Размещено на http://allbest.ru

ВСТУП

В даний час приділяється велика увага шкільній освіті як першого ступеня освітнього процесу. Одна з найважливіших його завдань - забезпечити учням глибокі та міцні знання, а також уміння раціонально застосовувати їх у навчальній і практичній діяльності.

Відсотки - це одна з найскладніших тем математики, і дуже багато учні не можуть або взагалі не вміють вирішувати задачі на відсотки. А розуміння відсотків і вміння здійснювати відсоткові розрахунки необхідні для кожної людини.

Велике практичне значення має вміння розв'язувати задачі на відсотки, тому що поняття відсотка широко використовується як в реальному житті, так і в різних галузях науки.

Прикладне значення цієї теми дуже велике і зачіпає фінансову, економічну та інші сфери нашого життя. Вивчення відсотка продиктовано самим життям. Уміння виконувати процентні обчислення і розрахунки необхідно кожній людині, тому що з відсотками ми стикаємося в повсякденному житті. Проаналізувавши програму середньої школи з математики, ми прийшли до висновку, що за існуючими програмами рішення задач на відсотки передбачено в основному в V - VI класах, а в наступних класах даної теми віддана незначна частина навчального часу.

У шкільному курсі ця тема вивчається в V - VI класі, але в силу вікових особливостей школярів не може бути повністю освоєна. Далі цього питання не приділяється значної уваги. Задачі на відсотки стають прерогативою хімії, яка впроваджує свій погляд на відсотки, а в математиці їх місце тільки в межах завдань на повторення і завдань підвищеної складності. Таким чином, учнями забуваються проблеми універсальності відсотків і різноманітності сфер їх застосування. У зв'язку з цим є актуальним питання про те, щоб задачі на відсотки зайняли гідне місце в VII - IX класах. У цей період школярі вивчають різні види рівнянь і їх систем, закріплення яких ведеться на текстових завданнях, а присутність відсотків у змісті текстових завдань дає можливість зв'язати абстрактні математичні поняття з реальним життям.

Працюючи над даною темою дійшли таких висновків : знання відсотків та їх обчислення , є необхідністю для кожної сучасної людини не тільки в професійній діяльності, але і в повсякденному житті .

Німецький фізик 18-го століття Ліхтенберг сказав: «Те, що ви були змушені відкрити самі, залишає у вашому розумі доріжку, якою ви зможете знову скористатися, коли в тому виникне необхідність». Тому ми вирішили зробити добірку завдань з програми 9 - 11 класів на відсотки, де застосовується формула складних відсотків.

Об'єктом дослідження є задачі на відсоткові розрахунки.

Предметом дослідження є методи розв'язку таких задач.

Мета роботи: розширення знань про застосування відсоткових розрахунків в задачах.

Завдання дослідження:

1. Познайомитися з визначенням та історією виникнення відсотків;

2. Розглянути розв'язок задач на відсотки за допомогою пропорцій;

3. Зробити добірку текстових завдань, які розв'язуються за допомогою пропорцій та формулою складних відсотків;

4. Показати методи розв'язку задач з відсотками на суміші та сплави;

5. Зробити вибірку задач на відсотки ,які використовуються на ЗНО.

Методи дослідження, які використовувались у дослідженні:

1. Емпіричні(вивчення літератури)

2. Теоретичні(аналіз, обґрунтування).

Робота складається з вступу, основної частини, висновку та списку літератури.

ІІ. ОСНОВНА ЧАСТИНА

відсоток пропорція задача

Означення «відсотків»

Слово «відсоток» походить від латинського слова «pro centum», що буквально означає «за сотню» або «зі ста». Відсотками дуже зручно користуватися на практиці, оскільки вони висловлюють частини цілих чисел в одних і тих же сотих частках. Це дає можливість спрощувати розрахунки і легко порівнювати частини між собою і з цілими.

Слово «відсоток» замінюють знаком %, тобто

.

Наприклад: 1 копійка - один відсоток від гривні, 1 см - один відсоток від метра, тобто

1 коп.=1% грн., 1 см=1% м.

Щоб перетворити десятковий дріб на відсотки, треб його помножити на 100.

Наприклад: 0,35=35%; 0,3=30%; 1,5=150%.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100.

Наприклад: 30%=0,3; 53%=0,53; 1,58%=0,0158.

Історична довідка

Ідея вираження частин цілого постійно в одних і тих же частках, викликана практичними міркуваннями, народилася ще в давнині у вавилонян, які користувалися шестидесятковими дробямі. Вже в клинописних табличках вавилонян містяться завдання на розрахунки відсотків. До нас дійшли складені вавилонянами таблиці відсотків, які дозволяли швидко визначати суму процентних грошей.

