Елементи багатомірної геометрії

5. Афінність k-паралелепіпедів

Якщо дані два довільних k-паралелепіпеди А₀ А_1…А_k…А_12…kі

В₀ У_1…В_k…В_12…k,те системи крапок А_0, А_{1, … ,}А_k і В_0, В_{1, … ,}В_k визначають афінний перетворення, що переводить перші із цих крапок у другі. Тому що при афінному перетворенні площини переходять у площині, а паралельні площини в паралельні площини, це афінний перетворення переводить весь k- паралелепіпед А₀ А_1…А_k…А_12…kв k-паралелепіпед В₀ В_1…В_k…В_12…k...Тому всякі два k-паралелепіпеди афінні.

Відносний об'єм k-паралелепіпеда, обумовленого рівнянням

і ,

при афінному перетворенні відносні величини перетворяться по формулі, тобто множиться на визначник матриці цього афінного перетворення, якщо k-паралелепіпед з об'ємом V_k переходить при афінному перетворенні з матрицею в k-паралелепіпед з об'ємом , те

(7.8)

Звідси випливає, що відносини відносних об'ємів k-паралелепіпедів не змінюються при афінних перетвореннях.

Опуклі багатогранники

У цьому пункті будемо розглядати дійсне k-мірне афінний простір , уважаючи, що в ньому дана афінна система координат.

Нехай через деяку крапку з координатами , проведена пряма в напрямку вектора , координати якого позначимо . Відповідно до викладеного раніше цю пряму можна задати параметричними рівняннями

, . (7.9)

.

Нехай на прямій (9) обрані які-небудь крапки й . Відповідні ним значення параметра позначимо й . Припустимо, що < .

Визначення. Множина крапок прямій, що задовольняють нерівністю , називається відрізок .

Якщо крапка має координати , крапка має координати , то як напрямний вектор прямій можна взяти вектор . Тоді , і для крапки прямій маємо

причому = 0 у крапці , = 1 у крапці , так що відрізок задається тепер нерівностями 0 1. Покладемо 1 = , = . Тоді для крапок відрізка й тільки для них маємо , , (7.10)

, , .

Крапка, у якій

,

називається серединою відрізка .

Визначення. Множина крапок дійсного афінного простору називається опуклим, якщо разом з кожними двома своїми крапками , воно містить відрізок .

Найпростішими прикладами опуклих множин можуть служити: відрізок, площина будь-якої розмірності, весь простір .

Множина, що складається з однієї крапки, і порожня множина також уважається опуклими.

З визначення треба, що перетинання будь-якої сукупності опуклих множин саме є опуклою множиною. Справді, якщо крапки , належать перетинанню деякої сукупності опуклих множин, то відрізок належить кожному з них множин, а виходить, і їхньому перетинанню.

Нехай у просторі дана довільна гіперплощина

. (7.11)

Гіперплощина (11) розвиває простір на дві частини, називані відкритими півпросторами. Їхні крапки характеризуються нерівностями

і відповідно. (7.12)

Приєднуючи до відкритого півпростору гіперплощина (11), ми одержимо так званий замкнутий півпростір. Одне з них складається із крапок, координати яких задовольняють нерівностям.

Істотно, що розглянутий простір є дійсним.

Кожний півпростір є опуклою множиною.

У такий спосіб довільна крапка належить простору (7, 12). Але крапка на відрізку взятий довільно, виходить, весь відрізок належить простору.

Визначення. Перетинання кінцевого числа півпросторів (якщо воно не порожнє) називається опуклим багатогранником.

Обмежимося розглядом багатогранників, утворених перетинанням замкнутих півпросторів. З наочної точки зору опуклий багатогранник являє собою шматок простору, висічений декількома гіперплощинами. ( =3).

2

Мал. 23 Мал. 24

Може бути так, що багатогранник цілком утримується в якійсь -мірної площини < (при = 3, = 2).

2

Мал.25

Багатогранник називається -мірним паралелепіпедом, якщо в деякої афінної системі координат він задається нерівностями

0 1, і побудований на незалежних векторах , прикладених до крапки .

Де - початок у координатах, і - базис. -мірний паралелепіпед при = 1 являє собою відрізок, при = 2 - паралелограм.

Частина паралелепіпеда (0 1, ), розташована в який-небудь із гіперплощин = 0 або = 1, сама є ( - 1)-мірним паралелепіпедом і називається ( - 1)-мірною гранню паралелепіпеда.

