У булевій операції операнди і результат набувають "булевого значення 1" і "булевого значення 0".

Булеві функції можуть залежати від однієї, двох і в цілому п - змінних.

Булева функція п - аргументів може мати до N = 2ⁿ наборів. Оскільки функції приймають тільки два значення, загальне число булевих функцій п - аргументів дорівнює 2ⁿ =. Отже, функція одного аргументу може мати чотири значення: у = x; у = ; у = 1 (константа 1); у = 0 (константа 0).

Основними булевими операціями є заперечення (операція НЕ, інверсія), диз'юнкція (операція АБО, логічне додавання, об'єднання) і кон'юнкція (операція І, логічне множення).

Функції f:, де = {0,1}, називаються функціями логіки або булевими функціями. Всю множину булевих функцій п змінних позначу P_п:

(1.5)

Булеві функції від змінних можна задавати таблично або за допомогою формул. При табличному задаванні f задається, так званою, таблицею істинності (таблиця 1.2.1):

Таблиця 1.2.1Загальний вигляд таблиці істинності

х1	х2	…	хn-1	хn	f
0	0	…	0	0	1
1	1	…	0	1	1
...	…	…	…	...	...
1	1	…	1	1	1

Якщо число змінних n, то таблиця істинності містить 2ⁿ рядків, які відповідають всім можливим комбінаціям змінних. Змінну х називають істотною змінною, якщо булева функція f істотно залежить від x₁, а саме:

f

У випадку, коли

f

називають неістотною або фіктивною змінною.

2.1 Булеві функції однієї та двох змінних

Розглянемо функції однієї змінної. Всього таких функцій чотири, їх таблиця істинності подана в таблиці 1.2.2:

Таблиця 1.2.2. Таблиця істинності 4 функцій

Змінна х	0	1
Назва функції	Позначення			Фіктивна
Нуль	0	0	0	x
Тотожність	x	0	1
Заперечення	,-х	1	0
Одиниця	1	1	1	x

P_п = =16, тобто функцій двох змінних є 16. Знайдемо їх за допомогою таблиці 1.2.3. Нехай задано деяку універсальну множину V та множини А V,B V. Тоді:

З теорії множин відомо, що

(1.6)

Аналогічні рівності виконують і для логічних функцій:

f = =1 - тавтологія;

f = = 0 - протиріччя.

Тавтологія - це завжди істинний логічний вираз; протиріччя - завжди хибний логічний вираз, які б значення не набував би х. Побудуємо діаграми Венна для операцій AВ та АВ (рис. 1.2.1) Результат залито темно - сірим кольором.

а) AВ б) АВ

Рис. 1.2.1. Діаграми Венна

Таблиця 1.2.3. Функції алгебри логіки

	Змінна х1	0	0	1	1
	Змінна х2	0	1	0	1
№	Назва f(х1,х2)	Позначення					Фіктивні змінні
0	Константа 0	0	0	0	0	0	х1,х2
1	Кон'юнкція	х1х2	0	0	0	1
2	Заборона по х2	х12	0	0	1	0
3	Повторення х1	х1	0	0	1	1	х2
4	Заперечення по х1	1х2	0	1	0	0
5	Повторення х2	х2	0	1	0	1	х1
6	Додавання за модулем 2	х1х2	0	1	1	0
7	Диз'юнкція	х1х2	0	1	1	1
8	Стрілка Пірса	х1х2	1	0	0	0
9	Еквівалентність	х1х2	1	0	0	1
10	Заперечення х2	2	1	0	1	0	х1
11	Імплікація від х2 до х1	х2х1	1	0	1	1
12	Заперечення х1	1	1	1	0	0	х2
13	Імплікація від х1 до х2	х1х2	1	1	0	1
14	Штрих Шеффера	х1 |х2	1	1	1	0
15	Константа 1	1	1	1	1	1	х1,х2

Операції заперечення, диз'юнкції і кон'юнкції можна задати за допомогою таблиць істинності, у яких зліва подані значення операндів, а справа значення булевої функції.

Таблиця 1.2.4. Графічні позначення логічних елементів

Назва елемента	Вітчизняні позначення	Міжрародні позначення	Таблиці істинності
Інвертор			x y 0 1 1 0
І			x1 x2 y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
І-НЕ			x1 x2 y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
АБО			x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
АБО-НЕ			x1 x2 y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
Виключне АБО			x1 x2 y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

На мові логіки цей факт виражається наступним чином:

- для стрілки Пірса;

- для штриха Шефера.

З таблиці істинності для даних функцій видно, що:

f==

f==

Симетрична різниця двох множин є об'єднанням різниць, тобто А В = А\В В\А (рис.2.2,а). Результат залито темно-сірим кольором.

Еквівалентність (тотожність) визначається тими елементами А та В, для яких вони загальні, причому елементи, які не входять ні в А ні в В теж вважаються еквівалентними.

А ~ В = (А В)( )(рис. 2.2,6). Результат залито темно-сірим кольором.



а) АВ б)А~В

Рис. 1.2.2. Результат логічних операцій

Для логічних функцій

( +) ( ~ ) = 1,( +) ( ~ = 0,

f = ~ = =,

або таблиця 1.2.5.

Таблиця 1.2.5Значення логічних операцій

		+	~
0	0	0	1
1	0	1	0
0	1	1	0
1	1	1	1

Симетрична різниця має декілька назв: строга диз'юнкція, виключна альтернатива, сума за модулем два. Операцію можна передати словами "або х₁ або х₂".

Логічна зв'язка "АБО" без включення зв'язку "І".

2.2 Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки і наборів логічних елементів

Основна вимога, яка ставиться до набору логічних елементів, полягає в тому, щоб за допомогою цього набору можна було побудувати будь-яку логічну схему. З огляду на те, що функціонування елементів однозначно описується функціями алгебри логіки (ФАЛ), застосовуючи операцію суперпозиції, можна з деякої системи ФАЛ отримати будь-яку, скільки завгодно складну ФАЛ. Тоді ця деяка система ФАЛ буде називатися функціонально повною (ФПС ФАЛ).

Функціонально повним є такий набір ФАЛ, який містить хоча б одну функцію, яка:

а) не зберігає константу "0";

б) не зберігає константу " 1";

в) не є монотонною;

г) не є самодвоїстою;

д) не є лінійною.

Якщо функція f на нульовому наборі змінних дорівнює 0, тобто f(0,0,...,0) = 0, то ця функція зберігає константу "0".

Якщо функція f на одиничному наборі змінних дорівнює 1, тобто f(1,1,...1) = 1, то ця функція зберігає константу "1".

