Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

на тему

«ДОДАТКОВІ УМОВИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ»



ВСТУП

Дана курсова робота складається з вступу, шести параграфів, висновків і списку використаних джерел. Перший параграф присвячено загальним поняттям та основним властивостям числових рядів. У другому параграфі розглядається ознака збіжності Куммера, наводиться теорема з доведенням та ознака Куммера у граничній формі, параграф проілюстрований прикладом. У третьому параграфі наведено теорему Раабе та ознаку Раабе у граничній формі, наведено два приклади на застосування цієї ознаки. У четвертому параграфі проаналізована ознака збіжності Бертрана і наведена у граничній формі. У п'ятому параграфі розглядається ознака збіжності Гаусса, наводиться Теорема з доведенням. Шостий параграф присвячений ознаці збіжності Діріхле, наведена теорема з доведенням та наслідок з теореми (ознака збіжності Абеля), ознака проілюстрована прикладом.

В роботі самостійно розв'язані приклади методом Куммера та методом Раабе.

У курсовій роботі прийнята подвійна нумерація формул, де перше число відповідає номеру параграфа, а друге - номеру формули в даному параграфі.

Числа в квадратних дужках - це посилання на використану літературу, перше число - це порядковий номеру джерела у списку використаних джерел, список яких наведено наприкінці роботи, друге число - це сторінка на якій знаходиться матеріал.

Важливе місце в курсі математичного аналізу посідають числові ряди (знакододатні та знакозмінні) та зокрема їх дослідження на збіжність. Цими питаннями займалися багато вчених, найвідоміші ознаки збіжності мають ім'я таких вчених, як Жана Лерона Даламбера та Огюстена Луі Коші. Але це не єдині ознаки збіжності які існують, є ще багато вчених, які сформулювали та довели теореми про збіжність рядів, зокрема, Йоганн Карл Фрідрих Гаусс, Йозеф Людвиг Раабе, Петер Густав Лежен Діріхле, Эрнст Эдуард Куммер, Артур Уільям Рассел Бертран.

Йоганн Карл Фрідрих Гаусс (30.04.1777 -- 23.02.1855) -- німецький математик, астроном і фізик, вважається одним з найвидатніших математиків всіх часів, «королем математиків». Гаусс дослідів питання про збіжність нескінченних рядів, які він пов'язав з вивченням так званого гіпергеометричного ряду («Про гіпергеометричній ряд», 1812). Головне значення цього ряду полягає в тому, що він містить як окремі випадки багато з відомих трансцендентних функцій, що мають широке застосування. Ці дослідження Гаусса разом з працями Коші і Абеля, які ґрунтуються на дослідженнях Гаусса, сприяли значному розвитку загальної теорії рядів.

Петер Густав Лежен Діріхле (13.02.1805 - 05.05.1859) - німецький математик. Зробив ряд великих відкриттів в теорії чисел: встановив формули для числа класів бінарних квадратичних форм із заданим визначником і довів теорему про нескінченність кількості простих чисел в арифметичній прогресії з цілих чисел, перший член і різницю якої взаємно прості. До вирішення цих завдань застосував аналітичні функції, названі функціями (рядами) Діріхле. У галузі математичного аналізу вперше точно сформулював і дослідив поняття умовної збіжності ряду, дав доведення можливості розкладання в ряд Фур'є кусково-неперервної і монотонної функцій, що послужило обґрунтуванням для багатьох подальших досліджень.

Эрнст Эдуард Куммер (29.01.1810 -- 14.05.1893) -- німецький математик, найбільш значні праці відносяться до алгебри і теорії чисел. Куммер вніс внесок в математичний аналіз, теорію алгебраїчних чисел, геометрію, теоретичну механіку. В аналізі він продовжив роботи Гауса по гіпергеометричних рядах. Його ім'я носить відомий ознака збіжності.

Широка, практична і неодноразово застосовувалася в ході курсу математичного аналізу - ознака збіжності Даламбера є недостатньо чутливою. Вона, взята у своїй неграничні формі, в принципі не здатна виявляти збіжність ряду , якщо