Приклад. У тривимірному евклідовому просторі із заданої декартової прямокутною системою координат ( ) розглянемо прямокутні паралелепіпеди, ребра яких паралельні координатним осям. Нехай ( ) - координати центра паралелепіпеда, - довжини його ребер, паралельних осям відповідно. Позначимо через множину тих паралелепіпедів зазначеного виду, центри яких лежать у кубі , , , довжини ребер не перевищують . Кожному паралелепіпеду із множини можна поставити у відповідність крапку шестимірного афінного простору з координатами ( , ). Тоді сама множина можна розглядати як шестимірний паралелепіпед.

, , ,

, , .

Потім, що геометричні фігури одного простору часто буває зручно розглядати як крапки іншого простору.

Визначення. Множина крапок в афінному просторі називається обмеженим, якщо координати всіх крапок цієї множини задовольняють нерівності ( > 0 - деяке число).

Це визначення не залежить від вибору афінної системи координат. Множина обмежено в тім і тільки в тому випадку, якщо воно втримується в деякому паралелепіпеді.

Визначення. Опуклою оболонкою множини крапок в афінному просторі називається така опукла множина , що втримується в будь-якій опуклій множині, що містить .

Приклад. 1) Опуклою оболонкою двох крапок , є відрізок .

2) Опукла оболонка будь-якого кінцевого числа крапок є обмеженим опуклим багатогранником, а кінцева система крапок - його вершинами.

Нехай в афінному просторі дані крапки з радіус-векторами відповідно.

Визначення. Опукла оболонка системи крапок , що перебувають у загальному положенні, називається -мірним симплексом з вершинами .

Симплекс із вершинами при . При цьому числа називаються барицентрическими координатами крапки симплекса, що має радіус-вектор .

Окремі випадки:

нульмірний симплекс - одна крапка;

одномірний симплекс - відрізок;

двовимірний симплекс - трикутник;

тривимірний симплекс - трикутна піраміда.

Крапка симплекса, у якій всі координати рівні між собою , називається центром симплекса.

Нехай - симплекс із вершинами ; і нехай - який-небудь із його вершин. -мірний симплекс, що є опуклою оболонкою вершин називається -мірною гранню симплекса . Одномірні грані, тобто відрізки, що з'єднують вершини, називаються ребрами симплекса.

Дві грані розмірності й - називаються протилежними гранями симплекса , якщо вони не мають загальних вершин.

Як вправи доведемо, що симплекс є опуклою оболонкою пари протилежних граней, і що протилежні грані симплекса завжди розташовуються в перехресних площинах і що відрізок, що з'єднує центри протилежних граней, проходить через центр симплекса.

Доведемо, що -мірний симплекс в -мірному просторі являє собою перетинання замкнутих підпросторів у числі .

Нехай - вершини симплекса . Приймемо за початок координат, базис виберемо в такий спосіб:

, , …, ...

Тоді співвідношення при в координатах приймуть вид

(7.13)

звідки треба, що

(7.14)



З іншого боку, з (7.14) випливає (7.13),якщо покласти для

,

Таким чином, системи (7.13) і (7.14) еквівалентні й задають той самий симплекс . (при =3).

Мал. 26

Система нерівностей (7.14) показує, перетинанням яких півпросторів утворений симплекс .

Вище говорилося, що багатогранник можна представити у вигляді шматка простору, «висіченого» декількома гіперплощинами.

Відзначимо попутно, що слово «симплекс» (simplex) у перекладі з латинського означає «простий».

У наступному параграфі даної глави відбудеться знайомство з -симплексами в просторі.

§8. K-Симплекси в просторі

Симплекси

Якщо задані крапок не лежачих в одній ( ) -площини, то крапки, обумовлені радіус-векторами



, (8.1)

де індекс пробігає значення від 0 до , а параметри зв'язані умовою

(8.2)

утворять - симплекс із вершинами , що будемо називати - симплексом .На малюнку 23 а, б, і в зображений 2 - симплекс (трикутник) 3 - симплекс (тетраедр) і 4 - симплекс .

2

2

Мал. 27

Грані симплекса

Якщо в рівнянні (8.1) один з параметрів дорівнює 0, одержуємо - симплекс, називаний гранню - симплекса. Грані цих - симплексів називаються - гранями - симплекса, грані цих -симплексів називаються - гранями - симплекса й т.д. Таким чином, - симплекс володіє - гранями, де пробігає значення від 0 до ; 0 - грануй - симплекса збігаються з його вершинами, 1-грані називаються ребрами (при - сторонами). На малюнку 3, а сторони трикутника - 3 відрізки ; на малюнку 3, б ребра тетраедра - 6 відрізків , 2 -грані-4трикутники А₀А₁А₂, ; на малюнку 3, в - ребра 4 - симплекси - 10 відрізків , , , 2 - грані - 10 трикутників , , , , , , , 3-грані - 5 тетраедрів , , , , .

