Статистичне моделювання випадкових векторів

Дипломна робота

Статистичне моделювання випадкових векторів

РЕФЕРАТ

Дипломна робота містить: 130 стор., 15 рис., 1 табл., 10 джерел.

Об'єктом дослідження є випадкові вектори, компонентами яких є незалежні або залежні випадкові величини з різними розподілами та функції від випадкових векторів.

Мета роботи: зробити аналіз методів моделювання випадкових векторів та функцій від випадкових векторів, розробити програмне забезпечення для їх статистичного моделювання.

Методика досліджень: розроблене програмне забезпечення для моделювання випадкових векторів та функцій від випадкових векторів в середовищі Maple 13. Правильність результатів моделювання підтверджується перевіркою на основі -критерія з програмного середовища STATISTICA.

Результати досліджень можуть бути застосовані при статистичному моделюванні роботи складних систем.

Перелік ключових слів: ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА, ВИПАДКОВИЙ ВЕКТОР, СТАТИСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ, ДИСКРЕТНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА, НЕПЕРЕРВНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА, РОЗПОДІЛ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ, ФУНКЦІЇ ВІД ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН І ВИПАДКОВИХ ВЕКТОРІВ.

Зміст

Вступ

Розділ 1 Загальні положення та визначення в теорії моделювання

1.1 Поняття системи

1.2 Поняття і класифікація моделей. Вимоги до них. Принципи побудови

1.3 Основні види та технологія моделювання

Розділ 2 Імовірнісне моделювання

2.1 Метод статистичних випробувань

2.2 Генератори випадкових чисел. Їх типи та методи генерування

2.3 Перевірка послідовностей випадкових чисел

Розділ 3 Статистичне моделювання випадкових векторів

3.1 Основні характеристики випадкових векторів

3.2 Методи моделювання випадкових векторів

3.2.1 Дискретний випадок

3.2.2 Неперервний випадок

3.3.3 Змішаний випадок

3.3 Моделювання функцій від випадкових векторів

3.3.1 Функції від випадкових величин

3.3.2 Моделювання випадкових величин виду

3.4 Описання програмного забезпечення для моделювання випадкових векторів

3.4.1 Прості приклади застосування функції piecewise

3.4.2 Спрощення виразу: simplify()

3.4.3 Розв'язання рівнянь, нерівностей і їх систем

3.4.4 Пакет stats

Висновки

Список використаних джерел

Додаток A

Додаток ВВступ

Моделювання як одну з найважливіших категорій процесу пізнання неможливо відокремити від розвитку людства. І саме методи комп'ютерного моделювання широко застосовуються в усіх сферах діяльності людини - від конструювання моделей технічних, технологічних та організаційних систем до вирішення проблем розвитку людства. Класичними об'єктами моделювання є інформаційні, виробничі, транспортні та інші системи, які в більшості випадків застосовуються для розв'язання задач проектування, реконструкції та довгострокового планування. Найважливішим завданням моделювання є оцінка показників функціонування таких систем.

В даній роботі коротко розглядаються основні види моделювання, а основна увага приділяється саме ймовірнісному моделюванню випадкових векторів. Огляд науково-дослідницьких робіт показує, що ймовірнісне моделювання є чи не найпопулярнішим. Головна цінність його в тому, що воно містить такі етапи: змістовна постановка задачі, програмна реалізація ймовірнісної моделі, оцінка точності результатів моделювання та прийняття рішень. Завдяки цьому ймовірнісне моделювання можна використовувати для виконання практичних завдань.

В даній дипломній роботі, яка присвячена ймовірнісному моделюванню випадкових векторів, наводиться описання цілого ряду методів моделювання випадкових векторів, у випадку, коли компоненти вектора є дискретними випадковими величинами, є випадковими величинами з абсолютно неперервним розподілом, коли частина компонент різного типу, а також моделювання функцій від випадкових векторів.

Статистичне моделювання випадкових векторів та функцій від випадкових векторів здійснюється в програмному середовищі Maple 13.

Розділ 1 Загальні положення та визначення в теорії моделювання

1.1 Поняття системи

Основними поняттями в теорії і практиці моделювання об'єктів, процесів і явищ є «система» та «модель».

У перекладі з грецької «systema» -- ціле, яке складається із частин; об'єднання. Термін «система» існує вже більш ніж два тисячоліття, проте різні дослідники визначають його по-різному. На сьогодні існує понад 500 визначень терміну «система». Однак, використовуючи будь-яке з них, у першу чергу потрібно мати на увазі ті завдання, які ставить перед собою дослідник. Системою може бути і один комп'ютер, і автоматизована лінія або технологічний процес, в яких комп'ютер є лише одним із компонентів, і все підприємство або кілька різних підприємств, які функціонують як єдина система в одній галузі промисловості. Те, що один дослідник визначає як систему, для іншого може бути лише компонентом більш складної системи.

Для всіх визначень системи загальним є те, що система -- це цілісний комплекс взаємопов'язаних елементів, який має певну структуру і взаємодіє із зовнішнім середовищем. Структура системи - це організована сукупність зв'язків між її елементами. Під такими зв'язками розуміють можливість впливу одного елемента системи на інший. Середовище -- це сукупність елементів зовнішнього світу, які не входять до складу системи, але впливають на її поведінку або властивості. Система є відкритою, якщо існує зовнішнє середовище, яке впливає на систему, і закритою, якщо воно відсутнє або з огляду на мету досліджень не враховується.

Одне з перших визначень системи (1950 рік) належить американському біологу Л. фон Берталанфі, згідно з яким система складається з деякої кількості взаємопов'язаних елементів. Оскільки між елементами системи існують певні взаємозв'язки, то мають бути структурні відношення. Таким чином, система -- це щось більше, ніж сукупність елементів. Аналізуючи систему, потрібно враховувати оцінку системного (синергетичного) ефекту. Властивості системи відмінні від властивостей її елементів, і залежно від властивостей, якими цікавляться дослідники, та ж сама сукупність елементів може бути системою або ні.