Були відомі відсотки і в Індії. Індійські математики обчислювали відсотки, застосовуючи так зване трійне правило, тобто, користуючись пропорцією. Вони вміли виробляти і складніші обчислення із застосуванням відсотків.

Грошові розрахунки з відсотками були особливо поширеними у Стародавньому Римі. Римляни називали відсотками гроші, які платив боржник позикодавцеві за кожну сотню. Навіть римський сенат змушений був встановити максимально допустимий відсоток, що стягується з боржника, так як деякі позикодавці були зацікавленні в отриманні відсоткових грошей. Від римлян відсотки перейшли до інших народів.

В середні віки в Європі, у зв'язку з широким розвитком торгівлі, особливо багато уваги звертали на вміння обчислювати відсотки . У той час доводилося розраховувати не тільки відсотки, але й відсотки з відсотків, тобто складні відсотки, як називають їх у наш час. Окремі контори і підприємства для полегшення праці при обчисленнях відсотків розробляли свої особливі таблиці, які становили комерційний секрет фірми.

Вперше опублікував таблиці для розрахунку відсотків в 1584 р Сімон Стевін - інженер з міста Брюгге (Нідерланди). Стевін відомий різноманітністю наукових відкриттів, у тому числі - особливим засобом запису десяткових дробів.

Довгий час під відсотками розумілося виключно прибуток чи збиток на кожні 100 рублів. Вони застосовувалися тільки в торгових і грошових угодах. Потім область їх застосування розширилася, відсотки зустрічаються в господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці і техніці. Нині відсоток - це приватний вид десяткових дробів, сота частка цілого (прийнятого за одиницю).

Знак «%» походить, як вважають, від італійського слова «cento» (сто), яке в відсоткових розрахунках часто писалося скорочено «cto». Звідси шляхом подальшого спрощення в скоропису букви t в похилу межу стався сучасний символ для про значення відсотка.

Існує й інша версія виникнення цього знака. Вважається, що цей знак з'явився в результаті безглуздої опечатки, здійсненої складачем тексту. У 1685 році в Парижі була опублікована книга - «Керівництво по комерційній арифметиці», де помилково складач замість cto надрукував %.

pro cento > cento > cto > c / o >%

У деяких питаннях іноді застосовують і більш дрібні, тисячні частки, так звані «промілє» (від латинського pro mille - «з тисячі»), що позначаються, за аналогією знаком %.

Винахід математичних знаків і символів значно полегшило вивчення математики і сприяло подальшому її розвитку.

Зараз відсотки вживаються для порівняння однорідних позитивних кількостей. Один відсоток - це за визначенням одна сота: 1% = . Відповідно, p% = . Один відсоток від кількості А - це, за визначенням, одна сота частина кількості А: 1% від А дорівнює А. Відповідно, p% від А дорівнює А.

Розв'язування задач на відсотки за допомогою пропорцій

Пропорцією називається рівність двох відношень, тобто ; а і п називають крайніми членами пропорції, b і т - середніми членами пропорції.

Властивості пропорції

1) Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів, тобто якщо , то a*n=b*m.

2) Із пропорції a/b=m/n випливають такі пропорції a/m=b/n, n/b=m/a, n/m=b/a , тобто в пропорції можна змінювати місцями крайні і середні члени або ті й інші одночасно.

3) Щоб знайти невідомий крайній (середній) член пропорції, треба добуток середніх (крайніх) членів поділити на відомий крайній (середній) член пропорції:

.

Певна кількість алгебраїчних задач розв'язується за допомогою пропорцій. Наведемо декілька прикладів таких задач.

Задача 1. Хлопці у класі складають 75% від усієї кількості учнів. Дівчат у класі 8. Скільки всього учнів у класі?

Розв'язання

Якщо дівчат у класі 8 і це складає 25% всієї кількості, то нехай хлопців - х, що становить 75%. Складемо і розв'яжемо пропорцію:

.

Отже, у класі 24 хлопці, тоді усіх учнів 24+8=32.

Задача 2. З арбалету зроблено 50 пострілів. 5 стріл пролетіло повз мішені. Визначте відсоток попадання.

Розв'язання

Зверніть увагу, що нам потрібно визначити відсоток влучень, а не відсоток пролетіли повз стріл.

Тому спочатку порахуємо, скільки стріл влучило в ціль. Зробити це не складе труднощів.

50 - 5 = 45 (стріл) - потрапило в ціль.