Якщо представимо вектори у вигляді , то формулу (1) можна переписати у вигляді , де параметри обмежені умовами 0 , .

Тому що будь-яка система вершин - симплекса визначає - грань симплекса, число - граней симплекса дорівнює числу сполучень із по , тобто = . (8.3)



Об'єм симплекса

Насамперед покажемо, що об'єм довільного - симплекса виражається через об'єм однієї з його - граней і відстані від вершини, що лежить проти цієї грані, до площини цієї грані по формулі

. (8.4)

2

Мал. 28

Якщо будемо називати виділену -грань - симплекса його підставою, а відстань - його висотою, то формула (8.4) показує, що об'єм - симплекса дорівнює добуток його підстави на висоту. Нехай підстава k - симплекса (на малюнку 28 зображується при )

Проведемо площину, паралельну площини - грані на відстані від її. Це площина висіче з нашого k - симплекса -симплекс і відітне від нього k - симплекс , Позначимо -симплекса через , те формулу для визначення об'єму k - симплекса можна записати у вигляді



(8.5)

Тому що k - симплекса може бути отриманий з k - симплекса гомотетиєю із центром у вершині й з коефіцієнтом виходить із - грані тієї ж гомотетиєю. Тому що матриця гомотетії, що відображає - грань на - грань є матрицею -20 порядку виду , визначити цієї матриці дорівнює й об'єм може бути записаний у вигляді

Тому

.

Застосовуючи формулу (4) до об'єму - грані, виразимо цей об'єм через об'єм однієї з її - граней і відповідну висоту цієї - грані. Аналогічно виразимо об'єми , , … , і площа , вкладених друг у друга - грані, - грані, …, 3-грані й 2-грані симплекса через об'єми , …, , площу й довжину одного з ребер - симплекса й відповідні висоти , , … , цих граней, одержимо що

.

У тому випадку, коли k - симплекс визначається рівнянням (1), де , добуток … дорівнює об'єму k - паралелепіпеда, обумовленого рівнянням

с векторами при 0 , тому об'єм k - симплекса пов'язаний з об'ємом відповідного k - паралелепіпеда співвідношенням

= (8.6)

Тому що квадрат об'єму в силу (7.6 з § 7) дорівнює визначнику Грама, складеному з вектора , з формули (8.6) випливає, що об'єм k - симплекса, обумовленого рівнянням (8.1), де , визначається співвідношенням



(8.7)

Об'єм - симплексу, обумовленого рівнянням (8.1) при = , де , дорівнює

= , (8.8)

квадрат косого добутку ( ) дорівнює визначнику Грама, складеному з векторів .

Афінність k - симплексів

Якщо дані два довільних k - симплекси й , то системи їхніх вершин визначають афінний перетворення, що переводить першу із цих систем вершин у другу.

Тому що при афінному перетворенні площини переходять у площині, це афінний перетворення переводить весь k - симплекс в k - симплекс .

Тому всякі два k - симплекси афінні.

Відносний об'єм k - симплекса, обумовленого рівнянням (8.1) при = , де , виражається по формулі при афінному перетворенні з оператором множиться на визначник матриці оператора , одержуємо, що при афінному перетворенні відносні об'єми всіх k - симплексів множаться на визначник матриці цього афінного перетворення, тобто якщо k - симплекс із відносним об'ємом переходить при афінному перетворенні з матрицею в k - симплекс із об'ємом , те, так само як у випадку k - паралелепіпедів,

= . (8.9)

Звідси випливає, що відносини об'ємів k - симплексів не змінюються при афінних перетвореннях.

Правильний k - симплекс

Визначення правильних багатокутників і багатогранників дозволяє визначити правильний k - симплекс.

Насамперед побудуємо правильний k - симплекс. Правильний k - симплекс при = 2 - рівносторонній трикутник. Рівносторонній трикутник із центром на початку координат і зі стороною на прямій має вершини в крапках з координатами , і .

2

Мал. 29

Для побудови правильного k - симплекса із центром на початку системи прямокутних координат і із гранню на площині припустимо, що ми побудували правильний - симплекс.

Тому що центр О k - симплекса ділить відрізок прямої між крапкою й площиною у відношенні : 1, а пряма збігається з -ої координатною віссю, вершина має координати (0, 0, 0, …); -е координати вершин рівні - 1, а перші -1 координати цих вершин можна одержати з координат вершин ( -1) - симплекса множенням їх на такий множник , щоб всі відстані , , …, ==

Відстань від центра побудованого - симплекса до його ( -1) - граней дорівнює 1, а відстань від того ж центра до вершин цього - симплекса дорівнює . Довжина кожного з ребер цього - симплекса дорівнює .

