-математичного відділу університету. Це була написана французькою мовою доповідь на тему: «Стислий виклад принципів геометрії з точним доведенням теореми про паралельні лінії». У листі до фізико-математичного відділу Лобачевський просив розглянути його працю і, якщо її буде схвалено, надрукувати в «Учених записках університету». Але жодної рецензії не було подано на цю працю Лобачевського, та й сама доповідь зникла. За неї забули, тільки через 8 років у протоколах засідань факультету з'явився запис про передачу доповіді в архів. Тоді ніхто не знав, що саме в цій доповіді Лобачевський виклав своє велике відкриття. Через 3 роки, тобто у 1829 p., Лобачевський опублікував у журналі» Казанский вестник», що видавався співробітниками університету, статтю «Про начала геометрії». У цій статті основні поняття геометрії - точки, прямі, геометричні побудови тощо - Лобачевський пояснював за Евклідом, бо перші 10 аксіом Евкліда він прийняв без змін. Від V постулату Евкліда Лобачевський відходить і будує нову, як він називає, «уявну геометрію».

З цих міркувань випливає низка теорем і наслідків, які різко відмежовують нову геометрію від геометрії Евкліда. Так, кут паралельності в Евкліда завжди прямий, отже, є величиною сталою, а в Лобачевського він завжди гострий і величина його змінюється залежно від довжини перпендикуляра CD. Якщо перпендикуляр збільшується, то кут паралельності зменшується; якщо ж перпендикуляр зменшується до нуля, то кут збільшується, наближаючись до прямого кута. За Евклідом сума внутрішніх кутів трикутника стала і дорівнює 2d, у Лобачевського ця сума змінна і завжди менша за 2d. Із зменшенням трикутника ця сума наближається до 2d. Прямокутника в геометрії Лобачевського не існує. Отже, не існує і квадрата. У геометрії Лобачевського не існує подібних фігур.

Хоч ряд визначних учених тодішньої Росії і не визнавали геометрії Лобачевського, не розуміли її, сам він був твердо переконаний, що така геометрія об'єктивно існує в природі.

Лобачевський розв'язав задачу, яку протягом більш як двох тисяч років марно намагалися розв'язати багато видатних учених-математиків: він довів, що V постулат Евкліда не можна дістати як теорему з інших постулатів і аксіом, які містяться в «Началах» Евкліда. Він довів також, що Евклідова геометрія не є єдино можливою геометрією. Це спростовувало ідею німецького професора Канта про те, що людина народжується з уявленням про зовнішній світ, де діє лише Евклідова геометрія.
Відкриття Лобачевського поставило перед математикою багато нових проблем, зокрема про властивості образів у новій геометрії, про її взаємозв'язок з геометрією Евкліда тощо. Це була справжня революція в науці.

У тодішній Росії найвидатніші математики, такі, як академіки М.В. Остроградський, В.Я. Буняковський, не зрозуміли глибоких ідей нової геометрії. М.І. Лобачевський двічі надсилав свої праці до Петербурзької Академії наук, але, на підставі негативних рецензій М.В. Остроградського, їх не публікували. Проте серед російських учених були й такі, які розуміли суть нових ідей. Так професор Казанського університету П.І. Котельников у 1842 р. виступив на захист геометрії М.І. Лобачевського.

2. Походження неевклідової геометрії

Серед аксіом Евкліда була аксіома про паралельність прямих, а точніше, п'ятий постулат про паралельні лінії: якщо дві прямі утворюють з третьою за одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку.

У сучасній формулюванні вона говорить про існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цій даної прямої.

Складність формулювання п'ятого постулату породила думку про можливу залежності його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії. Всі спроби закінчувалися невдачею. Були спроби докази від протилежного: прийти до протиріччя, припускаючи вірним заперечення постулату. Однак і цей шлях був безуспішним.