Багато дослідників визначають систему як цілеспрямовану множину взаємопов'язаних елементів будь-якої природи. Згідно з цим визначенням система функціонує для досягнення деякої мети. Це визначення є правильним для соціологічних і технічних систем, але не підходить для систем навколишньої природи (наприклад, біологічних), мета функціонування яких не завжди відома.

Одне з важливих визначень системи пов'язане з абстрактною теорією систем, у рамках якої, на відміну від інших рівнів опису систем [14], використовуються такі рівні абстрактного опису: символічний, або лінгвістичний; теоретико-множинний; абстрактно-алгебраїчний; топологічний; логіко-математичний; теоретико-інформаційний; динамічний; евристичний.

Під час подальшого викладення змісту цієї роботи будемо користуватись теоретико-множинним визначенням системи (А. Холл і Р. Фейджін та Ф. Фейджін), згідно з яким система -- це множина об'єктів, між якими існують певні відношення, та їх атрибути. Під об'єктами розуміють компоненти системи. Це, наприклад, підсистеми (тобто може існувати ієрархія підсистем) або окремі об'єкти системи. Атрибути -- це властивості об'єктів. Відношення задають певний закон, за яким визначається деяке відображення в одній і тій самій множині об'єктів. За цим визначенням поняття множина та елемент є аксіоматичними.

Таким чином, система S задається парою елементів:

де -- множини відповідно елементів і відношень між ними. Відношення визначають взаємодію між об'єктами.

Загальна теорія систем тісно пов'язана з формальною і є певною мірою математичною. Основна процедура теорії систем і системного аналізу - побудова моделі системи, яка відображала б усі фактори, взаємозв'язки і реальні ситуації. Займаються цим спеціалісти із системного аналізу -- системотехніки або системні аналітики.

1.2 Поняття і класифікація моделей. Вимоги до них. Принципи побудови

Поняття моделі. Термін «модель» походить від латинського слова «modulus», тобто зразок, пристрій, еталон. У широкому значенні -- це будь-який аналог (уявний, умовний: зображення, опис, схема, креслення тощо) певного об'єкта, процесу, явища («оригіналу» даної моделі), що використовується як його «замінник». Цей термін можна застосовувати також для позначення системи постулатів, даних і доведень, формального опису деякого явища або стану речей. Словник Вебстера визначає модель як «спрощений опис складного явища або процесу».

У сучасній теорії керування використовуються моделі двох основних типів. Для технологічних об'єктів цей поділ відповідає «феноменологічним» і «дедуктивним» моделям [19]. Під феноменологічними моделями розуміють переважно емпірично поновлені залежності вихідних даних від вхідних, як правило, з невеликою кількістю входів і виходів. Дедуктивне моделювання передбачає з'ясування та опис основних фізичних закономірностей функціонування всіх компонентів досліджуваного процесу і механізмів їх взаємодії. За допомогою дедуктивних моделей описується процес у цілому, а не окремі його режими.

Перший тип моделей -- моделі даних, які не потребують, не використовують і не відображають будь-яких гіпотез про фізичні процеси або системи, з яких ці дані отримано. До моделей даних належать усі моделі математичної статистики. Останнім часом ця сфера моделювання пов'язується з експерементально-статистичними методами і системами, що істотно розширює методологічну базу для прийняття рішень під час розв'язання завдань аналізу даних і керування.

Другий тип моделей - системні моделі, які будуються в основному на базі фізичних законів і гіпотез про те, як система структурована і, можливо, як вона функціонує. Використання системних моделей передбачає можливість працювати в технологіях віртуального моделювання -- на різноманітних тренажерах і в системах реального часу (операторські, інженерні, біомедичні інтерфейси, різноманітні системи діагностики і тестування тощо). Саме системні моделі будуть ядром моделювання на сучасному етапі.

Таким чином, модель є абстракцією системи і відображає деякі її властивості. Цілі моделювання формулює дослідник. Значення цілей моделювання неможливо переоцінити. Тільки завдяки їм можна визначити сукупність властивостей модельованої системи, які повинна мати модель, тобто від мети моделювання залежить потрібний ступінь деталізації моделі.

Класифікація моделей. Для того щоб визначити види моделей, перш за все потрібно окреслити ознаки класифікації. У сучасній літературі описано сотні визначень поняття «модель» та їх класифікацій. Одну з перших, досить повних, класифікацій моделей було запропоновано Дж. Форрестером [22] у 1961 році. Інші класифікації наведено у працях [17, 20, 21], але в жодній з них немає відомостей про ознаки, за якими їх складено.

Якщо враховувати, що моделювання -- це метод пізнання дійсності, то основною ознакою класифікації можна назвати спосіб подання моделі. За цією ознакою розрізняють абстрактні та реальні моделі (рис. 1.2.1). Під час моделювання можливі різні абстрактні конструкції, проте основною є віртуальна (уявна) модель, яка відображає ідеальне уявлення людини про навколишній світ, що фіксується в свідомості через думки та образи. Вона може подаватись у вигляді наочної моделі за допомогою графічних образів і зображень.

Рис. 1.2.1. Основні типи моделей

Наочні моделі залежно від способу реалізації можна поділити на дво- або тримірні графічні, анімаційні та просторові. Графічні та анімаційні моделі широко використовуються для відображення процесів, які відбуваються в модельованій системі. Графічні моделі застосовуються в системах автоматизованого проектування. Для відтворення тримірних моделей за допомогою комп'ютера існує багато графічних пакетів, найбільш поширені з яких Corel DRAW, 3D Studio Max та Maya. Графічні моделі є базою всіх комп'ютерних ігор, а також застосовуються під час імітаційного моделювання для анімації.

Щоб побудувати модель у формальному вигляді, створюють символічну, або лінгвістичну, модель, яка відповідала б найвищому рівню абстрактного опису, як це було зазначено вище. На базі неї отримують інші рівні опису.