Якщо 50 стріл це 100%, то нехай 45 стріл це - х%. Тому складаємо пропорцію:

Задача 3. Кросівки коштували 3200 гривень. Після підвищення ціни вони стали коштувати 4000 гривень. На скільки відсотків була підвищена ціна на кросівки?

Розв'язання

Отже, вирішуємо через пропорцію. Перший крок - вихідна ціна дорівнювала 3200 гривень. Отже, 3200 гривень - це 100% ,окрім того, нам дана кінцева ціна - 4000 гривень. Це невідома кількість відсотків, тому позначимо його за x. Отримаємо наступну пропорцію:

Але чи є число 125 вирішенням завдання? Ні, ні в якому разі! Тому що в завданні потрібно дізнатися, на скільки відсотків була підвищена ціна на кросівки. На скільки відсотків - це означає, що нам потрібно знайти змінення:

Саме настільки була підвищена вихідна ціна. Це і є відповіддю: 25.

Задача 4. У книзі 130 сторінок. Саша прочитав 104 сторінки. Скільки відсотків книги прочитав Саша?

Розв'язання

Нехай х% книги складають прочитані сторінки. Складемо і вирішимо пропорцію:

Отже, Саша прочитав 80% книги.

Задача 5. Знайти число, 5% якого дорівнюють 20.

Розв'язання

Отже, це число 400.

Задача 6. За даними нашого РАГСу в 2010 році було зареєстровано 483 шлюбу, а за січень місяць 2011 г. - 18 шлюбів. Скільки відсотків становлять зареєстровані шлюби в січні 2011 р від усього числа шлюбів в 2010 р?

Розв'язання

Отже, 3,8% становлять зареєстровані шлюби в січні 2011р від усього числа шлюбів в 2010 р..

Формула складних відсотків

Формула складного відсотка - це формула, за якою розраховується підсумкова сума з урахуванням нарахування відсотків.

Складні відсотки - ефект часто зустрічається в економіці та фінансах, коли відсотки прибутку наприкінці кожного періоду додаються до основної суми і отримана величина надалі стає вихідною для нарахування нових відсотків.

Формула обчислення складних відсотків

B = A (1 + ) ⁿ

де B - майбутня вартість;

A - поточна вартість;

P - процентна ставка за розрахунковий період (день, місяць, рік, ...);

n - кількість розрахункових періодів.

Вивід формули обчислення складних відсотків

Для обчислення значення за один період скористаємося формулою для обчислення числа, яке на заданий відсоток більше від вихідного числа

B₁ = A (1 + ) ⁿ

- Для другого періоду: B₂ = В₁ (1 + ) n= A (1 + )²

- для n-ного періоду: В_n= В_n-1 (1 + )= A (1 + )ⁿ

Задача 7. Знайти прибуток від 30000 гривен покладених на депозит на 3 роки під 10% річних, якщо в кінці кожного року відсотки додавалися до депозитного вкладу.

Розв'язання

Використовуємо формулу для обчислення складних відсотків:

B = 30000 (1 + ) ³ = 30000* 1.1³ = 39930

прибуток дорівнює

39930 - 30000 = 9930

Відповідь: прибуток 9930 гривен.

Задача 8. Знаючи, що річна процентна ставка депозиту дорівнює 12%, знайти еквівалентну їй місячну процентну ставку.

Розв'язання.

Якщо покласти в банк А гривень, то через рік отримаємо:

B = A(1 + )

Якщо відсотки нараховувалися кожен місяць з процентною ставкою х, то за формулою складних відсотків через рік (12 місяців)

B = A(1 + )¹²

Прирівнявши ці величини одержимо рівняння, рішення якого дозволить визначити місячну процентну ставку

A(1 + )= A(1 + )¹² ;

1,12= A(1 + )¹²;

Х =-1)*100%.

Відповідь: місячна процентна ставка дорівнює 0.9488792934583046%.

Задачі на складні відсотки розв'язуються в досить швидкий спосіб при знанні декількох простих формул. Частина з них стосується нарахувань по внеску чи кредиту, коли ті здійснюються за певні часові проміжки. Також складні відсотки використовують в задачах хімії, медицини та ряді інших.

У випадку розміщення вкладів з капіталізацією відсотків на роки кінцева сума депозиту визначається формулою:

P₁=P*(1+ⁿ

Тут P - початковий внесок, r - відсоткова ставка, n - кількість років. За складними відсотками працюють банки, інвестиційні фонди, страхові фірми. Поширені за кордоном, а зараз і в Україні - пенсійні фонди та фонди страхування життя працюють за схемою складних відсотків.