Виявилося те, що п'ятий постулат не залежить від попередніх, а значить, його можна замінити на йому еквівалентний. І на початку X I X століття, майже одночасно відразу в декількох математиків: у К. Гаусса в Німеччині, у Я. Больяи в Угорщині та у Н. Лобачевського в Росії, виникла думка про існування геометрії, в якій вірна аксіома, що замінює п'ятий постулат: на площині через точку, не лежить на даній прямій, проходять, принаймні, дві прямі, не перетинають дану.

У силу пріоритету Н. Лобачевського, який першим виступив з цією ідеєю в 1826, і його внеску у розвиток нової, відмінної від евклідової геометрії остання була названа на його честь «геометрією Лобачевського».

Аксіоматика планіметрії Лобачевского відрізняється від аксіоматики планіметрії Евкліда лише однією аксіомою: аксіома паралельності замінюється на її заперечення - аксіому паралельності Лобачевского:

Знайдуться така пряма a і така не лежить на ній точка A, що через A проходять принаймні дві прямі, не перетинають a.

Несуперечність системи аксіом доводиться виглядом моделі, в якій реалізуються дані аксіоми.

3. Три моделі геометрії Лобачевського

Виділяють три різні моделі геометрії Лобачевського: 1) Модель Пуанкаре 2) Модель Клейна 3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрамі)

1) Модель Пуанкаре.

У моделі Пуанкаре на евклідової площини E фіксується горизонтальна пряма x. Вона носить назву «абсолюту». Точками площині Лобачевського вважаються точки площини E, що лежать вище абсолюту x. Таким чином, в моделі Пуанкаре площину Лобачевського - це полуплоскость L, що лежить вище абсолюту. Прямими площині L вважаються півкола з центрами на абсолюті або промені з вершинами на абсолюті і перпендикулярні йому.

Фігура на площині Лобачевского - це фігура напівплощини L. Належність точки фігурі розуміється так само, як і на евклідової площини E. При цьому відрізком площині L вважається дуга кола з центром на абсолюті або відрізок прямої, перпендикулярної абсолюту (рис. 1). Точка K лежить між точками C і D, означає, що K належить дузі CD. В умовах нашої моделі це еквівалентно тому, що K 'лежить між C' і D ', де C', K 'і D' - проекції точок C, K і D відповідно на абсолют. Щоб ввести поняття рівності неевклідових відрізків в моделі Пуанкаре, визначають неєвклидова руху в цій моделі. Неевклідових рухом називається перетворення L, яке є композицією кінцевого числа інверсій з центрами на абсолюті і осьових симетрій площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту. Інверсії з центром на абсолюті і осьові симетрії

Рисунок 1 площині E, осі яких перпендикулярні абсолюту, називають неевклідових симетріями. Два неевклідових відрізки називають рівними, якщо один з них неевклідових рухом можна перевести в другій.

2) Модель Клейна.

За площину приймається будь-якої коло за точки - точки належать цьому колі, за прямі - хорди - звичайно, з виключенням решт, оскільки розглядається тільки внутрішність круга. За переміщення приймаються перетворення кола, що переводять його в себе і хорди - в хорди. Відповідно, «конгруентними» називаються фігури, перекладні один в одного такими перетвореннями.

Очевидно, що в межах певної частини площині (кола), як би ця частина не була велика, можна провести через дану точку С безліч прямих, не перетинають даної прямої. Всередині кола будь-якого кінцевого радіуса існує безліч прямих (тобто хорд), що проходять через т. С і не зустрічаючих прямий АВ. Будь-яка теорема планіметрії Лобачевского є в цій моделі теоремою геометрії Евкліда і, назад, всяка теорема геометрії Евкліда, що говорить про фігури всередині даного кола, є теоремою геометрії Лобачевського. Це загальне твердження доводиться перевіркою справедливості в моделі аксіом геометрії Лобачевського. Тому, якщо в геометрії Лобачевського є протиріччя, то це ж протиріччя є і в геометрії Евкліда.