Основним видом абстрактної моделі є математична модель. Математичною називається абстрактна модель, яка відображає систему у вигляді математичних відношень. Як правило, йдеться про систему математичних співвідношень, що описують процес або явище, яке вивчається; у загальному розумінні така модель є множиною символічних об'єктів і відношень між ними. Як відзначає Г. І. Рузавін у праці [18], «до сих пор в конкретных приложениях математики чаще всего имеют дело с анализом величин и взаимосвязей между ними. Эти взаимосвязи описываются с помощью уравнений и систем уравнений», через що математична модель звичайно розглядається як система рівнянь, в якій конкретні величини замінюються математичними поняттями, постійними і змінними величинами, функціями. Як правило, для цього застосовуються диференціальні, інтегральні та алгебраїчні рівняння. Розвиток нових розділів математики, пов'язаних з аналізом нечислових структур, досвід їх використання під час проведення досліджень свідчать, що потрібно розширювати уявлення про мову математичних моделей. Тоді математична модель визначатиметься як будь-яка математична структура, де об'єкти, а також відношення між ними можна буде інтерпретувати по-різному, наприклад як функції або функціонали.

На відміну від абстрактних, реальні моделі існують у природі, й з ними можна експериментувати. Реальні моделі -- це такі, в яких хоча б один компонент є фізичною копією реального об'єкта. Залежно від того, в якому співвідношенні знаходяться властивості системи та моделі, реальні моделі можна поділити на натурні та макетні.

Натурні (фізичні) моделі -- це існуючі системи або їх частини, на яких проводяться дослідження. Натурні моделі повністю адекватні реальній системі, що дає змогу отримувати високу точність і достовірність результатів моделювання. Суттєві недоліки натурних моделей -- це неможливість моделювання критичних і аварійних режимів їх роботи та висока вартість.

Макетні моделі -- це реально існуючі моделі, які відтворюють модельовану систему в певному масштабі. Іноді такі моделі називаються масштабними. Параметри моделі та системи відрізняються між собою. Числове значення цієї різниці називається масштабом моделювання, або коефіцієнтом подібності. Ці моделі розглядаються в рамках теорії подібності, яка в окремих випадках передбачає геометричну подібність оригіналу й моделі для відповідних масштабів параметрів. Найпростіші макетні моделі -- це пропорційно зменшені копії існуючих систем, які відтворюють основні властивості системи або об'єкта залежно від мети моделювання. Макетні моделі широко використовуються під час вивчення фізичних та аеродинамічних процесів, гідротехнічних споруд і багатьох інших технічних систем.

За можливістю змінювати в часі свої властивості моделі поділяються на статичні та динамічні. Статичні моделі, на відміну від динамічних, не змінюють своїх властивостей у часі. Динамічні моделі також називаються імітаційними.

Залежно від того, яким чином відтворюються в часі стани моделі, розрізняють дискретні, неперервні й дискретно-неперервні (комбіновані) моделі. За відношеннями між станами системи й моделі розрізняють детерміновані й стохастичні моделі. Останні, на відміну від детермінованих моделей, враховують імовірнісні явища й процеси.

Вимоги до моделей. У загальному випадку під час побудови моделі потрібно враховувати такі вимоги:

· незалежність результатів розв'язання задач від конкретної фізичної інтерпретації елементів моделі;

· змістовність, тобто здатність моделі відображати істотні риси і властивості реального процесу, який вивчається і моделюється;

· дедуктивність, тобто можливість конструктивного використання моделі для отримання результату;

· індуктивність -- вивчення причин і наслідків, від окремого до загального, з метою накопичення необхідних знань.

Принципи побудови моделей. Розглянемо коротко основні принципи моделювання, які відображають достатньо багатий досвід, накопичений на даний час у галузі розроблення і використання моделей.

· Принцип інформаційної достатності. За повної відсутності інформації про систему модель побудувати неможливо. За наявності повної інформації про систему її моделювання недоцільне. Існує деякий критичний рівень апріорних відомостей про систему (рівень інформаційної достатності), після досягнення якого можна побудувати її адекватну модель.

· Принцип доцільності. Модель створюється для досягнення деяких цілей, які визначають на первинному етапі формулювання проблеми моделювання.

· Принцип здійсненності. Модель, яка створюється, має забезпечувати досягнення мети дослідження з урахуванням граничних ресурсів з імовірністю, суттєво відмінною від нуля, і за кінцевий час. Звичайно задають деяке граничне значення Р (ступінь ризику) ймовірності досягнення мети моделювання Р(t), а також сам граничний термін t досягнення мети. Модель вважають здійсненною, якщо Р(t) Р.

· Принцип множинності моделей. Модель, яка створюється, має відображати в першу чергу ті властивості реальної системи (або явища), які впливають на вибраний показник ефективності. Відповідно під час використання будь-якої конкретної моделі пізнаються лише деякі складові реальності. Для повного її дослідження необхідно мати ряд моделей, які дали б змогу відобразити певний процес з різних боків і з різним ступенем детальності.

· Принцип агрегації. У більшості випадків складну систему можна подати такою, що складається з агрегатів (підсистем), для адекватного формального описування яких придатними є деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегації дає змогу досить гнучко перебудовувати модель залежно від завдань дослідження.

· Принцип параметризації. У ряді випадків модельована система має у своєму складі деякі відносно ізольовані підсистеми, які характеризуються певними параметрами, у тому числі векторними. Такі підсистеми можна замінювати в моделі відповідними числовими величинами, а не описувати процес їх функціонування. У разі необхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватись у вигляді таблиць, графіків або аналітичних виразів (формул), наприклад за допомогою регресійного аналізу. Принцип параметризації дає змогу скоротити обсяг і тривалість моделювання, але слід мати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі.

Отже, модель має бути багаторівневою, адаптивною, наочною, цільовою, розвиватись ітераційним способом, ускладнюватись і коригуватись у процесі утворення, що можливо тільки за умови побудови її блоковим (модульним) способом. Програмування та налагодження моделі доцільно провадити поетапно, з наступним збільшенням програмних модулів.

1.3 Основні види та технологія моделювання

Основні види моделювання. Єдина класифікація видів моделювання неможлива через багатозначність поняття моделі в науці, техніці, суспільстві. Широко відомими видами моделювання є комп'ютерне, математичне, імітаційне та статистичне. На жаль, різні джерела по-різному трактують ці поняття.

