Статистичне моделювання випадкових векторів

Однією із вад лінійних конгруентних генераторів є те, що отримані випадкові числа суттєво залежать від значень m, с, а, і обчислюються за однією й тією ж формулою, тобто не є абсолютно випадковими.

Ще одна вада цих генераторів стосується того, що випадкові числа , отримані за допомогою генератора, можуть приймати тільки дробово-раціональні значення -- 0; 1/m; 2/m;...; (m- 1)/m; а також конгруентна послідовність завжди є циклічною, тобто вона починає повторюватися через певну кількість випадкових чисел. Кількість значень, після яких випадкові числа починають повторюватися, називається повним періодом генератора і є основним його параметром. Значення повного періоду залежать від розрядності комп'ютера, а також від значень m, с, а і . Існує теорема, яка визначає умови існування повного періоду генератора, а саме:

· числа с і m повинні бути взаємно простими, тобто мати взаємний дільник 1;

· значення b = a - 1 має бути кратним q для кожного простого q, бути дільником m;

· значення b має бути кратним 4, якщо m кратне 4.

Достатність цих умов уперше було доведено Халлом (Hull) і Добеллом (Dobell). Повне доведення теореми можна знайти в літературі [12].

Якщо с > 0, то генератор називається мішаним, а якщо с = 0 - мультиплікативним.

Розглянемо, як потрібно вибирати параметри лінійного конгруентного генератора, щоб отримати послідовність з повним періодом. С повинно бути непарним, а-1 має ділитись на 4, повинно лежати в діапазоні від 0 до m-1, а , де g -- довжина розрядної сітки комп'ютера.

Існують й інші конгруентні методи генерування випадкових чисел, серед яких слід відзначити адитивний.

Найпростіший генератор, послідовність якого залежить більше ніж від одного з попередніх значень, - це генератор, що використовує числа Фібоначчі: mod m.

Цей генератор широко використовувався в 50-ті роки XX століття, але, як показали подальші дослідження, статистичні властивості його досить низькі. Більш складні методи генерування випадкових чисел можна знайти в праці [12].

Розглянуті в цьому розділі методи генерування випадкових чисел не стосуються дослідників, які використовують мови або пакети моделювання. Ці засоби містять вбудовані генератори випадкових чисел, якість яких залежить від розробників цих програмних засобів. На жаль, є ще багато пакетів моделювання, в яких застосовуються генератори досить низької якості [11]. Що стосується мов програмування загального призначення, то засоби генерування випадкових чисел, вбудовані в них, взагалі не задовольняють будь-яким статистичним критеріям. Тому їх не слід використовувати під час проведення відповідальних досліджень.

2.3 Перевірка послідовностей випадкових чисел

Статистичні властивості всіх послідовностей випадкових чисел, які будуть використовуватись під час проведення досліджень, потрібно ретельно перевіряти. Для цього застосовують емпіричні та теоретичні критерії.

Емпіричні критерії - це звичайні тести, в яких під час обчислення статистичних даних використовують вибіркові значення , що виробляються генератором.

Теоретичні критерії не є тестами в тому розумінні, в якому вони передбачаються в математичній статистиці. У разі їх використання не потрібна послідовність випадкових значень . Глобальна оцінка властивостей генератора формується на основі числових значень його параметрів. Теоретичні критерії визначають характеристики послідовності за допомогою методів, які ґрунтуються на рекурентних правилах створення послідовності.

Відомо одинадцять емпіричних критеріїв [12], що застосовуються для перевірки статистичних властивостей послідовностей дійсних чисел , і = 1,2,.., які вважаються незалежними та рівномірно розподіленими в інтервалі [0, 1].

Для оцінювання наближеності отриманого розподілу до рівномірного застосовують чотири типи тестів:

· частотний -- з використанням або критерію Колмогорова-Смирнова, або критерію ;

· автокореляційний -- з вимірюванням кореляції між і , де к - зсув по послідовності (к - 1, 2, 3, ...);

· серіальний - з фіксацією частоти появи всіх можливих комбінацій чисел (по 2, по 3, по 4 рази) і виконанням оцінювання за критерієм ;

· циклічний -- з перевіркою кількості циклів більше і менше деякої константи, за яку береться значення математичного сподівання із підрахунком істинного числа циклів різної довжини, що порівнюється за критерієм з очікуваним числом циклів.

Серед інших критеріїв важливу роль відіграє спектральний критерій, який застосовується для перевірки конгруентних генераторів випадкових чисел. Вважається, що цей тест найбільш потужний. Спектральний тест використовують для перевірки гіпотези про рівність сумісних розподілів t послідовних елементів випадкової послідовності. Якщо задано послідовність {} з періодом m, то для перевірки за цим тестом необхідно проаналізувати множину всіх m точок

у t-вимірному просторі.

Розділ 3 Статистичне моделювання випадкових векторів

3.1 Основні характеристики випадкових векторів

Нехай - випадкові величини, задані на одному і тому ж ймовірнісному просторі .

Випадковим вектором, або багатовимірною випадковою величиною, називається функція , яка відображає в .

Функцію будемо називати функцією розподілу випадкового вектора , або функцією сумісного розподілу випадкових величин .

Властивості функцій сумісного розподілу випадкових величин :

1) ;

2) , де - число букв , які зустрічаються серед ;

3) .

Нехай - дискретні випадкові величини, які приймають свої значення на множинах відповідно.

Функція називається законом сумісного розподілу дискретних випадкових величин .

Закон сумісного розподілу дискретних випадкових величин має наступні властивості:

1)

2)

3) .

Випадкові величини мають абсолютно неперервну функцію сумісного розподілу, якщо існує невід'ємна функція така, що для всіх

При цьому називається щільністю розподілу випадкового вектора . Якщо функція розподілу абсолютно неперервна, то має місце рівність:

Випадкові величини називаються незалежними, якщо для всіх . Дискретні випадкові величини незалежні тоді і тільки тоді, коли для всіх має місце рівність: .

Математичним сподіванням випадкового вектора будемо називати вектор .

Коваріаційною матрицею випадкового вектора будемо називати матрицю .

Стандартним нормальним (гауссівським) випадковим вектором будемо називати вектор , компоненти якого незалежні і кожна розподілена .

Характеристичною функцією випадкового вектора будемо називати функцію .

Характеристична функція стандартного нормального вектора - це функція .

