Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми
Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 12.03.2011 |
| Размер файла | 113,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
Числові характеристики системи випадкових величин та їх граничні теореми
1. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції
Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин і називається математичне сподівання добутку відповідних ним центрованих величин:
. (1)
Властивості коваріації:
|
1. |
|||
|
2. |
|||
|
3. |
Перші дві з них очевидні, остання доводиться також легко:
Коефіцієнтом кореляції називається кореляційний момент нормованої випадкової величини:
Теорема. Для будь-яких випадкових величин , коефіцієнт кореляції причому знак рівності можливий тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.
Доведення. Обчислимо дисперсію лінійної комбінації випадкових величин і з довільним коефіцієнтом та врахуємо, що з властивостей дисперсії вона є невід'ємною.
При цьому отримаємо невід'ємну квадратичну форму відносно змінної з невід'ємним коефіцієнтом при .
Це можливо лише за умови, що її дискримінант . З урахуванням визначення (1) цю нерівність можна переписати у вигляді:
або
або мовою середніх квадратичних відхилень випадкових величин
.
Тобто
Доведемо тепер другу частину теореми: тоді і тільки тоді, коли і з імовірністю 1 пов'язані лінійно.
Необхідність:
Достатність:
, , ,
, .
Випадкові величини , називаються некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю. Якщо випадкові величини , незалежні, то вони некорельовані.
.
Зворотне твердження, взагалі кажучи, не має місця.
Наприклад,
.
.
Для опису зв'язків, що існують між проекціями випадкового вектора (,), крім коваріації можна використовувати числові характеристики умовних законів розподілу , .
Умовним середнім значенням і умовною дисперсією випадкової величини за умови =y називаються величини:
,
.
Аналогічно визначаються характеристики і .
Для опису випадкового вектора також вводять початкові і центральні моменти:
, .
2. Комплексна випадкова величина, характеристичні функції
Комплексна випадкова величина, що вводиться за формулою , є іншим способом опису випадкового вектора (,).
Випадкові величини і називаються незалежними, якщо незалежними є випадкові вектори (,) і (,).
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Характеристичною функцією випадкової величини називається середнє значення виразу .
.
Функцію називають також характеристичною функцією відповідного закону розподілу:
(2)
Як видно з (2), характеристична функція є перетворенням Фур'є відповідної їй щільності імовірності:
Властивість 1. При додаванні незалежних випадкових величин їхні характеристичні функції перемножуються.
Властивість 2. Розкладання характеристичної функції в ряд за ступенями дозволяє знайти всі моменти , , ,…випадкової величини .
3. Види збіжності випадкових величин
Послідовність випадкових величин 1, 2…називається такою, що збігається з випадковою величиною в розумінні середнього квадратичного, якщо границя математичного сподівання квадрата абсолютного значення відхилення від прямує до нуля за умови, що , тобто
.
Величина називається ще СК границею послідовності {n}.
чи .
Оскільки
,
СК збіжність рівносильна виконанню умов:
.
Послідовність випадкових величин збігається з випадковою величиною при за імовірністю, якщо для кожного будь-якого >0
,
.
Збіжність послідовності до випадкової величини за ймовірністю символічно позначається таким чином:
.
Для будь-якої випадкової величини при будь-якому >0
.
.
Наслідок.
Зі збіжності у СК випливає збіжність за ймовірністю.
4. Граничні теореми теорії ймовірностей
Нерівність Чебишева.
.
(3)
Як випливає з нерівностей (3) зі зменшенням дисперсії , основна частина площі під кривої f(x) виявляється зосередженою в околі точки .
Рисунок 1
Внаслідок своєї загальності нерівність Чебишева дає дуже грубу оцінку ймовірності, що входить до неї.
Наприклад, .
, якщо .
Вважають, що послідовність функцій розподілу , , ,...., ,... збігається до функції розподілу , якщо
в усіх точках неперервності.
Якщо , то .
Практичне використання теорії ймовірностей засновано на такому принципі: випадкову подію, ймовірність якої досить близька до 1, можна вважати достовірною та неможливою при дуже малій ймовірності.
Теореми, що забезпечують виконання такої схеми обробки даних, називаються законами великих чисел.
Теорема Чебишева
Нехай 1, 2…-послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких обмежені
, k=1,2 …
Тоді при будь-якому 0
.
Теорема Бернуллі.
Нехай n - число появ деякої події А в серії з n незалежних іспитів, р - ймовірність появи А в окремому іспиті.
Тоді
тобто для кожного >0
Застосовуючи теорему Чебишева, одержимо формулу, що очікуємо при необмеженій кількості випробувань.
р.
Збіг теоретичних розрахунків із закономірностями, що фактично спостерігаються, свідчить про правильну схему побудови теорії ймовірностей. збіжність випадковий величина ймовірність
Центральна гранична теорема.
Нехай 1,2,…послідовність незалежних випадкових величин, що мають дисперсію D1,D2,…Dn…Треті абсолютні центральні моменти їх обмежені mk=M|k-Mk|3C.
Тоді випадкова величина
розподілена асимптотично нормально із середнім і , тобто
Р(<Sn<)Ф()-Ф()
при n.
Теорема Муавра-Лапласса (окремий випадок).
Нехай n - число появ деякої події А у серії з n незалежних випробувань, р - ймовірність появи події А в окремому випробуванні. Тоді
Теорема дозволяє при досить великих n одержати ймовірність:
Приклад 1. Обчислити ймовірність Р(715<n<725) того, що кількість появ герба в 1500 киданнях буде в межах від 715 до 725.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
реферат [253,5 K], добавлен 13.06.2010Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.
курсовая работа [105,2 K], добавлен 09.07.2009Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
реферат [151,8 K], добавлен 16.02.2011Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010Загальні положення та визначення в теорії моделювання. Поняття і класифікація моделей, iмовірнісне моделювання. Статистичне моделювання, основні характеристики випадкових векторів. Описання програмного забезпечення для моделювання випадкових векторів.
дипломная работа [12,0 M], добавлен 25.08.2010Метод Монте-Карло як метод моделювання випадкових величин з метою обчислення характеристик їхнього розподілу, оцінка похибки. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло, його принцип роботи. Приклади складання програми для роботи цим методом.
контрольная работа [41,6 K], добавлен 22.12.2010Основні принципи і елементи комбінаторики. Теорія ймовірностей: закономірності масових випадкових подій, дослідження і узагальнення статистичних даних, здійснення математичного і статистичного аналізу. Постановка і вирішення задач економічного характеру.
курс лекций [5,5 M], добавлен 21.11.2010Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009
