54

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНБАСЬКИЙ ГІРНІЧО-МЕТАЛУРГІЙНИЙ ІНСТИТУТ

Т.М. Сукач

Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи

Навчальний посібник

Алчевськ, 2004

Передмова

Вища математика, як навчальна дисципліна, є однією з осноних при підготовці висококваліфікованих кадрів у вищих технічних та інших навчальних закладах. Диференціальне числення є основним розділом курсу вищої математики в цілому.

Без засвоєння основних положень, на яких базується диференціальне числення, не можна на належному якісному рівні застосовувати теорію та методи вищої математики при розв'язанні ряду задач з різних галузей знань (при вивченні фізики, електротехніки, інших інженерних та економічних спеціальностей).

Матеріал посібника поділено на 4 глави:

1) Функція, границя, неперервність; 2) Диференціальне чис-лення функції однієї змінної; 3) Дослідження функції за допомогою похідних; 4) Диференціальне числення функцій багатьох змінних.

Кожна глава складається з параграфів, яки містять короткі теоретичні відомості та приклади розв'язання типових вправ. Для самостійної роботи студентів наводиться комплекс типових вправ з відповідями. Наприкінці кожної глави запропоновано зразки контрольних робот з теми, питання до колоквіуму, завдання семестрової роботи студентів. Наведена інструкція що до модульно-рейтингового контролю знань студентів при вивченні даного розділу вищої математики.

Зміст посібника, а також рівень навчальних вимог до знань студентів відповідає програмі курсу “Вища математика для інженерно-технічних, економічних спеціальностей вищих навчальних закладів, студентів технічних коледжів”.

1. Функція, границя, неперервність

1.1 Функція. Область визначення функції

Нехай маємо множину Х дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним правилом або законом поставлено у відповідність одне дійсне число у, з множини , то говорять, що на множені Х визначено функцію і записують .

При цьому множина Х називається областю визначення або областю існування функції; х називають аргументом або незалежною змінною; у називають залежною змінною або функцією; називають значенням функції в точці х; -- множина, до якої належить значення функції.

Множину всіх значень функції, яких вона набуває при , називають областю значень функції.

Приклад 1. Знайти область визначення функції

.

Розв'язання. Функція у існує, якщо підкореневий вираз невід'ємний. Тому область визначення знаходиться з нерівності:

Таким чином, областю визначення даної функції є відрізок .

Приклад 2. Знайти область визначення функції

.

Розв'язання. Функція визначена, якщо .

Таким чином, область визначення даної функції є сукупність інтервалів:

та .

Приклад 3. Знайти область визначення функції

.

Розв'язання. Функція визначена, якщо

Тобто

.

1.2 Парність, непарність функцій. Періодичність функцій

Нехай функцію задано на проміжку , який є симетричним відносно початку координат. Це може бути або нескінченний інтервал , або скінчений інтервал , або відрізок , де а -- будь-яке дійсне число.

Функція , визначена на проміжку , називається парною, якщо для будь-якого виконується рівність

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат.

Функція , визначена на проміжку , називається непарною, якщо для будь-якого виконується рівність

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Приклад 1. Нехай , де . Згідно з відомою властивістю даної функції,

Отже, є непарною функцією.

Приклад 2. Нехай , де . Відомо, що

Отже, є парною функцією.

Приклад 3. Дослідити на парність чи непарність функцію

Знайдемо область визначення функції:

Знайдемо :

Одержали, що , тобто -- непарна.

Функція , визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує число таке, що для всіх виконується тотожність

Число Т при цьому називається періодом функції , а саму функцію називають Т-переодічною.

Якщо число Т є періодом функції , то й число -Т є також періодом :

Якщо -- періодична функція з періодом Т, то функція , де , є періодичною з періодом .

Зокрема, якщо розглянути функцію , де -- сталі, то періодом цієї функції є число .

Зауважимо, що функцію у фізиці називають гармонікою, число називають амплітудою, -- циклічною частотою, а -- початковою фазою гармоніки.

Приклад 4. Знайти період функції .

Розв'язання. Функція має період , тому функція має період .

Приклад 5. Знайти період функції .

Розв'язання. Функція має період , тому має період .

Приклад 6. Знайти період функції .