Комп'ютерне моделювання визначимо як реалізацію моделі за допомогою комп'ютера. Особливістю комп'ютерного моделювання є його інтерактивність, що дає змогу користувачу втручатися в процес моделювання та впливати на результати завдяки узгодженості дій користувача і моделі, яка відтворює об'єкти реального середовища або гіпотетичні події та процеси. Під час комп'ютерного моделювання може бути задіяно реальні об'єкти (наприклад, кабіна пілота), віртуальні об'єкти, згенеровані комп'ютером, які відтворюють реальні об'єкти (наприклад, потоково-конвеєрна лінія для збирання автомобілів). Інтерактивне комп'ютерне моделювання широко застосовується в навчальних системах, наприклад для побудови тренажерів і в ситуаційних іграх.

Рис. 1.3.1. Схема системи водопостачання

Що стосується математичних моделей, або математичного моделювання, то слід відзначити, що під час їх використання багато чого залежить від способу подання як моделі, так і результатів моделювання. Розглянемо простий приклад. Нехай на деякому підприємстві для водопостачання використовується резервуар, об'єм якого становить W тисяч літрів. Рівень споживання -- тисяч літрів, а швидкість наповнення резервуара -- тисяч літрів за добу. Необхідно знайти час Т, за який буде заповнено резервуар. Схему цієї системи зображено на рис. 1.3.1, де резервуар позначено прямокутником, а вхідний і вихідний потоки -- стрілками з «вентилями», які регулюють ці потоки. Хмарки позначають необмежені потоки. Такі ідеограми широко використовуються під час побудови моделей неперервних процесів.

Знайдемо час заповнення резервуара:

(1.3.1)

Ця математична модель процесу наповнення резервуара є надто ідеалізованою, тому що всі її параметри вважаються незмінними в часі, зовнішні впливи на систему не враховуються.. Завдяки такій ідеалізації маємо дуже просту модель, яка дає змогу розв'язати задачу аналітично. Однак за допомогою такої моделі можна отримати відповідь тільки на одне конкретне запитання -- за який час буде заповнено резервуар.

Якщо задачу наблизити до практики, то, будуючи модель, необхідно враховувати, що потреби підприємства у водопостачанні постійно змінюються, більш того, можливі перебої в роботі насосів під час подавання води. Розв'язок задачі в частково замкнутому вигляді можна записати як

(1.3.2)

Рис. 1.3.2. Графік наповнення резервуара

За рахунок неявного запису отримано більш придатну для дослідження та аналізу реальних процесів математичну модель. Час заповнення резервуара об'ємом W залежить від параметрів моделі Використання цієї моделі дає можливість вивчити відношення між величинами якщо задавати різні початкові значення для них, і побудувати графік наповнення резервуара (рис. 1.3.2).

Реалізувати цю модель можна за допомогою і чисельних методів. Змінюючи у формулі (1.3.2) значення i від 0 з деяким кроком до такого, що буде виконуватись рівність, отримаємо динамічну характеристику заповнення резервуара. Чим менший крок , тим точніший отримаємо результат, але тим довше буде вирішуватись задача моделювання.

Термін «моделювання» відповідає англійському слову «modeling», тобто побудові моделі та її аналізу. Англійський термін «simulation» відповідає прийнятому терміну «імітаційне моделювання», але часто вони використовуються разом, коли йдеться про технологічні або системні етапи моделювання, пов'язані з прийняттям рішень за допомогою моделей.

Імітаційне моделювання -- це метод конструювання моделі системи та проведення експериментів. Однак під таке визначення підпадають майже всі види моделювання. Тому потрібно виділити суттєві особливості імітаційного моделювання.

Перш за все слід подати в моделі структуру системи, тобто загальний опис елементів і зв'язків між ними, потім визначити засоби відтворення в моделі поведінки системи. Здебільшого поведінку системи описують за допомогою станів і моментів переходів між ними. Стан системи в момент часу t визначають як безліч значень певних параметрів системи у цей самий момент часу t. Будь-яку зміну цих значень можна розглядати як перехід до іншого стану. І врешті-решт, імітаційна модель має відобразити властивості середовища, в якому функціонує досліджувана система. Зовнішнє середовище задають вхідними впливами на модель.

Вся інформація про імітаційну модель загалом має логіко-математичний характер і подається у вигляді сукупності алгоритмів, які описують процес функціонування системи. Отже, здебільшого імітаційною моделлю є її програмна реалізація на комп'ютері, а імітаційне моделювання зводиться до проведення експериментів з моделлю шляхом багаторазового прогону програми з деякою множиною даних -- середовищем системи. Під час імітаційного моделювання може бути задіяно не тільки програмні засоби, але й технічні засоби, люди та реальні системи.

З математичної точки зору імітаційну модель можна розглядати як сукупність рівнянь, які розв'язують з використанням чисельних методів у разі кожної зміни модельного часу. Окремі рівняння можуть бути простими, але їх кількість і частота розв'язання -- дуже великими. Розв'язання таких рівнянь під час імітаційного моделювання означає встановлення хронологічної послідовності подій, які виникають у системі і відображають послідовність її станів. Отже, імітаційна модель функціонує так само, як система.

Якщо повернутись до процесу наповнення резервуара (рис. 1.3.3), то за допомогою імітаційної моделі весь процес можна відтворити з використанням рівняння (1.3.2). Позначимо через поточний стан резервуара, який відтворюється в певні моменти модельного часу, що змінюється з постійним кроком :

(1.3.3)

де . Така модель є детермінованою. Процес моделювання закінчується, якщо на деякому кроці виконується умова , тобто розв'язок отримуємо за один прогін імітаційної моделі. Точність результату буде залежати від значення Час моделювання

Рис. 1.3.3. Динамічна характеристика наповнення резервуара

За наявності в моделі випадкових факторів виникає необхідність статистичного оцінювання результатів моделювання, що виконується за допомогою методу статистичного моделювання (методу Монте-Карло). Статистичне моделювання є самостійним видом моделювання, яке включається в імітаційне моделювання тільки за необхідності моделювання ймовірнісних систем і процесів.