ФАЛ називається монотонною, якщо при будь-якому зростанні кількості "1" у послідовності сусідніх (тобто таких, які відрізняються тільки в одному розряді) наборів змінних ( значення функції не зменшується.

ФАЛ називається самодвоїстою, якщо на кожній парі протилежних наборів та вона приймає протилежні значення, тобто, якщо виконується умова:

f =f

ФАЛ називається лінійною, якщо її можна зобразити поліномом Жегалкіна без добутків змінних:

f = , де а_i =(1,0).

Для того щоб записати функцію, яка задана таблично, у вигляді полінома Жегалкіна, досить записати цю функцію у вигляді суми за модулем 2 тих наборів аргументів, на яких функція дорівнює 1. Після цього потрібно всі змінні, які входять до отриманого виразу з інверсіями, замінити за допомогою співвідношення розкрити дужки і звести подібні члени за допомогою тотожності:

, якщо кількість х непарна;

, якщо кількість х парна.

У табл. 1.2 наведені функції двох змінних і позначкою * вказана їх належність кожному з класів ФАЛ. У графі "Клас" позначено:

0 - зберігає константу "0";

1 - зберігає константу "1";

Л - лінійна;

М - монотонна;

С - самодвоїста.

Таблиця 2.2.6 Функції алгебри логіки

	0	0	1	1	Назва ФАЛ	Вираз ФАЛ	Клас
	0	1	0	1			0	1	Л	М	С
f0	0	0	0	0	константа "0"	0	*		*	*
f1	0	0	0	1	кон'юнкція, І		*	*		*
f2	0	0	1	0	заборона по		*
f3	0	0	1	1			*	*	*	*	*
f4	0	1	0	0	заборона по		*
f5	0	1	0	1			*	*	*	*	*
f6	0	1	1	0	сума за mod 2		*		*
f7	0	1	1	1	диз'юнкція, АБО		*	*		*
f8	1	0	0	0	АБО-НЕ (Пірса)
f9	1	0	0	1	рівнозначність			*	*
f10	1	0	1	0	Інверсія				*		*
f11	1	0	1	1	імплікація звор.			*
f12	1	1	0	0	інверсія				*		*
f13	1	1	0	1	імплікація пряма			*
f14	1	1	1	0	І-НЕ (Шефера)
f15	1	1	1	1	константа "1"	1		*	*	*

Приклад 1. Перевірити, чи створює функція трьох змінних, яка задана табл. 2.2.3, функціонально повну систему.

Таблиця 2.2.7 Таблиця істинності функції

а	b	с	f
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

1) Оскільки на нульовому наборі f(0,0,0) = 1, то ця функція не зберігає константу "0".

2) Оскільки на одиничному наборі f(1,1,1) = 0, то ця функція не зберігає константу"1"

3) Послідовності сусідніх наборів подані в табл. 2.2.8 (а…е). Оскільки на всіх шести послідовностях сусідніх наборів функція не є монотонною (а досить було б і на одному), то функція не є монотонною взагалі.

Таблиця 2.2.8 Сусідні набори функції

abc	f		abc	f		abc	f		abc	f		abc	f		abc	f
000	1		000	1		000	1		000	1		000	1		000	1
001	0		001	0		010	1		010	1		100	0		100	0
011	1		101	0		011	1		110	1		101	0		110	1
111	0		111	0		111	0		111	0		111	0		111	0

а б в г д е

4) Пари протилежних наборів наведені в табл. 2.2.10. Оскільки на кожній парі протилежних наборів функція приймає протилежні значення, то функція є самодвоїстою.

5) Для визначення лінійності функції подамо її у вигляді полінома Жегалкіна:

Таблиця 2.2.9 Спрощення полінома

	(=1)		(=ас)
	( = а)		( = bс)
	( = 0)		( = 0)
	( = с)	=1
	( = аb)

Таблиця 2.2.10

abc	f	abc	f
000	1	111	0
001	0	110	1
010	1	101	0
011	1	100	0

Оскільки поліном містить добутки змінних, то функція не є лінійною. Отже, із п'яти необхідних для створення ФПС властивостей відсутня одна - несамодвоїстість, тому дана функція не утворює ФПС.

2.3 Еквівалентні формули

Одна і та ж булева функція може мати над даним базисом різні реалізації. Формули, що реалізують одну і ту ж функцію, називаються еквівалентними (рівносильними). Позначаються:

(1.7)

Відношення еквівалентності характеризується основними властивостями булевих операцій:

- закон комутативності;

- закон асоціативності;

x - закон дистрибутивності;

;

Всі властивості можуть бути перевірені за допомогою таблиць істинності.

2.4 Принцип двоїстості булевих

Функцію f₁ називають двоїстою до функції f₂, якщо

f₁ =

Наприклад: f₁(,) = , f₂(,) = вони двоїсті, бо:

== f₁(,)

Якщо функція двоїста сама собі, тобто f₁ = її називають самодвоїстою. Якщо у формулі F, що реалізує функцію f замінити знаки на знаки двоїстих функцій, то отримана формула F* буде реалізовувати функцію f* що двоїста функції f (принцип двоїстості).

В алгебрі Буля принцип двоїстості можна сформулювати наступним чином: Для отримання формули F*, двоїстої до формули F, треба у формулі F всюди замінити 0 на 1; 1 на 0, на ; на .

3. Мінімізація булевих функцій

При проектуванні цифрових автоматів широко застосовуються методи мінімізації булевих функцій, які дозволяють отримати рекомендації для побудови економних схем цифрових автоматів.

Загальна задача мінімізації булевих функцій може бути сформульованою наступним чином: знайти вираз заданої функції в формі, яка б складала мінімально можливе число букв.

Потрібно зауважити, що в загальній постановці дана задача поки що не вирішена, але достатньо добре досліджена в класі ДКНФ.

Елементарною кон'юнкцією називають кон'юнкцією кінцевого числа різних змінних, кожна з яких може мати або не мати заперечення.

ДНФ називають диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій. Мінімальною ДНФ булевої функції називається ДНФ, яка включає найменше число букв (по відношенню до всіх інших ДНФ, які задають задану булеву функцію.

Булева функція q називається імплікантою булевої функції

f, якщо для будь-якого набору змінних, на якому q = 1 справедливо f = 1.

Імпліканта q булевої функції f, яка є елементарною кон'юнкцією називається простою, якщо ніяка частина імпліканти q не є імплікантою f.

Диз'юнкція будь-якого числа імплікант функції f також є імплікантою цієї функції. Будь-яка булева функція f є еквівалентна диз'юнкції всіх свої простих імплікант. Така форма представлення функції називається скороченою диз'юнктивною нормальною формою (СДНФ).