3.2 Методи моделювання випадкових векторів

При моделюванні випадкових векторів важливу роль відіграє, якими є компоненти вектора. Так, якщо заданий вектор з функцією розподілу , то у випадку, коли компоненти цього вектора - незалежні дискретні випадкові величини, ми кожну компоненту моделюємо окремо на основі співвідношення , яке визначає стандартний метод моделювання дискретної величини, або, у разі потреби, за нестандартними методами, які, як відомо, зменшують трудоємність алгоритму. Якщо - незалежні неперервні випадкові величини, то ми моделюємо теж кожну компоненту окремо або на основі стандартного методу, що базується на співвідношенні , або з використанням нестандартних методів.

У випадку, коли компоненти вектора - залежні випадкові величини, то вектор моделюється наступним чином:

1) розігрується значення на основі функції розподілу;

2) розігрується значення на основі функції розподілу , яка для дискретного випадку має вигляд: , а для неперервного - ;

і т.д.

n) розігрується значення на основі функції розподілу, яка для дискретного випадку має вигляд: , а для неперервного -

Детальніше випадки, коли всі компоненти вектора є дискретними або неперервними випадковими величинами, або деякі компоненти вектора є дискретними, а інші неперервними, або компоненти вектора є функціями від випадкових величин, розглянуті в наступних пунктах.

3.2.1 Дискретний випадок

Розглянемо випадковий вектор , де - дискретні величини, в загальному випадку залежні.

При моделюванні даного вектора використовується формула множення для випадкових подій :

При моделюванні вектора вона набуває вигляду:

(3.2.1.1)

Останнє співвідношення задає алгоритм моделювання. Спочатку розігруємо . Якщо, в результаті розіграшу набуло значення , то після цього розігруємо за умови, що . Якщо в результаті розіграшу набуло значення , то розігруємо за умови, що і , і т.д. Проілюструємо цей алгоритм на прикладі.

Приклад 3.2.1.1

Нехай , де випадкові величини мають сумісний розподіл

Табл. 3.2.1.1. Сумісний розподіл

Для розіграшу випишемо його розподіл:

А для розіграшу умовний розподіл: ; .

Беремо з датчика і розігруємо значення , після цього підставляємо його в умовний розподіл, беремо і розігруємо значення . Наприклад, якщо , то , і умовний закон розподілу набуває вигляду: Якщо , то . Тобто, в результаті одиничного жеребу маємо .

3.2.2 Неперервний випадок

Моделювання n - вимірної випадкової точки з незалежними координатами. Якщо координати n - вимірної випадкової величини незалежні, то функція розподілу

де - функція розподілу величини . Очевидно, що в цьому випадку можна моделювати кожну величину незалежно:

(3.2.2.1)

де - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені в інтервалі [0,1].

Дійсно, оскільки незалежні, то і , які визначені формулою (3.2.2.1), незалежні. Тому їх сумісна функція розподілу дорівнює добутку

Приклад 3.2.2.1

Випадкова точка Q з декартовими координатами рівномірно розподілена в n - вимірному параллелепіпеді (рис.3.2.2.1 для n=2).

Щільність ймовірностей точки Q постійна в :

де - об'єм ( n - вимірний об'єм). Проінтегрувавши по всім змінним, крім ,легко отримати, що щільність дорівнює:

Звідси випливає, що кожна з координат рівномірно розподілена на проміжку , і ці координати незалежні.

Згідно з формулою (3.2.2.1) запишемо рівняння

Звідки випливають явні формули для підрахунку координат:

Рис. 3.2.2.1 Двохвимірний паралелепіпед

Моделювання n - вимірної неперервної випадкової точки з довільними координатами. В загальному випадку, коли залежні, їх сумісну щільність можна представити у вигляді добутку умовних щільностей ймовірностей цих величин:

Всі умовні щільності ймовірності виражаються через сумісну щільність . Приводимо вирази умовних щільностей в загальному виді; всі інтеграли беруться від - до +:

і т.д.

Введемо умовні функції розподілу

Доведена така теорема.

Теорема 3.2.2.1

Нехай - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на [0,1]. Сукупність випадкових величин , отриманих при послідовному розв'язанні системи рівнянь

(3.2.2.2)

мають сумісну щільність ймовірностей , де - функція розподілу , а - умовні функції розподілу .

Представлення щільності у формі добутку умовних щільностей координат можливо способами. Так, при

Різним добуткам відповідають різні порядки розіграшу величин і , взагалі, різні рівняння (3.2.2.2). Приклад, який наведений нижче показує, що іноді вдалий вибір порядку дозволяє спростити ці рівняння.

Якщо незалежні, то всі їх умовні розподіли дорівнюють

і порядок розіграшу величин ролі не відіграє: рівняння (3.2.2.2) перетворюються в (3.2.2.1).

Приклад 3.2.2.2

Розглянемо випадкову точку (), яка може приймати значення в трикутнику x+y<1,x>0,y>0 (рис.3.2.2.2) з щільністю p(x,y)=6x.

Рис.3.2.2.2 Значення, яке може приймати випадкова точка

А) Виберемо в якості першої величини . Тоді

Відповідні цим щільностям функції розподілу:

З формул (3.2.2.2) отримуємо рівняння для послідовного обчислення і

Б) Виберемо тепер в якості першої величини . Тоді

Відповідні функції розподілу:

З формули (3.2.2.2), використовуючи 1- замість, отримаємо рівняння для послідовного обчислення і

.

Порівняємо тепер ці два алгоритми для підрахунку і : в першому з них для знаходження необхідно розв'язувати кубічне рівняння, в той час як в другому можна використати явні формули

(3.2.2.3)

Використання заміни змінних. Далі наводиться правило перетворення щільності при перетворенні координат.

Нехай ,- взаємно однозначне дифференційовне відображення області в просторі на область в просторі . Якщо щільність випадкової точки в дорівнює , то щільність випадкової точки в , де , дорівнює

в правій частині повинні бути виражені через .

Доведення

Нехай - довільна область в середині , а - її прообраз при розглядуваному відображенні. Очевидно, . По правилу заміни змінних в інтегралі

а за означенням щільності

Прирівнюючи ці ймовірності і приймаючи до уваги довільність , отримаємо потрібний результат.

Приклад 3.2.2.3. Випадкова точка Q рівномірно розподілена в кулі .

Позначимо через декартові координати точки Q. Їх сумісна щільність розподілу в кулі постійна:

.

Однак щільності розподілу кожної з координат достатньо громісткі. Тому перейдемо до сферичних координат (рис.3.2.2.3):

,,.