Розв'язання. Функція має період .

Тренувальні вправи

Дослідити на парність чи непарність функції:

1. [Парна]

2. [Непарна]

3. [Парна] 4. [Парна]

5. [Ні парна, ні непарна]

1.3 Основні елементарні функції та їх графіки

1. Лінійна функція: .

Графік функції -- пряма, досить знати дві точки, бажано точки перетину з осями координат:

; .

2. Степенева функція:

.

Якщо , функція визначена на всій числовій осі, тобто .

Якщо -- функція парна, то приймає значення . Ії графіками будуть параболи відповідно другого, четвертого і т.д. порядків.

Якщо -- графіки параболи третього, п'ятого і т.д. порядків.

3. Показникова функція:

.

Область її визначення , область значень . Якщо , функція , якщо , функція .

Причому, для довільного , тобто графік довільної експоненти проходить через точку .

4. Логарифмічна функція:

.

Це функція обернена до показникової, . Тому графік довільної функції проходить через точку .

5. Тригонометричні функції:

.

Функції та визначені для всіх та мають множину значень .

Функція визначена всюди, крім , , та монотонно зростає в кожному інтервалі області визначення.

Функція всюди визначена, крім , та монотонно спадає в кожному інтервалі області визначення.

Множина значень та -- проміжок .

Функції , , -- непарні, їх графіки симетричні відносно початку координат, -- парна, її графік симетричний відносно .

Функції періодичні. Найменший період синуса та косинуса , та -- .

6. Обернені тригонометричні функції

Тригонометричні функції в інтервалі монотонності мають обернені:

-- обернена до на відрізку ;

-- обернена до на відрізку ;

-- обернена до на відрізку ;

-- обернена до на відрізку .



7. Перетворення графіків функцій

При побудові графіків функцій часто використовують дефор-мації та паралельне перенесення вздовж осі та .

Треба знати, що:

1) графік функції -- дзеркальне відображення графіка відносно осі ;

2) графік функції -- дзеркальне відображення графіка відносно осі ;

3) графік функції , де -- паралельне перенесення графіка на а одиниць масштабу вздовж осі ;

4) графік функції, де -- паралельне перенесення графіка на а одиниць масштабу вздовж осі ;

5) графік функції -- стиснення в разів , або розтягнення в разів графіка вздовж осі ;

6) графік функції -- розтягнення в разів , або стиснення в разів, графіка вздовж осі ;

7) графік функції -- дзеркальне відображення від осі від'ємної частини (під віссю ) графіка функції, додатна частина графіка залишається на місці.

8) графік функції -- дзеркальне відображення від осі правої частини (з додатної півплощини) графіка в ліву півплощину, додатна частина графіка залишається на місці.

Аналогічно визначаються нескінченно малі й нескінченно великі величини при .

Нескінченно великі величини знаходяться в тісному зв'язку з нескінченно малими: якщо при даному граничному переході функція є нескінченно великою, то функція при цьому самому граничному переході буде нескінченно малою й навпаки.

Властивості нескінченно малих

1. Функцію можна подати у вигляді , де - стале число; -- нескінченно мала при , тоді і тільки тоді, коли .

2. Якщо , то .

3. Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).

4. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.

5. Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

6. Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.

7. Частка від ділення нескінченно малої при на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто , є величина нескінченно мала.

При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:

1.

2.

3. Якщо і існують, то

4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність

5. Якщо то

якщо то

6. Якщо то

7. Якщо

то

8. Якщо при , то

9. Якщо при , то

10. Якщо змінна величина зростаюча при і обмежена при , то вона має границю .

Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при характеризується наступними означеннями й теоремами.

Нескінченно малі функції і називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо дорівнює кінцевому числу .

Якщо , то називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .

Якщо , то і називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть .

Якщо то називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою .

Теореми про еквівалентні нескінчено малі

1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.

2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.

Якщо при , то справедливі такі еквівалентності:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:

-- перша важлива границя;

; -- друга важлива границя,

де е -- ірраціональне число, е = 2,718281...

Наслідки з важливих границь

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Розкриття невизначеностей

Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.

Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.

Невизначеність виду

Щоб розкрити невизначеність виду , треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.

Приклад 1. Знайти границю:

а) .