СДНФ булевої функції називається тупиковою, якщо в ній відсутні зайві прості імпліканти. Видалення зайвих простих імплікант із СДНФ булевої фукції не є процесом однозначним, тобто булева фукція може мати декілька тупикових ДНФ.

Існує декілька методів мінімізації булевих фукцій, основні з них наведені нижче.

3.1 Метод послідовного застосування законів та тотожностей алгебри логіки

В основі даного методу лежить пошук виразів, які можна записати у більш простому виді. При цьому, як правило, найбільше використовуються наступні операції та закони логіки:

- операція склеювання;

- операція поглинання;

x - закон дистрибутивності;

- ідемпотентність, з цього закону слідує, що кожний доданок в ДНФ можна групувати з іншим неодноразово.

Методом користуються лише в досить простих випадках, він носить елементи довільних розв'язків і являється досить громіздким.

3.2 Метод Квайна

За методом Квайна прості імпліканти знаходяться по доскональній диз'юнктивній нормальній формі (ДДНФ) булевої функції в результаті застосування до неї закону неповного склеювання та операції поглинання.

Продемонструємо дію методу на прикладі.

Приклад 3.1. Мінімізувати булеву функцію

;

Розв'язання. Позначимо конституенти номерами:

1-

2-

3-

4-

5-

6-

Застосуємо закон склеювання конституент:

(1-2)- (1)

(1-3)- (2)

(2-4)- (3)

(3-4)- (4)

(4-6)- (5)

(5-6)- (6)

Бачимо, що склеювання можливе ще:

(1-4)-

(2-3)-

Отже,ми отримали:

Далі складемо таблицю Квайна(таблиця 1.3.1), в якій помістимо отримані спрощення імпліканти та вихідні конституенти. «*» ставимо там, де імпліканта «покриває» контитуенту, це тому, що конституента може буде замінена імплікантою за законом поглинання.

Таблиця 1.3.1 Таблиця Квайна

Прості імпліканти
	*	*	*	*
				*		*
					*	*

Після того, як таблиця заповнена, проаналізувавши результати, бачимо, що в деяких стовпчиках отримано по 2 «*», проте досить мати хоча б одну. Тому, по можливості, слід виключити зайві «*».

Звідси отримаємо результат:

За допомогою таблиці істинності можна встановити, що отримана мінімальна нормальна форма функції відтворює всі значення вихідної функції.

3.3 Метод Квайна - МакКласки

Метод застосовують тоді, коли булева функція задана нормальною формою. Алгоритм методу використовує наступні етапи:

Всі конституенти одиниці записуються у виглді таблиці, в двійкових номерах.

Всі номера розбиваються на групи, які не пересікаються. Ознакою створеної групи є кількість одиниць в двійковому номері конституенти одиниці.

Склеювання між сусідніми групами.

Проводяться всі можливі склеювання.

Приклад 3.2. Методом Квайна-МакКласки мінімізувати булеву функцію:

;

Таблиця 1.3.2 Таблиця наборів

Номер групи	Двійкові номери
0	-
1	0001
2	0011,0101
3	0111,1110
4	1111

Проведемо склеювання. На місці змінної,по якій здійснюється склеювання,ставимо «*».

Таблиця 1.3.3 Склеєні набори

Номер групи	Двійкові номери
1	00*1,0*01
2	0*11,01*1
3	*111,111*

Бачимо, що ще можливе склеювання між 1 і 2 групами.

Таблиця 1.3.4 Другий етап склеювання

Номер групи	Двійкові номери
1	0**1
3	*111,111*

Далі складемо таблицю, аналогічну таблиці з методу Квайна, і проведемо ті самі дії.

Таблиця 1.3.5 Таблиця Квайна-МакКласки

Двійкові номери простих імплікант
0**1	*	*	*	*
*111				*		*
111*					*	*

Перевівши назад двійкові номери, отримаємо результат:

Зауважимо, що реалізація методу Квайна-МакКласки на ПК більш простіша, ніж інших методів. Всі розглянуті методи використовують для функцій, у яких невелика кількість змінних.

3.4 Метод Карно - Вейча

Даний метод дозволяє швидко отримати результат. В основі метода лежить задання булевих функцій діаграмами деякого спеціального вигляду.

Шаблони для булевих функцій від 2,3 і 4 змінних виглядають так:

Таблиця 1.3.6 Загальна схема карт Карно-Вейча

	1100	1101	1001	1000
	1110	1111	1011	1010
	0110	0111	0011	0010
	0100	0101	0001	0000
	110	111	011	010
	100	101	001	000
	11	01
	10	00

Для них характерно - кожній клітинці діаграми відповідає свій набір. Сусідні набори розташовані поруч. Сусідніми називаються набори, що відрізняться одною компонентою. Конституенти, які відповідають таким наборам - склеюються. Стовбці, які розташовані по краях діграми - сусідні.

Мінімізація булевих функцій полягає в тому, щоб знайти мінімальне покриття всіх одиниць діаграми. Після знаходження мінімізованої булевої функції, записують її аналітичний вираз.

Приклад 3.3. Методом Карно - Вейча мінімізувати булеву функцію:

;

Будуєму діаграму Вейча для 3 змінних:

Таблиця 1.3.7 Діаграма Вейча

	1	1	011	010
	100	1	1	1

Проведемо всі можливі склеювання:

Таблиця 1.3.8 1 варіант склеювання

	1	1	011	010
	100	1	1	1

Таблиця 1.3.9 2 варіант склеювання

	1	1	011	010
	100	1	1	1

Як бачимо,склеювання можливе 2 способами, тому отримали 2 варіанти мінімізації заданої функції:



Отриманий результат можна перевірити по таблиці істинності і впевнитися, що МНФ функції дає всі значення вихідної функції. Зауважимо, що зовнішня загальна простота методу повертається складною програмою при реалізації алгоритму Карно - Вейча на комп'ютері.

4. Синтез комбінаційних схем

4.1 Синтез функцій у базисі Буля на елементах з довільною кількістю входів

Елемент І Елемент АБО Елемент НЕ

Рис. 1.4.1. Основні елементи Комбінаційних схем

Базис Буля (базис І, АБО, НЕ) складається з трьох функцій алгебри логіки (ФАЛ):

Функція І (кон'юнкція, логічне множення, в аналітичному запису - &, *), кількість входів - більше 1;

Функція АБО (диз'юнкція, логічне додавання, ОR, в аналітичному записі - «», «+», «|»), кількість входів - більше 1;

Функція НЕ (інверсія, в аналітичному записі - риска над символом, або "/" перед символом, або "-" перед символом) , кількість входів - 1.