Рис. 3.2.2.3 Сферичні координати точки Q

В нових координатах куля перетворюється в паралелепіпед , .Оскільки якобіан перетворення

то в нових координатах щільність

Легко бачити,що ця щільність представляє собою добуток трьох щільностей і з цього випливає, що сферичні координати точки Q незалежні. Рівняння (3.2.2.1) для їх знаходження можна записати так:

Звідси отримуємо широко відомі формули

(3.2.2.4)

За цими значеннями неважко обчислити і декартові координати точки Q:

Приклад 3.2.2.4

Випадкова точка підкоряється n-вимірному нормальному (гауссівському) розподілу з математичними сподіваннями і другими моментами . Визначник матриці додатній:

Щільність такої випадкової точки визначається формулою:

де - матриця обернена по відношенню до B, а - її визначник.

Як відомо, лінійним перетворенням координат можна привести додатньо визначену квадратичну форму, яка стоїть в показнику, до суми квадратів. При цьому зручно використовувати векторні позначення: якщо і - вектори, то їх скалярний добуток ;

якщо - квадратна матриця ,то - це вектор з компонентами ; квадратична форма виражається через скалярний добуток

Виберемо нові координати і нехай . Тоді

, де - транспонована матриця T. Останній вираз перетвориться в (y,y), якщо - одинична матриця. Звідси, ,а . Таким чином, матриця перетворення T повинна відповідати рівнянню

. (3.2.2.5)

Якобіан перетворення дорівнює визначнику матриці:

Із (3.2.2.5) випливає, що ,а так як , то . Тому , .

Тепер можна записати щільність точки Q в нових координатах

Звідси бачимо, що нові координати точки Q незалежні і нормальні з параметрами (0;1).

Таким чином, для того щоб обчислити значення , треба знайти n незалежних значень нормальної величини з параметрами (0;1) - як це зробити див. наступний приклад, і тоді

.

При практичній реалізації цього метода єдине складне місце - підрахунок матриці T. З теорії матриць [23] слідує, що існує трикутна матриця , яка задовольняє (3.2.2.5). Якщо при j>i всі , то (3.2.2.5) перетворюється в систему, яка складається з n(n+1)/2 рівнянь

,

і всі можуть бути послідовно обчисленні в порядку, схематично показаному на рис.3.2.2.4. Матрицю С обчислювати не треба.

Рис.3.2.2.4 Обчислення

Приклад 3.2.2.5

Випадкова величина нормально розподілена з параметрами (0;1):

.

Виберемо незалежну від випадкову величину , також нормально розподілену з параметрами (0;1), і розглянемо на площині x,y випадкову точку Q з декартовими координатами і . Очевидно,

За формулами

(3.2.2.6)

де вдало замість взяти 1-, отримаємо рівняння:

так, що . Отже,

(3.2.2.7)

Формули (3.2.2.7) дозволяють по двом випадковим числам підрахувати зразу два незалежних значення випадкової величини . Якщо необхідне лише одне таке значення, то можна обмежитись однією з цих двох формул.

3.2.3 Змішаний випадок

Нехай заданий випадковий вектор , у якого деякі компоненти є дискретними випадковими величинами, а інші неперервні.

Моделювання вектора в цьому випадку опирається на умовні розподіли дискретних компонент і на умовні функції розподілу неперервних компонент, як було показано в пунктах 3.2.1. і 3.2.2.

Наведемо ілюстративний приклад.

Приклад 3.2.3.1

Нехай випадкова величина при кожному значенні p має біноміальний розподіл з параметрами p і N. Нехай p само підкоряється бета-розподілу з параметрами r=3 і s=2, тобто:

Спочатку беремо з датчика і розігруємо значення , після цього підставляємо це значення в закон розподілу величини , беремо і розігруємо значення .

Наприклад, якщо N=5, , то і закон розподілу набуває вигляду:

Якщо , то . Тобто, в результаті одиничного жеребу маємо .

3.3 Моделювання функцій від випадкових векторів

3.3.1 Функції від випадкових величин

Наведемо основні відомості з теорії ймовірностей, що стосується функцій від випадкових величин.

Розглянемо вимірний простір .

Функція називається борелівською, якщо вона -вимірна, тобто для будь-якого .

Теорема 3.3.1.1. Якщо - випадковий вектор, де - випадкові величини, які задані на , а - борелівська функція, то - випадкова величина, задана на .

Наслідок. , де .

Нехай випадкові величини задані на , а .

Якщо - дискретні випадкові величини, то .

Якщо мають щільність розподілу ймовірностей , то

.

Якщо і мають неперервні частинні добутки по всім змінним і такі, що якобіан перетворення

відмінний від нуля, тоді має місце наступна теорема.

Теорема 3.3.1.2. Якщо випадковий вектор має щільність розподілу ймовірностей , то випадковий вектор має щільність , яка задається рівністю: .

Зауваження. В тому випадку, коли , можна ввести допоміжні перетворення , які задовольняють умовам попередньої теореми. Тоді

3.3.2 Моделювання випадкових величин виду

Ми обмежимось декількома різними прикладами перетворень вказаного виду. У всіх формулах - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені в інтервалі [0,1].

Приклад 3.3.2.1. Обчислення коренів з випадкових чисел

Доведемо, що значення випадкової величини , визначеної при з функцією розподілу , можна обчислити за формулою

(3.3.2.1)

Спочатку зауважимо, що функція розподілу випадкової величини дорівнює тоді і тільки тоді, коли задовольняє рівнянню

. (3.3.2.2)

Потім розглянемо величину , визначену рівнянням (3.3.2.1). Оскільки в тому і тільки в тому випадку, коли одночасно , то , що й треба було довести.

Якщо ж цю випадкову величину моделювати методом обернених функцій, то, очевидно,

. (3.3.2.3)

Порівнюючи формули (3.3.2.3) і (3.3.2.1), приходимо до висновку, що в будь-якому алгоритмі можна замінити обчислення кореня з випадкового числа, беручи найбільше з декількох незалежних випадкових чисел.

Приклад 3.3.2.2. Моделювання гамма-розподілу

В багатьох задачах зустрічаються величини , визначені при з щільностями ймовірностей

, (3.3.2.4)

де - ціле число. Закон (3.3.3.4) називається гамма - розподілом, оскільки

Метод обернених функцій приводить до явної формули для обчислення тільки у випадку n=1

. (3.3.2.5)

Доведемо, що при будь -якому n значення можна обчислити за формулою

. (3.3.2.6)

Доведення (по індукції). При n=1 формула (3.3.2.6) перетворюється у вже доведену формулу (3.3.2.5). Припустимо,що щільність величини (3.3.2.6) виражається формулою (3.3.2.4), і розглянемо величину .