б) .

в) .

г)

Невизначеність виду

Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при , для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на .

Приклад 3. Обчислити:

а) .

б)

Приклад 4. Знайти границі:

Розв'язання. Безпосередня підстановка числа під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на :

Невизначеність виду

Невизначеність виду перетвореннями приводиться до виду та .

Приклад 5.

а)

б)

Невизначеність виду

Невизначеність виду розкривається за допомогою другої стандартної границі.

Приклад 6.

а)

б)

в)

Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:

а) .

б) .

.

1.5 Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність

Функціяназивається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці :

Функція в точці буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1. функція визначена в околі точки ;

2. існує границя функції в точці ;

3. границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто

(1)

Разом усі ці умови є необхідними й достатніми для того, щоб функція була неперервною в точці .

На практиці при дослідженні функцій на неперервність користуються ознаками, які безпосередньо випливають із співвідношення (1), а саме:

для того, щоб функція була неперервною в точці , треба щоб:

1. була визначеною в околі точки ;

2. існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;

3. існувала правостороння границя функції - число

;

4. лівостороння й правостороння границя були рівні

=;

5. правостороння й лівостороння границя в точці дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто

==

Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною.

Якщо функція визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а -- про неперервність справа, а в точці b -- зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.

Функція називається неперервною в точці зліва, якщо виконуються умови:

1. визначена в точці (існує число );

2. в точці існує лівостороння границя функції;

3. лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, якщо неперервна в точці зліва, то виконується співвідношення

=,

де -- лівостороння границя функції в точці .

Функція називається неперервною в точці справа, якщо виконуються умови:

1. визначена в точці (існує число );

2. в точці існує правостороння границя функції;

3. правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення

=,

де -- правостороння границя функції в точці .

Точкою розриву функції називають точку в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .

1. Точка є точкою усувного розриву, якщо існує , проте не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;

2. Точка є точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі функції, але , різницю

називають стрибком функції в точці

3. Точка є точкою розриву другого роду функції , якщо в точці не існує принаймні одна з односторонніх границь функції.

Приклад 1. Дослідити точки розриву функції .

Розв'язання. В точці функція не визначена. Знайдемо при границі даної функції зліва та справа:

Оскільки односторонні границі скінченні, але

,

то є точкою розриву першого роду.

Стрибок в даному випадку в точці дорівнює 2.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

Розв'язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Рівність означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.

Приклад 3. Визначити характер розриву функції

Розв'язання. Функція в точці не визначена.

При маємо , при . Отже, , .

Тому точка є точкою розриву другого роду.

2. Диференціальне числення функції однієї змінної

2.1 Похідна функції в точці

Похідною функції в точці х називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:

. (2.1)

Функція, яка має скінчену похідну в точці х, називається диференційовною в цій точці. Приріст диференційовної в точці х функції має вигляд

, (2.2)

де - нескінченно мала функція при , тобто диференційовна функція неперервна.

Якщо , тоді функція в точці х має нескінченну похідну.

Основні правила диференціювання

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Похідні основних елементарних функцій

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв'язання. Застосовуючи основні правила диференцію-вання, маємо:

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

Приклад 3. Знайти похідну функції .

Розв'язання. Використовуючи формули, маємо:

Приклад 4. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

.

Приклад 5. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

.

Приклад 6. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

.

Приклад 7. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

.

2.2 Похідна складеної та оберненої функції

Якщо функція має похідну в точці х, а функція - має похідну в точці , тоді складена функція диференційовна в точці х, причому

або

Наведене правило обчислення похідної складеної функції застосовується і для композиції довільного скінченого числа функцій.

Наприклад, для складеної функції виду , де , , - диференційовні у відповідних точках функції, має місце рівність

.

Якщо неперервна та строго монотонна в деякому околі точки х функція має похідну в цій точці, тоді обернена функція в точці у має похідну, причому

.

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв'язання. Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, знаходимо:

Приклад 3. Обчислити похідну функції .

Розв'язання. За правилом диференціювання частки маємо:

Знайдемо похідну функції , розглядаючи ії як композицію двох диференційованих функцій та . За правилом обчислення похідної функції дістанемо:

, тобто .