Умовні графічні позначення елементів І, АБО, НЕ наведені на рис. 4.1.

На виході F елемента І буде одиниця тільки тоді, коли на всіх його входах а,b,с,...,z є одиниця.

На виході F елемента АБО буде одиниця тоді, коли хоча б на одному з його входів а,b,с,...,z є одиниця.

На виході F елемента НЕ буде одиниця тоді, коли на його вході а є нуль.

Таблиця істинності задає значення ФАЛ при всіх можливих станах аргументів (змінних) цієї функції. Досконалі диз'юнктивні нормальні форми (ДДНФ) - це аналітичний вираз ФАЛ у вигляді диз'юнкції кон'юнкцій. При цьому кожна кон'юнкція містить усі змінні (аргументи) ФАЛ, а кількість термів дорівнює кількості одиничних значень функції у її таблиці істинності. ДДНФ визначає, коли дана ФАЛ набуває значення одиниці.

Для того, щоб утворити з таблиці істинності ДДНФ необхідно:

а) визначити з таблиці істинності скільки разів (N) функція набуває значення одиниці;

б) написати рівняння:

F -- abc...z abc...z abc...z ... abc...z , де добуток (терм) abc...z містить усі аргументи функції і повторюється N разів. При цьому перший терм рівняння відповідає першому набору таблиці істинності, на якому ФАЛ набуває значення одиниці, другий - другому, і так далі, а останній, відповідно, останньому; розставити позначки інверсії змінних в кожному термі згідно із значенням цих змінних у відповідних наборах таблиці істинності: якщо змінна у відповідному наборі таблиці істинності має значення 0. то у термі вона повинна мати позначку інверсії (інверсне значення), якщо у наборі змінна має значення 1, то у термі змінна повинна бути без інверсії (пряме значення).

Приклад 4.1. ФАЛ задана таблицею істинності (таблиця 1.4.1). Скласти ДДНФ для даної функції.

Таблиця 1.4.1 Таблиця істинності

Номер набору	Аргументи	Функція	Терм
	а	b	с	f
0	0	0	0	0
1	0	0	1	0
2	0	1	0	1	b
3	0	1	1	1	bc
4	1	0	0	1	a
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1	abc

Рішення: f= b bc a abc.

Функція набуває значення одиниці 4 рази, тому ДДНФ містить 4 терми.

Функціональна схема ФАЛ, заданої у вигляді ДДНФ, у базисі Буля складається з трьох послідовно з'єднаних частин:

матриці інверторів, яка реалізує інверсні значення змінних;

матриці елементів І, яка реалізує окремі терми ФАЛ;

елемента АБО, на виході якого власне і реалізується ФАЛ.

Приклад 4.2. Синтезувати функціональну схему ФАЛ для ДДНФ Прикладу 4.1. Результат синтезу наведений на рис. 1.4.2.

Рис. 1.4.2 Схема ДДНФ для функції (табл. 1.4.1)

4.2 Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах

Дешифратор - це схема, яка має n інформаційних входів і до 2ⁿ виходів і використовується для перетворення n-розрядного двійкового коду на вході в унітарний код на виході. Унітарний код складається з набору нулів і лише однієї одиниці (або навпаки). В ЕОМ дешифратори найчастіше використовуються для перетворення n-розрядного двійкового коду в унітарний код на 2ⁿ виходах (кожному n-розрядному двійковому коду на вході відповідає сигнал 1 тільки на одному з 2 ⁿ виходів). Для прикладу наводиться таблиця істинності (табл. 1.4.2) дешифратора на 3 входи і його умовне графічне позначення (рис. 1.4.3). Інформаційні входи дешифратора позначаються вагою розрядів двійкового коду. Виходи дешифратора позначаються порядковими номерами, які відповідають номеру набору на інформаційних входах у (табл. 1.4.2). Виходи дешифраторів можуть бути інверсними.

Додатковий вхід управління ВК (вибір кристалу) дозволяє або забороняє формування сигналів на виходах дешифратора.

Описані вище дешифратори називаються повними, оскільки кількість їхніх виходів дорівнює 2ⁿ. Дешифратори, які мають меншу кількість виходів, називаються неповними.

На дешифраторах зручно реалізовувати ДДНФ, оскільки ДДНФ безпосередньо вказує на ті набори з 2ⁿ, на яких функція приймає значення "1". Для схемної реалізації такої функції необхідно на інформаційні входи дешифратора подати вхідні змінні і з'єднати виходи дешифратора, які відповідають номерам набору, на яких функція приймає значення "1", з входами додаткового елемента АБО. На виході елемента АБО буде сформована потрібна функція.

Таблиця 1.4.2. Виходи дешифратора

№	Входи	Виходи
4	42 1	ВК	76543210
0	000	1	00000001
1	00 1	1	00000010
2	0 1 0	1	00000100
3	0 1 1	1	00001000
4	100	1	00010000
5	1 0 1	1	00100000
6	1 1 0	1	01000000
7	111	1	10000000
X	XXX	0	00000000

Рис. 1.4.4 Загальний вигляд дешифратора

Рис. 1.4.3 Реалізація функції на 3-входовому дешифраторі

Таблиця 1.4.3. Таблиця істинності функції (приклад 4.3)

Входи	Вихід
аbс	f
000	1
001	0
010	1
011	1
100	0
101	0
110	1
111	1

Приклад 4.3. Реалізувати функцію, яка задана табл. 1.4.3. Схема наведена на рис. 1.4.4. Розширення по входах схем, які реалізовані на дешифраторах.

Якщо потрібно дешифрувати більше сигналів, ніж є інформаційних входів у дешифратора, то необхідно використовувати вхід управління ВК і заводити на нього результат де шифрації тих розрядів, які безпосередньо не подані на інформапційні входи дешифратора. Приклад дешифрації 4 розрядів на дешифраторах з трьома інформаційними входами наведений на рис. 1.4.5.

Коли сигнал а = 0 - працює верхній дешифратор D2, на його виходах формуються сигнали які відповідають наборам 0..7 вхідних змінних а,b,с,d. Коли а = 1 - працює нижній дешифратор DЗ, на його виходах формуються і|_2_ сигнали які відповідають шістнадцятковим наборам 8…f вхідних змінних а,b,с,d. Таким чином, вхід ВК має найбільшу вагу, в наведеному прикладі вага входа ВК дорівнює 8. Окремо взяті дешифратори D2 і D3 в неведеному прикладі неповні.

