Чисельні методи розв'язання задач обчислювальної математики
Задачі обчислювальної математики. Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики. Обчислення інтерполяційного полінома Лагранжа для заданої функції. Виконання обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 27.03.2012 |
| Размер файла | 67,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Розрахункова графічна робота
з курсу обчислювальної математики
Чисельні методи розв'язання задач обчислювальної математики
Виконав:
Студент групи ДС 71
Грабовий Олександр
Варіант №3
Теоретичні відомості
обчислювальна математика поліном лагранжа
Обчислювальна математика -- розділ математики, що включає коло питань, зв'язаних з виконанням наближених обчислень. У більш вузькому розумінні, обчислювальна математика -- теорія чисельних методів розв'язування типових математичних задач. Сучасна обчислювальна математика включає в коло своїх проблем вивчення особливостей обчислень із використанням комп'ютерів.
Обчислювальна математика має широке коло прикладних використань для проведення наукових та інженерних розрахунків. На її основі в останні десятиліття розвинулися нові області облислювальних наук, наприклад, обчислювальна хімія, обчислювальна біологія тощо.
Задачі обчислювальної математики
До задач обчислювальної математики відносять:
· розв'язування систем лінійних рівнянь
· знаходження власних значень і векторів матриці
· знаходження сингулярних значень і векторів матриці
· розв'язування нелінійних алгебраїчних рівнянь
· розв'язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
· розв'язування диференціальних рівнянь (як звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними)
· розв'язування систем диференціальних рівнянь
· розв'язування інтегральних рівнянь
· задачі апроксимації
· задачі інтерполяції
· задачі екстраполяції
· задачі оптимізації
· обернені задачі.
Алгоритми розв'язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики реалізовані на багатьох мовах програмування. Найчастіше для цих цілей використовуються мови ФОРТРАН і C. Ці алгоритми скомпановані в бібліотеки, які можна знайти, наприклад, в репозиторії Netlib. Популярні комерційні бібліотеки - IMSL та NAG, вільна альтернатива GNU Scientific Library. MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS, LabVIEW та IDL, а також їх вільні альтернативи FreeMat, Scilab, GNU Octave (схожа на Matlab), IT++ (бібліотека C++), R (подібнадо S-PLUS) мають у своєму розпорядженні різноманітні чисельні методи, а також засоби для візуалізації та відображення результатів.
В даній роботі в якості програмного забезпечення використовувалося програмне забезпечення MATLAB.
Розрахункова частина
1. Інтерполяційний поліном Лагранжа Ln(x) для таблично заданої функції f(x).
Загальна формула:
де
Таблиця значень:
|
x |
f(x) |
|
|
0.35 |
0.809 |
|
|
0.41 |
0.895 |
|
|
0.47 |
1.030 |
|
|
0.51 |
1.210 |
|
|
0.56 |
1.341 |
|
|
0.64 |
1.524 |
n=5
Формула у загальному вигляді:
Формула з підставленими значеннями:
Формула після скорочень:
Графік полінома Лагранжа:
Значення полінома в точці 0,526
Ln(0.812) = 1.723
2. Перша та друга похідна таблично заданої функції f(x) у заданих точках х, за допомогою формули числового диференціювання Ньютона.