Далі, всяка теорема геометрії Лобачевського описує в моделі Клейна деякі факти, що мають місце всередині кола. Саме факти, якщо ми беремо не абстрактний коло, а реальний коло і реальні хорди і інтерпрітіруем теореми як твердження про ці реальні речі, взяті, звичайно, з тією точністю, яка доступна для наших побудов. Таким чином, геометрія Лобачевського в моделі Клейна має цілком реальний сенс з тією точністю, з якою взагалі має сенс геометрія в застосуванні до реальних тіл.

3) Відображення геометрії Лобачевського на псевдосфері (інтерпретація Бельтрамі)

Еудженіо Бельтрамі (1835-1900) знайшов модель для неевклідової геометрії, показавши у своїй роботі «Досвід інтерпретації неевклідової геометрії» (1868 г.), що поряд з площинами, на яких здійснюється евклідова геометрія, і сферичними поверхнями, на які діють формули сферичної геометрії, існують і такі реальні поверхні, названі ним псевдосфера, на яких частково здійснюється планіметрія Лобачевського.

Відомо, що сферу можна отримати обертанням півкола навколо свого діаметра. Подібно до того, псевдосфера утворюється обертанням лінії FCE, званої трактрісой, навколо її осі АВ. Отже, псевдосфера - це поверхня в звичайному реальному просторі, на якому виконуються багато аксіоми і теореми неевклідової планіметрії Лобачевского. Наприклад, якщо накреслити на псевдосфері трикутник, то легко побачити, що сума його внутрішніх кутів менше 2 р. Сторона трикутника - це дуги псевдосфери, що дають найкоротша відстань між двома її точками і виконують ту ж роль, яку виконують прямі на площині. Ці лінії, звані геодезичними, можна отримати, затиснувши туго натягнуту і политу фарбою або крейдою нитка, в вершинах трикутника. Таким чином, для планіметрії Лобачевского була знайдена реальна модель - псевдосфера. Формули нової геометрії Лобачевського знайшли конкретне тлумачення. Ними можна було користуватися, наприклад, для вирішення псевдосферіческіх трикутників. Псевдосфері, яку ми назвали «моделлю», Бельтрамі назвав інтерпретацією (тлумаченням) неевклідової геометрії на площині.

4. Властивості і поняття

Розглянемо деякі властивості, поняття і факти виконуються в геометрії Лобачевського. В даному випадку я розглядав властивості грунтуючись на моделі Клейна. Більшість з них будуть виконуватися і на інших моделях неевклідової геометрії.

1) Якщо прямі CN і CL не зустрічають прямий АВ, то будь-яка пряма СМ, що проходить через т. C всередині вертикальних кутів NCL і N 'CL' також не зустріне прямий АВ (мал. 5). Звідси перший наслідок аксіоми Лобачевського: через т. З поза прямою АВ площині АВС, проходить безліч прямих, не перетинаються з прямою АВ.

2) Якщо з'єднати будь-яку точку прямої DB з т. С, отримаємо пряму, припустимо, СК, що проходить через т. С і зустрічає АВ. Отже, всі прямі, що проходять через т. З всередині прямого кута NCD, розбиваються на дві категорії, на два класи: зустрічають пряму АВ (названі Лобачевським «сходяться» з АВ) і не зустрічають пряму АВ (їх Лобачевський називає «розходяться» з АВ). Будь пряма першої категорії утворює з перпендикуляром CD кут, менший кута, утвореного перпендикуляром CD з будь-якої прямої другої категорії. Обертаючись безперервно близько т. С в напрямі проти годинникової стрілки, пряма СК на певному етапі, припустимо в положенні CL, перестане перетинати АВ і з сходящейся перейде в категорію розходяться з АВ прямих. Ця гранична пряма CL, що служить перехідною прямий, граничної, що відокремлює сходяться від розбіжних прямих, і названої Лобачевським паралельної до прямої АВ з т. С. Отже, паралельна CL - це не просто розходяться пряма, а перша, гранична розходяться, тобто така, що будь-яка пряма, що проходить через т. З всередині кута, утвореного паралельної CL і перпендикуляром CD, є збіжної прямий, а всяка пряма, що проходить всередині кута LCN буде розходиться з прямою АВ. Кут DCL, утворений паралельної CL з перпендикуляром CD, називають кутом паралельності.