За відомим правилом композиції щільностей незалежних доданків

.

Використаємо згідно з методом індукції припущення:

Розглянемо більш детально двохвимірний випадок . Для цього випадку розроблене програмне забезпечення.

Моделювання випадкових величин виду . Нехай - дві незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені в інтервалі [0,1]. Можна намагатися знайти всі можливі функції такі, що випадкова величина має функцію розподілу . Оскільки випадкова точка () рівномірно розподілена в одиничному квадраті , , то отримаємо для визначення рівняння:

(3.3.2.7)

Ми не будемо займатися розв'язанням цього рівняння. Воно, як бачимо, більш зручне для доведення відомих формул, ніж для отримання нових. Замість цього розглянемо декілька методів побудови перетворень виду . Ці методи мають багато практичних застосувань.

У методах, які розглядаються далі, замість одновимірної величини моделюється двохвимірна величина , за значеннями якої не важко обчислити . Великий вибір розподілу використовується для того, щоб спростити формули обчислення.

Застосування полярних координат. Припустимо, що до випадкової величини , яку необхідно моделювати, вдалось підібрати випадкову величину так, що щільність точки з декартовими координатами залежать тільки від відстані до початку координат : . Тут . Тоді зручно моделювати полярні координати точки , а потім за ними обчислювати .

Якщо , то якобіан перетворення і щільність точки у полярних координатах дорівнює

Область зміни полярних координат точки - назвемо їх і - прямокутник Тому легко довести, що вони незалежні: За формулою для обчислення і отримаємо рівняння

. (3.3.2.8)

Обчислив і , неважко знайти і декартові координати точки :

Приклад 3.3.2.3

Випадкова величина визначена на проміжку з щільністю

Неважко показати, що представляє собою абсцису випадкової точки , рівномірно розподіленої в колі Насправді, якщо в цьому колі, то

З формули (3.3.2.8) при отримуємо явні формули Таким чином

Якщо в цьому прикладі відразу застосувати метод обернених функцій для моделювання , то рівняння для знаходження буде доволі складним:

Приклад 3.3.2.4

Випадкова величина нормально розподілена з параметрами (0;1):

Виберемо незалежну від випадкову величину , яка також нормально розподілена з параметрами (0;1), і розглянемо на площині випадкову точку з декартовими координатами і . Очевидно,

По формулам (3.3.2.8), де зручно замість взяти , отримаємо рівняння

, так що . Отже,

(3.3.2.9)

Метод суперпозиції. Припустимо, що функція розподілу випадкової величини , яка нас цікавить, представлена у вигляді

, (3.3.2.10)

де всі - також функції розподілу, а . Із (3.3.2.10) при випливає, що Отже, можна ввести дискретну випадкову величину з розподілом

,

так що .

Теорема 3.3.2.1

Нехай і - незалежні випадкові числа. Якщо по числу розіграти значення випадкової величини , а потім з рівняння визначити , то функція розподілу дорівнює .

Доведення

Скористаємось теоремою повної ймовірності і обчислимо функцію розподілу величини , побудованої в теоремі:

що і треба було довести.

Функція розподілу виду (3.3.2.10) зустрічається тоді, коли ми маємо діло з сумішшю випадкових величин. Наприклад, якщо у нас всього N деталей, серед яких деталей з функцією розподілу «часу життя» , то функція розподілу «часу життя» для випадково вибраної деталі дорівнює

Однак представлення (3.3.2.10) часто придумують штучно, щоб полегшити процедуру розіграшу .

Приклад 3.3.2.5

Випадкова величина визначена на проміжку і має функцію розподілу , де всі .

Можна вважати, що при , і скористаємось методом суперпозиції. З попередньої теореми, використовуючи теореми 3.3.2.2 і 3.3.2.3 отримаємо формулу: якщо , то .

Теорема 3.3.2.2

Випадкова величина , визначена формулою , коли , має розподіл ймовірності

Теорема 3.3.2.3

Випадкова величина , яка задовольняє рівнянню , має щільність розподілу .

Приклад 3.3.2.6

Випадкова величина визначена на проміжку з щільністю

Якщо для знаходження значень величини скористатися методом обернених функцій(теореми 3.3.2.2 і 3.3.2.3 представляють собою частинні випадки загального метода, який доцільно назвати методом обернених функцій), то отримаємо формулу ,так що прийдеться розв'язувати рівняння п'ятої степені. Можна, однак, представити у вигляді суперпозиції щільностей і :

На основі теореми 3.3.2.1 отримаємо наступний явний алгоритм для обчислення значень :

Метод обернених функцій. Тут буде йти мова про моделюючі формули виду , де - випадкові величини, отримані за допомогою генератора випадкових чисел, а - строго монотонна і неперервна функція задана на інтервалі (0,1); для задана щільність розподілу f(x), a<x<b.

Припустимо, що монотонно зростає, і знайдемо функцію розподілу для : Звідси З іншої сторони,

Таким чином, в припущенні монотонного зростання функції ми отримуємо єдину моделюючу формулу:

(3.3.2.11)

Припустимо тепер, що монотонно спадає і . Тоді і З іншої сторони,

Таким чином, у випадку монотонного спадання маємо також єдину моделюючу формулу: Ця формула по суті еквівалентна (3.3.2.11), оскільки випадкові величини 1- і однаково розподілені.

Метод інтегральної суперпозиції. Розглянемо неперервну випадкову точку з декартовими координатами і на площині x,y. Якщо щільність дорівнює , то щільність дорівнює

Як було відмічено, моделювати координати точки можна в будь-якому порядку. Скористаємось представленням і будемо моделювати спочатку , а потім . Іншими словами, спочатку знайдемо з рівняння , а потім - з рівняння . В тих випадках, коли останні рівняння розв'язуються простіше, ніж рівняння методу обернених функцій, такий алгоритм може показатись зручнішим. Взагалі, метод інтегральної суперпозиції використовується рідко, головним чином тоді, коли щільність задана у формі інтеграла по параметру.

Приклад 3.3.2.7

Щільність випадкової величини при пропорційна інтегральній показниковій функції n-го порядку (n>0)

.