Таким чином,

Приклад 4. Знайти похідну функції, оберненої до

.

Розв'язання. Дана функція скрізь неперервна та строго монотонна, її похідна , не перетворюється в нуль в жодній точці, тому за правилом диференціювання оберненої функції маємо:

.

Приклад 5. Знайти похідну функції .

Розв'язання.

2.3 Диференціювання показниково-степеневої функції

Похідна показниково-степеневої функції , знаходиться за формулою

Похідні показникових та логарифмічних функцій

(1)

(2)

(3)

(4)

Якщо - диференційовна функція від х, формули мають вигляд:

(5)

(6)

(7)

(8)

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв'язання. Застосовуючи наведені формули, маємо:

Приклад 2. Знайти похідну функції .

Розв'язання. Застосовуючи формули, знаходимо:

Приклад 3. Знайти похідну функції .

Розв'язання. За наведеними формулами, маємо:

2.4 Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично

Щоб продиференціювати функцію, яка задається виразом , необхідно цей вираз продиференціювати по х, вважаючи у функцією від х, і з одержаної рівності знайти .

Похідна функції

яка задана параметрично, обчислюється за формулою:

за умови, що диференційовні в точці функції, причому .

Приклад 1. Знайти похідну функції, яка задана неявно рівнянням .

Розв'язання. Диференціюючи, дістанемо:

відкіля

Приклад 2. Знайти похідну функції, яка задана неявно

.

Розв'язання. Диференціюючи, маємо

З цього рівняння знаходимо :

Приклад 3. Знайти , якщо .

Розв'язання.

Приклад 4. Знайти в точці похідну функції, яка задана параметрично:

Розв'язання. Застосовуючи формулу обчислення похідної функції, яка задана параметрично, маємо:

Таким чином,

Приклад 5. Знайти , якщо .

Розв'язання.

Тренувальні вправи

Знайти похідні функцій, які задані неявно:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. Знайти в точці М (1, 1), якщо .

10. Знайтипри, якщо .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19^*. .

20. .

Знайти похідну функції, яка задана параметрично:

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37^*.

2.5 Логарифмічне диференціювання

Якщо маємо громіздкі вирази, що містять добутки, частки, степені, то перш, ніж знаходити похідну, вираз рекомендується прологарифмувати.

Приклад 1. Знайти похідну функції .

Розв'язання. Прологарифмуємо функцію:

Знайдемо похідну від лівої та правої частин:

звідки

Такий же спосіб використається для знаходження похідної так званої степенево-показникової функції

.

Приклад 2. Продиференціювати функцію:

Розв'язання. Цю функцію можна диференціювати як частку двох функцій, але це приведе до складних обчислень. Тому краще спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати.

Дійсно,

Диференціюючи (у розглядаємо як складену функцію), маємо:

Тоді

2.6 Геометричний та фізичний зміст похідної

Похідна, особливо її геометричний та фізичний зміст, широко застосовуються при розв'язанні цілого ряду задач в різних галузях діяльності.

Геометричний зміст похідної

Похідна функції для кожного значення х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка даної функції у відповідній точці, тобто

,

де - кут, який утворює дотична до графіка функції в точці з додатним напрямком осі .

На основі геометричного змісту похідної рівняння дотичної до графіка функції записується таким чином:

Якщо неперервна функція в точці має нескінченну похідну, тоді дотичною до графіка функції в точці буде пряма .

Для нормалі, тобто прямої, що проходить через точку дотику , перпендикулярно до дотичної (пряма ), рівняння має вигляд

У випадку нормаллю буде пряма ; якщо функція в точці має нескінченну похідну, тоді нормаллю до кривої буде пряма .

У деяких задачах потрібно знайти кут між кривими та в їх точці перетинання.

Кутом між кривими вважається величина кута між дотичними до даних кривих, в їх точці перетинання; обчислюється за формулою:

В задачах на застосування геометричного змісту похідної часто зустрічаються також такі поняття, як відрізок дотичної, відрізок нормалі, піддотична, піднормаль, довжини яких визначають за формулами:

а) відрізок дотичної :

б) відрізок нормалі :

в) піддотична ТК:

г) піднормаль :

Приклад 1. Знайти, під яким кутом функція перетинає вісь абсцис.