З визначення правильного - симплекса видно, що все - грані правильного - симплекса є правильними - симплексами.

2

Мал.30

На малюнку зображений правильний ( -1) - симплекс ( = 4)

Об'єм правильного - симплекса

Обчислимо об'єм побудованого правильного симплекса. Тому що об'єм підстави цього - симплекса дорівнює добутку , а висота цього - симплекса дорівнює +1, одержуємо, що

.

.

При = 2 формула дає нам

При = 3 формула .

Об'єм правильного - симплекса, ( -1) - грані якого перебувають на відстані від його центра, дорівнює

.

§9.K-Кулі в просторі

Називати k-мірною сферою евклідова k-простору або k-сферою цього простору множина всіх крапок цього простору, що лежать в одній (k + 1)-площини й віддалених від даної крапки, називаної центром k-сфери, на тому самому відстані, називаній радіусом k-сфери.

При k = n - 1 k-сфера визначається як множина всіх крапок простору, що відстоять від однієї крапки на тому самому відстані: надалі, говорячи «сфера», будемо мати на увазі (n - 1)-сферу. При k = 1, k-сфера називається окружністю.

Якщо радіус (k- 1)-сфери дорівнює R, то множина всіх крапок k-площини цієї (k- 1)-cферы, що перебувають від центра (k- 1)-cферы на відстані , називається k-кулею. При k = n n-куля визначається як множина всіх крапок n-простору, що відстоять від центра сфери на відстані . Надалі, говорячи «кулю», будемо мати на увазі n-куля. При k = 2 k-куля називається навкруги.

Якщо центр сфери - крапка М₀(х₀), а радіус дорівнює R (мал. 31), радіус-вектор х довільної крапки М сфери зв'язаний умовою, що складається в тім, що відстань М₀М дорівнює R. Тому що ця відстань дорівнює модулю вектора , тобто

,

те рівняння сфери із центром у крапці М_0, і радіусом R має

(9.1)

або, після піднесення обох частин рівняння (9.1) у квадрат

(9.2)

Мал. 31

Рівнянню (9.2) не задовольняє радіус-вектор ні однієї крапки, для якої відстань М₀М не дорівнює R, тому що й відстань М₀М и радіус R - позитивні числа.

Рівняння (9.2) називається векторним рівнянням сфери. Це рівнянням сфери. Це рівняння є часткою случаємо векторного рівняння поверхні. Тому сфера є часткою случаємо рівняння поверхні, тому що k-сферу можна розглядати як сферу в (k + 1)-просторі.

Тому що k-сфера із центром у крапці М₀(х₀) і радіусом у якійсь (k + 1)- площини є перетинанням сфери з тим же центром і радіусом із зазначеної (k + 1)площиною, рівняннями k-сфери є рівняння (9.2) сфери з тим же центром і радіусом і рівняння (k + 1)-площини.

Якщо центр сфери перебуває на початку, х₀=0, то рівняння (9.2) прийме вид

(9.3)

Рівняння (9.2) можна переписати у вигляді

(9.4)

або, множачи обидві частини цієї рівності на число а, у вигляді

(9.5)

Вектор і число з у рівнянні (9.5) пов'язані з вектором х₀ центра сфери і її радіусом R співвідношеннями

, (9.6)

Тому, якщо дано рівняння (9.5) сфери, то центр і радіус цієї сфери визначаються співвідношеннями.



, (9.7)

Рівняння (9.5) при а = 1, тобто рівняння

(9.8)

називається нормальним рівнянням сфери. У випадку нормального рівняння сфери співвідношення (9.7) показує, що, для того щоб рівняння (9.5) було рівнянням сфери, необхідне виконання нерівності

(9.9)

У випадку, коли , рівнянню (9.5) задовольняє тільки одна крапка М₀(х₀), яку можна розглядати як сферу нульового радіуса. Для того, щоб загальне рівняння другого ступеня було б рівнянням сфери, необхідне виконання нерівності, рівносильного нерівності (9.9).

Геометрія k-сфер

1. Рівняння k-сфер

Визначимо k-сфери як перетинання сфери з (k+1)-площиною. Тому що (k+1)-площина у свою чергу є перетинанням n - k - 1 площин, а кожна із цих площин може бути замінена такою сферою, що зазначена площина є радикальною площиною для цієї сфери й даної сфери, k-сфера є перетинанням n - k незалежних сфер. Тому k - сферу можна задати n - k - рівняннями

У цьому випадку довільна сфера, що проходить через дану k-сферу, визначається рівнянням

(9.10)

При k = n - 2 сукупність сфер з рівняннями виду (9.10) становить пучок сфер.

