Закони розподілу ймовірностей випадкових величин

Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык украинский
Дата добавления 27.02.2012
Размер файла 134,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

"Закони розподілу ймовірностей випадкових величин"

теорія ймовірність закон випадковий

Вступ

Теорія ймовірностей -- розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості і операції над ними.

Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності ( випробування, експерименти, спостереження, вимірювання ), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування.

Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна , "значення" якої утворюють множину елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини . [2]. Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини , називається областю значень цієї величини .

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх імовірностями. Його задають таблично, графічно чи аналітично (у виді формул).

1. Дискретні і неперервні випадкові величини

В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події і ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад, час безвідмовної роботи деякого приладу, число появ герба при трьох підкиданнях монети і т.п.

Назвемо випадковою величину, пов'язану з даним дослідом, яка при кожному здійсненні досліду може приймати те чи інше числове значення, залежно від випадку. Між випадковими подіями і випадковими величинами існує тісний зв'язок. Випадкова подія є якісною характеристикою випадкового результату досліду, а випадкова величина - його кількісною характеристикою. Випадкові величини за своїм характером поділяються на дискретні і неперервні.

Дискретна випадкова величина - це така величина, яка може приймати лишень розрізнені (дискретні, перервні) значення. Іншими словами, вона має таку властивість, що кожне з її можливих значень має окіл, який вже не містить жодного з інших значень цієї ж величини. Всі можливі значення дискретної випадкової величини можуть бути перенумеровані

Випадкова величина називається неперервною, якщо сукупність її можливих значень цілком заповнює деякий проміжок числової осі, який може бути скінченним або нескінченним. Наприклад, випадкова величина - час безвідмовної роботи приладу, - неперервна, оскільки її можливе значення .

2. Закон розподілу випадкової величини

Важливою характеристикою випадкової величини є розподіл ймовірностей цієї величини. Справа в тому, що випадкова величина може приймати ті чи інші числові значення, взагалі кажучи, із різними ймовірностями.

Приклад 1. При трьох підкиданнях монети випадкова величина - число появ герба - може приймати значення із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі

Співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими приймаються ці значення, називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий таблично або графічно. В першому випадку закон розподілу називається рядом розподілу ймовірностей випадкової величини .

Таблиця

. . .

Р

. . .

В першому рядку таблиці записують всі можливі значення випадкової величини, а в другому - відповідні їм ймовірності.

Оскільки події становлять повну групу несумісних подій, то за теоремою додавання ймовірностей маємо

,(1)

тобто сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці.

Графічне зображення закону розподілу називається многокутником розподілу: по осі абсцис відкладаємо можливі значення випадкової величини , а по осі ординат - ймовірності цих значень.

Для розглянутого вище прикладу 1 ряд і многокутник розподілу мають вигляд відповідно

Таблиця

0

1

2

3

Р

Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично (з допомогою формули). Табличне задання неможливе, оскільки ймовірність отримати будь-яке певне значення неперервної величини дорівнює нулеві, що пов'язане не з неможливістю самої події (попадання в певну точку на числовій осі), а з безмежно великим числом можливих випадків.

Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі. Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначають як ймовірність події і означають

,(2)

(ліву межу інтервалу включають, а праву не включають).

3. Функція розподілу

Для кількісної оцінки закону розподілу випадкової величини (дискретної або неперервної) задають функцію розподілу ймовірностей випадкової величини, яку визначають як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше деякого фіксованого числа і позначають

(3)

або.

Функцію розподілу інколи називають інтегральною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини.

Знаючи функцію розподілу , можна обчислити ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал :

.(4)

Дійсно, випадкова подія є об'єднанням двох несумісних подій і .

Отже, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

,звідки ,

або, враховуючи позначення (3) .

Встановимо деякі властивості функції розподілу.

1. є неспадною функцією, тобто , якщо .

2. Значення функції розподілу належать відрізку , тобто .

Інакше:

3. Функція розподілу неперервна зліва:

.

Для прикладу 1 побудуємо функцію розподілу випадкової величини Х , заданої рядом розподілу

Таблиця

Х

0

1

2

3

Р

Приклад 2. Нехай функція розподілу деякої неперервної випадкової величини Х задана у вигляді

.

Визначити значення коефіцієнта і побудувати графік функції.

Оскільки функція неперервна зліва, то при маємо , звідки .

4. Щільність розподілу

Закон розподілу ймовірностей неперервних випадкових величин може бути заданий також і щільністю розподілу.

Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу , неперервною і диференційовною. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в деякий інтервал знайдемо на підставі співвідношення (4):

тобто як приріст функції розподілу на цьому інтервалі.

Відношення виражає середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини інтервалу.

Перейшовши до границі при , отримаємо

.