Так як тут , то

.

Відповідні функції розподілу дорівнюють .

З рівняння знайдемо , а з рівняння знайдемо . Тобто .

Зауваження. Загальний метод суперпозиції може бути описаний однією формулою .

Деякі застосування метода суперпозиції. Виправлення до наближених розподілів.

Припустимо, що щільність випадкової величини апроксимується знизу достатньо простою лінією , так як це показано на рис.3.3.2.1.Очевидно, що в якості наближення до можна вибрати щільність , де , і знаходити наближенні значення по щільності .

Можна, однак, представити у формі суперпозиції двох щільностей і , і отримати таким чином метод для точного моделювання . Алгоритм підрахунку по щільності може бути доволі складним, але на час підрахунку це майже не відобразиться, бо буде використовуватись дуже рідко: .

Отже, метод суперпозиції дає можливість врахувати «виправлення» , практично не збільшуючи часу підрахунку, а лише ціною ускладнення програми (причому, зазвичай це не рекомендовано).

Рис.3.3.2.1 Щільність випадкової величини , яка апроксимується знизу достатньо простою лінією

Ділення області визначення випадкової величини. Такий випадок іноді використовується при моделюванні випадкової величини, щільність якої в різних областях значно відрізняється.

Нехай - щільність випадкової величини , визначеної на проміжку . Розіб'ємо цей проміжок на суму проміжків, які не перетинаються , так що (рис.3.3.2.2) і ймовірності потрапляння в додатні:

.

Введемо в розгляд щільності

.

Очевидно, і при всіх x із (a,b) .

Згідно з теоремою 3.3.2.1, для того щоб знайти значення , можна спочатку по числу розіграти номер області , а потім обчислити з рівняння

, (3.3.2.12)

де - лівий кінець .

Легко перевірити, що з точки зору кількості обчислень цей метод гірший, ніж метод обернених функцій. Насправді, рівняння для знаходження

можна розв'язувати наступним чином: спочатку знайдемо номер k такий, що

(3.3.2.13)

тоді це рівняння перетвориться в рівняння

(3.3.2.14)

розв'язуючи яке і знайдемо . Рівняння (3.3.2.14) простіше, ніж (3.3.2.12).

Положення може різко змінитися на користь метода ділення області, якщо замість (3.3.2.12) використати для моделювання з щільністю , в якийсь другий спосіб. Щоправда, тоді на отримання одного значення буде використано більше двох випадкових чисел.

Метод ділення області застосовується також для моделювання багатовимірних випадкових величин.

Рис.3.3.2.2 Розбиття проміжку на суму проміжків

3.4 Описання програмного забезпечення для моделювання випадкових векторів

Для моделювання випадкових векторів ми будемо використовувати програмне середовище Maple. На даний момент існує багато версій цієї програми. В дипломній роботі використовується версія Maple 13.

3.4.1 Прості приклади застосування функції piecewise

Рис.3.4.1.1 показує, як задається функція , яка складається з трьох характерних частин. По визначеній через функцію користувача залежності можна побудувати її графік.

>

Рис.3.4.1.1. Приклад задання і застосування функції, яка складається з різних частин

Важливо відмітити, що створена за допомогою функції piecewise залежність може використовуватись в різних перетвореннях. Наприклад, на рис.3.4.1.1 показано, що вона легко диференціюється і можна побудувати графік похідної цієї функції. При цьому кожна частина функції розглядається окремо.

Робота з функціями piecewise. З функціями типу piecewise можна працювати, як зі звичайними функціями. При цьому необхідні операції і перетворення здійснюються для кожної з частин функції і повертаються в наглядній формі.

Нижче наведено приклад задання функції f в аналітичній формі:

>

Для виявлення характеру функції скористаємось функцією convert і створимо об'єкт g у вигляді кускової функції:

>

Зробимо диференціювання і інтегрування функції:

>

Як неважко замітити, результати отриманні також у вигляді кускової функції. Можна продовжити роботу з функцією f і зробити її розклад в степеневий ряд:

>

Щоб убрати член з остаточною похибкою, можна зробити цю операцію наступним чином:

>

Зверніть увагу на те, що оскільки розклад в ряд знаходиться в околі точки x=0, то при цьому використовується та частина функції, в якій знаходиться ця точка.

3.4.2 Спрощення виразу: simplify()

Ця команда використовується для спрощення різноманітних виразів, які складаються з раціональних дробів (алгебраїчні вирази), до яких входять тригонометричні, обернені тригонометричні функції, логарифми і експоненти, тобто з її допомогою можна намагатися спростити вираз, що складається з елементарних функцій. Чому намагатися? Просто тому, що Maple може його спростити, а може й ні, так як він використовує свої внутрішні алгоритми спрощення, результат виконання яких може не зовсім відповідати поглядам користувача на те, як він хотів би спростити вираз і в якому виді його отримати. Взагалі, задача спрощення у всіх системах аналітичних обчислень - це достатньо важка проблема. В одному контексті обчислень якесь перетворення вважається спрощенням, а в другому те ж саме перетворення може і не вважатися спрощенням. Наприклад, при розв'язані тригонометричних рівнянь не завжди доцільно заміняти на 1, хоч це явне спрощення. Іноді треба зробити навпаки: одиницю представити у вигляді суми квадратів синуса і косинуса, і тоді таке спрощення приведе до спрощення всього рівняння, дозволить розкласти його на множники і розв'язувати поставлену задачу.

Ця команда має декілька форм виклику, які відмінні лише найменуванням параметрів. Її самий простий синтаксис має наступний вид: simplify( вираз);

Команда simplify() шукає у виразі виклики функцій, квадратні корені, радикали і степені. Команда simplify() зберігається в основній бібліотеці Maple 13. Ми перерахуємо частину з них: simplify/exp - для спрощення виразу з експоненціальними функціями, simplify/ln - для спрощення виразу з логарифмами, simplify/trig - для спрощення виразу з тригонометричними функціями і т.д. За умовчанням Maple 13 намагається використати максимальний набір функцій спрощення, який підходить до конкретного виразу.

У виклику команди можна задати конкретну процедуру спрощення, і тоді тільки вони будуть використовуватись для спрощення заданого виразу, а не весь можливий, встановлений за умовчанням набір. Такий виклик забезпечується наступним синтаксисом команди:

simplify( вираз, n1,n2,…);

тут n1,n2 і т.д. є іменами процедур спрощення: sqrt,trig,power,radical,ln. Повну інформацію про формулу спрощення при використанні перерахованих значень параметрів можна отримати за допомогою команди ?simplify(ім'я), де ім'я - одне зі значень параметрів функції спрощень.