Розв'язання. Косинусоїда перетинає вісь абсцис в точках . Якщо , тоді

,

тобто кутовий коефіцієнт дотичної до косинусоїди дорівнює -1. Це означає, що в точках графік функції перетинає вісь абсцис під кутом .

Якщо , тоді . Тому в цих точках косинусоїда перетинає вісь під кутом .

Приклад 2. Записати рівняння дотичної до кривої

в точці .

Розв'язання. Згідно з формулою рівняння дотичної до графіку функції, для того, щоб скласти рівняння дотичної, треба обчислити значення функції та похідної функції в точці :

Отже, отримаємо рівняння дотичної:

або

Приклад 3. Знайти рівняння нормалі до кривої, яка задана параметрично: в точці .

Розв'язання. Рівняння нормалі має вигляд:

Значення та відповідають значенню :

Похідну знайдемо за формулою похідної, заданої параметрично:

.

В точці маємо . Таким чином, рівняння нормалі записується у вигляді

, або .

Приклад 4. Знайти рівняння дотичної й нормалі до кривої у точці .

Розв'язання. Значення похідної даної функції в точці А:

Рівняння дотичної:

Рівняння нормалі:

Фізичний зміст похідної

Під фізичним змістом похідної розуміють швидкість зміни функції в даній точці. Наприклад:

1) при русі тіла швидкість в даний момент часу є похідною від шляху :

2) при обертовому русі твердого тіла навколо осі кутова швидкість в даний момент часу є похідною від кута повороту :

3) при охолодженні тіла швидкість охолодження в момент часу є похідною від температури

4) теплоємність С для даної температури є похідною від кількості тепла :

5) при нагріванні стержня коефіцієнт лінійного розширення при даному значенні температури є похідною від довжини :

Приклад 1. Знайти швидкість точки, рух якої описується рівнянням , наприкінці третьої та десятої секунд.

Розв'язання. Швидкість визначається за формулою

Коли , маємо (м/с).

Коли , маємо (м/с).

Приклад 2. Знайти швидкість точки, яка рухається по колу радіуса , оббігаючи коло за час .

Розв'язання. Нехай точка починає рухатися з положення А проти годинникової стрілки. Нехай за час вона дійшла до положення .

Кут між її радіусом-вектором та віссю дорівнює в цей час , тому що точка проходить кут за час Т, кут - за одиницю часу і кут - за час .

Отже, в будь-який момент положення точки можна визначити через її дві координати:

Компоненти швидкості знаходимо з таких обчислень:

Тоді швидкість точки буде:

2.7 Диференціал функції

Диференціал функції, як і похідна, застосовується при розв'язанні ряду практичних задач, зокрема в наближених обчисленнях.

Диференціалом функції в точці х називається головна (лінійна відносно ) частина приросту диференційовної в точці х функції.

Диференціал дорівнює добутку похідної функції в точці х на приріст незалежної змінної, тобто

Зокрема, диференціалом незалежної змінної є ії приріст:

Тоді формула диференціала має вигляд

відкіля

Основні властивості диференціала

Для довільних диференційованих функцій та мають місце такі рівності:

1. ;

2. -- довільні сталі;

3. ;

4. ;

5. .

Приклад 1. Знайти диференціал функції .

Розв'язання. За формулою

Приклад 2. Знайти диференціал функції .

Розв'язання. За формулою

Застосування диференціала до наближених обчислень

При малих справедлива формула , тобто

.

Приклад 1. Обчислити наближено за допомогою диференці-ала значення функції в точці .

Розв'язання. Найближча к 1,97 точка, в якої легко обчислити значення и , -- це точка .

, .

За наведеною формулою маємо

Приклад 2. Знайти, наскільки зміниться довжина ребра куба, якщо об'єм його зменшиться з 64 до 63,98 м³.

Розв'язання. Якщо х - об'єм куба, а у - його ребро, тоді

.

За умовою задачі , . Приріст сторони куба обчислюємо наближено:

,

тобто ребро куба зменшиться на 0,0004166 м.

2.8 Похідні та диференціали вищих порядків

Похідні вищих порядків

Похідною другого порядку (другою похідною функції) у точці х називається похідна від її першої похідної при умові, що диференційовна в точці х. Вона позначається такими символами:

, , , , .

