Розв’язування задач за допомогою графів

Карта будь-якої мережі доріг або вулиць дає нам дещо спеціальний, але наочний приклад графа. На сучасному плані міста мають бути показані не тільки відносне розташування вулиць і їх перетину, але також і те, на яких вулицях є двосторонній потік транспорту, а на яких односторонній рух, причому в останньому випадку: повинно бути вказано і напрям руху. При цьому знову виходить орієнтований або, частіше, змішаний граф, якщо односторонній рух встановлений не на всіх вулицях міста (додаток 8).

Втім, в попередньому випадку можна зробити граф орієнтованим за допомогою прийому, який часто використовується в теорії графів, полягає в заміні кожного неорієнтованого ребра двома орієнтованими ребрами, що сполучають ті ж самі вершини і що мають протилежні напрями.

При розгляді одностороннього руху в місті виникають питання, цікаві і для загальної теорії графів.

Припустимо, що в місті вирішено ввести нові правила руху, згідно з яким рух по кожній вулиці стає одностороннім. Це було б, звичайно, неприйнятно, якби виявилось, що при цьому не завжди можна проїхати з одного місця в інше.

Запитується, за якої умови вулиці міста можна орієнтувати так, щоб з будь-якого пункту можна було проїхати в будь-який інший, не порушуючи правил руху по вулицях.

Відповідне завдання на мові теорії графів формулюється таким чином: за якої умови ребра графа G можна орієнтувати так, щоб для будь-якої пари його вершин знайшлася та, що сполучає їх орієнтований ланцюг?

Ясно, що такий граф має бути зв'язним. Проте цього недостатньо.

Ребро S=(A, В) графа ми називатимемо зв'язуючим ребром, або перешийком, якщо воно є єдиним шляхом від A до B або назад.

Зв'язуюче ребро ділить всі вершини графа на дві множини: ті, в які можна прийти з A, не проходячи по ребру S, і ті, в які можна прийти з B, не проходячи по S. Граф в цьому випадку складається з двох частин G1 і G2i сполучених тільки ребром S (додаток 9).

На карті міста зв'язуюче ребро - єдина магістраль, що сполучає окремі частини міста. Воно може бути єдиним мостом через річку або єдиним залізничним тунелем. ясно, що якби на такій магістралі було встановлено односторонній рух, то з однієї частини міста в іншу не було б проїзду.

Раніше ми називали кінцевим ребpом таке ребро S - (А, В), один з кінців якого, наприклад A, не належить ніякому іншому ребру графа (додаток 10).

Таке ребро теж повинне розглядатися як зв'язуюче, оскільки, окрім S, немає шляху, який сполучає A з B.

Можна вважати, що граф G1 (додаток 9) наче "стягнутий" в одну вершину A. На плані міста кінцеве ребро відповідає глухому куту; на якому теж не можна встановити односторонній рух, не блокуючи цим в'їзд в A або виїзді з A.

Якщо ребро S1= (А1, В1) Не є таким, що зв'язує, то знайдеться і інший шлях, що сполучає, А1 і В1 і що не проходить по S1 (додаток 11).

Тому таке ребро S1, називається циклічним ребром. Отже, на графі є ребра двох типів - циклічні і зв'язуючі.

Тепер ми можемо довести наступну теорему.

ТЕОРЕМА. ЯКЩО G - неорієнтований зв'язний граф, то завжди можна так орієнтувати циклічні ребра з G, залишивши зв'язуючі ребра неорієнтованими, щоб будь-яку пару вершин цього графа можна було з'єднати орієнтованим ланцюгом.

Для плану міста це твердження можна сформулювати таким чином: якщо залишити двосторонній рух тільки на мостах (за умови, що даний міст є єдиним мостом через річку) і на глухих кутах, то на решті всіх вулиць можна встановити односторонній рух так, щоб транспорт забезпечував зв'язок всіх частин міста.

Ми можемо довести цю теорему; вказавши спосіб відповідного орієнтування графа. Почнемо з того, що виберемо в G довільне ребро S= (А,B). Якщо S - зв'язуюче ребро, воно залишиться двостороннім, і тоді можна буде перейти від В до А і назад уподовж S (додаток 12).