При спрощені виразу можна допустити, що всі змінні в ньому є, наприклад, додатними, або належать деякому відрізку дійсних чисел. Це здійснюється заданням ключового параметру assume= властивість. Форма виклику команди в цьому випадку має вигляд:

simplify( вираз, assume= властивість);

де параметр властивість може приймати одне з наступних значень:

complex - комплексна область, real - дійсна область, positive - додатні дійсні числа, integer- цілі числа.

Нижче наведені приклади використання команди спрощення виразів simplify():

>

Звернемо увагу на спрощення виразу f. Використання команди без параметрів не спростило вираз , тоді як другий оператор з припущенням про дійсну область зміни змінної x спростив заданий вираз.

При виклику команди спрощення можна останнім, або єдиним, не враховуючи самого спрощеного виразу, параметром задати параметр з ім'ям symbolic. В цьому випадку, якщо вираз має багатозначні функції, наприклад квадратний корінь, то відносно таких функцій буде здійснено формальне символічне спрощення. Це значить, що не буде прийматися до уваги різна поведінка багатозначних функцій при знаходженні їх аргумента в різних областях комплексної площини, або дійсної осі. Так, у випадку з функцією при спрощені необхідно враховувати, додатня чи від'ємна невідома x, задання параметра symbolic знімає цю невизначеність, використовуючи формальне правило: квадратний корінь з квадрата деякої величини дорівнює цій величині.

Спрощення з припущенням:

>

Команда спрощення дозволяє задати правило спрощення у виді рівняння. Ці правила задаються другим параметром, який повинен мати наступний вид:

{рівняння1,рівняння2,…}

Якщо якийсь вираз при спрощені повинен дорівнювати нулю, то таке правило можна задати, просто записавши цей вираз без знака рівності в список правил:

>

В цьому прикладі допускається, що квадрат величини b дорівнює нулю.

Використання своїх правил для спрощення тригонометричних виразів дозволяє отримати саме той його вид, який необхідний для подальшої роботи, так як третім параметром можна визначити, в якій послідовності повинні відображатись невідомі в спрощеному виразі. Цей параметр задається в двох формах: у виді множини і у виді списку. Якщо він заданий у виді множини, то алгоритм спрощення сортує у виразі невідомі по зменшенню їх степенів в компонентах виразу, враховуючи степені всіх невідомих, а потім починає спрощення у відповідності з заданими правилами. У випадку зі списком - спочатку вираз сортується за степенями першої невідомої в списку, потім спрощується в залежності з заданими правилами, потім отриманий вираз сортується за степенями другої невідомої списку і спрощується і т.д.

Спрощення в залежності з правилами користувача:

>

3.4.3 Розв'язання рівнянь, нерівностей і їх систем

Практично не одна задача не обходиться без розв'язання якогось рівняння, або системи рівнянь, нерівностей, або системи нерівностей. Команда solve() системи Maple 13 є універсальним способом, що дозволяє розв'язувати алгебраїчні рівняння, нерівності і їх системи. Але перед тим як перейти до синтаксису цієї команди, необхідно ще трішки зупинитися на тих об'єктах, з якими ця команда працює - на рівняннях і нерівностях.

Два вирази, які з'єднанні знаком рівності, представляють собою самостійний тип даних Maple- рівняння (equation). Рівняння можна присвоїти звичайним змінним Maple, з ними можна робити перетворення, використовуючи звичайні арифметичні дії, які виконуються окремо для лівої і правої частини рівнянь. Ці дії дозволяють перетворити рівняння до виду, зручному для використання, а іноді і спрощуючи Maple пошук розв'язку. В прикладі показано деякі перетворення, які можна зробити з рівняннями в Maple 13.

Приклад 3.4.3.1

>

При перевірці типу змінної, значенням якої є рівняння, за допомогою команди whattype() результатом є рівність =, що означає, що тип змінної, яку перевіряємо є рівнянням.

Точно так, як і при задані рівняння, два вирази, які з'єднані знаками >= (більше або дорівнює), <=(менше або дорівнює), > (більше) чи < (менше), представляють новий тип - нерівність (inequation).

>

При перевірці типу об'єкта, що представляє нерівність, в області виводу відображення або <> , або<, або <=. Діло в тому,що Maple розуміє тільки ці три типа. Нерівність протилежного знака приводиться до них перестановкою лівої і правої частини з заміною знаків на протилежне.

Команда solve(). Команда solve() одна з самих корисних команд системи аналітичних обчислень Maple, яка дозволяє розв'язувати рівняння і системи рівнянь, нерівностей і системи нерівностей. Вона завжди намагається знайти замкнутий розв'язок в аналітичній формі. ЇЇ синтаксис, як і синтаксис всіх команд Maple 13, достатньо просто і легко запам'ятовується:

solve(рівняння, змінна);

solve((рівняння1, рівняння2,…),(змінні1, змінна2,…));

Перша форма команди призначена для розв'язання одного рівняння відносно заданої змінної, тоді як друга форма дозволяє розв'язувати системи рівнянь відносно змінних, заданих другим параметром. Звернемо увагу, що система рівнянь і її невідомі змінні задаються у вигляді множин. Результатом в цьому випадку є також множина значень невідомих у вигляді рівнянь, тоді як у випадку завдання одного рівняння результатом буде вираз. Якщо не задана змінна, відносно якої необхідно розв'язати рівняння, то Maple видає всі розв'язки відносно всіх невизначених змінних в вихідних рівняннях. Якщо замість рівняння задано вираз з невідомими, то воно розглядається як ліва частина рівняння, тоді як права частина допускається рівною нулю. Приклад ілюструє деякі з розглянутих ситуацій.

Приклад 3.4.3.2

>

Коли Maple не може знайти ні одного розв'язку, то команда solve () повертає порожню послідовність NULL. Це означає, що або розв'язок не існує, або Maple не вдалось його знайти.

Розв'язок останнього рівняння з прикладу був отриманий без уточнення змінної , відносно якої слід розв'язувати рівняння. Maple розв'язав їх відносно всіх невідомих величин, що входять в рівняння. Причому він вибрав невідому x в якості параметра, а невідому змінну y виразив через введений параметр x. Щоб отримати параметр розв'язку, необхідно параметру x присвоїти довільне значення, тоді значення невідомої y буде визначено однозначно.