В силу симетрії щодо перпендикуляра CD всередині прямого кута N 'CD отримаємо картину, аналогічно тій, яку ми маємо на вугіллі NCD, тобто побудувавши кут DCF дорівнює куту DCL, одержимо пряму CF, також паралельну прямій АВ ліворуч від перпендикуляра CD. Отже, через т. С, що лежить поза прямою АВ, проходять в площині АВС дві прямі, паралельні прямій АВ, в одну й іншу сторону цієї прямої. Усі прямі, що проходять усередині вертикальних кутів, утворених паралельними прямими LL 'і GG' (у тому числі і евклідова «паралельна» NN'), розходяться з АВ; всі інші прямі, що проходять через т. З сходяться з прямою АВ.

Отже: а) 2 прямі як АВ і NN ', що мають загальний перпендикуляр CD, розходяться; б) якщо обертати пряму NN' близько т. С, припустимо, за годинниковою стрілкою, а пряму АВ близько т. D в тому ж напрямку так, щоб кути, утворені цими прямими з перетинає їх прямий CD, залишалися рівними, то прямі АВ і NN 'залишаються розходяться, тобто дві прямі, що утворюють при перетині з третьої прямий рівні відповідні кути, розходяться.

3) З попереднього положення випливає, що на паралелі Лобачевського розрізняється напрям паралельності. Пряма CE паралельна прямій АВ в напрямку або в сторону від A до B, пряма CF паралельна тій же прямій AB в напрямку або в сторону ВА (від В до А).

Незважаючи на корінні відмінності, поняття паралельності у Лобачевського від одночасного поняття в геометрії Евкліда, можна довести, що «паралельність» в сенсі Лобачевського теж має властивості взаємності або симетрії (якщо пряма а паралельна прямий в, то в паралельна а). І транзитивності (якщо а і в паралельні с, то а й у паралельні між собою).

Наведемо деякі інші поняття і факти геометрії Лобачевського:

1) Функція Лобачевського.

Як вже говорилося вище, через т. С в площині САВ проходять 2 спрямовані паралелі до прямої АВ (РЄ і CF), симетрично розташовані відносно перпендикуляра CD (рис. 6). Кут паралельності, утворений кожної з цих паралелей з CD, є гострим, його величина не постійна і залежить від відстані CD (в геометрії Евкліда кут паралельності завжди прямий). Те, що кут паралельності гострий, випливає безпосередньо з аксіоми Лобачевського. У зміні цього кута зі зміною відстані CD можна переконатися шляхом наступних міркувань (рис. 7). Нехай C 'D> CD, CE | | AB, в т. З кут паралельності - W. Нехай далі пряма C 'E' | | AB в т. С 'кут паралельності - W'. В силу властивості транзитивності CE | | C 'E'. Ясно, що W W '. Дійсно, якщо припустити, що W = W ', то слід також припустити, що C' E 'і CE - суперечать прямі, як було показано вище, а це невірно. Побудуємо C 'K, творчу з CD кут ???? ясно, що ???? т.к. паралель C 'E' ближче до перпендикуляру, ніж розходяться C 'K. Отже, ?????? звідси випливає, що кут паралельності зменшується в міру віддалення від прямої АВ; чим ближче т. З до прямої АВ, тобто чим коротше перпендикуляр CD, тим більше кут паралельності. Якщо позначити відстань т. С від прямої АВ, тобто довжину перпендикуляра CD через х, то можна сказати, що кут паралельності є функція від х, названа «функцією Лобачевського» і позначала П (х). Це монотонно спадна функція. При зміні аргументу х від 0 до функція П (х) безперервно змінюється відповідно від / 2 до 0. Таким чином, При х 0, іншими словами, якщо залишатися в межах порівняно невеликих відстаней, то кут паралельності мало відрізняється від / 2 тобто від цього значення, яке він має у евклідової геометрії, це означає, що геометрія Лобачевського не суперечить, не виключає геометрії Евкліда; останнього можна розглядати як окремий випадок великої загальної геометрії - геометрії Лобачевського. Реальний зміст граничного переходу (при х 0) від геометрії Лобачевського до геометрії Евкліда полягає в тому, що фізика вивчає, в кінцевому рахунку, тільки обмежену, порівняно невелику частину простору. Ось чому в довкіллю (навіть у межах нашої планети) властивості фізичного простору приблизно такі, якими ми їх знаємо з Евклідової геометрії, але для всього простору, для світу зірок, для всесвіту в цілому, вони інші, неевклидова.