Аналогічно визначається похідна п-го порядку функції , яка має (п-1) похідну в точці х:

Похідну, для якої існує п-а похідна в точці х, називають п разів диференційовною в цій точці.

Основні формули обчислення похідних вищих порядків

зокрема,

Основні правила обчислення похідних

Якщо функції та п разів диференційовні, тоді мають місце такі рівності:

1)

2) (формула Лейбніца)

де

Обчислення похідних вищих порядків функцій, заданих параметрично

Якщо функція задана параметрично рівняннями , , тоді похідні обчислюються за формулами:

і т.д.

Для похідної другого порядку має місце формула:

Диференціали вищих порядків

Диференціалом другого порядку двічі диференційовної функції називають диференціал від диференціала першого порядку функції , тобто . У випадку, коли х - незалежна змінна, диференціали обчислюються за формулами:

Якщо ж х -- деяка функція від t, , тоді

і т.д.

Якщо для функцій та , х -- незалежна змінна, існують диференціали та , тоді

( -- сталі),

Приклад 1. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично

Розв'язання.

Приклад 2. Знайти похідну другого порядку функції

Розв'язання. Спочатку знаходиться перша похідна від складної функції:

Тоді друга похідна дорівнює:

Приклад 3. Знайти диференціал другого порядку функції в точці .

Розв'язання. Згідно з формулою для обчислення диференці-алу другого порядку обчислюється :

Тоді

Отже,

Приклад 4. Знайти у випадку, коли функція задана неявно рівнянням

Розв'язання. Диференціюємо ліву та праву частини рівняння, маючи на увазі, що у є функція від х:

Звідси тобто , тому

Підставляючи замість відповідне значення, знаходимо:

Приклад 5. Знайти функції, яка задана параметрично рівняннями:

Розв'язання. За правилами диференціювання функції, заданої параметрично, маємо:

Приклад 6. Знайти , якщо .

Розв'язання. З попереднього прикладу маємо , . Тоді

Приклад 7. Знайти , якщо .

Розв'язання.

3. Дослідження функції за допомогою похідних

3.1 Монотонність функції. Екстремум функції

Припустимо, що функція визначена на деякому проміжку (а; b), а є внутрішньою точкою цього проміжку.

Функція називається зростаючою в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що , для всіх і для всіх .

Якщо функція диференційовна на інтервалі (а; b) і зростає (спадає) на цьому інтервалі, то її похідна на інтервалі (а; b) невід'ємна, тобто .

Якщо функція диференційована на інтервалі (а; b) і ії похідна для , то ця функція зростає (спадає) на інтервалі (а; b).

Функція називається спадною в точці , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що , для будь якого і для будь якого .

Якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що для всіх , то точка називається точкою максимуму функції , а саме число називається максимумом функції в точці .

Якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку (а; b) і такий, що для всіх , то точка називається точкою мінімуму функції , а саме число називається мінімумом функції в точці .

Точки максимуму й мінімуму функції називають ще екстремальними точками, а максимум і мінімум називають екстремумом функції.

Приклад 1. Довести, що функція є зростаючою в інтервалі .

Розв'язання. Знаходимо похідну функції :

У кожній точці маємо

Отже, за попередньою теоремою робимо висновок, що функція є зростаючою в кожній точці даного інтервалу.

Приклад 2. Довести, що показникова функція , , , в інтервалі при є спадною, а при -- зростаючою.

Розв'язання. Знаходимо похідну функції :

Внаслідок того, що при , то

Отже, при функція є спадною.

Якщо , то і тому . Таким чином, у цьому випадку є зростаючою.

Приклад 3. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

.

Розв'язання. Знаходимо похідну:

При будь якому маємо .

Отже, функція на всій числовій осі є зростаючою.

Приклад 4. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

.

Розв'язання. Знаходимо похідну:

.

При маємо , при маємо .

Отже, в інтервалі функція спадає, а в інтервалі зростає.

При цьому точка є точкою мінімуму заданої функції.

Приклад 5. Знайти інтервали зростання і спадання функції:

.

Розв'язання. Знайдемо похідну:

Знайдемо точки, в яких . Це є всі точки, де . Розв'яжемо цю нерівність:

або .