При розміщенні вкладів з капіталізацією відсотків поквартально формула складних відсотків матиме вигляд

P₁=P*(1+^q

де q - кількість повних кварталів.

При капіталізації відсотків щомісячно застосовують наступну формулу для обчислень:

P₁=P*(1+^s

де s - кількість місяців існування угоди.

Останній випадок, неперервне нарахування відсотків, коли складні відсотки нараховують щоденно, розраховують за формулою

P₁=P*(1+^m

Задача 9. У банк на депозит на 3 роки поклали 30000 рублів під 10% річних. а) Знайдіть наскільки прибутковіше був би варіант, коли річний дохід додавати до рахунку, на який в будуть нараховуватися відсотки, ніж варіант, коли відсотки щороку забираються клієнтом? б) Яка буде різниця через 10 років?

Розв'язання.

а) Для першого випадку використовуємо формулу для обчислення складних відсотків:

30000*(1+)³=30000*1,1³=39930;

прибуток у цьому випадку дорівнює: 39930-30000=9930

У другому випадку річний дохід дорівнюватиме:

30000*=3000;

відповідно прибуток за три роки буде дорівнює:

3000*3=9000%

Перший метод буде вигідніше другого на:

9930-9000=930 рублей.

б) Для першого випадку використовуємо формулу для обчислення складних відсотків:

30000*(1+)¹⁰=30000*1,1¹⁰77812,27;

прибуток у цьому випадку дорівнює: 77812,27-30000=47812,27;

У другому випадку річний дохід дорівнюватиме:

30000*=3000;

відповідно прибуток за десять років буде дорівнювати:

3000*10=30000.

Перший метод буде вигідніше другого на

47812,27-30000=17812,27.

Відповідь: а) 900 рублів б)17812,27

Розв'язування задач з відсотками на суміші та сплави

У хімії, фізики, математики та інших дисциплінах часто зустрічаються завдання на суміші, в яких необхідно проводити розрахунки деяких параметрів при змішуванні речовин з різним процентним вмістом базових компонентів.

Фактично питання розв'язування задач на відсотки, яке винесено на державну підсумкову атестацію в 9 класі, ретельно опрацьовується лише в 5--6 класах (й епізодично зустрічається в задачах на уроках алгебри та геометрії у 7--9 класах). Тому дуже важливо зараз сформувати сталі, тверді навички розв'язування задач на відсотки, а також, якщо клас готовий до цього, похідних від них задач: задачі на суміші, сплави, відсотковий вміст (що передбачають і складання рівнянь у вигляді пропорцій).

Задача 10. Скільки грамів води треба додати до 50г розчину, що містить 8% солі, щоб отримати 5% розчин?

Розв'язання.

Вирішимо цю задачу рівнянням.

Нехай: х - кількість води, яке треба додати

(50 + х) - нова кількість розчину

50 * 0,08 - кількість солі у вихідному розчині

0,05 (50 + х) кількість солі в новому розчині

Так як кількість солі від додавання не змінилося, то воно однаково в обох розчинах - і у вихідному, і в новому.

Отримуємо рівняння:

50 * 0,08 = 0,05 (50 + х)

50 * 8 = 5 * (50 + х)

400 = 250 +5 х

-5 Х = -150

х = 30 (р.)

ВІДПОВІДЬ: 30 грамів води треба додати, щоб отримати 5% розчин.

Задача 11. Латунь - сплав 60% міді та 40% цинку. Скільки міді та цинку потрібно сплавити, щоб отримати 500т латуні?

Розв'язання.

Сплав 500т - 100%

Мідь Х т - 60%

1) (т) міді

2) 500-300 = 200 (т) цинку

Відповідь: Щоб отримати 500т латуні потрібно 300т міді та 200т цинку.

Задача 12. Сплав міді зі сріблом містить 40% міді, причому у сплаві срібла на 200г більше, ніж міді. Знайти масу сплаву.

Розв'язання.

Нехай загальна маса сплаву - х, тоді міді в ньому 4х, і срібла:

х-0,4х = 0,6х

Оскільки срібла на 200г більше ніж міді, то маємо рівняння:

0,6х-0,4х=200

0,2х=200

Х=1000(г)

Відповідь: маса сплаву 1000г або 1кг.

Задачі з відсотками для ЗНО

Задача 13. Знайти 20% від числа 120.

Розв'язання. 20%=0,2, 120·0,2=24.

Відповідь: 24.

Задача 14. Знайти число, 12% якого складає 60.