Якщо дані дві сфери

, ,

то сукупність сфер з рівняннями

називається пучком сфер,

утримуючому дві сфери. Рівняння при

є рівнянням площини.

Взаємне розташування двох k-сфер

Дві k-сфери k-простору без загальних крапок будемо називати зачепленими, якщо всяка сфера, що проходить через одну із цих k-сфер, перетинається із усякою сферою, що проходить через іншу k-сферу. Будемо називати дві k-сфери k-простору без загальних крапок незачепленими, якщо існують непересічні сфери, що проходять через ці k-сфери.

На малюнку зображені різні види взаємного розташування двох окружностей в 3-просторі.



а) зачеплення б) перетинання в крапці

Мал. 32 в) незачеплення

Об'єм сфери

Об'єм сфери радіуса r, що будемо позначати S_k, виражається інтегралом

,

у якому змінне змінюється від 0 до 2, а змінні (при i > 1) від до тому цей інтеграл дорівнює добутку k інтегралів

тоді об'єм S_k сфери радіуса r в k-просторі при парному n дорівнює:



(9.11)

і для n парного:

Формули об'єму дають при k = 2 (уважаючи 0!! = 1), 3, 4 і 5 відповідно.

, .

Об'єм кулі

Об'єм кулі радіуса r, що будемо позначати V_k, виражається інтегралом

який за допомогою інтеграла (9.11) для обчислення об'єму сфери S_k може бути записаний у вигляді

Тому об'єм V_k кулі радіуса r в k-просторі при парному й непарному n відповідно дорівнює



, (9.12)

Формула (9.12) дає при k = 2, 3, 4, 5 відповідно

, , , (9.13)



Глава 3. Застосування багатомірної геометрії

§10. Про необхідність введення багатомірного простору (на прикладах задач)

У чому складається користь багатомірних просторів? Де вони застосовуються? Навіщо знадобилося розширювати подання про простір від реального тривимірного миру до настільки далеких абстракцій, які нелегко й не відразу укладаються у свідомості?

Для відповіді на ці питання необхідно розглянути кілька прикладів задач.

Приклад 1. Сума n чисел дорівнює одиниці. Які повинні бути ці числа, щоб сума їхніх квадратів була найменшою?

Мал. 33

Рішення. Одержимо відповідь на поставлене питання геометричним шляхом, розглядаючи спочатку випадок n = 2, потім n = 3, а потім обговоримо ситуацію при n > 3.

Отже, нехай спочатку n = 2. Інакше кажучи, розглядаючи числа х, в, що задовольняють умові х + в = 1, і потрібно знайти, у якому випадку сума квадратів х² + в² буде найменшою. Рівняння х + в = 1 визначає на координатній площині пряму (мал. 33). Розглянемо окружність S із центром на початку координат, що стосується цій прямій (крапка А). Якщо крапка М(х, у) прямій l відмінна від А, то вона лежить поза окружністю S і тому | ОМ| більше радіуса r цієї окружності, тобто . Якщо ж М = А, то сума х² + в² дорівнює r, тобто саме для крапки А ця сума приймає найменше значення. Крапка А має координати х = в = 1/2; це і є рішення поставленої алгебраїчної задачі при (n = 2).

Мал. 34

Нехай n = 3. Рівняння x + y + z =1 визначає в просторі площина L. Розглянемо сферу S c центром на початку координат, що стосується цієї площини в деякій крапці А (мал. 34). Для будь-якої крапки , відмінної від А, її відстань від крапки Про більше радіус r сфери S, і тому

,

при М = А маємо

Таким чином, саме для крапки А сума

приймає найменше значення. Крапка А має рівні координати: x = y = z (оскільки при повороті простору, що переставляє осі координат: , і площина L і сфера S переходять у себе, а тому їхня загальна крапка залишається нерухливої). А тому що

x + y + z =1,

то крапка А має координати

x = y = z = 1/3;

це і є рішення поставленої задачі (для n=3).