Отже, в інтервалі функція зростає. Тоді в інтервалах , функція спадає.

Робимо висновок, що точка є точкою є точкою мінімуму, а точка -- точкою максимуму заданої функції, при цьому мінімум функції дорівнює , максимум .

Необхідна ознака існування екстремуму

Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Внутрішня точка проміжку називається стаціонарною точкою функції , якщо в цій точці . Стаціонарні точки і точки, в яких похідна не існує, називаються критичними точками функції.

Перше правило дослідження функції на екстремум

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки заданої функції, для цього слід розв'язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції;

2) знайти точки, в яких похідна не існує (функція в ціх точках існує). Якщо критичних точок функція не має, то вона не має й екстремальних точок. Така функція не має екстремуму. Якщо критичні точки є, то їх треба досліджувати далі, для чого:

3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

Якщо при переході через критичну точку (зліва направо) змінює знак з + на -, то ця точка є точкою максимуму. Якщо змінює знак з - на +, то ця критична точка є точкою мінімуму.

Якщо при переході через критичну точку знак похідної не змінюється, то розглядувана критична точка не є екстремальною точкою заданою функції.

Теорема. Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

Друге правило дослідження функції на екстремум.

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки заданої функції;

2) знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці , то є екстремальною точкою для функції , а саме, точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо .

Приклад 6. Дослідити функцію на екстремум:

.

Розв'язання. Знаходимо похідну:. Прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо рівняння:

Дістаємо стаціонарні точки:

Знаходимо похідну другого порядку:

Підставляємо у вираз для значення і :

Отже, є точкою максимуму, -- точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .

Приклад 7. Дослідити функцію на екстремум:

Розв'язання. Знаходимо похідну першого порядку:

.

Прирівнюємо похідну до нуля і розв'язуємо утворене рівняння:

.

Звідси знаходимо стаціонарні точки:

Знайдемо похідну другого порядку:

Тоді

Отже, в точці функція має мінімум , а в точці -- максимум .

3.2 Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

Нехай на відрізку задано неперервну функцію , тоді за теоремою Вейєрштрасса функція на даному відрізку досягає свого найбільшого і свого найменшого значень. Це може статися як всередині відрізка, так і на його кінцях.

Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції.

Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців.

Звідси випливає спосіб знаходження точок, в яких функція набуває найбільшого та найменшого значення на відрізку :

1) знайти критичні точки функції;

2) обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка;

3) найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Розв'язання. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього знайдемо похідну:

Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв'язуючи рівняння

,

дістаємо стаціонарні точки: . Точок, в яких функція не існує, немає.

Обчислюємо значення функції в точках , а також на кінцях відрізка, тобто в точках :

Отже, найбільше значення , найменше є .

Приклад 2. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв'язання. Функція є неперервною на відрізку . Знаходимо екстремуми функції. Обчислюємо першу похідну:

.

Функція має дві критичні точки: . Але не належить відрізку . В точці функція має максимум, причому . Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка: .

Таким чином, .

Приклад 3. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв'язання. Знаходимо критичні точки функції, розв'язавши рівняння :

.

Коренями цього рівняння є числа: . Проте ці точки не належать відрізку , тому всередині цього відрізка критичних точок немає.

Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка:

.

Отже, .

3.3 Інтервали опуклості та угнутості кривої, точки перегину

Графік функції може бути опуклим або угнутим.

Графік функції є опуклим на проміжку , якщо відповідна дуга кривої лежить нижче дотичної, проведеної в довільній точці .

Графік функції є угнутим на проміжку , якщо відповідна дуга кривої лежить вище дотичної, проведеної в довільній точці .

Для дослідження графіка функції на опуклість застосовується друга похідна функції. Якщо друга похідна двічі диференційовної функції від'ємна в інтервалі , тоді графік функції опуклий на даному проміжку, якщо друга похідна додатна , тоді графік функції угнутий на .

Точка, при переході через яку крива змінює опуклість на угнутість або навпаки, називається точкою перегину.

Точками перегину функції можуть бути лише точки, в яких друга похідна дорівнює нулю або не існує. Такі точки називають критичними точками другого роду.