Побудуємо більш реальну модель системи, яка розглядалась вище. Припустимо, що рівень споживання води на підприємстві має імовірнісний характер і змінюється згідно з рівномірним розподілом імовірності в межах Тоді значення у деякий момент часу будемо визначати як

де - випадкове число, рівномірно розподілене в інтервалі [0,1]. Результати роботи імітаційної моделі наведено на рис. 1.3.4. У цьому випадку після кожного прогону моделі отримаємо випадкові значення , де j -- кількість прогонів, j - 1, 2, 3,.. . Для кожного прогону потрібно задавати свою послідовність випадкових чисел . Як видно на рис. 1.3.4, отримані значення будуть відрізнятись від середнього значення T, знайденого за допомогою детермінованої моделі. Таким чином, щоб оцінити час T наповнення резервуара, потрібно задати точність оцінювання і рівень довіри б. Звичайно б = 0,95, тобто є гарантія, що в 95 випадках із 100 середнє значення часу T буде знаходитись у межах .

Рис. 1.3.4. Графік реалізації стохастичної моделі

Із вищенаведеного прикладу видно, що стохастичне моделювання використовується під час імітаційного моделювання тільки за необхідності врахування випадкових факторів.

Технологія моделювання. Основою моделювання є методологія системного аналізу. Це дає змогу досліджувати систему, яка проектується або аналізується, за технологією операційного дослідження, включаючи такі взаємопов'язані етапи:

1. Формулювання проблеми та змістове поставлення задачі.

2. Розроблення концептуальної моделі.

3. Розроблення програмної реалізації моделі (зазвичай застосовується комп'ютерна модель), яка включає:

а) вибір засобів програмування, за допомогою яких буде реалізовано модель;

б) розроблення структурної схеми моделі та складання опису її функціонування;

в) програмна реалізація моделі.

4. Перевірка адекватності моделі.

5. Організація та планування проведення експериментів, яке включає оцінювання точності результатів моделювання.

6. Інтерпретація результатів моделювання та прийняття рішень.

7. Оформлення результатів дослідження.

На першому етапі замовник формулює проблему. Організовуються зустрічі керівника проекту із замовником, аналітиками з моделювання та експертами з проблеми, яка вивчається. Визначаються цілі дослідження та спеціальні питання, відповіді на які буде одержано за результатами дослідження; встановлюються критерії оцінювання роботи, які використовуватимуться для вивчення ефективності різних конфігурацій системи; розглядаються такі показники, як масштаб моделі, період дослідження і необхідні ресурси; визначаються конфігурації модельованої системи, а також потрібне програмне забезпечення.

На цьому ж етапі провадиться цілеспрямоване дослідження модельованої системи, залучаються експерти з проблеми, що вирішується, які володіють достовірною інформацією. Збирається інформація про конфігурацію системи і способи експлуатації для визначення параметрів моделі і вхідних розподілів ймовірностей.

На другому етапі розробляється концептуальна модель - абстрактна модель, яка дає змогу виявити причинно-наслідкові зв'язки, властиві досліджуваному об'єкту в межах, визначених цілями дослідження. По суті, це формальний опис об'єкта моделювання, який відображає концепцію (погляд дослідника на проблему). Вона включає в явному вигляді логіку, алгоритми, припущення й обмеження.

Згідно з цілями моделювання визначаються вихідні показники, які потрібно збирати під час моделювання, ступінь деталізації, необхідні вхідні дані для моделювання.

Рівень деталізації моделі залежить від таких чинників: цілі проекту; критерії оцінювання показників роботи; доступність даних; достовірність результатів; комп'ютерні можливості; думки експертів з проблеми, що вирішується; обмеження, і пов'язані з часом і фінансуванням. Провадиться структурний аналіз концептуальної моделі, пропонується опис допущень, які обговорюються із замовником, керівником проекту, аналітиками та експертами з проблеми, яка вирішується.

Розробляються моделі вхідних даних, провадиться їх статистичний аналіз, за результатами якого визначають розподіли ймовірностей, регресійні, кореляційні та інші залежності. На цьому етапі для попереднього аналізу даних широко застосовують різні статистичні пакети (наприклад, Statistica).

Для динамічних систем провадиться поопераційний аналіз функціонування модельованої системи з детальним описуванням роботи елементів системи. За результатами такого аналізу можна з'ясувати, чи можна вирішити проблему без застосування засобів моделювання. Детально опрацьована концептуальна модель дає змогу замовнику з іншого боку поглянути на роботу системи та, наприклад, визначити вузькі місця системи, які спричиняють зниження її пропускної здатності

Одна з найскладніших проблем, з якою має справу аналітик моделювання, полягає у визначенні, чи адекватна модель системі. Якщо імітаційна модель «адекватна», її можна використовувати для прийняття рішень щодо системи, яку вона представляє, тобто ніби вони приймались на основі результатів проведення експериментів з реальною системою. Модель складної системи може тільки приблизно відповідати оригіналу, незалежно від того, скільки зусиль затрачено на її розроблення, тому що абсолютно адекватних моделей не існує.

Оскільки модель завжди має розроблятись для певної множини цілей, то модель, яка є адекватною для однієї мети, може не бути такою для дослідження іншої. Слід відзначити, що адекватна модель не обов'язково є достовірною, і навпаки. Модель може бути достовірною, але, в цьому разі, не використовуватись для прийняття рішень. Наприклад, достовірна модель не може бути адекватною з політичних або економічних причин.

Під час розроблення програмної реалізації моделі визначаються засоби для програмування, тобто мови програмування або пакети. Наприклад, можуть використовуватись мови програмування загального призначення, такі як С чи PASCAL, або спеціалізовані засоби для моделювання (наприклад, Arena, AutoMod, Extend, GPSS, iThink). Перевага використання мов програмування полягає в тому, що, як відомо, вони мають невисоку закупівельну вартість, і на виконання моделі з їх допомогою затрачається менше часу. Натомість використання програмного забезпечення моделювання сприяє зменшенню тривалості програмування і вартості всього проекту.