Рис. 1.4.5 Реалізація функції 4 змінних на 3-входовому дешифраторі

4.3 Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів

Мультиплексор - це комбінаційна багатовходова схема з одним виходом f. Входи мультиплексора поділяються на інформаційні (к входів) та управління (п входів). Загалом, к < 2 ⁿ. Код, який надходить на входи управління, визначає один з інформаційних входів, сигнал з якого передається на вихід f. У (табл. 1.4.4) показана таблиця істинності мультиплексора з трьома входами управління і 8 інформаційними входами, на (рис. 1.4.6) показане умовне графічне позначення такого мультиплексора. Входи управління мультиплексора позначаються вагою розрядів двійкового коду. Інформаційні входи мультиплексора позначаються порядковими номерами, які відповідають номеру набору на вхід управління.

Таблиця 1.4.4 Таблиця істинності мультиплексора

Входи	На виході f сигнал з інформаційного
42 1
000	входу 0
00 1	входу 1
0 1 0	входу 2
0 1 1	входу 3
100	входу 4
1 0 1	входу 5
1 1 0	входу 6
111	входу 7

Таблиця 1.4.5 Таблиця істинності функції заданої на рис 1.4.6

Сигнали	Вихід
(входи)
abc	f
(4 2 1)
000	1
00 1	0
0 1 0	1
0 1 1	1
100	0
1 0 1	0
1 1 0	1
111	1

На мультиплексорах зручно реалізовувати ДДНФ, оскільки ДДНФ безпосередньо вказує на ті набори з 2ⁿ, на яких функція приймає значення «1». Для схемної реалізації такої функції необхідно подати на входи управління мультиплексора змінні-аргументи у відповідності з їхньою вагою і з'єднати входи мультиплексора, номери яких відповідають наборам, на яких функція приймає значення "1", з логічною "1". На решту входів треба подати логічний "0". На виході мультиплексора буде сформована потрібна функція.

Рис. 1.4.6 Мультиплексор з 8 інформаційними входами

Рис. 1.4.7 16-входовий мультиплексор реалізований на базі 8- та 2-входового

Приклад 4.4. Реалізувати функцію, яка задана (табл. 1.4.5). Схема наведена на рис. (1.4.6). Розширення по входах схем, які реалізовані на мультиплексорах.

Коли кількість змінних перевищує кількість входів управління мультиплексора, необхідно використовувати каскадне з'єднання мультиплексорів.

Приклад мультиплексора на 16 входів, який побудований на базі 8-входового і 2-входового мультиплексорів наведений на (рис. 1.4.7).

Коли а = 0 - на вихід 2-входового мультиплексора D3 проходить сигнал з верхнього мультиплексора D1, тобто з входів 0...7, які подані в дужках.

Коли а = 1 - на вихід 2-входового мультиплексора D3 проходить сигнал з нижнього мультиплексора D2, тобто з входів 8..F, які подані в дужках.

4.4 Синтез комбінаційних схем на базі постійних запам'ятовуючих пристроїв

Постійний запам'ятовуючий пристрій (ПЗП) - це комбінаційна багатовходова схема з одним або кількома виходами. На входи подаються набори, які називаються адресами, а з виходів знімаються набори, які називаються даними. Кожній адресі відповідають свої дані, які записані в ПЗП або в процесі виготовлення, або користувачем перед встановленням на плату (комірку) чи вже на самій платі. Для занесення інформації в ПЗП необхідно скласти таблицю прошиття, яка встановлює відповідність між адресами і даними. Занесення інформації в ПЗП здійснюється користувачем за допомогою пристрою, який називається програматором.

Таблиця 1.4.6 Таблиця істинності

Вхідні сигнали	Вихідні сигнали
(входи ПЗП)	(Виходи ПЗП)
abc
(A2 A1 A0)	(D0 D1 D2)
000	100
001	010
010	111
011	100
100	001
101	011
110	101
111	101

Рис. 1.4.8 Схема ПЗП

Таблиця 1.4.7 Таблиця прошиття
Адреси в кодах	Дані в кодах
двійковому	16-ковому	двійковому	16-ковому
А2 А1 А0		D0 D1 D2
a b c		f0 f1 f2
0 0 0	0	1 0 0	04
0 0 1	1	0 1 0	02
0 1 0	2	1 1 1	07
0 1 1	3	1 0 0	04
1 0 0	4	0 0 1	01
1 0 1	5	0 1 1	03
1 1 0	6	1 0 1	05
1 1 1	7	1 0 1	05

Якщо кількість розрядів адреси дорівнює n, то в ПЗП зберігається 2n наборів даних (слів) розрядністю k, де k - кількість виходів ПЗП, тобто, об'єм ПЗП дорівнює 2 n • k .

На ПЗП зручно реалізовувати ДДНФ набору функцій, оскільки ДДНФ безпосередньо вказує на ті набори з 2ⁿ, на яких функція приймає значення "1". Для реалізації таких функцій необхідно завести на входи ПЗП усі змінні, з яких формуються функції, кожній з функцій поставити у відповідність один з виходів ПЗП і скласти таблицю прошиття.

Приклад 4.5. Реалізувати за допомогою ПЗП об'ємом 256x4 функції, які задані (табл. 1.4.6). Схема на базі ПЗП наведена на (рис. 1.4.8).

Кількість входів адреси ПЗП дорівнює 8 (оскільки 256 = 2⁸). Кількість виходів ПЗП-4.

Розряди адрес АЗ...А7 і даних D3 - не використовуються.

Таблиця прошиття має вигляд (табл. 1.4.7).

У даному випадку використовується тільки 8 (0...7) з 256 можливих адрес (З розряди адресних входів з 7) і тільки 3 розряди даних з 4.

Розширення по входах схем, реалізованих на ПЗП, здійснюється, коли кількість вхідних змінних перевищує кількість адресних входів ПЗП. Розширення виконується з використанням входів вибору кристалу (ВК) так само, як розширення по входах дешифраторів. При цьому об'єднання виходів ПЗП здійснюється за допомогою монтажного АБО.

ІІ. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Перша частина

Завдання 1.1

Таблиця 2.1.1 - Кодова таблиця варіантів

Друга (молодша) цифра	Перша (старша) цифра
							В8	1	2	4	7	5	3
							В7	3	1	2	4	7	5
							В6	2	4	7	5	3	1
							В5	5	3	1	2	4	7
							В4	9	7	5	3	1	2
							ВЗ	7	5	3	1	2	4
							В2	4	2	1	3	5	7
В8	В7	В6	В5	В4	ВЗ	В2	В1	3	5	7	9	1	8
9	3	7	4	5	8	6	2	А	Б	В	Г	д	Е
6	5	9	6	7	1	8	4	Є	Ж	3	И	І	І
8	7	6	8	9	3	1	6	И	К	л	м	н	О
1	6	8	1	6	5	3	8	П	Р	С	т	У	Ф
3	8	1	3	8	7	5	1	X	Ц	ч	ш	Щ	Ю
7	1	3	5	1	9	7	3	я	ь

Скласти шестизначне число, яке складається з отриманих за допомогою кодової таблиці 1.1 кодів 1-ої, 2-ої та 8-ої літер прізвища. При цьому перші 3 цифри відповідають цілій частині числа, а останні - дробовій. Вважаючи це число десятковим, перевести його до шістнадцяткової, вісімкової та двійкової систем числення з точністю відповідно 3, 3 та 5 розрядів після коми.