Функція (5)

називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини Х , а її графік - кривою розподілу. Іноді вживають термін - диференціальна функція розподілу .

З означення (5) випливає, що . (6)

Використавши формули (4) і (6), виразимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал через щільність розподілу

.(7)

Дійсно, .

Встановимо деякі властивості щільності розподілу:

1. є невід'ємною функцією, тобто .

Дійсно, оскільки неспадна функція, то .

2. .

Це випливає із формули (6) і властивості 2 для функції розподілу .

Геометричне тлумачення щільності розподілу випливає із формули (7): ймовірність попадання випадкової величини Х обчислюється як площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком кривої , знизу - відрізком осі абсцис, зліва і справа - відрізками прямих , .

Властивість 2 геометрично означає, що вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.

5. Приклади основних законів розподілу

а) дискретних випадкових величин:

1. біномний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за біномним законом, якщо вона приймає значення із ймовірностями

.

Функція розподілу . Очевидно, що =0 при і =1 при .

2. розподіл Пуассона: випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром (пр), якщо вона приймає значення із ймовірностями , причому дуже мале, а дуже велике число.

Функція розподілу.

3. геометричний розподіл:

Нехай проводиться серія незалежних дослідів, в кожному з яких подія А може з'явитися з

деякою ймовірністю р. Досліди продовжуються до першої появи події А, після чого дослід припиняється.

Нехай випадкова величина Х - кількість проведених дослідів до першої появи події А.

Можливі значення величини Х: . Подія означає, що в перших дослідах подія А не наступила, а в -му досліді наступила. Ймовірність дорівнює

.

Отже закон розподілу величини Х є таким

Таблиця

Х

1

2

3

n

Р

p

qp

Цей розподіл називається геометричним .

Очевидно, що ,

як сума нескінченно спадної геометричної прогресії.

Функція розподілу. =0 при

б) неперервних випадкових величин.

4. рівномірний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою рівномірно на інтервалі , якщо її щільність розподілу стала на цьому інтервалі

Використовуючи властивість щільності розподілу, знайдемо :

.

Легко бачити, що для .

для , для

5. показниковий розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за показниковим (експоненційним) законом з параметром , якщо її щільність розподілу

Використовуючи формулу (6) , отримаємо вираз для функції розподілу

.

6. нормальний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами і , якщо її щільність розподілу

, .

Функція розподілу має вигляд .

Якщо зробити заміну

то ,

де - функція Лапласа.

;

якщо то, але

.

Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з інтервалу , обчислюється за формулою

= .

Висновок

В цьому рефераті ми розглянули закони ймовірності дискретних випадкових величин, розглянули також приклад розв'язування таких задач з законами, а також графічне та аналітичне відображення.

Список використаних джерел

1.http://uk.wikipedia.org

2.http://manualsem.com

3.http://ebooktime.net

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.

    реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011

  • Визначення кількості сполучень при дослідженні ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини. Функція розподілу, знаходження середнього квадратичного відхилення. Визначення щільності розподілу ймовірностей. Закон неперервної випадкової величини.

    контрольная работа [71,3 K], добавлен 13.03.2015

  • Імовірність несплати податку для кожного підприємця. Випадкова величина в інтервалі. Ряд розподілу добового попиту на певний продукт. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Біноміальний закон розподілу, математичне сподівання величини.

    контрольная работа [152,5 K], добавлен 16.07.2010

  • Закон розподілення дискретної випадкової величини, подання в аналітичній формі за допомогою функції розподілення ймовірності. Числові характеристики дискретних випадкових величин. Значення критерію збіжності Пірсона. Аналіз оцінок математичного чекання.

    курсовая работа [105,2 K], добавлен 09.07.2009

  • Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.

    реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010

  • Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.

    контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009

  • Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.

    реферат [113,9 K], добавлен 12.03.2011

  • Визначення ймовірності виходу приладу з ладу. Розв’язок задачі з використанням інтегральної формули Бернуллі та формулу Пуассона. Визначення математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, дисперсії, функції розподілу випадкової величини.

    контрольная работа [84,2 K], добавлен 23.09.2014

  • Класична ймовірність події як відношення кількості сприятливих до загальної кількості можливих подій. Інтегральна теорема Мавра-Лапласа. Підпорядкування випадкової величини біноміальному закону розподілу з певними параметрами. Ряд розподілу цієї величини.

    задача [22,2 K], добавлен 14.06.2009

  • Знаходження імовірності за локальною теоремою Муавра-Лапласа. Формула Муавра-Лапласа, інтегральна теорема Лапласа. Дискретна випадкова величина, знаходження функції розподілу. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини; закон розподілу.

    контрольная работа [209,3 K], добавлен 10.04.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.