Серед спеціалізованих пакетів для моделювання слід відзначити MATLAB з інтерактивним модулем Sinulink. Пакет MATLAB є всесвітньо визнаним універсальним відкритим середовищем, і мовою програмування водночас, в якому інтегровані засоби обчислень, візуалізації, програмування та моделювання.

Здійснюється програмування моделі та її налагодження, виконуються тестові прогони моделі на основі контрольних даних, провадиться аналіз чутливості, щоб визначити, які фактори в моделі суттєво впливають на робочі характеристики системи і мають моделюватись дуже точно.

Після кожного з вищезазначених етапів перевіряється достовірність моделі. Перевірку умовно можна розділити на два етапи: перевірка правильності створення концептуальної моделі, тобто задуму -- валідація; перевірка правильності її реалізації -- верифікація [16].

На етапі верифікації розглядають, чи правильно перетворено концептуальну модель (модельні припущення) на комп'ютерну програму, тобто виконують налагодження програми моделювання. Це складне завдання, оскільки може існувати безліч логічних шляхів.

Етап перевірки правильності реалізації моделі включає перевірку еквівалентності перетворення моделі на кожному з етапів її реалізації та порівняння станів. У цьому разі модель зазнає таких змін: концептуальна модель--математична модель-- алгоритм моделювання--програмна реалізація моделі.

Валідація -- це процес, який дає змогу встановити, чи є модель (а не комп'ютерна програма) точним відображенням системи для конкретних цілей дослідження [15].

Розробляється план проведення експериментів з моделлю для досягнення поставлених цілей. Основна мета планування експериментів -- вивчення поведінки модельованої системи при найменших витратах під час експериментів. Зазвичай провадять такі експерименти: порівнюють середні значення і дисперсії різних альтернатив; визначають важливість урахування впливу змінних та обмежень, які накладаються на ці змінні; визначають оптимальні значення з деякої множини можливих значень змінних.

Проведення експериментів планують для пошуку незначущих факторів. У випадку оптимізації якого-небудь числового критерію формулюють гіпотези щодо вибору найкращих варіантів структур модельованої системи або режимів її функціонування, визначають діапазон значень параметрів (режимів функціонування) моделі, у межах якого знаходиться оптимальне рішення. Визначають кількість реалізацій та час прогону моделі кожної реалізації. Провадять екстремальний експеримент, за результатами якого знаходять оптимальне значення критерію і відповідні значення параметрів. Для оцінювання точності стохастичних моделей будують довірчі інтервали для одержуваних вихідних змінних.

Далі аналізують та оцінюють результати. Наводять результати комп'ютерних експериментів у вигляді графіків, таблиць, роздруківок, а також визначають якісні і кількісні оцінки результатів моделювання. Для унаочнення моделі використовують анімацію. Обговорюють процес створення моделі та її достовірність, щоб підвищити рівень довіри до неї.

За отриманими результатами формулюють висновки з проведених досліджень і визначають рекомендації щодо використання моделі й прийняття рішень.

Вищенаведені етапи моделювання взаємопов'язані, а сама процедура створення моделі ітераційна. Після виконання кожного етапу перевіряється правильність і достовірність моделі та в разі невідповідності моделі об'єкту здійснюється повернення до попередніх етапів з метою коригування та підстроювання моделі.

На останньому етапі моделювання документально оформлюють усі результати дослідження і готують програмну документацію для використання їх під час розроблення поточних і майбутніх проектів.

Розділ 2 Імовірнісне моделювання

2.1 Метод статистичних випробувань

Метод статистичних випробувань -- це числовий метод математичного моделювання випадкових величин, який передбачає безпосереднє включення випадкового фактора в процес моделювання і є його істотним елементом. Вплив випадкових факторів на систему моделюється за допомогою випадкових чисел. Результатом моделювання є випадкові процеси або величини, які характеризують систему, що моделюється. Щоб їх імовірнісні характеристики (імовірність деяких подій, математичне сподівання, дисперсія випадкових величин, імовірності попадання випадкової величини в задану область та ін.) співпадали з аналогічними параметрами реальної системи або процесу під час моделювання потрібно отримати велику кількість реалізацій випадкових величин або процесів. Таким чином, метод полягає в багатократному проведенні випробувань побудованої ймовірнісної моделі і подальшій статистичній обробці результатів моделювання з метою визначенні шуканих характеристик розглядуваного процесу у вигляді оцінок його параметрів. Точність оцінок цих параметрів визначає ступінь наближення розв'язку задачі до ймовірнісних характеристик.

На практиці метод статистичних випробувань доцільно використовувати в таких випадках, коли: розв'язувати задачу цим методом простіше, ніж будь-яким іншим; досліджується система, функціонування якої визначається багатьма ймовірнісними параметрами елементарних явищ; важко або неможливо побудувати аналітичну ймовірнісну модель системи.

Важливою властивістю цього методу є те, що для звичайних числових методів обсяг обчислень зростає в разі збільшення розмірності задачі приблизно як показникова функція розмірності задачі, а для методу статистичних випробувань -- лише як лінійна функція розмірності.

Незалежно від типу досліджуваної моделі системи, застосовуючи метод статистичних випробувань, необхідно виконати такі кроки:

1. Визначити, що являтиме собою кожне випробування і зазначити, яке випробування буде успішним, а яке -- ні.

2. Обчислити кількість випробувань, які необхідно провести, щоб отримати результати із заданою точністю, і провести ці випробування.

3. Виконати статистичну обробку результатів випробувань та обчислити оцінки необхідних статистичних характеристик.

4. Проаналізувати точність отриманих статистичних характеристик.

Така послідовність кроків є обов'язковою під час розв'язування будь-якої задачі за допомогою методу статистичних випробувань. Однак конкретний зміст цих кроків залежить від поставленого завдання та типу досліджуваної системи. У цьому разі метод завжди потребує використання генераторів випадкових чисел із заданим законом розподілу.

У методі статистичних випробувань особливе значення відіграють випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі [0,1]. Найважливіша їх властивість полягає в тому, що за їх допомогою можна отримати вибіркові значення, які мають будь-який інший розподіл, або промоделювати випадковий процес з різними статистичними властивостями.