Розв'язання.60:0,12=6000:12=500.

Відповідь: 500.

Задача 15. Обчисліть відсотковий зміст міді у сплаві масою 20 кг, якщо міді у ньому - 6,4 кг?

Розв'язання:

Задача 16. Товар продавався за ціною 140грн., після збільшення ціна стала дорівнювати 168грн. На скільки відсотків збільшилася ціна?

Розв'язання.

1) х = =120%,

2) 120%-100%= 20%- збільшилася початкова ціна.

Задача 17. Поклавши до банку 30000 грн. під деякий відсоток, через два роки складник отримав 42483 грн. Визначте річний відсоток нарахувань.

Розв'язання

Нехай нараховується за рік х відсотків, тоді через рік на рахунку у вкладника буде 30000(1+0,01х), а через два роки на рахунку вкладника буде: 30000(1+0,01х) (1+0,01х), отже маємо рівняння:

30000(1+0,01х) (1+0,01х)=42383.

маємо: х=19%.

Задача 18. Сплав містить 32 % міді. Яка маса сплаву, якщо міді у ньому 6,4 кг?

Розв'язання

6,4:0,32=640:32=20 (кг)

Відповідь: 20 (кг) - маса усього сплаву

Задача 19. А) Перевести у відсотки: 0,23; 0,04; 1,25.

Б) Перевести у десяткові дроби: 2%,23%,130%, 0,74%

Правильні відповіді: а) 23%, 4%, 125%; б) 0,02; 0,23; 1,3; 0, 0074.

Задача 20. Вкладник поклав до банку 20000 грн. під 14% річних. Який прибуток отримає вкладник через рік?

Розв'язання

20000*0,12 =2800 (грн.).

Відповідь: 2800 грн.

ВИСНОВОК

Дане дослідження проводилося з метою розгляду та систематизації завдань щодо вивчення теми «Відсотки».

Основні завдання, які ставилися перед початком дослідження, були виконані.

Також була вивчена історія виникнення поняття відсоток і систематизовані види завдань на відсотки та похідних від них задач: задачі на суміші, сплави.

У ході проробленої роботи ми дізналися, що складні відсотки - це відсотки, отримані на нараховані відсотки.

Формула складного відсотка - це формула, за якою розраховується підсумкова сума з урахуванням нарахування відсотків.

Детальніше вивчили правила знаходження відсотків. Зробили підбірку і вирішили завдання з ЄДІ - 11 класів і ДПА - 9 класів.

Написали та вирішили завдання задач з відсотками для ЗНО.

Тема «відсотків» є універсальною, в тому сенсі, що вона зв'язує між собою багато точних та природничих наук, побутові та виробничі сфери життя людини. В багатьох професіях використовуються знання відсотків, та часто люди у житті зіштовхуються з відсотками: у школі, на роботі, при оформленні кредитів.

Вміти грамотно та економно проводити елементарні відсоткові розрахунки повинен кожен сучасний учень.

Таким чином, можна зробити висновок, що темі «Відсотки» слід приділяти більше уваги, ніж це зроблено в сучасній школі.

ЛІТЕРАТУРА

1. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір / Решебник(ГДЗ). Алгебра 9 клас» 2009 р.

2. А.П. Симонов. Економіка на уроках математиці.-М .: Школа-Пресс, +2009.

3. Алексєєв В.М. Математика. Довідковий повторювальний курс : навч. посібник / Алексєєв В.М., Ушаков Р.П.; за ред. М.Й. Ядренка. - К. : Вища шк., 1992. - 295 с.

4. Дорофєєв Г.В., Кузнєцова Л.В., Мінаєва С.С., Суворова С.Б. Вивчення відсотків в основній школі // Математика в школі. - 2002. - №1 - с. 19 -24.

5. І.Я. Депман і Н.Я. Виленкин. За сторінками підручника математики.

6. Колягин Ю.М., Макаричев Ю.Н., Мандюк Н.Г. Збірник завдань і вправ з алгебри для 6-8 класів: Посібник для вчителів. - М .: Просвещение, 1976.

7. Литвиненко В. І. Практикум з елементарної математики / В. І. Литвиненко. - М.: Просвещение, 1991. - 352 с.

8. Михалевич В.М. Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple). Ч. 1. Арифметика. Тотожні перетворення : практикум / В. М. Михалевич, А. Ф. Дода. - Вінниця : ВНТУ, 2010.

9. Семенко Е.А. та ін., «Готуємося до ЄДІ з математики», Краснодар, Просвещение-Південь, 2005.

Размещено на Allbest.ru