Статистичне моделювання випадкових векторів

Припустимо, що треба розіграти випадкову величину розподілену за нормальним законом з параметрами (0,1) (). Як відомо, для моделювання цієї випадкової величини є різні нестандартні методи (бакалаврська робота). Зокрема, можна застосувати полярні координати для розіграшу такої величини. Для цього штучно введемо випадкову величину також розподілену за нормальним законом з параметрами (0,1) (). Тоді сумісна щільність цих випадкових величин має вигляд (24) (на площині x,y). Застосувавши співвідношення (23), отримаємо моделюючі формули для полярних координат у вигляді (25) , , а для декартових у вигляді (26) , . (В результаті маємо розігране значення ( як допоміжна величина)).

Наступний метод - метод суперпозиції, передбачає моделювання випадкової величини , у якої функція розподілу має вигляд (27) , де всі - також функції розподілу, а . При її моделюванні штучно вводиться нова величина так, що цей випадок в теорії статистичного моделювання відносять до даного виду моделювання. Тобто, коли , то Отже, можна ввести дискретну випадкову величину з розподілом виду (28) так, що

. Ця випадкова величина використовується при моделюванні випадкової величини з розподілом F(x). Це зустрічається тоді, коли ми маємо діло з сумішшю випадкових величин.

Наприклад, якщо у нас всього N деталей, серед яких деталей з функцією розподілу «часу життя» , то функція розподілу «часу життя» для випадково вибраної деталі має вигляд (29) Однак, представлення (27) часто придумують штучно, щоб полегшити процедуру розіграшу .

При використанні методу інтегральної суперпозиції, розглядається неперервна випадкова точка на площині x,y. Якщо щільність дорівнює p(x,y), то щільність має вигляд (30) Використовуючи представлення (31) , спочатку моделюється , а потім . Тобто, спочатку знаходимо з рівняння (32) , а потім - з рівняння (33) . Взагалі, метод інтегральної суперпозиції використовується рідко, головним чином тоді, коли щільність задана у формі інтеграла по параметру. Наприклад, нехай задана щільність випадкової величини при 0<x<, яка пропорційна інтегральній показниковій функції n-го порядку (n>0) . Оскільки p(x,y) має вид (34) , то користуючись співвідношеннями (35) , , (32) і (33) знаходимо моделюючі формули для і виду (36) , . Як бачимо, в даному випадку, зручніше починати моделювати з другої величини.

Коли моделюють функції від випадкових векторів загального виду , то користуються співвідношенням (37) , де е - одинична функція.

Для статистичного моделювання випадкових векторів мною, як я вже говорила, розроблене програмне забезпечення в середовищі Maple 13 з ілюстративними прикладами. Використовуючи його, споживач може вводити випадкові вектори з будь-якими розподілами. На плакаті 6 представлена схема даного програмного забезпечення. Для того, щоб впевнитись в правильності роботи свого програмного забезпечення, я перевіряла гіпотези про те, що розіграні серії значень добре узгоджуються з заданими законами розподілів. Для цього я використовувала критерій з програмного забезпечення STATISTICA. І отримала позитивні результати.

Список використаних джерел

1. Томашевський В.М. Моделювання систем. - К.: Видавнича группа BHV, 2005. - 352 с.

2. Соболь И.М. Численные методы Монте - Карло. - М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1973.

3. А.В. Матросов. Maple 13. Решение задач высшей математики и механики. М.: Высшая школа, 1973г. - 527с.

4. Дьяконов В.П. Maple 13. Учебный курс. СПб.: Питер, 2002г. - 672с.

5. Дьяконов В.П. Maple 10 в математике и физике. СПб.: Питер, 2006г.-320с.

6. Свижков О.А. Математика на компьютере. М.: Солон-Пресе, 2003г-176с.

7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией А.А. Свешникова. М.: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1970г.- 656с.

8. Послайко Н.И., Методические указания к решению задач по теории вероятностей. Часть 2. - Днепропетровск: ДИИТ, 1985.-38с.

9. Турчин В.Н., Дискретные распределения и случайные величины. Издательство ДГУ, 1991.-94с.

10. Турчин В.Н., Распределения и случайные величины. Издательство ДГУ, 1991.-115с.

11. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. - 3-е изд. - Спб.: Питер; К.: Издат. Группа BHV, 2004. - 847с.

12. Кнут Д.Э. Искусство программирования. - Т.2: Получисленные алгоритмы. - 3-е изд. - М.: Издат. Дом “Вильямс”, 2001. - 832с.

13. Пинцкер А. Введение в имитационное моделирование и язык СЛАМ 2. - М.: Мир, 1987. - 646с.

14. Крейн М., Лемуан О. Введение в регенеративный метод анализа моделей. -М.: Наука, 1974.-832с.

15. Литвинов В.В., Марьянович Т.П. Методы построения имитационных систем.- К.: Наук. думка, 1991.- 120с.

16. Мартин Ф. Моделирование на вычислительных машинах. - М.: Сов.радио,1972.-288с.

17. Основы моделирования сложных систем: Учеб.пособие\Под.общ.ред. д-ра техн. Наук И.В. Кузьменко - К.: Вища шк.., 1981.- 360с.

18. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука, 1983. - 304с.

19. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. - 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2001. - 316с.

20. Ситник В. Ф., ,Орленко Н.С. Імітаційне моделювання: Навч.-посібник для сам ост.вивч.дисц. - К.: КНЕУ, 1999. - 208с.

21. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 1998. - 320с.

22. Форрест Дж. Промышленная динамика. - М.: Прогресс, 1971.

23. Мишина А.П., Проскуряков И.В., Высшая алгебра, СМБ. Физматгиз, М.,1962.

Додаток А

Статистичне моделювання випадкових векторів

Дискретний випадок

Компоненти вектора - незалежні випадкові величини

(1)

Компоненти вектора - залежні випадкові величини (2)

Приклад 1

(3)

(4)

(5)

;

,

(6)

, -2

Приклад 2

, ,

,

=4, =1/2, =0.396, =5, =0.022, =3

Неперервний випадок

Компоненти вектора - незалежні випадкові величини

(7)

Компоненти вектора - залежні випадкові величини

, (8)

де

Теорема

Нехай - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені в [0,1]. Сукупність випадкових величин , отриманих при послідовному розв'язанні системи рівнянь

(9)

мають сумісну щільність ймовірностей , де - функція розподілу , а - умовні функції розподілу .

Приклад 1

(10)

(11)

(12)

,

(13)

, (14)

(15)

, (16)

, (17)

Приклад 2

, , (18)

(19) Змішаний випадок

Приклад

r=3, s=2, N=5, =0.395, =0.48

(20)

=0.842, =2,

Моделювання функцій від випадкових векторів

Перетворення виду

(21)

де

Приклад

,

,- рівномірно розподілена на [0,1]

Застосування полярних координат

, , (22)

, (23)

,

Приклад

, , , (24)

, (25)

, (26)

Метод суперпозиції

(27)

- функції розподілу, а . Коли , то

, (28)

Приклад

(29)

Метод інтегральної суперпозиції

(30)

(31)

(32)

(33)

Приклад

, ,

, , (34) , (35)

, (36)

Перетворення виду

(37)

Програмне забезпечення

Додаток В

Програмне забезпечення

Дискретний випадок

Задача №1

Нехай , де випадкові величини мають сумісний розподіл

Записати алгоритм моделювання двохвимірного випадкового вектора .

Програма:

>

>

>

Задача №2

Нехай при кожному заданому N випадкова величина має біноміальний розподіл з параметрами p і N. Припустимо, що параметр N сам підкоряється біноміальному розподілу з параметрами q і M, причому .

Розробити програмне забезпечення для отримання серії значень випадкового вектора.

Програма:

>

Інші пари значень отримуються аналогічно, тому ми запишемо тільки результати.

>

Задача №3

Проводиться наступний експеримент. Спостерігається випадкова величина , яка підкоряється пуассонівському розподілу з параметром . Потім проводиться випробувань Бернуллі з ймовірністю успіху p.

Розробити програмне забезпечення для отримання серії значень випадкового вектора.

Програма:

>

Інші пари значень отримуються аналогічно, тому ми запишемо тільки результати.

Неперервний випадок

Задача №1

Написати алгоритм моделювання двохвимірного випадкового вектора з щільністю розподілу:

Визначити константу с.

Програма:

>

>

>

>

>

Задача №2

Дана щільність розподілу ймовірностей системи випадкових величин :

.

Написати алгоритм моделювання.

Програма:

>

>

>

>

>

>

>

>

Задача №3

Щільність ймовірності системи випадкових величин дорівнює:

Визначити константу с, побудувати алгоритм моделювання.

Програма:

>

>

>

>

>

>

>

>

>

Змішаний випадок

Задача №1

Нехай випадкова величина при кожному заданому p має біноміальний розподіл з параметрами p і N. Припустимо, що p само підкоряється бета-розподілу з параметрами r і s:

Розробити програмне забезпечення для отримання серії значень випадкового вектора.

Програма:

>

Інші пари отримуються аналогічно, тому запишемо тільки результати.

>

Задача №2

Нехай випадкова величина має пуассонів розподіл з параметром , а сам є випадковою величиною з експоненціальним розподілом з параметром 1\с:

Розробити програмне забезпечення для отримання серії значень випадкового вектора.

Програма:

>

Інші пари значень отримуються аналогічно, тому запишемо тільки результати.

Задача №3

Нехай випадкова величина має пуассонів розподіл з параметром , а підкоряється гамма-розподілу порядку з масштабним параметром с, тобто щільність розподілу випадкової величини дорівнює:

при >0 і дорівнює 0 при .

Розробити програмне забезпечення для отримання серії значень випадкового вектора.

Програма:

>

Інші пари значень отримуються аналогічно, тому запишемо тільки результати.

>

Функції від випадкових векторів

Задача №1

Нехай і - незалежні випадкові величини, які мають показниковий розподіл з параметром . Змоделювати випадкову величину .

Програма:

>

Інші значення отримуються аналогічно, тому запишемо тільки результати.

Перевірка за допомогою програми STATISTICA