В загальному випадку поліноміальне рівняння степені вижче 4 може не мати розв'язку, вираженого за допомогою радикалів. В цьому випадку для представлення результатів Maple використовують спеціальну функцію RootOf(), яка застосовується для позначення будь-якого кореня виразу, заданого в якості її параметра:

>

Відмітимо розв'язок за допомогою команди solve() тригонометричних рівнянь. По умовчанню Maple 13 розв'зує їх на проміжку . Для отримання всіх розв'язків тригонометричних рівнянь необхідно задати значення глобальної змінної _EnvAllSolutions рівним true. Наступний приклад ілюструє використання глобальної змінної _EnvAllSolutions:

>

Як видно, у випадку _EnvAllSolutions:=true Maple дійсно будує всі розв'язки тригонометричного рівняння з використанням цілочисельної системи змінної _z1 з тільдою , в якій тільда означає, що на значення змінної накладені деякі обмеженості. В цьому випадку ця змінна може приймати тільки цілочисельні значення.

Коли ми вручну розв'язуємо рівняння, то при отриманні розв'язку робимо перевірку. Точно так необхідно робити і при роботі з Maple. Найбільш підходящим методом перевірки розв'язку є використання функції eval(). Цією ж командою можна обчислити значення величини x і y. Для перевірки можна використати функцію map() разом з функцією subs(), яка за одну операцію виконує перевірку всіх розв'зків. Ця методика є досить зручною, особливо коли розв'язків дуже багато. Виклик команди map() виглядає так:

map(subs,[sols],eqns);

Команда solve() може розв'язувати невизначені системи рівнянь, в яких кількість рівнянь менша числа невідомих. В цьому випадку система сама знає, які з невідомих прийняти за параметри, а які за невідомі, відносно яких необхідно будувати розв'язок.

Команда розв'язання рекурентних рівнянь rsolve(). Для розв'язання рекурентних рівнянь в Maple 13 включена спеціальна команда rsolve(), яка будує загальний розв'язок рекурентного рівняння, використовуючи початкові значення , якщо вони задані, або через їх символьні позначення, якщо вони не задані.

Приклад 3.4.3.3

>

Розв'язання нерівностей. Для розв'язання нерівностей і систем нерівностей використовують ту ж саму команду solve(), точно так як для розв'язання рівнянь. Відповідь отримуємо або у вигляді множини нерівностей, або через функції RealRange() і Open(). Перша визначає замкнений відрізок дійсних чисел, а друга використовується для показу того, що гранична точка не входить в побудований розв'язок. Для того, щоб задати розв'язок у вигляді множини, необхідно задати у вигляді множини або саму нерівність, або невідому, відносно якої шукається розв'язок. Якщо цього не зробити, то відповідь буде отримана з використанням вказаних функцій визначення дійсних відрізків.

Приклад 3.4.3.4

>

3.4.4 Пакет статистики stats

Пакет статистики stats складається з великої кількості команд для обробітки, аналізу і відображення статистичних даних. Також він має велику кількість статистичних розподілів.

Цей пакет є прикладом пакету, що складається з підпакетів, в яких згруповані команди, які відносяться до певних розділів статистики. Наприклад, пакет describe має всі необхідні команди для аналізу даних, команди підпакета random дозволяють отримати будь-який відомий статистичний розподіл у вигляді списку даних і т.д. Всього пакет stats складається з семи підпакетів і однієї функції importada(), що дозволяє імпортувати дані з зовнішнього файла. Можна підключити всі команди за допомогою пакета

>with(stats);

або команди окремих пакетів

>with(stats, ім'я підпакета);

Команди підпакетів викликаються з використанням повних імен:

>ім'я під пакета[ім'я команди ](параметри);

Для використання коротких імен команд підпакета необхідно після підключення всього пакету або окремого цього підпакету виконати команду:

>with(ім'я підпакету);

Команди пакету stats працюють з даними, які знаходяться в статистичних списках, які включають в себе і звичайні списки Maple. Спеціальні статистичні списки можуть включати в себе діапазони і кількість повторень в списку заданої величини:

>

Отримати список значень з нормального розподілу можна командою normald підпакета random:

>

Характеристика пакета. Мир математичних систем зараз насичений статистичними системами, наприклад такими, як Statistica. Проведення статистичних підрахунків в Maple 13 можливо і в ряді випадків , наприклад, коли вони є частиною дослідницького проекту.

Пакет Statistica для таких підрахунків представлен лише двума статистичними функціями:

Stats[subpackage,function](args)

Subpackage[function](args)

Однак завдяки спеціальній формі задання параметрів можливе обчислення самих різноманітних статистичних функцій. Є наступні підпакети:

Anova-варіаціонний аналіз;

Describe-функції розподілу ймовірностей;

Fit-регресійний аналіз;

Random-генерація випадкових чисел з різними законами розподілу;

Statevalf-обчислення статистичних функцій;

Statplots-побудування графіків статистичних функцій;

Transform-функції перетворення даних.

Генерація випадкових чисел з заданим розподілом. Основою цього підпакету є функція random:

random[distribution](uniform) або

stats[random[distribution](uniform)] де

distribution- описання закону розподілу випадкових величин, а uniform- процедура генерації чисел з рівномірним розподілом.

Можливе задання дискретних і неперервних розподілів, наприклад binomiald - дискретний біноміальний розподіл, uniform - дискретний рівномірний розподіл, beta - бета-розподіл, exponential - експоненціальний і т.д.

Наступні приклади показують техніку отримання випадкових чисел з заданими законами розподілу:

>

>

Графіка статистичного пакету. Статистичний пакет має свою невелику бібліотеку для побудови графіків. Вони викликаються наступним чином:

stats[statplots,function](args)

Вид графіка задається описанням function: boxplot,histogram,scatterld,symmetry. Данні функції забезпечують побудову графіків, які ілюструють статистичні підрахунки. В якості прикладу на рис. 3.4.4.1 показано задання множини випадкових точок і її відображення на площині в обмеженому прямокутному просторі.

>

Рис.3.4.4.1 Створення випадкових точок і побудова їх на площині

По рівномірності розподілу точок можна судити про якість програмного генератора випадкових величин.

Доволі часто для візуалізації обчислень використовується побудова гістограм. Для їх створення пакет stats має функцію histogram:

stats[statplots,histogram](data), тут data - список даних.