Курило Тарас, 8 перших літер для варіанту В6: К,У,Р,И,Л,О,Т,А. З кодової таблиці маємо:

К-46, У-38,А-27.

Число: 463,827.

Переведемо число до шістнадцяткової системи числення. Спочатку переведемо цілу частину:

№	Ділення	Частка	Залишок
1	463/16	28	15
2	28/16	1	12

3 1/ 16 0 1

Тепер переведемо дробову:

№	Множення	Ціла частина	Залишок
1	0,827*16	13	0,232
2	0,232*16	3	0,712
3	0,712*16	11	0,392

Отримали, що 463,827₁₀ =1CF,D3B ₁₆

Аналогічним способом переведемо число до вісімкової та двійкової систем:

№	Ділення	Частка	Залишок		Множення	Ціла частина	Залишок
1	463/8	57	7		0,827*8	6	0,616
2	57/8	7	1		0,616*8	4	0,928
3	7/8	0	7		0,928*8	7	0,424

463,827₁₀ =717,647₈

До двійкової:

463/2	231	1
231/2	115	1
115/2	57	1
57/2	28	1	0.827* 2	1	0.654
28/2	14	0	0.654 *2	1	0.308
14/2	7	0	0.308*2	0	0.616
7/2	3	1	0.616*2	1	0.232
3/2	1	1	0.232*2	0	0.464

1/2 0 1

463,827₁₀= 111001111.11010₂

Завдання 1.2

Скласти шестизначне число, яке складається з отриманих за допомогою кодової таблиці 1.1 кодів 1-ої, 2-ої та 8-ої літер прізвища. При цьому перші 3 цифри відповідають цілій частині числа, а останні - дробовій. Вважаючи це число шістнадцятковим, перевести його до десяткової, вісімкової та двійкової систем числення з точністю відповідно 3, 3 та 5 розрядів після коми.

Курило Тарас, 8 перших літер для варіанту В6: К,У,Р,И,Л,О,Т,А. З кодової таблиці маємо:

К-46, У-38,А-27.

Число: 463,827.

Переведення з шістнадцяткової до десяткової системи числення:

463₁₆=4?16²+6?16+3?16⁰=1024+96+3=1123₁₀

0,827₁₆=8?16^-1+2?16^-2+7?16^-3=0.5+0.007+0.001=0.508₁₀

463,827₁₆=1123,508₁₀

Переведення з шістнадцяткової до двійкової системи числення:

4₁₆=0100₂ 6₁₆=0110₂ 3₁₆=0011₂ 8₁₆=1000₂ 2₁₆=0010₂ 7₁₆=0111₂

463,827₁₆=10001100011 ,100000100111₂

Маючи число в двійковій системі числення переведемо його до вісімкової системи:

10001100011 ,100000100111₂ = 2143.4047₈

Завдання 1.3

Визначити класи функцій алгебри логіки, до яких належить задана за допомогою таблиці функція трьох змінних (таблиця 2.1.2), і її функціональну повноту.

Таблиця 2.1.2 Функція (завдання 1.3)

a	b	c	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Курило Тарас, 8 перших літер для варіанту В6: К,У,Р,И,Л,О,Т,А.

З кодової таблиці 2.1.1 маємо: 1ц4л= 5₂ = 0101 2ц7л = 8₂= 0101

1) Оскільки на нульовому наборі f(0,0,0)=0, то ця функція зберігає константу «0»;

2) Оскільки на одиничному наборі F(1,1,1) = 0, то функція не зберігає константу «1»;

3) Послідовності сусідніх наборів подані в таблиці 2.1.3 а,е. Як видно з таблиці - не на всіх шести послідовностях сусідніх наборів функція є монотонною.

Таблиця 2.1.3 (а-е) Сусідні набори

a	b	c	f		a	b	c	f		a	b	c	f		a	b	c	f		a	b	c	f		a	b	c	f
0	0	0	0		0	0	0	0		0	0	0	0		0	0	0	0		0	0	0	0		0	0	0	0
0	0	1	1		0	0	1	1		0	1	0	0		0	1	0	0		1	0	0	1		1	0	0	1
0	1	1	1		1	0	1	0		0	1	1	1		1	1	0	0		1	0	1	0		1	1	0	0
1	1	1	0		1	1	1	0		1	1	1	0		1	1	1	0		1	1	1	0		1	1	1	0

а б в г д е

4) Пари протилежних наборів наведені в табл. 2.1.4. Оскільки не на кожній парі протилежних наборів функція приймає протилежні значення, то функція не є самодвоїстою.

Таблиця 2.1.4 Порівняння протилежних наборів

a	b	c	f		a	b	c	f
0	0	0	0		1	1	1	0
0	0	1	1		1	1	0	0
0	1	0	0		1	0	1	0
0	1	1	1		1	0	0	1

5) Для визначення лінійності функції подамо її у вигляді полінома Жегалкіна:

Оскільки поліном містить добутки змінних, то функція є лінійною. Отже, із п'яти необхідних для створення ФПС властивостей в даному випадку не співпала жодна, тому дана функція не утворює функціонально повну систему.

Друга частина

День народження 16.02.92

1=1 h₁=1

6=110 h₂=0

0=0 h₃=0

2=10 h₄=0

9=1001 h₅=1

2=10 h₆=0

Таблиця 2.2.1 Значення 4 функцій

x1	x2	x3	x4	f1	f2	f3	f4
0	0	0	0	1	1	0	1
0	0	0	1	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0
0	1	1	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1	0	1
1	0	0	1	1	1	1	0
1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	0	0	0	1
1	1	0	0	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1	1	0
1	1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	1	0	0	0	1

Таблиця 2.2.2 Список базисів

Елементні базиси	h1	h3	h5
4І/3АБО	0	0	0
3І-НЕ / 4І-НЕ	0	0	1
4АБО / 3І-НЕ	0	1	0
3АБО-НЕ / 4АБО	0	1	1
41 /3АБО-НЕ	1	0	0
ЗІ-НЕ / 4І	1	0	1
4АБО/3І	1	1	0
3АБО-НЕ / 4АБО-НЕ	1	1	1

Завдання 2.1

Функцію f₄ мінімізувати методом Квайна.