Отже, для використання методу статистичних випробувань необхідні певні можливості, а саме:

· генерувати випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі [0, 1];

· описувати модельовані випадкові явища функціями розподілу ймовірностей та ймовірнісними процесами;

· мати методи отримання випадкових величин функцій розподілу ймовірностей (дискретних і неперервних), які базуються на випадкових числах, рівномірно розподілених у інтервалі [0, 1];

· оцінювати статистичні характеристики випадкових величин з отриманих за допомогою методу статистичних випробувань чисел вибіркової послідовності;

· визначати точність отриманих статистичних оцінок як функцій від числа випробувань.

Випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі [0, 1], мають дві основні властивості:

1. Якщо (і = 1,2,3,...) -- випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі [0,1], то їх кумулятивний розподіл F (за визначенням F() = Р(< R)), задовольняє співвідношенням(=):

Необхідно зауважити, що теоретично ці випадкові числа повинні бути вибірковими значеннями неперервної величини з функцією щільності, визначеною таким чином(R=r):

Насправді ж під час комп'ютерного моделювання використовуються тільки дискретні значення, в яких після десяткової коми є фіксована кількість десяткових знаків.

2. Випадкові числа є незалежними, якщо їх сумісний кумулятивний розподіл G можна подати як добуток окремих функцій розподілу:

або, враховуючи, що n випадкових чисел мають однакові розподіли, можна записати:

Методи генерування випадкових чисел, рівномірно розподілених у інтервалі [0, 1], буде описано нижче.

Розглянемо кілька задач, для розв'язування яких можна застосувати метод статистичних випробувань.

Приклад 2.1.1

Необхідно знайти площу фігури (рис. 2.1.1), обмежену функцією y=f(x) та осями координат Ох і Оy.

Рис. 2.1.1. Схема обчислення інтеграла

У числових методах для інтегрування використовується наближене зображення інтеграла у вигляді квадратурної формули. Одним із найпростіших є метод прямокутників. У разі використання методу прямокутників інтеграл апроксимується такою формулою:

Ця формула і є формулою числового інтегрування. Чим більша кількість інтервалів n і менший крок , тим точніше можна обчислити площу S.

Тепер покажемо, як можна розв'язати цю задачу за допомогою методу статистичних випробувань. Спочатку пронормуємо функцію у =f(х) так, щоб уписати її в одиничний квадрат. Припустимо, що о -- деяка випадкова величина, рівномірно розподілена в інтервалі [0,1]. Тоді ймовірність попадання значення о в будь-який відрізок [а, b] [0, 1] буде залежати тільки від довжини відрізка [а, b], а не від місця його розташування в інтервалі [0,1], тобто ймовірність того, що вибіркове значення випадкової величини о потрапить у деякий відрізок 0 а b 1, дорівнюватиме довжині цього відрізка: Р(а < о < b) = = b - а.

Будемо використовувати одне значення випадкової величини о для визначення координати , а друге -- для визначення координати . Таким чином, пара значень випадкової величини о задаватиме на площині точку з координатами (,). Ймовірність попадання цієї точки в деяку область одиничного квадрата пропорційна площі цієї області та не залежить від місця розташування області в одиничному квадраті.

Проведемо N випробувань. Випробування будемо вважати успішним, якщо точка з координатами (,) потрапить в область під кривою у = f(x) або на неї. Підрахуємо кількість успішних випробувань, позначимо їх через m і визначимо частість успішних випробувань -- m/N. На рис. 2.1.1. видно, що у разі збільшення кількості випробувань ця величина наближається до ймовірності попадання точки в заштриховану область Р = S/ m/N, де -- площа одиничного квадрата. Таким чином, згідно з теоремою Бернуллі

У разі прямування кількості випробувань N до нескінченності частість успішних випробувань буде відрізнятись від імовірності p на нескінченно малу величину . Отже, можна вважати, що m/N -- наближене значення шуканої площі S.

Цей приклад демонструє те, як метод статистичних випробувань може бути використано під час розв'язування детермінованих задач. На практиці такий підхід використовується для знаходження площ або об'ємів деяких багатовимірних фігур, які утворюються у випадку перетину різних геометричних тіл. У цьому разі число випробувань які необхідно провести для обчислення площі або об'єму, не залежить від кратності визначеного інтеграла.

Приклад 2.1.2

Припустимо, що чотири стрільці одночасно стріляють у рухому ціль. Імовірність влучення в ціль кожним стрільцем дорівнює 0,5. Ціль вважається враженою, якщо в неї влучило два або більше стрільців. Потрібно знайти ймовірність ураження цілі.

Використовуючи методи теорії ймовірностей, цю задачу досить легко розв'язати аналітично. Дійсно, імовірність ураження цілі одним пострілом , де -- імовірність того, що ціль не буде вражена взагалі, визначається за формулою

=0,3125.

Звідси ймовірність ураження цілі

=1-0,3125=0,6875

Тепер покажемо, як розв'язати цю задачу за допомогою методу статистичних випробувань. Процедуру розіграшу можна реалізувати, одночасно підкидаючи чотири монети. Для моделювання підкидання однієї монети використовується одне значення . Якщо < p, вважаємо, що монета падає лицевим боком, і, таким чином, стрілець влучив у ціль. Інакше вважаємо, що стрілець промахнувся. Одне випробування -- це підкидання чотирьох монет. Зробимо N випробувань і позначимо через m число успішних випробувань (дві або більше монет упали лицевим боком, що свідчить про те, що в ціль улучило два або більше стрільців). Тоді, згідно з теоремою Бернуллі, m/N. У разі значного збільшення числа випробувань N і при будь-якому значенні частість враження цілі буде збігатись до ймовірності = 0,6875.

2.2 Генератори випадкових чисел. Їх типи та методи генерування

Найбільше прикладів генерування випадкових чисел можна знайти в ігровому бізнесі. Це номери в спортивних лотереях, числа, які випадають на рулетці, варіанти розкладу карт тощо. Більшість комп'ютерних ігор теж базується на випадкових числах.