Розглянемо довільне n; міркування будемо вести в n-мірному просторі, крапками якого є послідовності (х₁, х₂, …, х_n), що складаються з n дійсних чисел. Рівняння

визначає в цьому просторі «площина» L, що має розмірність n - 1 (гіперплощина в n-мірному просторі). Розглянемо сферу S із центром на початку координат О, що стосується гіперплощини L у деякій крапці А. Всі крапки гіперплощини L, крім А, лежать поза сферою S, тобто перебувають від початку координат о на відстані, рівній r. Отже, сума

приймає найменше значення в порівнянні з усіма іншими крапками гіперплощини L. Помітимо тепер, що всі координати крапки А рівні між собою:



(оскільки поворот простору, що переставляє осі координат:

і площина L і сфера S переходять у себе, а тому їхня загальна крапка залишається нерухливої), звідки

Отже, при

сума квадратів

приймає найменше значення для

.

Приклад 2. На три заводи З₁, З₂, З₃ (мал. 35) потрібно завести сировину однакового виду, що зберігається на двох складах З₁, З₂ відповідно до даних, зазначеними в таблиці.



Наявність сировини	Потреба в сировину
З1	З2	З1	З2	З3
20 т	25 т	10 т	15 т	20 т

Потрібно знайти найбільш вигідний варіант перевезень, тобто варіант, для якого загальна кількість тонно-кілометрів буде найменшим.

Рішення. Позначимо через х и в кількість сировини, яку потрібно вивести зі складу З₁ відповідно на заводи З₁, З₂. Тоді із другого складу потрібно довезти на ці заводи 10 - х і 15 - у тонн сировини. Тому що загальна кількість наявного на складах сировини збігається з потребою заводів, тобто все сировина повинне бути вивезене зі складів на заводи, те після забезпечення заводів З₁ і З₂ сировина, що залишилася на складах, повністю вивозиться _на завод З3, тобто зі складу З₁ на завод З₃ вивозиться 20 - х - в, а зі складу З₂ 25 - (10 - х) - (15 - у) = х + у тонн.

Мал. 35

З огляду на відстані (мал. 35), знаходимо загальне число тонно-кілометрів:

5х + 7в + 10(20 - х - у) + 3(10 - х) - (15 - у) + 6(х + у) = 290 - 2х - в.



Помітимо тепер, що всі величини, що виражають кількість перевезеного по різних дорогах сировини, ненегативні:

Кожне із цих нерівностей визначає в системі координат х, у на півплощина, а система всіх нерівностей визначає перетинання цих на півплощин, тобто опуклий багатокутник Q (мал. 36). Помітимо, що остання нерівність можна відкинути: воно є наслідком перших двох.

Мал. 36

Таким чином, задача про знаходження найбільш вигідного варіанта перевезень зводиться математично до знаходження крапки М(х, у) багатокутника Q, у який функція 290 - 2х - у досягає найменшого значення. Замість цієї функції можна розглядати функцію - 2х - в.

Дійсно, якщо буде знайдене найменше значення функції - 2х - у на багатокутнику Q, те додавши до цього значення 290, одержимо найменше значення функції 290 - 2х - в. На малюнку 37 показано, що найменше значення лінійної функції, розглянутої на багатокутнику Q, досягається у вершині С. Інакше кажучи, найбільш вигідний варіант перевезень відповідає крапці З(10; 10), тобто х = 10, в = 10. Загальна кількість тонно-кілометрів для цих значень х, у дорівнює 290 - 2·10 - 10 = 260.

Мал. 37

У розглянутій задачі всі об'єми перевезень зі складів на заводи вдалося виразити через дві змінні х, в. Це дозволило дати геометричну інтерпретацію системи, що вийшла, нерівностей на координатній площині. Допустимо, однак, що при тих же двох складах число заводів дорівнює чотирьом з потребою в сировину відповідно 8, 10, 12 і 15 т. Тоді потрібно буде ввести три змінні x, y, z, що позначають кількість сировини, що вивозиться зі складу З₁ на перші три заводи. Якщо задати відстані зі складів до заводів, то можна буде скласти вираження для загального числа тонно-кілометрів. Можна написати й нерівності, що виражають незаперечність кількості сировини, що вивозиться зі складів на заводи. Тепер ці нерівності будуть залежати від трьох змінних x, y, z. Кожне із цих нерівностей задає півпростір, а система всіх нерівностей визначає перетинання півпросторів, тобто опуклий багатогранник у тривимірному просторі.

Таким чином, для чотирьох заводів задача про перевезення сировини буде математично формулюватися як задача про найменше значення лінійної функції на тривимірному опуклому багатограннику.

Для двох складів і п'яти заводів (при збереженні тієї умови, що все сировина повинне бути вивезене повністю) будуть потрібні вже чотири змінні, що позначають кількість сировини, що вивозиться зі складу З₁ на перші чотири заводи. Тепер ми будемо мати нерівності із чотирма змінними, і для одержання геометричної інтерпретації буде потрібно чотирьохмірний простір, а при більшому числі складів і заводів - простір ще більшої розмірності.