ДДНФ для заданої функції має вигляд:

1 2 3 4 5 6 7

Проведемо склеювання конституент одиниці

1. 1-3

2. 1-4

3. 2-5

4. 3-6

5. 4-6

6. 5-7

Можна провести 2 етап склеювання

1. 1-5

2. 2-4

Складемо імпліканту таблицю (таблиця 2.2.3)

Таблиця 2.2.3 Імплікантна таблиця

Прості імпліканти	Констатуенти одиниці

Мінімізована функція, вона ж є і ядром:

Завдання 2.2

Функцію f₄ мінімізувати методом Квайна-Мак-Класкі.

Таблиця 2.2.4 Таблиця істинності f4

x1	x2	x3	x4	f4
0	0	0	0	1
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	0	1
0	1	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	1

Виходячи з таблиці істиності запишемо констатуенти поєднуючи у групи по кількості одиниць .

0000 0Х00 ХХ00

0100 Х000 ХХ00

1000 Х100

0011 1Х00

1100 Х011

1011 1Х11

1111

Побудуємо таблицю покритів подібну матриці Квайна:

Таблиця 2.2.4 Таблиця покриттів

Прості імпліканти	Констатуенти одиниці
	0000
ХХ00
Х011
1Х11

Мінімізована функція:

Завдання 2.3

Функцію f₄ мінімізувати методом діаграм Вейча.

Таблиця 2.2.5 Діаграма Вейча для функції f₄

	1			1
		1
		1	1
	1			1

Відповідно до отриманої діаграми мінімізована функція має вигляд:

Завдання 2.4

Отримати операторні форми функції, зобразити комбінаційну схему в елементному базисі 3І-НЕ/4І.

1) І/АБО

2) І-НЕ/І-НЕ

3) АБО/І-НЕ

4) АБО-НЕ/АБО

Для подання функції в наступних 4 базисах запишемо ДДНФ для інверсної функції.

Таблиця 2.2.6 Інверсія функції f4

№ Набору	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
f4	1	0	0	1	1	0	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1
	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	1	0	0	1	1	0

5) І/АБО-НЕ

6) І-НЕ/І

7)АБО/І

8)АБО-НЕ/АБО-НЕ

Відповідно до таблиці 2.2.2 зобразимо функцію функцію f₄ в базисі ЗІ-НЕ / 4І використовуючи отриманий базис І-НЕ /І. (рис. 2.2.1)



Рис. 2.2.1 Функція f₄ у базисі 3І-НЕ/4І

Завдання 2.5

Виконати спільну мінімізацію f₁,f₂,f₃ таблиця 2.2.1

f₂=

f₃=

Запишемо множину всіх конституент одиниці:

А=

Загальна функція ма вигляд:

б=

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11

Проведемо склеювання:

I 1-2 VIII 5-10 (1,3)

II 1-4 (2) IX 6-7 (1,2)

III 1-6 (1,2) X 6-9 (1,2)

IV 2-5 (1,3) XI 7-10 (1,2,3)

V 2-7 (1,2,3) XII 8-11 (3)

VI 3-8 (3) XIII 9-10 (1,2)

VII 4-9 (2)

З отриманими імплікантами можна провести ще 1 етап склеювання:

1) I-IX (1,2)

2) II-X (2)

3) III-V (1,2)

4) III-VII (2)

5) V-VIII (1,3)

6) IV-XI (1,3)

7) IX-XIII (1,2)

8) X-XI (1,2)

Побудуємо імпліканту таблицю для системи 3 функцій (табл. 2.2.6)

Таблиця 2.2.6 Ситема функцій

Прості імпліканти	Констатуенти одиниці
№ рівняння	1	2	1	2	3	3	2	1	3	1	2	1	2	3	3	1	2	1	2	3	3
(1,2)	*	*	*	*						*	*	*	*
(2)		*					*				*						*
(1,3)			*		*			*	*			*		*				*		*
(1,2)										*	*	*	*			*	*	*	*
(3)						*									*
(3)															*						*

Отже мінімізована система функцій буде мати вигляд:

Мінмізовані функції:

;

;

;

Завдання 2.6

Зобразити комбінаційну схему для реалізації системи функцій f₁,f₂,f₃

Використаємо мінімізовані функції отримані в пункті 2.5. На схемі подано набір (0101)

Рис 2.2.2 Схема системи функцій f₁, f₂, f₃,

Третя частина

Завдання 3.1

Реалізувати функцію f₄ базисі Буля. На виході кожного елемента написати формулу сигналу, який даним елементом реалізується. Для 3 довільних вхідних наборів визначити рівні сигналів (0 або 1) на виході кожного елемента схеми. Усі елементи повинні мати не більше двох входів. Навести таблиці істиності задіяних елементів.

Аналітично функція має такий вигляд

Функція реалізована за допомогою елементів АБО, І, НЕ.

Вони працюють по такій таблиці істинності.

Таблиця 2.3.1 Таблиця істиності функцій Або,І, Не

0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	1



Рис 2.3.1 Функція в базисі Буля

Прослідкуємо за сигналами на елементах схеми на 5 різних наборах

Рис 2.3.2 Функція



Рис 2.3.3 Функція

Рис 2.3.4 Функція

Завдання 3.2

Функцію f₄ реалізувати за допомогою дешифраторів. У кожного з задіяних дешифраторів кількість виходів не повинна перевищувати 16. Навести таблиці істинності, які показують роботу дешифраторів.

Таблиця 2.3.2 Таблиця істинності дешифратора

Входи	Виходи
х1	х2	х3	х4	f4	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	І	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

Реалізація функції f₄(x₁ x₂ x₃ x₄) за допомогою дешифратора зображена на рис. 2.3.5.



Рис 2.3.5 реалізація функції f₄(x₁ x₂ x₃ x₄) на дешифраторі

Завдання 3.3

Реалізувати функцію f₄ в монобазисі І-НЕ. На виході кожного елемента І-НЕ написати формулу сигналу, який даним елементом реалізується. Для 3 довільних вхідних наборів визначити рівні сигналів (0 або 1) на виході кожного елемента схеми. Елементи можуть мати довільну кількість входів. Навести таблиці істиності задіяних елементів.

