В настоящее время существует много учебной литературы, как для общеобразовательных классов, так и для профильных классов. Но не каждый учебник является понятным для учащихся. Некоторым детям бывает трудно учиться по этим учебникам и не всегда пройденный материал усваивается полностью. Поэтому я провела анализ содержания школьных учебников по теме "Системы линейных уравнений". Все учебники мною проанализированные соответствуют обязательному минимуму содержания общего образования 1998 года и доработанные по федеральному компоненту государственного стандарта общего образования.

Изучение систем линейных уравнений начинается в 7 классе и систематизируется и углубляется в конце 11 класса.

Рассмотрим для начала учебник 7 класса, составленный Макарычевым Ю.Н., Миндюк Н.Г. и другими [2]. В нем рассматриваются только системы линейных уравнений с двумя переменными. Определения системы линейных уравнений в этом учебнике не дается, дается только определения решения системы линейных уравнений и равносильных систем. Рассматриваются следующие способы решения систем: графический, способ подстановки, способ сложения. После каждого способа система дидактических упражнений. Сразу же возникает вопрос: что это за способ сложения? Вот что написано в учебнике: "рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную". Затем рассматриваются примеры, после которых записан алгоритм нахождения решения способом сложения:

1) Умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

3) Решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) Находят соответствующее значение второй переменой.

У ребят однозначно возникнут вопросы: а зачем мы умножаем, зачем подбираем множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными, зачем складываем, и еще куча других вопросов. Из этого учебника не видно, что делать, если переменных не две, а больше?

Следующий учебник, который я рассмотрела, это учебник 7 класса автора А.Г. Мордковича [3]. В нем есть, хотя и не точное, определение системы линейных уравнений, которое вводится исходя из практики. Определение из учебника звучит следующим образом: "если даны два уравнения с двумя переменными x и y : и и поставлена задача - найти такие пары значений , которые одновременно удовлетворяют и тому, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений. Уравнения записываются друг под другом и объединяются специальным символом - фигурной скобкой. Определение уравнения с двумя переменными дано было ранее - так называют равенство , где ,, - конкретные числа, причем , , а ,- переменные (неизвестные). Решением линейного уравнения с двумя неизвестными называют всякую пару чисел , которая удовлетворяет уравнению, т.е. обращает равенство с переменными в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут значение переменной , на втором - значение переменной . Определение из учебника очень близко к истинному определению системы линейных уравнений, которое было нами дано в главе 1, пункт 1.1. Напомним его

Системой из m-линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется система вида

(1)

………………………...

Где , , ,

Здесь также рассматриваются системы только с двумя переменными. Определение решения системы линейных уравнений вводится следующим образом: пару значений , которая одновременно является решением и первого и второго, называют решением системы. Решить систему - это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Далее рассматриваются методы решения систем линейных уравнений. Они фактически совпадают с методами из предыдущего учебника. Первый рассмотренный метод - графический. Он рассматривается на конкретных примерах. Указаны недостатки этого метода: "к сожалению, графический метод, как и метод угадывания, не самый надежный. Во-первых, прямые могут просто не уместиться на чертеже. Во-вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить."

Но с помощью графического метода в этом учебнике вводятся определения несовместной и неопределенной систем.

" прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, - это значит, что система имеет единственное решение;

Эти прямые могут быть параллельными - это значит, что система не имеет решений (говорят также, что система несовместна);

Эти прямые могут совпасть - это значит, что система имеет бесконечно много решений (говорят также, что система неопределенна)."

Можно назвать это большим "плюсом" учебника, так как это уже идет исследование систем линейных уравнений.

Следующий рассмотренный метод - метод подстановки. Здесь введен алгоритм решения систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

1. Выразить у через х из первого уравнения системы.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.

3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х, полученное на первом шаге.

5. Записать ответ в виде пары значений , которые были найдены соответственно на третьем и четвертом шагах.