§11. Простір-Час класичної механіки

Аналогія між простором і часом була відома ще стародавнім грекам. Аристотель включав час у число безперервних величин поряд з лініями, поверхнями й тілами. Однак уперше розглядав час як координату поряд із просторовими координатами Галілей.

Час систематично розглядався як координата в теоретичній механіці.

Будемо характеризувати положення матеріальної крапки в просторі в цей момент часу просторовими координатами хⁱ ( i = 1, 2, 3) і тимчасовою координатою t. У класичній механіці Галілея-Ньютона перехід від вихідної системи координат хⁱ, t до іншої системи, що рухається щодо її прямолінійно й рівномірно визначається формулами

де - координати вектора руху першої системи стосовно другого. Формули показують, що якщо при переході від однієї системи координат до іншої системи, що рухається стосовно неї, просторові координати в другій системі виражаються не тільки через просторові координати в першій системі, але й через тимчасову координату в цій системі, те тимчасові координати в другій системі можуть відрізнятися від тимчасових координат у першій системі тільки зміною початку відліку, тобто час у механіку Галілея-Ньютона абсолютно.

Механіка Галілея-Ньютона добре погодиться із практикою при малих швидкостях, але при більших швидкостях, порівнянних зі швидкістю світла, ця механіка помітно розходиться із практикою; відповідно до механіки Галілея-Ньютона, якщо швидкість світла стосовно деякої системи координат дорівнює з, те стосовно системи координат, що рухається в тім же або зворотному напрямку зі швидкістю v, ця швидкість відповідно повинна бути дорівнює c - v або c + v. Але, як показує експеримент, швидкість світла та сама стосовно всіх систем координат, що рухаються друг щодо друга прямолінійно й рівномірно. Якщо швидкість v, у багато разів менше швидкості з, швидкості c - v і c + v практично не відрізними від швидкості з, але у випадку, коли швидкість v порівнянна зі швидкістю з, відмінність швидкості світла від швидкостей c - v і c + v легко помітити.

§ 12. Простір-Час спеціальної теорії відносності

Для того щоб виконувалася умова сталості швидкості світла для всіх систем координат, що рухаються рівномірно й прямолінійно друг щодо друга, досить, щоб для всіх таких систем прямокутних координат виконувалося співвідношення

тобто

(12.1)

Це умова не може бути виконане в механіку Галілея-Ньютона, де координата не може залежати від координати . Для того щоб задовольнити цій умові, варто відмовитися від поняття про абсолютний час і прийняти, що простір і час - не ізольовані друг від друга форми існування матерії, а дві сторони існування однієї й тієї ж форми.

Цій умові задовольняє механіка спеціальної теорії відносності Ейнштейна, що дає при швидкостях, порівнянних зі швидкістю світла, значно більша згода із практикою, чим механіка Галілея-Ньютона. Якщо ми позначимо добуток ct, що має розмірність довжини через х⁴, те, відповідно до спеціальної теорії відносності, при переході від однієї системи координат до іншої такої системи, що рухається щодо її рівномірно й прямолінійно, координати хⁱ (i = 1, 2, 3, 4) перетворяться за законом

(12.2)

причому

(12.3)

де , .

Формула (12.2) збігається з формулою перетворення прямокутних координат звичайного n - простору при n = 4, але формула (12.3) відрізняється від відповідної умови в 4-просторі, у якому .

Тому у випадку спеціальної теорії відносності можна за аналогією зі звичайним 4-простором визначити в 4-просторі, крапки якого визначають положення матеріальних крапок у різні моменти часу, відстані між крапками, уважаючи за відстань між крапками М₁ і М₂ з координатами й квадратний корінь із вираження



Певне в такий спосіб відстань може бути як речовинним, так і чисто мнимим і рівним нулю. У першому випадку існує така система координат, у якій крапки М₁ і М₂ одночасні й відстань М₁М₂ дорівнює звичайній відстані між ними в цій системі координат. У другому випадку існує така система координат, у якій ці крапки мають однакові просторові координати й відстань М₁М₂ дорівнює добутку ic на відрізок часу між цими крапками в цій системі координат. У третьому випадку М₁М₂ = 0 і крапки М₁ і М₂ можна з'єднати променем світла.

Певне нами 4-простір називають простором Минковського. Перетворення (12.2) при , що задовольняють умовам (12.3), називають перетвореннями Лоренца.