2) Сума кутів трикутника менше 2 р.

Це припущення еквівалентно аксіомі Лобачевського, тобто з нього випливає ця аксіома і навпаки. Для прикладу доведемо перше. Нехай (рис. 8) в прямокутному трикутнику CDK сума кутів S = ????? <2 р, тобто ?? <р. Це означає, що всередині кута NCK можна побудувати LCK = а (NC CD).

Пряма CL не може перетнути прямий АВ у будь-якій точці М, тому що якщо б це сталося, то кут DKC, зовнішній по відношенню до трикутника KCM, дорівнював би внутрішньому, не суміжному з ним куті трикутника KCM, що суперечить абсолютної геометрії про зовнішній вугіллі трикутника. Отже, через т. С, крім CN, проходить ще одна пряма - CL, не зустрічає прямий АВ; отже, вірна аксіома Лобачевського. Різниця (2 р - S), тобто між 180 ? і сумою кутів даного трикутника, називається кутовим дефектом цього трикутника.

3) Пропозиція «сума кутів чотирикутника менше 4 р» випливає з попереднього. Звідси випливає, що в геометрії Лобачевського немає ні прямокутників, ні квадратів. Взагалі сума кутів n - кутника менше 2 р (n -2).

4) Зовнішній кут трикутника більше суми внутрішніх, з ним не суміжних кутів. Дійсно, нехай ??? зовнішній кут трикутника, суміжний з внутрішнім кутом трикутника ??? і нехай ? і ? - інші його внутрішні кути, тоді: ???????? р.

5) Якщо три кути одного трикутника відповідно рівні трьома кутами іншого трикутника, то ці трикутники рівні між собою. Це четвертий ознака рівності трикутників в геометрії Лобачевського.

Таким чином, у площині Лобачевського трикутник цілком визначається своїми кутами. Сторони і кути залежать один від одного. Звідси ясно, що в геометрії Лобачевського немає подібних фігур. Дійсно, адже з існування подібних фігур випливає евклідова аксіома паралельності.

6) Площі. Вже відомо, що, чим менше розміри фігур, які ми вивчаємо, тим ближче до геометрії Евкліда, в якій кутовий дефект трикутника дорівнює 0. Доводиться наступна теорема: площа трикутника прямопропорційна його кутового дефекту. Чим менше розміри фігури, тим менше її дефект, тим менше площа. Однак кутовий дефект за визначеннями не може перевершити 2 р, отже, і площа трикутника в геометрії Лобачевського не може стати більше деякої, певної, кінцевої величини.

Відкриття неевклідової геометрії, початок якому поклав Лобачевський, не тільки зіграло величезну роль у розвитку нових ідей і методів у математиці природознавстві, але має і філософське значення. Пануюче до Лобачевського думку про непорушність геометрії Евкліда в значній мірі грунтувалося на вченні відомого німецького філософа І. Канта (1724-1804), родоначальника німецького класичного ідеалізму. Кант стверджував, що людина впорядковує явища реального світу згідно апріорним уявленням, а геометричні уявлення та ідеї нібито апріорні (латинське слово aprior означає - спочатку, заздалегідь), тобто, не відображають явищ дійсного світу, не залежать від практики, від досвіду, а є вродженими людського світу, раз і назавжди зафіксованими, властивими людському розуму, його духу. Тому, Кант вважав, що Евклідова геометрія непохитна, незмінна, і є вічною істиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушною, як єдино можливе вчення про реальний просторі.

Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютованого уявлення про простір, що «вживана» (як назвав Лобачевський геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, однак це не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Отже, в основі геометрії Евкліда лежать не апріорні, вроджені розумові поняття і аксіоми, а такі поняття, які пов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія вірніше викладає властивості фізичного простору. Відкриття неевклідової геометрії дало вирішальний поштовх грандіозного розвитку науки, сприяло і понині сприяє більш глибокому розумінню навколишнього нас матеріального світу.

лобачевський неевклідовий геометрія модель

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Системи аксіом евклідової геометрії. Повнота системи аксіом евклідової геометрії. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії. Незалежність системи аксіом Г. Вейля. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.

    курсовая работа [2,3 M], добавлен 10.12.2014

  • Аналіз історії виникнення неевклідової геометрії. Знайомство з біографією М. Лобачевського. Розгляд ознак паралельності прямих. Загальна характеристика головних формул тригонометрії Лобачевского. Особливості теореми про існування паралельних прямих.

    дипломная работа [1,5 M], добавлен 12.05.2014

  • Основні галузі сучасної математичної науки. Розвиток аксіоматичного методу. Різні підходи та трактування логічних основ геометрії. Система аксіом О.Д. Александрова, О.В. Погорєлова, Л.С. Атанасяна. Аксіоматична будова геометрії в "Началах" Евкліда.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.05.2015

  • Суть та значення аксіоматичної побудови геометрії. Аксіоматика Д. Гільберта евклідової геометрії. Аксіоми сполучення, порядку, конгруентності, неперервності та паралельності. Характеристика різних аксіоматик. Векторна аксіоматика еклідової геометрії.

    курсовая работа [179,9 K], добавлен 17.03.2012

  • Історія появи й розвитку геометрії: постулати Евкліда, аксіоматика Гильберта та інші системи геометричних аксіом. Неевклідові геометрії в системі Вейля. Різні моделі площини Лобачевского, незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта.

    дипломная работа [263,0 K], добавлен 12.02.2011

  • Розгляд основних відмінностей геометричних систем, побудованих за ідеями Келі. Аналіз геометрії Келі-Клейна поза круговим абсолютом II. Особливості диференціальних метричних форм геометрії Рімана. Характеристика геометричних систем з афінною групою.

    дипломная работа [660,6 K], добавлен 09.09.2012

  • Дидактична гра як форма навчання. Теоретичні основи використаня дидактичних ігор під час навчання геометрії в основній школі. Методичні передумови та вимоги до організації і проведення дидактичних ігор. Дидактичні ігри на прикладі геометрії 9 класу.

    курсовая работа [207,2 K], добавлен 05.12.2007

  • Характеристика сферичної геометрії як галузі математики. Зв'язок між величинами сторін та кутів прямокутного сферичного трикутника. Використання теорем косинусів та синусів. Значення стереографічной сітки Вульфа. Розвиток поняття про геометричний простір.

    курсовая работа [1,2 M], добавлен 29.11.2014

  • Елементи загальної теорії багатомірних просторів, аксіоматика Вейля. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах: паралелепіпеди, симплекси, кулі. Застосування багатомірної геометрії: простір-час класичної механіки і теорії відносності.

    дипломная работа [1,0 M], добавлен 28.01.2011

  • Дослідження традицій японської храмової геометрії у період Едо. Історичні аспекти японської храмової математики та сангаку, основні причини їх виникнення. Японська математика - васан. Сучасні завдання сангаку. Теореми японської храмової геометрії.

    научная работа [997,7 K], добавлен 15.12.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.