|
x |
f(x) |
?1f |
?2f |
?3f |
?4f |
|
|
2,4 |
3,526 |
0,256 |
-0,093 |
0,028 |
0,000 |
|
|
2,6 |
3,782 |
0,163 |
-0,065 |
0,028 |
-0,001 |
|
|
2,8 |
3,945 |
0,098 |
-0,037 |
0,027 |
-0,001 |
|
|
3,0 |
4,043 |
0,061 |
-0,010 |
0,026 |
0,000 |
|
|
3,2 |
4,104 |
0,051 |
0,016 |
0,026 |
-0,001 |
|
|
3,4 |
4,155 |
0,067 |
0,042 |
0,025 |
0,000 |
|
|
3,6 |
4,222 |
0,109 |
0,067 |
0,025 |
-0,001 |
|
|
3,8 |
4,331 |
0,176 |
0,092 |
0,024 |
0,000 |
|
|
4,0 |
4,507 |
0,268 |
0,116 |
0,024 |
||
|
4,2 |
4,775 |
0,384 |
0,140 |
|||
|
4,4 |
5,159 |
0,524 |
||||
|
4,6 |
5,683 |
h=0.2
N=3
Загальний вигляд формули для обчислення першої похідної на основі першої формули Ньютона
Загальний вигляд формули для обчислення другої похідної на основі першої формули Ньютона
де
1) x=2.4*0.05*N=2.4*0.05*3=2.55
q=0.75
Перша похідна:
Друга похідна:
2) x=2+0.03*N=2+0.03*3 =2.09
q= -1.55
Перша похідна:
Друга похідна:
Загальний вигляд формули для обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона
Загальний вигляд формули для обчислення другої похідної на основі другої формули Ньютона
3) x=4.04-0.04*N=4.04-0.04*3=3.92
q= -0.4
Перша похідна:
Друга похідна:
4) x=4.5-0.06*N=4.5-0.06*3=4.32
q=-0.4
Перша похідна:
Друга похідна:
3. Обчислення значення інтегралу за допомогою формули трапеції. Кількість вузлів рівна 10
Складемо відповідну таблицю для значень функції
|
x |
f(x) |
|
|
1 |
0.550 |
|
|
1.1 |
0.518 |
|
|
1.2 |
0.489 |
|
|
1.3 |
0.462 |
|
|
1.4 |
0.438 |
|
|
1.5 |
0.415 |
|
|
1.6 |
0.395 |
|
|
1.7 |
0.376 |
|
|
1.8 |
0.359 |
|
|
1.9 |
0.343 |
|
|
2 |
0.328 |
Загальний вид формули трапецеїдального числового інтегрування:
Формула з підставленими числовими коефіцієнтами:
Література
1. http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0
2. http://masters.donntu.edu.ua/2003/ggeo/burik/library/lab1.htm
3. Мэтьюз Дж.Г. Численные методы. Использование MATLAB. Вильямс 2001 г, 720 с.
Подобные документы
Етапи розв'язування інженерних задач на ЕОМ. Цілі, засоби й методи моделювання. Створення математичної моделі. Побудова обчислювальної моделі. Реалізація методу обчислень. Розв’язання нелінійних рівнянь методом дихотомії. Алгоритм метода дихотомії.
контрольная работа [86,1 K], добавлен 06.08.2010Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Історія розвитку обчислювальної техніки. Особливості застосування швидкодіючих комп'ютерів для розв’язання складних математичних задач. Методика написання програми для обчислення визначених інтегралів за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 07.10.2010Суть принципу Діріхле та найпростіші задачі, пов’язані з ним. Використання методів розв’язування математичних задач олімпіадного характеру при вивченні окремих тем шкільного курсу математики та на факультативних заняттях. Індукція в геометричних задачах.
дипломная работа [239,7 K], добавлен 15.03.2013Теорія графів та її використання у різних галузях. У фізиці: для побудови схем для розв’язання задач. У біології: для розв’язання задач з генетики. Спрощення розв’язання задач з електротехніки за допомогою графів. Математичні розваги і головоломки.
научная работа [2,1 M], добавлен 10.05.2009Розв'язання графічним методом математичної моделі задачі з організації випуску продукції. Розв'язання транспортної задачі методом потенціалів. Знаходження умовних екстремумів функцій методом множників Лагранжа. Розв'язання задач симплекс-методом.
контрольная работа [48,5 K], добавлен 16.07.2010Використання методів розв’язування одновимірних оптимізаційних задач (метод дихотомії, золотого перерізу, Фібоначі) для визначення найменшого значення функції на відрізку. Задача мінімізації за допомогою методу Ньютона і методу найшвидшого спуску.
курсовая работа [739,5 K], добавлен 05.05.2011Методика викладання теми, що стосується графічних методів розв’язування задач з параметрами. Обережне відношення до фіксованого, але невідомого числа при роботі з параметром. Побудова графічного образу на координатній площині, застосування похідної.
дипломная работа [7,5 M], добавлен 20.08.2010Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Історія виникнення відсотків, сутність цього терміна. Розв’язання задач на їх визначення за допомогою пропорцій. Добірка текстових завдань, які розв’язуються шляхом розрахунку розміру складних відсотків. Методи вирішення задач на суміші та сплави.
реферат [72,7 K], добавлен 02.12.2015