Типи генераторів та методи генерування. Без комп'ютера використання випадкових чисел, що передбачене методом статистичних випробувань, не має сенсу, тому генератори випадкових чисел повинні бути безпосередньо з'єднані з комп'ютером. Це можна зробити за допомогою апаратних приставок до комп'ютера (апаратні методи) або спеціальних програм (програмні методи). Крім того, під час моделювання можна використати готові таблиці випадкових чисел, які слід розміщати в пам'яті комп'ютера або на зовнішньому накопичувачі.

Апаратні методи генерування випадкових чисел базуються на використанні деяких фізичних явищ (наприклад, шумів електронних приладів, радіоактивного випромінення та ін.). Під час застосування апаратних генераторів випадковий електричний сигнал перетворюють у двійковий код, який уводиться в комп'ютер за допомогою спеціальних аналого-цифрових перетворювачів. Один з найбільш поширених методів -- це використання шумів електронних приладів.

Вбудовані в комп'ютери апаратні генератори випадкових чисел останнім часом часто використовуються в системах захисту інформації. Прикладом застосування таких генераторів для забезпечення конфіденційності, цілісності та достовірності електронної інформації, яка зберігається в комп'ютері або передається по мережі, є пристрій для шифрування даних РаdLоск, інтегрований у деякі моделі процесорів, розроблених компанією Intel. Пристрій має інтерфейс прикладного рівня, що дає змогу розробникам програмного забезпечення отримувати випадкові числа без використання програмних драйверів. Такий спосіб отримання високоякісних випадкових послідовностей простіший та ефективніший.

Табличний метод. У 1955 році корпорація «Ренд» опублікувала таблиці випадкових чисел, які мали мільйон значень. Для заповнення цих таблиць застосовувались апаратні методи. Дані цих таблиць можна використовувати під час моделювання систем за допомогою методу статистичних випробувань. У сучасних комп'ютерах ці таблиці можна зберігати на зовнішніх носіях або навіть в основній пам'яті. Головним недоліком табличного методу є те, що під час його використання витрачаються значні об'єми основної пам'яті комп'ютера.

Найбільш розповсюдженими на практиці є програмні генератори, які дають змогу отримувати послідовності випадкових чисел за рекурентними формулами. Якщо бути абсолютно точним, то числа, які виробляють програмні генератори, насправді є псевдовипадковими («псевдо» у перекладі з грецької -- нібито). Так їх називають тому, що алгоритми їх отримання завжди є детермінованими.

Загалом же програмні генератори повинні задовольняти таким вимогам: генерувати статистично незалежні випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі [0, 1]; мати можливість відтворювати задані послідовності випадкових чисел; затрати ресурсів процесора на роботу генератора повинні бути мінімальними; легко створювати незалежні послідовності випадкових чисел (потоки).

Слід звернути увагу на те, що більшість програмних генераторів виробляють випадкові числа, рівномірно розподілені в інтервалі [0, 1]. Необхідність моделювання таких чисел обумовлена тим, що на їх основі можна отримати випадкові числа практично будь-яких розподілів. Потрібно також мати на увазі, що випадкові числа, які виробляють програмні генератори, є квазірівномірно розподіленими («квазі» у перекладі з латинської -- майже). Причина в тому, що вони створюються комп'ютером, кількість двійкових розрядів якого обмежена, і за його допомогою можна зобразити тільки дискретні (а не неперервні) значення з діапазону від 0 до 1.

Якість роботи генераторів визначається статистичними властивостями послідовностей випадкових чисел, які він виробляє, -- незалежністю і випадковістю. Властивості послідовностей перевіряються за статистичними критеріями, детально описаними нижче.

Здатність відтворювання послідовності випадкових чисел полягає в тому, що за однакових початкових умов і параметрів генератор повинен відтворювати одні й ті ж послідовності псевдовипадкових чисел. Ідентичні послідовності випадкових чисел рекомендується використовувати у випадку, коли потрібно порівняти альтернативні варіанти систем, що моделюються, і налагодити програми. Однак можливість відтворення не завжди бажана під час моделювання систем . Для усунення такого недоліку початкові значення величин, необхідних для запуску програмного генератора, рекомендується брати з таймера комп'ютера.

Під час дослідження складних систем виникає необхідність у моделюванні послідовностей випадкових чисел великої довжини. Для їх створення потрібні швидкодіючі алгоритми генерування з мінімальними вимогами до ресурсів комп'ютера. І для моделювання різних випадкових факторів бажано мати окремі послідовності (набори значень), які відтворювались би одним і тим же генератором, але за різних значень параметрів.

На практиці переважно використовують програмні генератори. У більшості сучасних програмних генераторів використовується властивість конгруентності, яка полягає в тому, що два цілих числа А і В є конгруентними за модулем m, якщо їх різниця (А - В) є числом, яке ділиться на m без остачі (тобто є кратним m). Записується це так:

наприклад, щоб знайти число, конгруентне з числом 134 за модулем 10, необхідно знайти цілочислову остачу від ділення 134 на 10, яка дорівнює 4.

A=B( mod m )

Наведемо кілька прикладів обчислення конгруентних значень для різних m:

125(mod7);355(mod10);1255(mod10).

Серед методів генерування випадкових чисел найбільш поширеним є лінійний мультиплікативний конгруентний метод:

де і = 1, 2,...; а, с і m -- цілі константи. Щоб отримати нове число, необхідно взяти псевдовипадкове число , (або задати вихідне ) , помножити його на коефіцієнт а, додати константу с і взяти модуль отриманого числа за m, тобто розділити на m, і отримати остачу. Ця остача і буде наступним псевдовипадковим числом . У разі правильного підбору параметрів цей генератор видає випадкові числа від 0 до m - 1.

Отримані значення належать до діапазону 0 << m - 1 і мають рівномірний дискретний розподіл. Для того щоб отримати випадкове значення з інтервалу [0, 1], необхідно число розділити на m. У цьому разі всі значення m, с, а, повинні бути додатними й задовольняти умовам: а < m; с < m; < m. Отримана послідовність називається лінійною конгруентною послідовністю.