Цей приклад показує плодотворність поняття 4-простори, указує на необхідність розширення поняття евклідова n-простору убік відмови від квадратичної форми, що виражає скалярний квадрат вектора х у функції його координат.

§13. Простір-Час загальної теорії відносності

Опис простору-часу за допомогою псевдо евклідова 4-простору індексу 3 у спеціальній теорії відносності, що погодиться із практикою краще, ніж опис простору-часу в класичній механіці, є тільки наближеним описом простору-часу. Наступне наближення було запропоновано самим Ейнштейном у його загальній теорії відносності. Відповідно до цієї теорії простір-час є псевдоримановим 4-простором індексу 3, кривизна в 2-мірних напрямках якого більше там, де більше щільність матерії. Таким чином, не тільки простір і час виявляються взаємозалежними, але їхні властивості виявляються залежними від матерії, формою існування якої вони є.

З того, що в малій області геометрія псевдориманових просторів близька до геометрії псевдо евклідова простору, утвореного векторами в одній із крапок цієї області, видно, що спеціальна теорія відносності добре погодиться із практикою в порівняно невеликих областях простору-часу, а в більших областях проявляються властивості, описувані загальною теорією відносності.

Хоча із прогресом науки ми довідаємося властивості все більших областей простору-часу, відома нам частина всесвіту залишається обмеженої й по властивостях цієї частини миру ми можемо судити про геометричні властивості світового простору-часу в цілому тільки в порядку грубого наближення.

Найбільш грубе наближення до картини світового простору-часу в цілому ми одержимо, якщо припустимо, що матерія розподілена в просторі-часу зовсім рівномірно й, отже, простір-час являє собою псевдориманово 4-простір індексу 3 постійні кривизни. Якщо ми уявимо собі такий простір у вигляді сфери речовинного або мнимого радіуса в псевдо евклідовим 5-просторі відповідно індексу 4 або 3, а поверхні t =const також у порядку грубого наближення уявимо собі перетинами цієї сфери паралельними площинами, то із часом «просторовий перетин» миру зменшується або розширюється залежно від положення січної площини. У першому випадку кривизна «просторового перетину» - постійна позитивна, у другому випадку - постійна негативна.

Мал. 38. а) б)

На мал. 38 зображені тривимірні аналоги сфер речовинного й мнимого радіуса в псевдо евклідовим 5-просторі. Викладена картина миру з першого погляду здається неправдоподібної, але вона підтверджується астрономічними спостереженнями, що свідчать про розширення відомої нам всесвіту. Це підтвердження вказує на можливість того, що реальний простір-час, є псевдоримановим простором змінної кривизни, відповідає цій картині миру «у середньому».



Висновок

Вивчення k-мірного простору досить корисно як для з'ясування багатьох закономірностей геометрії звичайного простору, що є часткою случаємо k-мірного простору при k = 3, так і для більше наочного подання багатьох закономірностей алгебри, геометрії й аналізу, пов'язаних з рівняннями з k невідомими.

Співвідношення k-мірної геометрії знаходять застосування й при рішенні транспортних задач про складання оптимального способу перевезення вантажів і т.д.

У даній роботі були розглянуті багатомірні геометричні образи в k-мірних просторах і чотирьохмірному простору, що наші очі ніколи не бачили. Також досліджувалися чотирьохмірні предмети простору. На основі викладеного матеріалу досліджували необхідність введення багатомірного простору системи, заданої k-параметрами, у якій з'являються поняття k-мірної лінії площини.

Література

1. Олександров О.Д., Нецветаєва Н.Ю. Геометрія. - К., 2000.

2. Атанасян Л.С. Геометрія. - К., 2003

3. Базилев В.Т. і ін. Геометрія. Посібник для студентів фіз.-мат. Факультетів пед. інститутів - К., 2003.

4. Вигнер Е. Незбагненна ефективність математики в природничих науках. - К., 2004

5. Гельфанд И.М., Глаголєва Е.Г., Кирилов Н.А. Метод координат. - К., 2003

6. Гордевский Д.З. Популярне введення в багатомірну геометрію. - Харків, 1994

7. Єфімов Н.В., Розендорн Е.Р. Лінійна алгебра й багатомірна геометрія. - К., 2003

8. Манин Ю.И. Нові розмірності в геометрії. - К., 2003

9. Моденов Л.С. Аналітична геометрія. - К., 2003

10. Парнаський І.В. Багатомірні простори. - К., 1998.

11. Понтрягин Л.С. Знайомство з вищою математикою. - К., 2004

12. Прохоров Ю.В. Великий енциклопедичний словник по математиці. - К., 2003.