Дети получили этот алгоритм и начали с ним работать. Они будут четко следовать его пунктам. Хотя здесь возможны различные пути решения: можно, например, выразить х через у, можно выражать не из первого уравнения, а из второго. И опять возникает вопрос: а что делать, если уравнений в системе будет больше чем два и переменных будет тоже больше? Этот вопрос для ребят останется открытым.

Далее идет метод алгебраического сложения. Вот как вводится этот метод:

" рассмотрим систему, которую мы решили в предыдущем параграфе

Как мы решали эту систему? Мы выразили из первого уравнения и подставили результат во второе, что привело к уравнению с одной переменной , т.е. к фактически к временному исключению из рассмотрения переменной . Но исключить из рассмотрения можно было бы гораздо проще - достаточно сложить оба уравнения системы (сложить уравнения -это значит по отдельности составит сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять):

,

.

;

.

Затем можно было найденное значение подставить в любое уравнение системы, например в первое, и найти :

;

;

.

Дальше в учебнике применяются аналогичные рассуждения еще для нескольких систем, и в конце этого параграфа говорится, что рассмотренный метод называют методом алгебраического сложения. На этом заканчивается изучение систем линейных уравнений и способов их решения."

Проанализируем последний рассмотренный нами в этом учебнике метод - метод алгебраического сложения. Уже само название метода некорректно. По своей сути этот метод решения называется методом последовательного исключения переменных, а алгебраическое сложение - это всего лишь средство этого метода, как применяется этот метод на практике было рассмотрено в первой главе данной работы в параграфе математические основы. В этом учебнике при решении "теряется" знак системы, а значит и сама система. Получается, что начинали решать систему из двух уравнений, затем сложили оба уравнения и получили в итоге одно уравнение с одной переменной?! В учебнике в этом разделе нет ни не единого слова о равносильности! Этого не должно быть! Дети должны понимать, что они делают на самом деле с системой линейных уравнений, почему мы имеем право складывать два уравнения, и что в итоге должно получиться. И ни в коем случае мы не должны терять знак системы, обязательно должно быть определение равносильности систем уравнений. Определение равносильности было дано нами в первой главе данной работы, в параграфе 1.1 Математические основы.

Далее идут различного типа упражнения, и на этом изучение систем линейных уравнений заканчивается и встречается только в 11 классе, как повторение, усложнения систем линейных уравнений не наблюдается. Т.е. увеличение числа неизвестных, числа самих уравнений, систем, которые имеют неединственное решение или вовсе не имеют решения, нет. В учебнике Мордковича А.Г. для 11 классов системы линейных уравнений не встречаются.

Как уже говорилось выше, изучение систем линейных уравнений в школьной программе происходит дважды: в 7 классе и в 11 классе. Проанализируем теперь учебники 11 класса рекомендованные министерством образования.

Рассмотрим учебник для 11 класса автора Виленкин Н.Я.. В этом учебнике конкретно не рассматриваются системы линейных уравнений, здесь рассматриваются в общем виде системы и совокупности уравнений. Дано определение системы уравнений:

"Пусть заданы два уравнения и . Первое из этих уравнений задает на плоскости линию , а второе - линию . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел , такие, что при замене в данных уравнениях на и на получаются верные равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что задана система уравнений. Совокупность всех пар чисел таких, что при подстановке вместо и вместо получаются верные числовые равенства, образует решение данной системы.

Аналогично определяются системы уравнений с тремя и большим числом переменных. Как правило, число уравнений системы должно равняться числу переменных. Системы уравнений, не имеющие решений (или, что то же самое, с пустым множеством решений), называют несовместными. Как правило, несовместными оказываются системы уравнений, в которых число уравнений больше числа переменных"

Последнее утверждение из этого учебника не верное - несовместность системы уравнений не зависит от числа уравнений или переменных. В первой главе показано, что система несовместна, когда ранг основной матрицы не равен рангу расширенной. Приведем пример, опровергающий данное утверждение. Рассмотрим небольшую систему и найдем ее решение:

Решать будем методом последовательного исключения переменных и методом подстановки. Мы должны исключить переменную , для этого нужно переписать первое уравнение без изменения, ко второму прибавить первое, умноженное на , а к третьему прибавить первое, умноженное на . Получим систему равносильную данной:

Затем первое со вторым оставляем без изменений, а к третьему прибавляем второе, умноженное на (-1). Получили

Теперь из второго уравнения находим значение , подставляем его в первое уравнение и находим значение . Получили упорядоченную пару (2;5), которая и является решением данной системы линейных уравнений. Рассуждения, проведенные при решении данного примера, должны быть и у школьников при решении любой системы уравнений, и не только системы линейных уравнений.

Далее вводится определение равносильных систем, и рассматриваются методы решения систем уравнений в общем виде. Остановимся на методе, который называется метод алгебраического сложения уравнений. В этом учебнике он вводится очень корректно, не взирая на само определение метода. В начале пункта вводится теорема:

"Теорема. Пусть функция определена для всех пар , при которых определены обе функции F и Ф. Тогда система уравнений

(1)

Равносильна системе уравнений

Иными словами, при решении систем уравнений можно прибавлять к одному из уравнений системы другое уравнение той же системы, умноженное на некоторый множитель.

Следствие. Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое уравнение той же системы, умноженное на некоторое число , а другое оставить без изменения, то получим систему, равносильную данной".

Далее идут конкретные примеры, среди которых нет систем линейных уравнений. Этот учебник подходит для углубленного изучения математики, необходимо только добавить строгое определение систем линейных уравнений.

Рассмотрим еще один учебник для 10-11 классов под редакцией А.Н.Колмогорова (год издания 1983). В начале темы "Системы уравнений и неравенств" дается определение системы уравнений и ее решения, далее говорится о равносильности:

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. В ходе решения систему уравнений последовательно заменяют равносильными ей все более простыми системами, пока не получат систему, решения которой находятся без труда. При этом пользуются, в частности, следующими правилами.

1. Правило замены. Заменив в системе одно из уравнений на равносильное, получим систему, равносильную первоначальной.

2. Правило подстановки. Если одно из уравнений системы имеет вид

(- произвольное выражение, не содержащее ), то, заменив во всех остальных уравнениях системы переменную на выражение , получим систему, равносильную первоначальной.

3. Правило сложения. Если в систему входят уравнения

и

(,, и - какие-то выражения относительно переменных), то одно из этих уравнений, например второе, можно заменить уравнением

Получается равносильная система. Это правило выражают словесно так: любое уравнение системы можно заменить на уравнение, которое получается при его сложении с любым другим уравнением этой системы.

В этом учебнике не теряется знак системы, каждый шаг обоснован.

После равносильности и методов решения систем идет определение системы линейных уравнений (Заметим, что в учебнике Виленкина Н.Я. нет ни слова о системе линейных уравнений).

Линейным уравнением с переменными , , , называется уравнение вида

Система, состоящая только из линейных уравнений, называется системой линейных уравнений.

Далее на конкретных примерах рассматривается, как применяются правила, сформулированные выше. Важно заметить, что используются системы больше чем с двумя неизвестными, а также системы, имеющие неединственное решение, вводится понятие треугольной системы.

По моему мнению, учебник под редакцией А.Н.Колмогорова, не смотря на то, что этот учебник более ранний, чем все остальные, наиболее подходящий для изучения систем линейных уравнений.

2.3 Формы организации обучения

Политические, экономические и социальные изменения, которые произошли в нашей стране за последнее десятилетие, вызвали потребность в модернизации образования, в его содержательном и структурном обновлении.

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение. Ставится задача создания "системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <…> отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования".

В "Концепции модернизации Российского образования на период до 2010 года" среди необходимых условий достижения нового, современного качества общего образования названы личностная ориентированность, дифференциация и индивидуализация образования при обеспечении государственных образовательных стандартов - на основе многообразия образовательных учреждений и вариативности образовательных программ. А также введение профильного обучения в старшей школе, отработка гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования.

Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы - обязательны для старшеклассников.

В соответствии с одобренной Минобразованием России "Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования" дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения.

Учебный план профильного обучения включает четыре предметных блока.

Блок 1-й - базовые общеобразовательные предметы, обязательные для всех учащихся и инвариантные практически для всех профилей обучения: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания (для естественнонаучного профиля) или естествознания (для гуманитарных профилей).

Блок 2-й - профильные общеобразовательные предметы, определяющие общую направленность соответствующего профиля и обязательные для учащихся, выбравших данный профиль.

Содержание учебных предметов первых двух блоков определяется Государственным образовательным стандартом общего образования (ГОС). Соответствие подготовки выпускников требованиям ГОС определяется по результатам единого государственного экзамена (ЕГЭ).

Блок 3-й - элективные курсы, обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счет школьного компонента учебного плана. Каждый учащийся в течение двух лет обучения должен выбрать и изучить 5-6 элективных курсов.

Соотношение объема учебного времени по всем трем блокам составляет примерно 50%: 30%: 20%.

Блок 4-й - учебные практики, проекты, исследовательская деятельность

Цель изучения элективных курсов - ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности. Исходя из этого, тематика и содержание элективных курсов должны отвечать следующим требованиям:

° иметь социальную и личностную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся;

° способность социализации и адаптации учащихся, предоставлять возможность для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного профессионального самоопределения;

° поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной специализации обучения;

° обладать значительным развивающим потенциалом, способность формированию целостной картины мира, развитию общеучебные, интеллектуальных и профессиональных навыков, ключевых компетенций учащихся.

В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные курсы могут выполнять различные функции:

· изучение ключевых проблем современности;

· ориентация в особенностях будущей профессиональной деятельности, "профессиональная проба";

· ориентация на совершенствование навыков познавательной, организационной деятельности;

· дополнение и углубление базового предметного образования; компенсация недостатков обучения по профильным предметам.

Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно.

Оценивая возможность и педагогическую целесообразность введения тех или иных элективных курсов следует помнить и о таких важных их задачах, как формирование при их изучении умений и способов деятельности для решения практически важных задач, продолжение профориентационной работы, осознание возможностей и способов реализации выбранного жизненного пути и т.д. Элективные курсы реализуются в школе за счет времени, отводимого на компонент образовательного учреждения.

Вводя в школьное образование элективные курсы, необходимо учитывать, что речь идет не только об их программах и учебных пособиях, но и обо всей методической системе обучения этим курсам в целом. Ведь профильное обучение - это не только дифференцирование содержания образования, но, как правило, и по-другому построенный учебный процесс.

Именно поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены часы в 10-11 классах на организацию учебных практик, проектов, исследовательской деятельности. Эти формы обучения, наряду с развитием самостоятельной учебной деятельности обучающихся, применением новых методов обучения (например, дистанционного обучения, учебных деловых игр и т.д.), станут важным фактором успешного проведения занятий по элективным курсам.

Итак, элективные курсы в профильном обучении направлены как на внутрипрофильную дифференциацию, так и на компенсацию профильной однонаправленности; способствующие углублению индивидуализации профильного обучения, расширению мировоззренческих представлений учащихся.

Курсы по выбору являются обязательной частью содержания профильного обучения. Учащимся предлагается не менее трех курсов по выбору на одно учебное полугодие. Чем больше, тем лучше. Количество учебных часов, отводимых по учебному плану на каждый из этих курсов, колеблется от 15-16 до 48.

Элективные курсы могут быть весьма разнообразными и выбираются, исходя из конкретных условий (подготовка учителя, материально-техническая база, запросы учащихся и рынка труда).

На мой взгляд, элективные курсы незаменимы для достижения основных целей образования на старшей ступени школы.

2.4 Программа по элективному курсу