В монофункціональному базисі І-НЕ функція буде мати вигляд:

Таблиця 2.3.3 Таблиця істиності елемента І-НЕ

0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Рис 2.3.6 Функція f₄(x₁ x₂ x₃ x₄) у монобазисі І-НЕ

Прослідкуємо за сигналами при різних наборах функції на рис 2.3.7-2.3.9



Рис 2.3.7 Функція f₄(1 1 1 0)

Рис 2.3.8 Функція f₄(1 0 0 0)



Рис 2.3.9 Функція f₄(0 1 1 0)

Завдання 3.4

Реалізувати функцію f₄ у монобазисі Шеффера. На виході кожного елемента Шеффера написати формулу сигналу, який даним елементом реалізується. Для 5 довільних вхідних наборів визначити рівні сигналів (0 або 1) на виході кожного елемента схеми. Усі елементи Шеффера повинні бути двовходовими. Навести таблицю істиності елемента Шеффера.

Таблиця 2.3.4 Таблиця істиності елемента Шеффера

0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Для побудови Комбінаційної схеми використаємо монобазис І-НЕ. Оскільки є обмеження на вхід елементів то використаємо елемент НЕ для правильної роботи схеми.

Рис 2.3.10 Функція f₄(x₁ x₂ x₃ x₄) реалізована за допомогою елементів Шеффера.

Прослідкуємо за сигналами при різних наборах функції на рис 2.3.11-2.3.13



Рис 2.3.11 Функція f₄(1 1 1 1)



Рис 2.3.12 Функція f₄(1 0 0 1)

Рис 2.3.13 Функція f₄(0 0 0 1)

Завдання 3.5

Реалізувати функцію f₄ в монобазисі АБО-НЕ. На виході кожного елемента АБО-НЕ написати формулу сигналу, який даним елементом реалізується. Для 3 довільних вхідних наборів визначити рівні сигналів (0 або 1) на виході кожного елемента схеми. Елементи можуть мати довільну кількість входів. Навести таблиці істинності задіяних елементів.

Функція f₄ у монобазисі АБО-НЕ

Таблиця 2.3.5 Таблиця істинності елемента АБО-НЕ

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Рис 2.3.14 Функція f₄(x₁ x₂ x₃ x₄) у монобазисі АБО-НЕ

Примітка

1)

2)

3)

Прослідкуємо за сигналами при різних наборах функції на рис 2.3.15-2.3.17

Рис 2.3.15 Функція f₄(1 1 1 1)



Рис 2.3.16 Функція f₄(1 0 0 1)

Рис 2.3.17 Функція f₄(0 1 1 0)

Завдання 3.6

Реалізувати функцію f₄ у монобазисі Пірса. На виході кожного елемента Пірса написати формулу сигналу, який даним елементом реалізується. Для 3 довільних вхідних наборів визначити рівні сигналів (0 або 1) на виході кожного елемента схеми. Усі елементи Пірса повинні бути двовходовими. Навести таблицю істинності елемента Пірса.

Таблиця 2.3.6 Таблиця істиності елемента Пірса

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Для побудови функції у монобазисі Пірса використаємо отриману раніше форму АБО-НЕ



Рис 2.3.18 Функція f₄(х₁ х₂ х₃ х₄) у монобазисі Пірса

Примітка:

1 -

2-

3 -

Рис 2.3.19 Функція f₄(0 0 0 0)

Прослідкуємо за сигналами при різних наборах функції на рис 2.3.19-2.3.21



Рис 2.3.20 Функція f₄(0 1 0 1)

Рис 2.3.21 Функція f₄(1 0 1 0)

Завдання 3.7

Функцію f₄ реалізувати за допомогою мультиплексорів. У кожного з задіяних мультиплексорів кількість інформаційних входів не повинна перевищувати 16. Навести таблиці істинності, які пояснюють роботу задіяних мультиплексорів.

Оскільки мультиплексори працюють на основі дешифраторів то таблиця істинності подібна до таблиці істинності дешифраторів. (дивитись Табл. 2.3.2)

Реалізація функції f₄ за допомогою мультиплексора зображена на рис. 2.3.32

Рис 2.3.22 Реалізація функції f₄(х₁ х₂ х₃ х₄) за допомогою мультиплексора

Висновки

В даній курсовій роботі проаналізовані основи роботи комбінаційних схем побудованих на елементах алгебри логіки. Проведено ознайомлення з різними способами подання функцій, елементами Булевої алгебри та основами проектування КС. Досліджено основні властивості функцій алгебри логіки та їх систем. Також розглянуто можливості спрощення даних схем за рахунок мінімізації ФАЛ різними способами, що дозволяє зменшити витрати енергії, час проходження сигналу схемою та зменшує кількість рівнів схеми.

На практичних прикладах побудовано та проаналізовано роботу функції на КС на основі різних логічних пристроїв.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Прикладная теория цифровых автоматов / К.Г.Самохвалов, A.M. Романкевич, В.Н.Валуйский и др. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1987. - 375 с.

2. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. - М.: Физмат, 1962. - 475 с.

3. Голдсуорт Б. Проектирование цифровых логических устройств: / Пер. с англ. Под ред. Ю.И.Тютчева. - М: Машиностроение, 1985. - 288 с.

4. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. - М.: Энергоиздат, 1991 г.

5. Карцев М.А., Брик В.А. Вычислительные системы и синхронная арифметика. - М.: Радио и связь, 1981. - 360 с. т.

6. Пєтух А.М., Войтко В.В. Прикладна теорія цифрових автоматів. Навчальний посібник. - Вінниця, ВДТУ, 2001. -77 с.

7. Самофалов К.Г. и др. Цифровые электронные вычислительные машины. - Киев: Вища школа, 1983.- 455 с.

8. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1985.- 552 с.

9. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов.- Л.: Энергия, 1979.-216 с.

10. Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни ”Прикладна теорія цифрових автоматів” ч.2 для студентів бакалаврського напрямку 6.0915 - ”Комп'ютерні та інтелектуальні системи та мережі”/ Уклад.: Лужецький В.А., Квітка М.А., Тарасова О.М.- Вінниця, ВДТУ, 1998. - 47 с.

Додатки

Додаток А

Скорочення

Рис. - рисунок

Табл. - таблиця

ФАЛ - Функція алгебри логіки

ФПС - функціонально повна система

Л - лінійна

М - монотонна

С - самодвоїста

ВIС - велика інтегральна схема

ЕОМ - електронно-обчислювальна машина

НВО - Науково-виробниче об'єднання

ДКНФ - Досконала кон'юктивна нормальна форма

ДНФ - диз'юнктивна нормальна форма

КНФ - кон'юктивна нормальна форма

СДНФ - скорочена диз'юнктивна нормальна форма

ДДНФ - Досконала диз'юнктивна нормальна форма

ПЗП - Постійний запам'ятовуючий пристрій

ВК - вибір кристалу

Размещено на Allbest.ru