Якщо S - циклічне ребро, то воно входить в деякий цикл С і тоді на всіх ребрах циклу С можна встановити циклічну орієнтацію; ясно, що з будь-якої вершини G можна перейти до будь-якої іншої, прямуючи вказаним на ребрах напрямом (додаток 13).

Цей процес можна продовжити. Припустимо, що ми вже орієнтували деяку частину H даного графа так, що з будь-якої вершини графа H можна пройти в будь-яку іншу його вершину з дотриманням правил одностороннього руху. Оскільки граф G є зв'язним, то або N збігається з усім графом G, або знайдеться ребро S = (А, В), що "торкається" Н, тобто таке, що воно не належить H, але одна з його вершин, скажемо A, належить Н.

Якщо S - зв'язуюче ребро АВ, то, як ми вже умовилися, воно залишається двостороннім. Тоді для будь-якої вершини X графа H можна знайти орієнтований ланцюг R, що сполучає X з A, а значить (через ребро S), і з B. Назад, від вершини B через ребро S можна перейти до A, а потім - по орієнтованому ланцюгу Z - від А до X (додаток 14).

Приєднуючи S до H, ми отримаємо вже велику частину графа G, що має необхідну властивість.

Якщо ж ребро S = (А, B) є циклічним, воно належить деякому циклу С. Ми встановимо напрям на С від А до B і далі уподовж С до першої вершини D з С, що належить H (додаток 15)

Всі ці ребра ми приєднаємо до H. Нехай X - довільна вершина з Н, а Y - будь-яка вершина із С: можна знайти орієнтований ланцюг Р, що належить Н і що сполучає Х з A, а потім уподовж С пройти до вершини Y з С. Назад від Y можна пройти уздовж С до вершини D, а від неї - належним Н, орієнтованим ланцюгом Z - від D до X. Тому орієнтований граф, отриманий додаванням до Н вказаних ребер циклу С, також задовольняє необхідні умови: те, що від будь-якої з доданих вершин циклу С можна пройти до будь-якої іншої з цих вершин з дотриманням умов, пов'язаних з орієнтацією ребер, очевидно (додаток 15), продовжуючи цей процес, ми в кінці кінців орієнтуємо необхідним чином початковий граф G.

Встановлення на вулицях міста одностороннього руху дозволяє сильно збільшити швидкість руху транспорту; проте воно ставить справжні головоломки перед водієм, який хоче об'їхати на машині незнайоме йому місто. Якщо на вулицях скрізь або частково встановлений односторонній рух, то завдання стає набагато складнішим, навіть якщо зроблено необхідне припущення про існування, принаймні одного орієнтованого ланцюга, що сполучає будь-яку пару вершин графа.

Загальна проблема така: яким способом можна рухатися по графові уздовж вказаних напрямів, щоб зрештою пройти по всіх його ребрах? Для цього, звичайно, треба мати хорошу пам'ять, а ще краще заздалегідь скласти нарис графа, утвореного мережею вулиць.

Ми відправляємося з деякої точки а0 по одній з вулиць, що виходять з неї. Проходячи перехрестя, ми позначаємо на малюнку, по якій вулиці ми сюди прийшли і на яку нову вулицю переходимо; для подальшого корисно відзначити також і інші вулиці, що виходять на це перехрестя, разом з їх напрямами. Через деякий час ми повернемося до одного з перехресть а1, на якому ми вже побували раніше (додаток 16).

Подивимося на план, складений нами заздалегідь, якщо ми вже обійшли всі вулиці міста, то наше завдання вирішене. B протилежному випадку знайдеться ще не пройдена вулиця (с, d). По припущенню, існує орієнтований ланцюг, сполучаючий а1 з с; ми підемо по ньому, а потім пройдемо вулицю (с, d) (зрозуміло, найзручніше починати з не пройдених раніше вулиць, що виходять з а1) Ясно, що, діючи і далі так само, ми врешті-решт обійдемо всі вулиці міста.

Висновок: якщо органи міського управління приймуть до уваги результат дослідження цієї задачі, то затори зникнуть з вулиць будь-якого міста.

Висновок