Деталі застосування цієї простої функції пояснює рис.3.4.4.2. На ньому є два приклади - побудова стовбців заданої ширини і висоти, і побудова гістограми 100 випадкових величин з нормальним розподілом.

>

Рис.3.4.4.2 Побудова гістограм

Висновки

Моя дипломна робота присвячена статистичному моделюванню випадкових векторів.

При статистичному моделюванні випадкових векторів важливу роль відіграє, якими є їх компоненти.

В моїй роботі наводиться огляд і аналіз методів моделювання випадкових векторів. Розроблене програмне забезпечення для моделювання випадкових векторів, в залежності від того, якими є їх компоненти, а також розглядається моделювання функцій від випадкових векторів.

Так, у випадку, коли компоненти вектора є незалежними дискретними випадковими величинами, ми кожну компоненту моделюємо окремо на основі співвідношення (1) //де R - рівномірно розподілена випадкова величина в інтервалі [0;1]//, що визначає стандартний метод моделювання дискретної випадкової величини, або у разі потреби, використовуємо нестандартні методи, які, як відомо, зменшують трудоємність алгоритму.

Якщо ж компоненти вектора є незалежними випадковими величинами з абсолютно неперервним розподілом, то ми їх моделюємо кожну окремо або на основі стандартного методу, що базується на співвідношенні (7) , або з використанням нестандартних методів.

Ці методи розглядалися в моїй бакалаврській дипломній роботі.

У випадку, коли компоненти вектора є дискретними залежними випадковими величинами, то для моделювання такого вектора ми користуємось співвідношенням (2)

.

Наприклад, якщо заданий вектор , де випадкові величини мають сумісний розподіл виду (3), то для розіграшу виписуємо його розподіл, що має вигляд (4) , а для розіграшу умовний розподіл виду (5) . Тоді беремо з датчика і розігруємо значення , після цього підставляємо його в умовний розподіл і беремо та розігруємо значення .

Тобто, якщо , то , і умовний закон розподілу набуває вигляду (6):, а якщо , то .Отже, в результаті одиничного жеребу маємо, що вектор приймає значення .

Далі розглянемо приклад, де вектор заданий по-іншому.

- випадкові величини, причому випадкова величина має Пуассонів розподіл з параметром (, , ), а має біноміальний розподіл з параметрами ( , ). Тоді беремо з датчика і розігруємо значення , підставляючи це значення в розподіл і беручи з датчика, отримуємо значення . Тобто, якщо ,а, то =5 ,а якщо . Отже, в результаті одиничного жеребу маємо, що вектор приймає значення 5 і 3.

Тепер розглянемо випадок, коли компоненти вектора є неперервними випадковими величинами. Для моделювання такого вектора користуємось співвідношенням (8) , деі теоремою.

Теорема. Нехай - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на [0,1]. Сукупність випадкових величин , отриманих при послідовному розв'язанні системи рівнянь

(9)

мають сумісну щільність ймовірностей , де - функція розподілу , а - умовні функції розподілу відповідно.

Розглянемо приклади для даного випадку.

Приклад 1. Нехай заданий вектор , який має щільність виду (10) (область обмежена), де Р має вигляд (11) //Р- трикутник//. Користуючись співвідношеннями

(12) і (13)

я знайшла моделюючі формули (14) для розіграшу компонентів вектора . Для знаходження моделюючої формули для треба розв'язувати кубічне рівняння. Виявляється, що в цьому випадку зручніше починати моделювати з другої компоненти, використовуючи аналогічні формули (12) і співвідношення (15) . В даному випадку отримані моделюючі формули мають вигляд (16) і є простішими, в порівнянні з формулами (14), оскільки відразу можна виразити і . Тобто, моделюючі формули для знаходження мають вигляд (17) .

В наступному прикладі область, в якій зосереджена щільність розподілу, необмежена, на відміну від 1-го прикладу.

Приклад 2. Нехай щільність вектора має вигляд (18) . Тоді в даному разі користуючись співвідношеннями (12) і (13), отримуємо моделюючі формули виду (19) .

Що ж стосується змішаного випадку, коли у вектора , деякі компоненти є дискретними випадковими величинами, а інші неперервні, то його ми моделюємо використовуючи умовні розподіли дискретних компонент і умовні функції розподілу неперервних компонент.

Наприклад, нехай заданий вектор і нехай випадкова величина при кожному значенні має біноміальний розподіл з параметрами і N (), і нехай сама підкоряється бета-розподілу з параметрами r і s:

.

Тоді, спочатку беремо з датчика і розігруємо значення , після цього підставляємо це значення в закон розподілу величини , беремо і розігруємо значення .

Тобто, якщо r=3, s=2, N=5,а , то=0.48 і закон розподілу набуває вигляду (20): , а якщо , то . Тобто, в результаті одиничного жеребу вектор приймає значення (2;0.48).

В своїй роботі я зробила огляд методів моделювання функцій від випадкових векторів.

Особливо широко в теорії статистичного моделювання представлені методи моделювання функцій від двох випадкових величин - . На плакаті 4,5 це представлено в співвідношеннях (21)-(36).

У випадку, коли - незалежні, моделювання базується на співвідношенні (21), де e - одинична функція. Наприклад, нехай і - незалежні випадкові величини, які мають показниковий розподіл з параметром (). Треба змоделювати випадкову величину .

Для розв'язання даного прикладу ми спочатку беремо з датчика і розігруємо значення , потім беремо з датчика і розігруємо . Підставляючи отримані значення в частку , отримаємо перше значення величини . Я змоделювала серію значень і показати, що ця величина має рівномірний розподіл в інтервалі [0,1]. Отримані серії значень добре узгоджуються з цим розподілом.

У методах, які розглядаються далі, замість одновимірної величини моделюється двохвимірна величина , за значеннями якої не важко обчислити . Великий вибір розподілу використовується для того, щоб спростити формули обчислення.

При застосуванні полярних координат, передбачається моделювання випадкової величини , для якої ми підбираємо випадкову величину так, що щільність точки залежить тільки від відстані до початку координат , тобто щільність точки має вигляд (22) , . В даному разі співвідношення для знаходження моделюючих формул для полярних координат точки вже виведені і мають вигляд (23) , . Розігравши значення і , можна знайти декартові координати точки (, ). Тобто, в даному випадку зручно спочатку моделювати полярні координати точки Q, а потім вже обчислювати . Більш детально я це поясню на прикладі.